Trabalho Final sobre Sistemas de Controle e Automação

1 16 CURSO DE APERFEIÇOAMENTO AVANÇADO EM SISTEMAS DE ARMAS DISCIPLINA SISTEMAS DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO I PROFª VIVIAN SUZANO MEDEIROS Trabalho Final GRUPO 2 Esta lista será feita por LUAN BRILHANTE NUNES VINICIUS DIAS DE JESUS DE SOUZA BRUNO ENRICO SANTOS RIBEIRO HUGO MAIA NOBREGA ALVES MURILO MEDELLA BRAGA DA SILVA empregando os seguintes dados Parâmetro Símbolo Unidade Valor Resistor R Ω 500 Indutor L H 10 Tensão de entrada 𝑉𝑖 V 12 Capacitor C F 10 x 102 CONTROLADOR PID Cs 𝐾𝑝 𝐾𝑖 𝑠 𝐾𝑑s CRITÉRIO Tempo de estabilização menor ou igual a 3 s erro em regime permanente para entrada degrau unitário menor ou igual a 5 fator de amortecimento maior ou igual a 06 ATENÇÃO 1 A solução deverá ser apresentada através de relatório escrito impresso com formato livre 2 Esta folha com as questões e os dados empregados deverá ser devolvida assinada junto com o relatório escrito 3 Todos os programas MATLAB desenvolvidos deverão ser anexados ao relatório escrito 4 Prazo para entrega 07012021 õæïë 2 16 O Servo e Unidade de Conversão SCU é o sistema responsável pela geração e distribuição das voltagens requeridas pelo sistema e pelo controle dos motores de posicionamento da Antena de comunicação das fragatas da marinha brasileira Na figura a seguir é mostrado em detalhe um dos módulos do sistema composto por vários elementos incluindo um conversor de tensão DCDC para alimentação do sistema que controla a tensão de atuação dos motores da Antena Um conversor DCDC para redução de tensão comumente utilizado para esta aplicação é um conversor chaveado tipo Buck representado na figura a seguir 3 16 O componente M2 funciona como uma chave e recebe como entrada um sinal de atuação PWM que liga e desliga a chave em uma frequência constante Quando a chave M2 está fechada a corrente da fonte energiza o indutor L carregando o capacitor C e fornecendo corrente para a carga R Com a chave aberta a corrente passa através do diodo e a fonte não fornece carga ao circuito A função de transferência que relaciona a razão cíclica do sinal de entrada PWM dada por 𝐷𝑠 e a tensão de saída na carga 𝑉0𝑠 é dada por 𝑉0𝑠 𝐷𝑠 𝑅 𝑉𝑖 𝑠2𝑅𝐿𝐶 𝑠𝐿 𝑅 Um sistema de controle de tensão para este conversor DCDC pode ser representado pelo diagrama de blocos a seguir 1 Escreva a função de transferência do conversor DCDC Resposta Dado que R 50 Ω 𝑉𝑖 12 V L 10 H C 10102 F Temos 𝑉0𝑠 𝐷𝑠 𝑅 𝑉𝑖 𝑠2𝑅𝐿𝐶 𝑠𝐿 𝑅 5012 𝑠2501 102 𝑠 1 50 𝑉0𝑠 𝐷𝑠 600 05𝑠2 𝑠 50 𝑉0𝑠 𝐷𝑠 1200 𝑠2 2𝑠 100 4 16 2 Determine