Lista 2-2022 1

onde θ representa o ângulo entre o pêndulo e a vertical. O sinal de controle u(t) é a aceleração do pivô. Utilizando a função de energia E = cos θ - 1 + \frac{1}{2}\dot{θ}^2 e a seguinte função candidata de Lyapunov V(θ,\dot{θ}) = \frac{1}{2}(E - E_0)^2 provar que a lei de controle u(t) = -k(E - E_0)\dot{θ} cos θ com E_0(0,0) sendo a energia do pêndulo na posição vertical, provoca o balanço do pêndulo ("swing-up") até chegar à posição vertical. Faça um esboço do diagrama de espaço de estados do sistema em malha fechada com a lei de controle proposta. Exercício 6. Na figura abaixo se mostra um sistema massa-mola cujo modelo é dado por m \ddot{x} + c(\dot{x}) + k(x) = u(t) onde y = x é o deslocamento da massa m; c(\dot{x}) = b sign(\dot{x}) o termo de atrito (atrito de Coulomb), e k(x) = k x^3 é a característica não linear da mola com k sendo a constante da mola. Para este sistema: a) projetar uma lei de controle por realimentação linearizante baseada no modelo do sistema para manter o sistema criticamente amortecido com \omega_n = 1, \xi = 0.707. b) Fazer um diagrama de blocos do sistema de controle resultante. c) Projetar uma lei de controle baseada na seguinte função candidata de Lyapunov V(x,\dot{x}) = \frac{1}{4} k x^4 + \frac{1}{2} m \dot{x}^2 para estabilizar o sistema no equilíbrio (0,0). Exercício 7. Seja o sistema não linear abaixo mostrado cuja saída é y = z_1. \dot{z_1} = z_2 \dot{z_2} = -z_1 - 2z_2 + z_3^3 \dot{z_3} = u a) Projete um controlador utilizando o método da linearização por realimentação entrada / saída. b) Para o sistema linearizado por realimentação, projete um controlador pelo método estudado em sala de aula e que permita o seguimento de referências com erro nulo. c) Escreva as equações que permitem que as restrições de saturação sobre o sinal de controle u(t) podem ser transferidas para o controle v(t) que atua sobre o sistema já linearizado. Explique que se entende por dinâmica interna do sistema controlado por este método e por que deve ser estudada a sua estabilidade Exercício 8. Considere o seguinte sistema dinâmico \dot{x_1} = x_2 \dot{x_2} = -x_2 + 2x_1^2 - 2 sign(x_1 + x_2) + u(t) a) Para u(t)=0, estude a dinâmica do sistema resultante. Faça em Esboço do diagrama de estados do sistema mostrando superfície de comutação, região de deslizamento atrativa, equilíbrios dos campos vetoriais, pseudo-equilíbrios, etc. b) Utilizando uma função de Lyapunov candidata, dada por V(x_1, x_2) = \frac{1}{2} h(x_1, x_2)^2 \ \ \ \ \ s e n d o \ \ h = x_1 + x_2 projete uma lei de controle u=u(x_1, x_2) para que o equilíbrio (0, 0) do sistema seja Globalmente Assintoticamente Estável (GAE). Faça um esboço do dia A figura acima mostra também que o barco sem o controle exercido pelo leme, logicamente, não pode seguir o curso fixado. Para poder seguir a direção fixada do barco se utiliza uma lei de controle por modos deslizantes (piloto automático de duas posições) considerando u(t) = M(\psi) como a ação de controle realizada através do leme do barco, dada por u(t) = \begin{cases} M_0 = 1 &se \ \ h > 0 \\ M_0 = -1 &se \ \ h < 0 \end{cases}\ h = k_p(\psi_r - \phi) - k_d\dot{\phi} e) Obtenha o modelo por equações de estado do sistema. Explique como funciona o sistema com a lei de controle proposta. Para simplificar assuma que o momento de inércia I = 1. f) Analise a dinâmica do sistema resumindo os resultados obtidos através de um diagrama de espaço de estados mostrando todos os elementos geométricos previamente calculados (superfície de deslizamento, região de deslizamento, pseudo-equilíbrio). Considere para tal que k_p = 1 , k_d = 1. Explique qual será a dinâmica do sistema com esta lei de controle. Prove que o pseudo-equilíbrio