Lista 1-2022 1

Todos os exercícios devem ser resolvidos utilizando ferramentas analíticas e de simulação aplicando as teorias e métodos estudados ao longo do curso. As respostas devem estar devidamente justificadas, apresentando também os cálculos realizados para a obtenção de cada solução. Exercício 1. Qual dos seguintes diagramas de espaço de estado, no plano (x, y), corresponde a cada um dos sistemas dinâmicos abaixo mostrados? Utilize ferramentas de análise matemática de sistemas não lineares para estudar os sistemas. Justifique a sua resposta para cada caso. (i) \(\begin{cases}\dot{x} = x\left(x^2+y^2-1\right)-y \\\dot{y} = y\left(x^2+y^2-1\right)+x \end{cases} \) (ii) \(\begin{cases}\dot{x} = y\\\dot{y}=x-y-x^3\end{cases} \) (iii) \(\begin{cases}\dot{x}=\left(y+\frac{x}{5}\right)\left(1-x^2\right)\\\dot{y} = -x\left(1-y^2\right)^2\end{cases} \) (iv) \(\begin{cases}\dot{x} = 0.4\left(1-x+2y\right)x\\\dot{y} = 0.6\left(1-y+0.3x\right)y \end{cases} \) A B C D Exercício 2. Considere o seguinte sistema dinâmico \[ \frac{dN}{dt} = r\,N\left( \frac{N}{k_0}-1 \right) \left(1-\frac{N}{k}\right) - q\,N \tag{1} \] que representa simplificadamente a dinâmica de uma população de peixes \((N)\) em um ambiente marinho, por exemplo “tainhas” no litoral de Santa Catarina, sujeita ação de uma pesca controlada modelada pelo termo: \(q\,N\) que representa a mortalidade de peixes devida à pesca, onde \(q>0\) é um parâmetro que mede a capacidade de captura de peixes, \(r>0\) é a taxa intrínseca de crescimento da população (nascimento – morte de peixes), \(k\) é capacidade de carga do sistema (máxima população de peixes que o sistema comporta) e \( k_0 < k \) representa um limiar da população de peixes a partir do qual a espécie cresce até alcançar a máxima capacidade de carga \(k\) do sistema. \(\begin{align*}\text{a) }&\text{Determine todos os equilíbrios do sistema considerando que está livre da ação predatória humana (período de proibição de pesca) i.e. } q=0. \text{ Classifique os equilíbrios encontrados de acordo a sua estabilidade.}\\\text{b) }&\text{Considere que existe uma ação de pesca (início da temporada de pesca) i.e. } q>0. \text{ Determine os novos equilíbrios do sistema.}\\\text{c) }&\text{Analise se o sistema apresenta bifurcações ao variar o parâmetro } q, \text{ ação de pesca. Um diagrama no plano } (N, dN/dt) \text{ da equação (1), considerando o termo } q\,N \text{ ao variar o parâmetro } q \text{ ajudará a deduzir graficamente os equilíbrios e as possíveis bifurcações. Para tal pode assumir que: } r=2, k=10, k_0=1.}\\\text{d) }&\text{Esboce o diagrama de bifurcações do sistema para o parâmetro } q \text{ e interprete os resultados da ação da pesca humana sobre a espécie de peixes considerada. Que aconteceria no sistema se existe uma excessiva pesca predatória? Qual é o valor crítico do parâmetro } q \text{ a partir do qual o sistema colapsa? Qual deveria ser a faixa de valores do parâmetro } q \text{ para garantir uma pesca sustentável?} \end{align*} Exercício 3. Um processo térmico é representado pelo seguinte modelo matemático simplificado: \[ \frac{dT}{dt} = f\left(T, \mu\right) = \mu+ T^3-T \] onde \(\mu\) é um parâmetro do sistema e \(T\) é a temperatura do processo. A função \(f(T)\) para \(\mu=0\) é apresentada na figura abaixo: a) Para \(\mu=0\), determine todos os pontos de equilíbrio do sistema e a sua estabilidade. b) Para que condições iniciais de temperatura \(T(0)\), a temperatura ficará limitada? Explique. c) Analise o comportamento dinâmico do sistema quando de variações do parâmetro \(\mu\) (valores positivos e negativos). Explique que sucede com os equilíbrios do sistema ao variar o valor do parâmetro \(\mu\). Para entender melhor o comportamento dinâmico do sistema faça um diagrama que