os polos e zeros da função de transferência que descreve o conversor DCDC e analise seu comportamento Estabilidade constante de tempo regime transiente permanente Resposta Zeros não possui Pólos 𝑠2 2𝑠 100 0 𝑠12 2 396 2 1 99𝑗 𝑠1 1 995𝑗 𝑠2 1 995𝑗 Logo os pólos são 1 995𝑗 1 995𝑗 Análise de Comportamento 𝑠2 2𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛2 𝑠2 2𝑠 100 Portanto 𝜔𝑛2 100 𝜔𝑛 10 𝑟𝑎𝑑𝑠 2𝜁𝜔𝑛 2 𝜁 01 𝜔𝑑 𝜔𝑛 1 𝜁2 𝜔𝑑 10 1 012 𝜔𝑑 995 rads cte tempo 𝜏 1 𝜁𝜔𝑛 1 0110 1𝑠𝑒𝑔 Concluise que o sistema é estável pelo valor do coeficiente de amortecimento 01 podemos ver que é subamortecido com frequência natural igual a 10 rads cte de tempo igual a 1 seg e frequência natural amortecida igual a 995 rads Submetido a uma entrada degrau unitário devido as características do sistema teremos os seguintes parâmetros Valor 𝑉0 em regime permanente 𝑉0𝑠 𝐷𝑠 1200 𝑠2 2𝑠 100 TVF lim 𝑡 𝑉0𝑡 lim 𝑠0 𝑉0𝑠 𝑠 lim 𝑠0 𝑠 1 𝑠 1200 𝑠2 2𝑠 100 12 Figura 1 Fonte MATLAB 5 16 Característica do sistema em regime transitório Tempo de subida 𝑇𝑟 119 𝑠𝑒𝑔 utilizando o critério do livro Engenharia e Controle Moderno 4ª ed Sistema de 2ª ordem subamortecido podese criar o critério de 0 a 100 do valor em regime permanente Tempo de acomodação 𝑇𝑠 4𝜏 4 𝑠𝑒𝑔 Tempo de pico 𝑇𝑝 𝜋 𝜔𝑑 𝜋 99 0315 𝑠𝑒𝑔 Máximo de sobressinal 𝑀𝑝 𝐶𝑇𝑝𝐶 𝐶 20712 12 72 Tempo de atraso 𝑇𝑑 0107 𝑠𝑒𝑔 3 Empregando o controlador selecionado determine analiticamente a função de transferência em malha fechada Determine também a função de transferência do erro Resposta 𝐶𝑠 𝐾𝑝𝑠 𝐾𝑑𝑠2 𝐾𝑖 𝑠 Dado que 𝐹𝑇𝑀𝐹 𝐺𝑠 1 𝐺𝑠 𝐻𝑠 Temos 𝐹𝑇𝑀𝐹 𝐶𝑠 𝑅 𝑉𝑖 𝑠2𝑅𝐿𝐶 𝑠𝐿 𝑅 1 1 𝐶𝑠 𝑅 𝑉𝑖 𝑠2𝑅𝐿𝐶 𝑠𝐿 𝑅 𝐾𝑑𝑅 𝑉𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑅 𝑉𝑖𝑠 𝐾𝑖𝑅 𝑉𝑖 𝑅𝐿𝐶𝑠3 𝐿𝑠2 𝑅𝑠 𝐾𝑑𝑅 𝑉𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑅 𝑉𝑖𝑠 𝐾𝑖𝑅 𝑉𝑖 𝐹𝑇𝑀𝐹 𝐾𝑑𝑅 𝑉𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑅 𝑉𝑖𝑠 𝐾𝑖𝑅 𝑉𝑖 𝑅𝐿𝐶𝑠3 𝐿 𝐾𝑑𝑅 𝑉𝑖𝑠2 𝑅 𝐾𝑝𝑅 𝑉𝑖𝑠 𝐾𝑖𝑅 𝑉𝑖 Erro 𝐸𝑠 𝑉𝑅𝑠 𝑉0𝑠 𝐸𝑠 𝑉𝑅𝑠 1 𝑉0𝑠 𝑉𝑅𝑠 1 𝐹𝑇𝑀𝐹 1 𝐾𝑑𝑅 𝑉𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑅 𝑉𝑖𝑠 𝐾𝑖𝑅 𝑉𝑖 𝑅𝐿𝐶𝑠3 𝐿 𝐾𝑑𝑅 𝑉𝑖𝑠2 𝑅 𝐾𝑝𝑅 𝑉𝑖𝑠 𝐾𝑖𝑅 𝑉𝑖 𝐸𝑠 𝑉𝑅𝑠 𝑅𝐿𝐶𝑠3 𝐿𝑠2 𝑅𝑠 𝑅𝐿𝐶𝑠3 𝐿 𝐾𝑑𝑅 𝑉𝑖𝑠2 𝑅 𝐾𝑝𝑅 𝑉𝑖𝑠 𝐾𝑖𝑅 𝑉𝑖 6 16 4 Usando o Matlab trace e interprete o Lugar Geométrico das Raízes do sistema de controle Resposta Para esta análise consideraremos o sistema com controlador Proporcional Traçando essa LGR temos 𝑠1 1 995𝑗 𝑠2 1 995𝑗 Pelo Lugar Geométrico das raízes concluímos que o sistema sempre será estável e com tempo de estabilização em 4 seg Com a variação de ganho conforme seu aumento o fator de amortecimento tende a diminuir partindo do valor de 01 tornando o sistema com mais