do sistema é estável. Explique. g) Analise a dinâmica do sistema se k_p = 1 , k_d = 0. Esboce o diagrama de espaço de estados para este caso. h) Analise a dinâmica do sistema se k_p = 1 , k_d = -1. Esboce o diagrama de espaço de estados para este caso. i) Explicar como se pode limitar a frequência de comutação da ação de controle e como mitigar o efeito do "chattering" gerado pela ação de controle. Exercício 5. Um pêndulo invertido pode ser utilizado para modelar de forma simplificada sistemas dinâmicos onde se deseja manter o sistema em equilíbrio na posição vertical (exemplo foguete mostrado na fig. (a). Considere o pêndulo invertido mostrado na figura (b), cujo modelo é representado pela equação \ddot{θ} = sin θ + u(t) \cos θ grama de estados para o sistema controlado com a lei de controle projetada. Justifique a sua resposta. Exercício 9. O modelo simplificado (não considera as perdas de carga do fluxo de ar no tubo, o regime do fluxo é não turbulento e a força de arrasto somente depende do quadrado da diferença das velocidades do fluxo de ar e da bola) de um sistema de levitação por ar cujo esquema é representado na figura é dado pelas equações m\Ddot{z}=F_a-mg\hspace{1mm}(1) mi\Ddot{z}=\frac{1}{2}C_d\rho A(V_w-\dot{z})^2-mg\hspace{1mm}(2) onde F_a a força de arrasto, V_w a velocidade do ar dentro do tubo, m é a massa da bola do sistema, z(t)\geq0 representa a posição vertical da bola, \rho a densidade do ar, A a área da seção transversal da bola, g a aceleração da gravidade, C_d o coeficiente de arrastro. Definindo α=\frac{1}{2}C_d\rho A e assumindo que V_w=k u(t) com k=1 e u(t)\geq0 é a ação de controle atuando para regular a velocidade do ventilador na base do tubo, o modelo do sistema é \dot{z}=\frac{\alpha}{m}(u-\dot{z})^2-g\hspace{1mm}(3) Análise da dinâmica do sistema: a) Considerando a energia do sistema (1) como sendo a soma da energia cinética + a energia potencial E = Ec + Ep = \frac{1}{2} m \dot{z}^2 + m g z, deduzir e validar as equações dinâmicas do sistema a partir do Lagrangiano do sistema L = Ec – Ep e das equações de Euler-Lagrange \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial {L}}{\partial\dot{z}}\right)-\frac{\partial L}{\partial z}=F. b) Obtenha a representação por equações de estado do modelo do sistema (2) e faça o diagrama de blocos do mesmo. Analise a estrutura deste diagrama para poder estudar a dinâmica do sistema. c) Estude os equilíbrios do sistema e a sua estabilidade. Explique que sucede com a posição e a velocidade da bola na condição de equilíbrio. Esboce o diagrama de espaço de estados das variáveis do sistema posição e velocidade. Justifique as suas respostas. Exercício 10. Para o sistema do exercício 9, projetar uma lei de controle por realimentação linearizante a) Para o sistema anterior (equação (3)), projetar um controlador pelo método da realimentação linearizante de saída, considerando a saída a posição da bola, i.e. z=x_1. b) Para o sistema linearizado por realimentação, projete um controlador por realimentação de estados que permita alocar os polos de malha fechada em λ1=λ2=-2. c) Indique como se estuda a estabilidade do sistema após projetar a lei de controle por realimentação linearizante. Qual é o grau relativo do sistema? d) Que acontece se o parâmetro M (massa da bola) varia e não é cancelado exatamente através da lei de controle? Quais são as possíveis soluções para este problema? Exercício 12. Para o sistema do exercício 9, projetar uma lei de controle baseado na seguinte função de Lyapunov dos estados do sistema V(x_1,x_2)=\frac{1}{2}(k_1(x_{1r}-x_1)^2-k_2x_2^2) Baseado nesta função projete um controlador que estabilize o sistema no ponto de operação (x_{1r}, 0). Assuma