mostre a variação dos equilíbrios em função do parâmetro \(\mu\) (diagrama de bifurcações). d) Que classe de bifurcações podem aparecer no sistema ao variar o parâmetro \(\mu\). Exercício 4. Um gerador elétrico (máquina síncrona) conectado a uma rede elétrica (grid) pode ser modelado de forma simplificada através das equações da dinâmica do rotor do gerador: \[ J \frac{d^2\delta}{dt^2} = P_m-P_e=P_m-\frac{EV}{X}\sin \delta-D\omega \] \[ \frac{d\delta}{dt}=\omega \] onde \(\delta\) é o ângulo de fase entre \(V\) e \(E\) sendo \(V\) a tensão da rede e \(E\) a tensão do gerador; \(\omega\) representa a velocidade de rotação da máquina; \(P_m\) é a potencia mecânica; \(P_e\) é a potencia elétrica; \(X\) é a reatância da linha; \(J\) e \(D\) são, respectivamente, o momento de inércia e fator de amortecimento do gerador. O parâmetro \(a = \frac{P_{max}}{P_m} = \frac{EV}{X P_m}\) é definido como a relação entre a potência máxima \((P_{max})\) e a potência mecânica \((P_m)\). \begin{align*} a) &\; \text{Analise os equilíbrios deste sistema determinando a sua estabilidade. Para facilitar os cálculos redefina o sistema em função do parâmetro } a.\\ b) &\; \text{Em função da análise anterior trace um diagrama de bifurcações para o parâmetro } a \text{ que permita entender o comportamento dinâmico do sistema. Qual é o tipo de bifurcação que acontece no sistema? } Explique. \end{align*} Exercício 5. O modelo matemático simplificado de um sistema utilizado em biologia para representar a dinâmica de um sistema biestável é representado pela seguinte equação não linear \[ \dot{x} = f(x, u) = x-x^3+\mu \] com \(x(t)\) a variável de excitação do sistema. \begin{align*} a) &\; \text{Para } \mu=0, \text{ determine todos os pontos de equilíbrio do sistema e a sua estabilidade.} \\ b) &\; \text{Em função das condições iniciais } x(0), \text{ explique por que o sistema é biestável? Explique utilizando os seguintes diagramas: (i) dos equilíbrios no plano } (x, f(x)); \text{ e (ii) no domínio do tempo } (t, x(t)), \text{ mostrando todos os equilíbrios e a sua região de atração.} \\ c) &\; \text{Analise o comportamento dinâmico do sistema quando varia o parâmetro } \mu, -1<\mu<1. \text{ Explique que sucede com os equilíbrios do sistema ao variar o valor de } \mu. \\ d) &\; \text{Esboce o diagrama de bifurcações considerando } \mu \text{ como sendo o parâmetro de bifurcação e indique no diagrama as possíveis bifurcações do sistema.} \end{align*} Exercício 6. Uma bolinha de massa \(m\) move-se ao longo de um fio circular de raio \(r\), que gira com velocidade angular \(\omega\) constante em torno do eixo vertical de simetria, como mostrado na Figura abaixo. Esse eixo é paralelo à aceleração da gravidade \(g\). Deseja-se controlar a posição da bolinha variando \( \omega \). O ângulo \( \theta \) expressa a posição da bolinha com relação ao ponto “mais baixo” do fio, tomado como \( \theta = 0 \). No ponto “mais alto”, tem-se \( \theta = \pi \). Sendo \( b \) o coeficiente de atrito entre a bolinha e o fio, a equação que governa a variação de \( \theta \) é dada por \[ \ddot{\theta} = \sen \theta \left( a \cos \theta - 1 \right) - b \dot{\theta} \] \[ a = \frac{r \omega^2}{g} \] onde a) Encontre o modelo por espaço de estados. Analise os equilíbrios do sistema e a sua estabilidade. b) Para variação do parâmetro \( a \) (parâmetro de bifurcação) trace o diagrama de bifurcação. Explique que tipo de bifurcação apresenta o sistema ao variar este parâmetro. c) Represente os diagramas de espaço de estado, no plano \((x_1,x_2)\) para 2 valores diferentes do parâmetro \( a \) (para \( a<1 \) e para \( a>1 \)). Explique. Dicas: 1. Considere que o ângulo \( \theta \) está definido entre \(-\pi < \theta < \pi \). 