oscilações Pegando as especificações do sistema e traçando a região de interesse região hachurada em vermelho na Figura 3 Logo após análise e interpretação do LGR para o sistema com controlador proporcional podemos confirmar que o mesmo nunca atenderá aos critérios exigidos para tempo de estabilização e para fator de amortecimento Figura 2 Fonte MATLAB Figura 3 7 16 5 Ajuste os parâmetros do controlador proposto para obter o desempenho dinâmico da malha fechada que respeite os critérios de projeto Justifique a escolha dos ganhos Obs o ajuste final pode ser feito empiricamente baseandose na teoria do controlador proposto Resposta Controlador PID 𝐾𝑝 𝐾𝑖 𝑠 𝐾𝑑𝑠 𝐾𝑝𝑠 𝐾𝑑𝑠2 𝐾𝑖 𝑠 𝐾𝑑 𝑠2 𝐾𝑝 𝐾𝑑𝑠 𝐾𝑖 𝐾𝑑 𝑠 𝐾𝑑𝑠 𝑧1𝑠 𝑧2 𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐾𝑝 𝐾𝑑𝑧1 𝑧2 𝑒 𝐾𝑖 𝐾𝑑𝑧1 𝑧2 Verificando o critério para erro em regime permanente para entrada degrau unitário 𝐹𝑇𝑀𝐹 1200 𝐾𝑑 𝑠2 𝐾𝑝 𝐾𝑑𝑠 𝐾𝑖 𝐾𝑑 𝑠3 2𝑠2 100𝑠 1200 𝐾𝑑 𝑠2 𝐾𝑝 𝐾𝑑𝑠 𝐾𝑖 𝐾𝑑 𝐸𝑠 𝑉𝑅𝑠 1 𝐹𝑇𝑀𝐹 𝑠3 2𝑠2 100𝑠 𝑠3 2𝑠2 100𝑠 1200 𝐾𝑑 𝑠2 𝐾𝑝 𝐾𝑑𝑠 𝐾𝑖 𝐾𝑑 TVF lim 𝑡 𝑒𝑡 lim 𝑠0 𝑒𝑠 𝑠 lim 𝑠0 𝑠 1 𝑠 𝑠3 2𝑠2 100𝑠 𝑠3 2𝑠2 100𝑠 1200 𝐾𝑑 𝑠2 𝐾𝑝 𝐾𝑑𝑠 𝐾𝑖 𝐾𝑑 0 Atende ao critério sem depender dos parâmetros 𝐾𝑝 𝐾𝑖 𝑒 𝐾𝑑 𝐹𝑇𝑀𝐴 𝐾𝑑𝑠 𝑧1𝑠 𝑧2 1200 𝑠𝑠2 2𝑠 100 Observase que há 3 polos 2 já conhecidos devido ao ganho integrativo Achamos conveniente por os dois zeros na posição em s 10 devido aos critérios de tempo de estabilização Para ajuste do parâmetro 𝐾𝑑 com o controlador já na forma 𝐾𝑑𝑠10𝑠10 𝑠 pela figura 4 vemos que para um ganho 𝐾𝑑 00584 temos todos os polos no eixo real e assim um sistema superamortecido com fator de amortecimento maior que o exigido Figura 4 Fonte MATLAB 8 16 Desta forma escolhemos para valor de 𝐾𝑑 0764 para também atender o critério de tempo de estabilização já que o valor do pólo dominante será de 877 Logo com esses valores nosso próximo passo já pode ser calcular os outros parâmetros 𝐾𝑝 e de 𝐾𝑖 ficando 𝐾𝑝 0764 20 1528 e 𝐾𝑖 0764 1010 764 Ao final temos o Controlador PID 1528 764 𝑠 0764𝑠 6 Obtenha os polos e zeros da FTMF para a escolha de parâmetros do item 5 Analise o comportamento dinâmico do sistema em malha fechada com base nesses polos e zeros Qual o comportamento esperado para a malha fechada Resposta 𝑉0𝑠 𝑉𝑅𝑠 1528 764 𝑠 0764𝑠 1200 𝑠2 2𝑠 100 1 1528 764 𝑠 0764 1200 𝑠2 2𝑠 100 0764𝑠2 1528𝑠 764 1200 𝑠3 2𝑠2 100𝑠 0764𝑠2 1528𝑠 764 1200 9168𝑠2 18336𝑠 91680 𝑠3 9188𝑠2 18436𝑠 91680 Para melhor identificação e usando o MATLAB podemos deixar essa FTMF como 𝑉0𝑠 𝑉𝑅𝑠 9168𝑠 102 𝑠 8984𝑠 1164𝑠 8766 Temos dois zeros em s 10 como já sabíamos e pólos em s 8766 s 1164 e s 8984 Figura 5 