Resolução Analítica de Controladores Proporcionais e Avanços de Fase

Questão 1 Resolução Analítica C álculo o coeficiente de amortecimento ζ necessário para atender ao requisito de overshoot máximo de 20 ζ 04559 Determinando a frequência natural amortecida ωd do sistema ω d 10 1 ζ 635 rads Encontrando a frequência natural não amortecida ωn do sistema Para isso você pode usar a relação ω n ω d sqrt 1 ζ 2 956 rads Calculando a constante de tempo do sistema T usando a relação T 1 ω n 01045 s Substituindo s por jωd na função de transferência Gs e avalie G jωd Gjωd 0129 j0986 A partir da fórmula do erro de estado estacionário para encontrar o ganho proporcional Kp temos que Ess 1 1 K p G j ω d Para um overshoot máximo de 20 queremos que o erro de estado estacionário seja pequeno Neste caso vamos assumir Ess 001 001 1 1 K p 0129 j0986 Resolvendo para K p K p 776 O controlador proporcional é então Cs K p 776 Resumo Controlador proporcional Cs 776 Função de transferência em malha fechada T s G s C s 1 G s C s Os valores calculados manualmente podem não ser exatamente iguais aos obtidos pelo código fornecido devido às aproximações e suposições feitas durante os cálculos manuais No entanto a resposta ao degrau e os gráficos de Bode devem ser semelhantes mostrando um desempenho comparável Questão 2 Resolução Analítica Para projetar um controlador avanço de fase lead para um sistema com retroalimentação unitária negativa que atenda a uma condição de sobressinal percentual UP menor ou igual a 20 e um tempo de subida Tr menor ou igual a 01 unidades de tempo siga estas etapas Determine o tipo de sistema e as especificações de desempenho Gs 10ss10 Este é um sistema do tipo 1 um integrador e tem uma função de transferência de malha aberta de segunda ordem Calcule a constante de tempo desejada Td e frequência de crossover ωc Tr 01 ut Td 18 Tr 18 01 018 ωc 1 Td 556 rad s Identifique a resposta em frequência para o sistema original e o erro de fase Φ A frequência de crossover ωc 556 rad s é usada para calcular a resposta em frequência do sistema G jωc 10 jω c jωc10 Substitua ωc por 556 rad s G j556 10j556j55610 G j556 016 G j556 180 63 117 Como queremos um UP 20 precisamos de uma margem de fase Φm de pelo menos 50 Portanto precisamos adicionar uma compensação de fase Φ ao nosso sistema Φ Φm G j ω c 5 50 117 5 172 Projete o controlador avanço de fase Agora você pode projetar o controlador avanço de fase usando a compensação de fase Φ e a frequência de crossover ωc Gc s K s Z sP K 1 G jω c 1016 625 sin Φ Z P ZP Resolvendo para P P Z ZP sin Φ Usando ωc 556 rad s Z ωc sqrt K 556 sqrt 625 225 P Z Z P sin Φ 025 Escreva a função de transferência do controlador Gc s 625 s2 25 s025