2. Utilize as seguintes identidades trigonométricas para estudar a estabilidade dos equilíbrios. Lembrando que \(-1< \cos x <1\). \[ \cos(2x) = 2 \cos^2 x - 1 \] \[ \sen(2x) = 2 \sen x \cos x \] Exercício 7. A seguinte equação diferencial não linear representa muito simplificadamente a dinâmica de um LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) de He-Ne (hélio-neón) (vide após a prova explicação da obtenção do modelo no livro de Sistemas Dinâmicos, Monteiro, pp. 322-325) \[ \dot{x} = \left( \mu - a \right)x - bx^2 \] once \( x > 0 \) representa o número de fótons coerentes do LASER, a constante \( a > 0 \) relaciona-se com o tempo de vida típico de um fóton coerente na região do meio ativo e o parâmetro \( \mu > 0 \) representa, de forma proporcional, o número crítico de fótons excitados acima do qual existe emissão estimulada de fótons coerentes. Considere o parâmetro \( b >0 \). a) Analise o sistema quando de variação do parâmetro \( \mu \). b) Trace o diagrama de bifurcações considerando o parâmetro \( \mu \) como sendo o parâmetro de bifurcação. Explique. Exercício 8. Para o sistema \[ \dot{x} = y \] \[ \dot{y} = \left[(x+1)^2 - \mu + y\right]\left[(x-1)^2 + \mu + y\right] \] a) Mostre que tem 2 equilíbrios para todo valor do parâmetro \( \mu \). b) Que bifurcações tem lugar para \( \mu=0 \)? Explique mediante um diagrama de bifurcações. c) Explique qual é a diferença entre um equilíbrio hiperbólico e um não-hiperbólico. Quais são as consequências para a análise de estabilidade dos equilíbrios do sistema não linear? Enuncie o Teorema de Hartman-Grobman. Exercício 9. Considere o seguinte sistema a) Determine o modelo por variáveis de estado do sistema da figura acima mostrada, sendo \( y(t) \) a saída e \( u(t) \) a entrada do sistema. b) Supondo \( u=0 \), encontre todos os equilíbrios do sistema. c) Classifique os equilíbrios encontrados de acordo a sua estabilidade. d) Esboce o diagrama de espaço de estado do sistema indicando os pontos de equilíbrio e as trajetórias próximas aos equilíbrios. e) Explique qual é a diferença entre um equilíbrio hiperbólico e um não-hiperbólico. Quais são as consequências para a análise de estabilidade dos equilíbrios do sistema não linear? Exercício 10. O modelo matemático simplificado de um sistema térmico é representado pela seguinte equação não linear cujo espaço de estados é de dimensão 1, \[ \dot{x} = f(x,u) = x(x-1)(2-x) + u \] \[ y = x \] com \( y(t) \) sendo a temperatura de saída do processo. A função \( f(x,u) \) para o valor da entrada \( u=0 \) é mostrada na figura abaixo. a) Para \( u(t)=0 \), determine todos os pontos de equilíbrio do sistema e a sua estabilidade. b) Faça um diagrama de \( y(t) \) em função do tempo \( t \) mostrando as trajetórias do sistema. Para que condições iniciais \( x(0) \), a saída do sistema tenderá a \( x=2 \)? Explique. c) Construa um diagrama de bifurcações considerando a entrada \( u(t) \) como sendo um parâmetro de bifurcação. d) Para que valores da entrada \( u(t) \), o sistema apresentará somente 1 equilíbrio. Explique. Exercício 11. Analise o seguinte sistema dado em coordenadas polares \((r, \theta)\) \[ \dot{r} = r \left( \lambda + 2r^2 - r^4 \right) \] \[ \dot{\theta} = 1 \] d) Para variação do parâmetro \( \lambda \) trace o diagrama de bifurcações. Explique que tipo de bifurcações apresenta o sistema ao variar este parâmetro. e) Aplicando a seguinte mudança de variáveis \[ x = r \cos \theta \] \[ y = r \sen \theta \] Represente os diagramas de espaço de estado, no plano \((x,y)\), para 3 valores diferentes do parâmetro \( \lambda \). Explique. Exercício 12. Em um dado processo industrial, uma das malhas de controle de temperatura tem um controlador do tipo liga-desliga. A malha de controle apresenta um ganho k e um relé de amplitude unitária conforme