que k_1,k_2>0. Pode utilizar qualquer lei de controle que garanta a estabilidade do equilíbrio (ponto de operação (x_{1r}, 0), sendo x_{1r} é a referência de posição que se deseja seguir). Exercício 13. Para o sistema do exercício 9, projetar uma lei de controle baseado em função de Lyapunov utilizando a função de energia do sistema A lei de controle pode ser projetada utilizando a função de energia E=E_c+E_p do sistema como função de Lyapunov, de forma que garanta a estabilidade do equilíbrio (ponto de operação (x_{1r}, 0), sendo x_{1r} é a referência de posição). Para tal determine o valor da energia no ponto de operação. Existe algum problema na implementação desta lei de controle? Exercício 14. O modelo simplificado de um sistema de levitação magnética cujo esquema é representado na figura 1, é dado pelas equações d^2y/dt^2=mg-k\left(\frac{i}{y}\right)^2\hspace{1mm}(1) L\hspace{1mm}\frac{di}{dt}=v-Ri\hspace{1mm}(2) onde a equação (1) representa a dinâmica da parte mecânica e (2) a dinâmica da parte elétrica do sistema, k=0.5L0y0 é uma constante, m é a massa da bola do sistema, y(t)\geq0 representa a posição vertical da bola, mg a força de gravidade, F a força eletromagnética criada pela bobina com indutância L e resistência R. i(t) é a corrente do circuito elétrico, v(t) é a tensão de entrada do circuito elétrico e e é a ação de controle atuando para regular a corrente na bobina e portanto a força eletromagnética. Análise da dinâmica do sistema a) Obtenha a representação por equações de estado do modelo do sistema (1-2) e faça o diagrama de blocos do mesmo. Analise a estrutura deste diagrama para poder estudar a dinâmica do sistema. b) Assumindo que a dinâmica da parte elétrica é muito rápida comparada com a dinâmica da parte mecânica do sistema, i.e. que pode ser desprezada (di/dt=0). Obtenha um novo sistema em duas dimensões. c) Estude os equilíbrios do sistema reduzido e a sua estabilidade. Explique que sucede com a posição e a velocidade da bola na condição de equilíbrio. Esboce o diagrama de espaço de estados somente para as variáveis do sistema posição e velocidade. Justifique as suas respostas. Exercício 15. Para o sistema do exercício 14, projetar um controlador por realimentação linearizante: a) Para o sistema reduzido, projetar um controlador pelo método da realimentação linearizante de saída, considerando a saída a posição da bola, i.e. 𝑦=𝑥_1. b) Para o sistema linearizado por realimentação, projete um controlador por realimentação de estados que permita alocar os polos de malha fechada em λ1=λ2=-0.1. c) Indique como se estuda a estabilidade do sistema após projetar a lei de controle por realimentação linearizante. Qual é o grau relativo do sistema? c) Que acontece se o parâmetro 𝑚 (massa da bola) varia e não é cancelado exatamente através da lei de controle ? Quais são as possíveis soluções para este problema? Exercício 17. Para o sistema do exercício 14, projetar um controlador baseado em função de Lyapunov utilizando a função de energia do sistema Projete uma lei de controle utilizando a seguinte função de energia do sistema E = 1/2 𝑚𝑦˙^2 + m𝑔 (𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦) para o sistema reduzido. Para isto considere a seguinte função de Lyapunov 𝑉 = 1/2 (𝐸 − 𝐸_0)^2 sendo 𝐸_0 a energia no ponto de equilíbrio (ponto de operação do sistema), que garanta a estabilidade do equilíbrio (ponto de operação (𝑦1r=𝑥1r, 0), sendo 𝑥𝑟 é a referência de posição). Exercício 18. O modelo matemático simplificado de um pêndulo invertido controlado através do pivô é dado por 𝜑¨ = 𝜔0^2 𝑠𝑒𝑛 𝜑 − 𝜔0^2/𝑔 𝑢(𝑡) 𝑐𝑜𝑠𝜑 sendo 𝜑(𝑡) a posição angular do pêndulo medida desde a vertical (𝜑=0), 𝑢(𝑡) é o controle, 𝜔0 =𝑔/𝑙 é a frequência natural do pêndulo e g é a aceleração da gravidade. A energia total do sistema é dada pela soma da energia potencial mais a energia cinética. 