Prova 1 - Fisica 3

Questão 1 (3.0)\n\nUma densidade linear de carga λ0 = const encontrar-se no eixo z no segmento -L ≤ z ≤ L. Calcule campo elétrico E(z) desta densidade de carga.\nFORMULÁRIO:\n\n∫ (dx)\n(x² + a²)^{3/2} = \n\nx\na²√(x² + a²) + C\n\n∫ (dz)\n(z² + a²)^{3/2} = 1\n√(z² + a²) + C\n\nQuestão 2 (4.0)\n\nConsidere uma distribuição de carga elétrica esfericamente simétrica composta de carga pontiforme ρ no centro da casca esférica ρ ≤ r ≤ 2a. A densidade de carga dentro da casca é dada pela fórmula ρ(r) = ρ0 (2 - r) onde ρ0 é const. Utilize a Lei de Gauss para determinar campo elétrico em todo espaço. Qual deve ter valor o parâmetro ρ0 para campo elétrico desaparecer fora da casca r > 2a?\n\nQuestão 3 (3.0)\n\nConsidere campo elétrico dado pela expressão\n\nE = (x² + β²)^{1/2},\nr = √(x² + y² + z²)\n\nonde E é o vetor radial em coordenadas esféricas α = const, β = const.\n\n1. Escreve este campo em coordenadas Cartesinas identificando componentes Ex, Ey, Ez.\n\n2. Calcule divertente deste campo (ou em coordenadas esféricas ou em Cartesinas). (A)\n\nR = r̂ = z² êz = d² + (z - z1) êz\n\nz1 ∈ [−L, L]\n\ndq = λ0 dz1\n\ndE = k λ0 dq(z1) × R/R³\nR² = ρ² + (z - z1)²\n\nE = k λ0 ∫ (dq(z1)\n\ng⁵(z - z1) êz\n\n[l⁴ + (z - z1)³]^{3/2})\n\n= k λ0 ∫ (dz1)\n\ng(z1)\n\n[l⁴ + (z - z1)³]^{3/2}\nêz\n\n= k λ0 ∫ (dz1)\n[l⁴ + (z - z1)³]^{3/2}\n\n= k λ0 ∫ ϖ(z1)\n\n[l² + (z - z1)²]^{3/2}\n= k λ0 ∫ ([s⁵ + (z - z1)²]^{5/2})\n\nw = z1 − z\n\nz ∈ [−L - 2, L - 2]\n= k λ0 ∫ [dz1]\n\ndL\n\ndw/dz)\n\n[5w² + (z - z1)²]^{3/2}\n\n= k λ0 [g(z1)]\n(∫ [5w²])\n\n= k λ0\n\n[−L - 2, L - 2]\n= 5 = (z² - z1) dz1.\n\ndE = ke^λ\n\ng(z)\nêz \n∫ (dw)\n[g(w + w)^{1/2}]\n= 1\n√(g² + w) z =\n+ C\n\nw dw => = 0 \n-g(w² + 2)²\n= ∫ − 1\n[√s² + (z - 2)²] + 1\n\nk λ0 [•g/6 + + Γ =\n− (g², + (2-z)²)−\n= 1 \n = k λ0∫\nL\n1\n\n(kλ0[g(w)]\n\n= k λ0,\n\n= λ\n\nz| g⁴{(g - 1) + 1 - = g(g + 5 √(g)}\n\n-l² + 2 ]\n√(g² + 2) ഺ div E = \\frac{\\partial E_x}{\\partial x} + \\frac{\\partial E_y}{\\partial y} + \\frac{\\partial E_z}{\\partial z} = \n\ndiv E = \\alpha \\frac{1}{r^3} \\left( x' \\frac{1}{r^3} \\right) + \\beta \\frac{\\partial}{\\partial x'} \\left( r \\times x' \\right) = \n\n= \\alpha \\left[ \\frac{1}{r^3} \\left( \\frac{\\partial x'}{\\partial x'} \\right) - \\frac{3 x'}{r^4} \\frac{1}{x'} \\right] \n\n+ \\beta \\left[ \\frac{\\alpha r^2 \\frac{\\partial}{\\partial x'}}{3} + 2 r \\frac{x' \\frac{ \\partial}{\\partial x'}}{3} \\right] =\n\n- \\alpha \\left[ \\frac{3 r^2 - 3 r^2}{r^5} \\right] + \\beta \\left[ 3 r^2 + 2 \\times r^2 \\times \\frac{x^2}{x'} \\right] \n\n= 5 \\beta r^2 \n\n5 \\beta r^2 = 5 k \\frac{\\mu}{\\epsilon} \\frac{\\rho^2}{a^2} = \\frac{\\epsilon_0}{\\epsilon} \\left( \\frac{r}{a} \\right)^2 = 5(r)\n\n\\text{coordenadas e}\\n\ndiv E = \\frac{1}{r} \\frac{\\partial (rE)}{\\partial r} = \\frac{1}{r^2} \\frac{\\partial}{\\partial r} \\left( \\alpha r^2 + \\beta r^3 \\right) =\n= \\frac{1}{r^2} \\left( \\alpha + \\beta r^5 \\right) = \\frac{1}{r^3} (0 + 5 \\beta r^4) = 5 \\beta r^2