se mostra na figura abaixo A partir da análise da temperatura medida você detectou um ciclo limite na resposta de saída. A partir do traçado do diagrama polar de G(jw) obteve-se os seguintes pontos: K G(0 j) = 2 ; K G(0.707 j) = -5.65 j ; K G(j) = -2 Determine o valor aproximado da amplitude e da frequência do ciclo limite. Faça um esboço do diagrama polar ou de Nyquist. Explique. Exercício 13. Considere o seguinte sistema de controle realimentado ẋ1 = x2 ẋ2 = -2x1 - 5x2 + φ(x3) ẋ3 = k (yr - x1) φ(x3) = x3³/3 y(t) = x1 ; k > 0 a) Represente o sistema mediante um diagrama de blocos. b) Determine os equilíbrios do sistema e a sua estabilidade. c) Analise o sistema quando da variação do sinal de referência yr. Para simplificar suponha k=1. d) Esboce o diagrama de bifurcações para o sistema considerando yr como parâmetro de bifurcação, variando yr no intervalo [-2, 2]. Indique no diagrama as bifurcações que possa encontrar. Caso detecte a presença de uma bifurcação de Hopf assuma que esta é supercrítica (gera um ciclo limite estável). Explique. Exercício 14. Analise o sistema anterior utilizando o método da função descritiva. Considere a referência do sistema yr = 0. Calcule a função descritiva da não linearidade φ(x3) = x3³/3 sabendo que ∫0²π sin(ωt)⁴dt = 3π/4 Lembrar que para funções impares o coeficiente A1=0 na serie de Fourier e que B1 = 1/π ∫0²π φ(Asin(ωt)) sin(ωt)dωt a) Determine se existe um ciclo limite a partir do diagrama de Nyquist. Esboce o diagrama de Nyquist indicando cada uma das funções. b) Determine a amplitude e frequência do ciclo limite. Exercício 15. Considere o seguinte sistema realimentado (vide figura abaixo) representando um motor CC cuja função de transferência é G(s) = 4/s(s+1)(s+2) Este sistema é controlado por um controlador proporcional com ganho k e apresenta uma função não linear estática com amplitude unitária e zona morta (-h, h), cuja função é definida como segue: φ(u) = { 1 u > h 0 -h < u < h -1 u < -h sendo sua função descritiva dada por: N(A) = { 0 A < h 4/πA √1-h²/A² A ≥ h A* = √2 h para se ter N(A*)max = 2/π h a) Analise a possibilidade da existência de ciclos limites no sistema aplicando o método da função descritiva. Considere inicialmente que a referência yr(t)=0. b) Esboce o diagrama de Nyquist mostrando o lugar geométrico das funções da planta e da inversa da função descritiva da não linearidade. Quantos ciclos limites podem existir. Explique. c) Considere h=1. Para que faixa de valores do parâmetro k existirá um ciclo limite estável? d) Para h=1 e k=50 determine a amplitude (Ac) e a frequência (wc) do ciclo limite. e) É possível escolher o parâmetro h de forma que o sistema em malha fechada NÃO apresente oscilações (ciclos limites), quando da análise realizada com o método da função descritiva. f) Analise que sucede com a resposta do sistema quando varia a referencia yr(t). Para isto, determine os equilíbrios do sistema em malha fechada. Utilize a representação por variáveis de estado do sistema em malha fechada sendo a saída do sistema y(t)=x1(t). Exercício 16. O controle da potência de saída x(t) de um telefone celular é crítico para se ter um bom desempenho do sistema. Não se deseja usar uma potência muito grande, já que outros canais são afetados e a duração da bateria diminui. Para isto, as informações sobre a potência recebida são enviadas de volta para o transmissor e são usadas para controlar a potência. Um esquema simples é cujo modelo é: dx/dt = α u(t) ẏ = −sign[y(t−L)], α, β > 0 y(t) = β x(t) onde os sinais foram transformados de modo que x = 0 corresponde à potência de saída nominal e a função sign corresponde a um relé de amplitude unitária (M=1). Use uma função descritiva para prever a amplitude e a frequência do possível ciclo limite na variável