𝐸(𝜑,𝜑˙)=𝑐𝑜𝑠𝜑−1+ 1/2𝜔0^2 𝜑˙^2 a) Utilizando a seguinte função de Lyapunov 𝑉(𝜑,𝜑˙)=0.5 (𝐸−𝐸_0)^2 prove que a lei de controle 𝑢(𝑡)=𝑘 (𝐸−𝐸_0) 𝜑˙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 sendo 𝑘 > 0 um parâmetro de controle e 𝐸(0,0)=𝐸_0 = 0 a energia do sistema na posição vertical, força o pêndulo a subir partindo da posição inferior, oscilando ao redor de 𝜑 = 𝜋, como se fosse um “balanço de criança”, fazendo que a energia do sistema seja 𝐸=𝐸_0, em 𝜑 = 0. b) Que sucede quando o pêndulo alcança a posição vertical controlado com a lei anterior? Para tal substitua a lei de controle nas equações do modelo do pêndulo e analise o sistema resultante (equilíbrios, estabilidade). Faça um diagrama de espaço de estados para explicar. Exercício 20. Seja o seguinte sistema não linear 𝑥˙1= −𝑥1^3 −𝑥2 𝑥˙2 = −𝑥1 − 𝑥2^3 + 𝑢(𝑡) 𝑦 = 𝑥1 a) Projete um controlador utilizando o método por realimentação linearizante de saída. b) Para o sistema linearizado por realimentação, projete um controlador que permita o seguimento de referências com erro nulo, alocando os polos da equação característica em λ1=-1, λ2=-1, λ3=-2. c) Projete uma lei de controle utilizando o método de estrutura variável baseado em funções de Lyapunov. Considere para tal que a função de Lyapunov e a superfície de comutação são V(x_1,x_2) = \frac{1}{2} h(x_1,x_2)^2 h = k_1(y_r - x_1) - k_2 x_2 \quad onde \quad k_1,k_2 >0 sendo y_r é a referencia que se deseja seguir. Explique detalhadamente como se calcula a lei de controle. Exercício 21. Considere a equação de Van der Pol \ddot{z} + \left( z^2 - 1 \right) \dot{z} + z = u(t) onde u(t) é a variável de controle e y(t)=z(t) é a variável controlada. a) Usando a seguinte função de Lyapunov V(z, \dot{z}) = 0.5 \left( z^2 + \dot{z}^2 \right) projete uma lei de controle que estabilize o sistema no equilíbrio (0, 0). Explique. b) Para o mesmo sistema, projete uma lei de controle por realimentação de estados, tal que o sistema em malha fechada se comporte como um sistema de 2^a ordem apresentando um sobremissal máximo Mp < 20% e um tempo de estabelecimento t_s(5%) < 1 segundo. Exercício 22. Deseja-se controlar o nível de um tanque cônico com o vértice para baixo, com H = 10m de altura e diâmetro na parte superior de D = 6m. O sistema com as variáveis consideradas é mostrado na fig. abaixo. A variável controlada é h(t) e a variável de controle é u = q1 com 0 < u(t) < 1. Considerando as seguintes relações da geométrica do sistema: d(h) = k h = \frac{D}{H} h = 0.6 h \quad A(h) = \frac{\pi d(h)^2}{4} onde d(h) corresponde ao diâmetro do tanque e A(h) é a superfície do líquido na altura h. Considere a vazão de saída como q_2 = A_2 \sqrt{2 g h} a) Obtenha um modelo de estado para o sistema (lembre que dV/dt = q1 - q2). b) Determine uma lei de controle aplicando o método da linearização por realimentação de saída sendo y(t)=h(t), baseado nos conceitos apresentados na teoria. c) Quais são as limitações deste tipo de controle? d) Em particular, no sistema acima analisado, que sucede quando satura a ação de controle? Como pode solucionar o problema da saturação da ação de controle? e) Como pode solucionar o problema da variação paramétrica do modelo da planta? Exercício 24. Para o sistema da questão anterior considerando que a saída é o estado x(t) a) projete um controlador utilizando o método por realimentação linearizante de saída. b) Para o sistema linearizado por realimentação, projete um controlador que permita o seguimento de referencias com erro nulo. c) Analise a estabilidade do sistema após projetar a lei de controle