Lista de Exercícios 1 Parte 1 Resolvida-2022 1

EMB5842 – Teoria das Estruturas (2022/1) Lista de Exercícios 1 – parte 1 Entrega até a data da Prova 2 (22/07/2022) Sugestão: façam cada um dos casos dos exercícios no FTool para conferirem as deformadas, os valores dos deslocamentos e as reações de apoio. Baixar em: https://www.ftool.com.br/Ftool/ 1) Para a viga apresentada na figura abaixo, calcule os deslocamentos nodais incógnitos pelo Método dos Deslocamentos e as reações de apoio. Informações: módulo de elasticidade e seção transversal da viga . Questão 1. 2) Para a viga apresentada na figura abaixo, calcule os deslocamentos nodais incógnitos pelo Método dos Deslocamentos e as reações de apoio. Informações: módulo de elasticidade e seção transversal da viga . Questão 2. Teoria das Estruturas Questão 01 - Considerações iniciais - As barras têm as translações horizontais e verti- cais restringidas em todos os nós pelos apoios. Des- sa forma, o deslocamento buscado é a rotação no ponto B. - Momento de inércia: I = \frac{b h^3}{12} = \frac{0,15 . 0,33^3}{12} = 5,3594 . 10^{-4} m^4 - E . I: EI = 2,5 . 10^7 . 5,3594 . 10^{-4} = 13 398,4375 KN m^2 - Sistema principal e equações de compatibilidade. A B C | |-----| D1 2kN/m 25kN 3m 3m 6m β10 + K11 D1 = 0 => D1 = \frac{-β10}{K11} - Cálculo de β10 B/A C | 25kN |--------| B β10,AB β10,BC β10 = β10,AB + β10,BC = \frac{-PLAB}{8} + \frac{qLBC^2}{8} = \frac{-25 . 6}{8} + \frac{2 . 6^2}{8} = -9,75 KNm β1A = \frac{PLAB}{8} = \frac{25 . 6}{8} = 18,75 KNm - Cálculo de K11 A B C |-----|------/ K11,AB K11,BC K11 = K11,AB + K11,BC = \frac{4EI}{LAB} + \frac{3EI}{LBC} = \frac{4.13 398,4375}{6} + \frac{3.13 398,4375}{6} => K11 = 25 631,5104 K1A = \Sigma \frac{EI}{LAB} = \frac{2.13 398,4375}{6} = 4 466,1458 - Deslocamento no nó interno D1 = \frac{-β10}{K11} = \frac{-(-9,75)}{25 631,5104} => D1 = 6,2374.10^-4 rad - Momentos nos nós MC = 0 o extremo não engastado MB = β10,BC + K11,BC . D1 = \frac{2 . 6^2}{8} + \frac{3 . 13 398,4375 . 6,2374 . 10^-4}{6} => , MB = 13,1786 KNm MA = β1A + K1A . D1 = 18,75 + 4 466,1458 . 6,2374.10^-4 => MA = 21,5357 KNm - Reações de apoio * trecho AB: a b | | MA B - MA 25kN Vb 13,1786 KNm => MA = 21,5357 KNm -> encontrado no item anterior G \Sigma MB = 0 => 21,5357 - RA . 6 + 25 . 3 - 13,1786 = 0 => RA = 13,8929 KN + \Sigma FY = 0 => 13,8929 - 25 - VB = 0 => VB = -11,1071 KN * trecho BC: c || | 7kN/m 2kN/m |------- 13,1786 KNm GA \Sigma MB = 0 => 13,1786 - \frac{2 . 6^2}{2} + RC . 6 = 0 => RC = 3,8036 KN + \Sigma FY = 0 => VB - 2 . 6 + 3,8036 = 0 => VB = 8,1964 KN RB = VB - VB = 8,1964 - (-11,1071) => RB = 19,3036 KN Cálculo de K_11 K_11 = K_11,AB + K_11,BC = \frac{4EI}{L_AB} + \frac{4EI}{L_BC} = \frac{4 \cdot 267,96876}{5} + \frac{4 \cdot 267,96876}{3} \Rightarrow K_AA = 571,6667 K_IA = \frac{2EI}{L_AB} = \frac{2 \cdot 267,96876}{5} = 107,1875 K_IC = \frac{2EI}{L_BC} = \frac{2 \cdot 267,96876}{3} = 178,6458 Deslocamento no nó interno D_1 = \frac{- \beta_{10}}{K_11} = \frac{- (-2,0833)}{571,6667} \Rightarrow D_1 = 3,6443 \cdot 10^{-3}\text{ rad } Momentos nos nós M_C = \beta_{1C} + K_IC \cdot D_1 = -18,75 + 178,6458 \cdot 3,6443 \cdot 10^{-3} \Rightarrow M_C = -18,0990 \text{ KNm } M_B = \beta_{10,AB} + K_{11,AB} \cdot D_1 = \frac{-10,5^2}{12} + \frac{4 \cdot 267,96876}{5} \cdot 3,6443 \cdot 10^{-3} \Rightarrow M_B = -20,0521 \text{ KNm } M_A = \beta_{1A} + K_{AA} \cdot D_1 = 20,8333 + 107,1875 \cdot 3,6443 \cdot 10^{-3} \Rightarrow M_A = 21,2240 \text{ KNm } Reações de apoio Trecho AB: \text{ }\frac{10\text{ KN}}{\text{m}} \phantom{....}\color{white}A \cdot 5 \phantom{...............A} \text{V}_B^- \color{white}AB M_A = 21,2240 \text{ KNm } \Rightarrow \text{ encontrado no item anterior} \div \sum \text{M}_B = 0 \Rightarrow 21,2240 - \text{R}_A \cdot 5 + \frac{10,5^2}{2} - 20,0521 = 0 \Rightarrow \text{R}_A = 25,23344 \text{ KN } \plus \sum_{Fy} = 0 \Rightarrow 25,23344 - 10,5 - \text{V}_B^- = 0 \Rightarrow \text{V}_B^- = -24,7656 \text{ KN} * Trecho BC \text{ }\frac{25\text{ KN}}{\text{m}} \phantom{....}\color{white}B \cdot 5 \phantom{...............B} \text{V}_B^+ \color{white}BC M_C = -18,0990 \text{ KNm } \Rightarrow \text{ encontrado no item anterior} \div \sum \text{M}_B = 0 \Rightarrow -(-20,0521) - 25 \cdot \frac{3^2}{2} - 18,0990 + \text{R}_C \cdot 3 = 0 \Rightarrow \text{R}_C = 36,8490 \text{ KN } \plus \sum_{Fy} = 0 \Rightarrow \text{V}_B^+ - 25 · 3 + 36,8490 = 0 \Rightarrow \text{V}_B^+ = 38,1510 \text{ KN} \text{R}_B = \text{V}_B^+ - \text{V}_B^- = 38,1510 -(-24,7656) \Rightarrow \text{R}_B = 62,9167 \text{ KN}