y(t). a) Determine as expressões matematicas que permitem calcular a frequência e a amplitude critica em função dos parâmetros: α, β, L. b) Esboce o diagrama polar do sistema mostrando a função G(jw) e a inversa da função descritiva do relé. Para tal assuma que α = β = L =1. Explique. Dica: representar G(jw) com módulo e fase facilita muito os cálculos. Exercício 17. Provar que o seguinte sistema dinâmico ẋ1 = x2 (1 + x1³) ẋ2 = −3x1 - 3x1⁴ - x2³ tem um ponto de equilíbrio em (0,0) e que este equilíbrio é assintoticamente estável. Para tal utilize a seguinte função candidata de Lyapunov V = 0.5 (a x1² + b x2²) podendo escolher os valores dos parâmetros a e b. A estabilidade do equilíbrio (0, 0) é LOCAL ou GLOBAL?. Justifique a sua resposta. Dica: estudar os equilíbrios do sistema. Exercício 18. Seja o seguinte sistema dinâmico \( \dot{x} = y \) \( \dot{y} = -x^3 - y(4 - x^2 - 4y^2) \) e) Determine todos os equilíbrios deste sistema e a sua estabilidade. Se for preciso utilize a seguinte função de Lyapunov candidata: \( V(x,y) = \frac{(y - \bar{y})^2}{2} + \frac{(x - \bar{x})^4}{4} \) representando (x, y) o equilíbrio considerado. f) Faça um esboço do diagrama de espaço de estados mostrando a região de atração do equilíbrio (0, 0). Exercício 19. Um oscilador pode ser construído mediante a interconexão de um sistema de primeira ordem linear com um tempo de atraso L e um relé, vide figura abaixo. O sistema linear é \( G(s) = \frac{k e^{-Ls}}{s+1} \) e a função \(\varphi(.)\) é um relé com amplitude 1, i.e. \(\varphi(x) = sgn(x)\). a) Determine as expressões matemáticas gerais que permitem calcular a frequência e a amplitude crítica do oscilador em função dos parâmetros k e L. b) Esboce o diagrama polar do sistema mostrando a função \(G(jw)\) e a inversa da função descritiva do relé. Explique. c) Deseja-se ter uma oscilação de amplitude = 5 volts e frequência = 20Hz. Determine os valores de K e L para obter este sinal na saída do oscilador. Dica: representar \(G(jw)\) com módulo e fase. Também pode utilizar a seguinte identidade \(e^{-j\omega L} = \cos(\omega L) - j\sin(\omega L)\) Exercício 20. Analise o seguinte sistema (equação de Rayleigh): \(\ddot{\theta} + \dot{\theta}(\dot{\theta}^2 - \mu) + \theta = 0\) a) Estudando os autovalores da matriz jacobiana do sistema calculada no ponto de equilíbrio, mostre que este sistema sofre uma bifurcação de Hopf para \(\mu_c = 0\). b) Faça o diagrama de bifurcações para o parâmetro \(\mu\). c) Esboce o diagrama de espaço de estado para três valores do parâmetro \(\mu\): i) \(\mu < \mu_c\); ii) \(\mu = \mu_c\); iii) \(\mu > \mu_c\) Exercício 21. O circuito abaixo é utilizado para ativar um arco elétrico (A) cuja característica tensão-corrente \(Va(I)\) é mostrada na figura abaixo. As variáveis de estado são \(x(t) = I\) e \(y(t) = V\). Para simplificar a análise, suponha que: \(E = 100; V_a(I)_{max} = 100\) (valor máximo da curva). Equações do sistema: \(L \dot{x} = y - V_a(x)\) \(C \dot{y} = \frac{E-y}{R} - x\) a) Para o caso que R = 1Ω. Determine os equilíbrios e as condições para operação estável em um dos pontos equilíbrios do sistema. b) Mostre os equilíbrios do sistema sobre o gráfico \(V_a(I)\). c) Analise as possíveis bifurcações ao variar o valor da resistência R. d) Faça um diagrama de bifurcações para o parâmetro R. Exercício 22. O modelo matemático de um dado sistema é representado pela seguinte equação não linear \( \dot{x} = f(x, \alpha, \mu) = \alpha + \mu x - x^3 \) sendo \(\alpha, \mu\) dois parâmetros do sistema. Os dois diagramas abaixo foram construídos após fazer uma análise matemática do sistema e permitem compreender o comportamento dinâmico do sistema ao variar os parâmetros \(\alpha, \mu\). a) Explique o comportamento deste sistema dinâmico ao variar os