por realimentação linearizante. d) Projete uma lei de controle utilizando o método de estrutura variável baseado em funções de Lyapunov. Considere para tal que a função de Lyapunov e a superfície de comutação são V(x_1,x_2) = \frac{1}{2} h(x_1,x_2)^2 h = s_1(y_r-x_1) - s_2 x_2 \quad onde \quad s_1,s_2 > 0 onde y_r é a referencia que se deseja seguir. Explique detalhadamente como se calcula a lei de controle. Exercício 25. Considere o sistema dinâmico \dot{x} = -x + 3y^2 \dot{y} = 2x - y^3 + u cujo controle por estrutura variável (ou por modos deslizantes) é u = -\text{sign} \left( h(x,y) \right) permite controlar o sistema no equilibrio (x, y)= (0, 0). Uma parte crucial no projeto deste controlador consiste na escolha da função de comutação h(x,y). a) Analisar a dinâmica do sistema resultante quando a função de comutação é definida por h(x, y) = 0.5 x + y Para simplificar o cálculo pode analisar a dinâmica de dot{h}(x,y) = 0 determinando o controle equivalente u_eq ou simplesmente aplicar as equações que relacionam os campos vetoriais estudadas na teoria. Exercício 27. Seja o seguinte sistema dinâmico não linear \( \dot{x}_1 = -3x_1 + 2a\,x_1\,x_2^2 + u \) \( \dot{x}_2 = -a\,x_1^3 - (2a - 1)x_2 \) no qual \( a \) é um parâmetro a priori não conhecido. a) Considerando \( u=0 \), determine um valor máximo (\( \gamma \)) do parâmetro \( a \) para que o equilíbrio \( (0,0) \) do sistema seja Localmente Assintoticamente Estável (LAE) para todo valor de \( a > \gamma \). Para tal linearize o sistema em torno ao equilíbrio \( (0,0) \). b) Para caso em que \( a = 1 \), mostre que a lei de controle não linear \( u = -2x_1x_2^2 + x_1^2x_2 \) força a que o equilíbrio \( (0,0) \) seja Globalmente Assintoticamente Estável (GAE). Para tal utilize uma função de Lyapunov. Exercício 28. O conversor boost CC-CC é utilizado em eletrônica de potência para obter tensões de saída maiores que a tensão de entrada. O diagrama simplificado deste conversor é mostrado na fig. abaixo Este circuito opera comutando o interruptor semicondutor, representado por uma chave na figura, de forma ininterrupta. Para acionar este interruptor se utiliza, geralmente, um modulador PWM. As equações que modelam o sistema são \[ \begin{cases} L \dot{x}_1 = E - u x_2 \\ C \dot{x}_2 = ux_1 - \frac{1}{R} x_2 \end{cases} \] onde \( x_1 = i_L;\, x_2 = v_C \) são os valores médios dos sinais medidos num período do PWM, \( u(t) \) é a ação de controle. Projetar um controlador para controlar a tensão de saída \( x_{2e} = 2E \) baseado na seguinte função de Lyapunov \( V(x_1, x_2) = \frac{1}{2} \left( L\bar{x}_1^2 + C\bar{x}_2^2 \right) \) onde \( \bar{x}_1 = x_1 - x_{1e};\, \bar{x}_2 = x_2 - x_{2e} \) \( x_{1e},\, x_{2e} \) são a corrente no indutor e a tensão de saída no equilíbrio (ponto de operação). Considere que pode medir tanto a corrente no indutor como a tensão de saída do circuito. Explique detalhadamente os passos seguidos para calcular a lei de controle. Exercício 29. Considere o seguinte sistema não linear: \( \dot{x}_1 = x_1 - x_2\,x_3 \) \( \dot{x}_2 = x_3 - x_1\,x_3 \) \( \dot{x}_3 = x_1\,u \) a saída é definida como sendo \( y = x_1 \). Utilizando os conhecimentos adquiridos: a) Projetar um controlador utilizando a técnica de linearização por realimentação de saída. b) Defina grau relativo de um sistema. Qual é o grau relativo do sistema estudado? c) Para o sistema linearizado por realimentação, projete um controlador que permita o seguimento de referências e a equação característica da dinâmica do erro tenha autovalores \( \lambda_1 = -3,\, \lambda_2 = -2 \). Defina a dinâmica interna de um sistema não linear controlado por realimentação de saída. Por que é importante a sua análise?