parâmetros \(\alpha, \mu\). Para isto, determine os pontos de equilíbrio do sistema e analise a sua estabilidade, ao variar os parâmetros do sistema. b) Que tipos de bifurcações aparecem no sistema ao variar os parâmetros \(\alpha, \mu\)? Dica: Para determinar os equilíbrios do sistema considere as funções: \(y_1 = \mu x - x^3 \); \(y_2 = -\alpha\) e resolva o problema de forma gráfica. Exercício 23. Um circuito PLL - Phase Locked Loop, traduzido como malha de sincronismo de fase, é um dos blocos construtivos de um receptor de rádio. Também é um circuito muito utilizado na sincronização de relógios em redes de telecomunicações. A figura abaixo mostra um diagrama de blocos simplificado deste sistema onde \(F(s)\) representa a função de transferência de um filtro. A função do PLL consiste em sincronizar a fase do sinal de saída \(\theta_o\) com a fase do sinal de entrada \(\theta_i\), de forma que o erro de fase seja constante \(\psi = \theta_i - \theta_o\), i.e. \(d\psi/dt = d\theta_i/dt - d\theta_o/dt = 0\). a) Um PLL de 1ª ordem utiliza uma função \(F(s) = k\), com \(k > 0\). Considerando o erro de fase \(\psi\) como uma variável de estado, derive a equação diferencial para \(\psi\). b) Quando recebemos um sinal com o rádio, um sinal tipo rampa é aplicado na entrada \(\theta_i = \gamma t\). Determine para este caso os equilíbrios do sistema e a sua estabilidade. Trace o diagrama de bifurcações. ções considerando γ/k como parâmetro de bifurcação. Qual é o maior valor de γ > 0 para que existam equilíbrios de erro ψ. c) Um PLL de 2ª ordem pode ser implementado mudando o filtro F(s) para F(s) = \frac{k}{s + a}, \quad k, a > 0 Derive as equações do sistema, considerando que x_1 = ψ, x_2= dψ/dt, e prove utilizando a função candidata de Lyapunov com P > 0, que o equilíbrio é estável. V(x_1, x_2) = 1 - \cos(x_1) + \frac{1}{2} Px_2^2 Exercício 24. Investigue a estabilidade do seguinte sistema dinâmico aplicando o método da função de Lyapunov para o equilíbrio (x, y) = (0, 0). \dot{x} = -x(1-x^2)(1-y^2) \dot{y} = -y(1-x^2)(1-y^2) Utilize uma função de Lyapunov quadrática. Indique qual é o tipo de estabilidade (estável, assintoticamente estável, local ou global). Explique. Exercício 25. Mostre que o equilíbrio (0, 0) do sistema dinâmico \dot{x}_1=\mu x_1 - x_2 + x_1 x_2^2 \dot{x}_2=x_1 + \mu x_2 + x_2^3 apresenta uma bifurcação de Hopf para \mu=0. Para tal faça uma mudança de variáveis para coordenadas polares e estude o sistema nestas novas variáveis de estado. Complete a questão com simulações realizadas no Matlab / Simulink / pplane9. Explique. Justifique. Exercício 26. O método de sintonia automática de Ziegler-Nichols para controladores PID, baseado na resposta em frequência do sistema, consiste basicamente em colocar um elemento não-linear (relé com o sem histerese) no lugar do controlador PID (vide figura abaixo), para que o sistema, em malha fechada, apresente uma resposta oscilatória (ciclo limite). Assuma que M=1 na função descritiva do relé. A partir da frequência de oscilação \omega_c = \frac{2 \pi}{T_{osc}} e do ganho K_{osc} = N(Ac), onde \omega_c e Ac são a frequência crítica e a amplitude critica, respectivamente, da oscilação na entrada do relé, podem ser determinados os parâmetros do controlador PID utilizando as seguintes fórmulas: Parâmetro | Valor --- | --- K | 0.6 Kosc Ti | 0.5 Tosc Td | 0.125 Tosc a) Determine os parâmetros do controlador PID para o processo modelado pela seguinte função de transferência: G(s) = \frac{10}{s^3 + 2s^2 + s} b) Esboce o diagrama polar mostrando o lugar geométrico das funções G(jω) e da função descritiva da não linearidade. c) Aplique o método ao sistema anterior sem integrador? Caso não for possível, qual a mudança a ser realizada para adaptá-lo a este novo caso. Justifique.