Fonte MATLAB 9 16 Como temos todos os polos no semiplano esquerdo garantimos que o sistema é estável Devido ao valor do polo 8984 ser muito pequeno o desconsideraremos para melhor análise e ficamos com o sistema da seguinte forma 𝑉0𝑠 𝑉𝑅𝑠 9168𝑠 102 𝑠 1164𝑠 8766 9168𝑠 102 𝑠2 20406𝑠 102036 𝑠2 2𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛2 𝑠2 20406𝑠 102036 Portanto 𝜔𝑛2 102036 𝜔𝑛 1010 𝑟𝑎𝑑𝑠 2𝜁𝜔𝑛 20406 𝜁 101 Como o sistema é superamortecido temos uma constante de tempo para cada pólo 𝜏1 1 1164 𝑒 𝜏2 1 8766 Como o sistema precisa ter os dois polos estabilizados usaremos o maior deles para definir o tempo de estabilização do sistema 𝜏2 1 8766 0114𝑠𝑒𝑔 𝑇𝑠 4𝜏2 0456𝑠𝑒𝑔 Logo mesmo com essa aproximação podemos observar baseado nos valores encontrados que o sistema atenderá as especificações de tempo de estabilização menor que 3 seg e fator de amortecimento maior que 06 7 Simule usando o Matlab o comportamento dinâmico da malha fechada para uma entrada degrau unitário O sistema se comporta como esperado O controlador proposto foi uma boa escolha para o sistema Justifique Resposta Sim conforme as imagens do comportamento do sistema demonstram optouse por mostrar a imagem feita pelo Octave também o mesmo se comporta como esperado Figura 6 Fonte MATLAB 10 16 Diante disso podese afirmar que o controlador proposto foi uma boa escolha conforme já se esperava pois o mesmo é considerado o mais eficiente Pelos cálculos realizados anteriormente com este controlador conseguimos erro em regime permanente igual a zero e fator de amortecimento igual a 1 e ccomo a Figura 6 demonstra obtivemos tempo de estabilização em 0003 segundos ou seja todos os critérios atendidos 8 Verifique como a variação de cada parâmetro do controlador afeta a resposta do sistema em malha fechada Essa análise pode ser feita analiticamente ou a partir de simulações no Matlab Resposta A avaliação dos parâmetros 𝐾𝑝 𝐾𝑖 𝑒 𝐾𝑑 foram feitos alterandose os valores e observando as simulações feitas pelo Matlab e Octave o comportamento do sistema Conforme observa se na Figura 8 o valor de 𝐾𝑝 altera o tempo de estabilização e o valor de overshoot onde o aumento dele ocasiona um tempo de estabilização menor porém um overshoot maior Figura 7 Fonte OCTAVE 11 16 Figura 8 Fonte MATLAB O parâmetro 𝐾𝑑 também influencia no tempo de estabilização e overshoot onde o aumento do mesmo ocasiona um tempo de estabilização e overshoot menores tornando o sistema com mais agilidade Figura 9 Fonte MATLAB Em relação ao ganho integrativo usouse o Programa Octave pois o mesmo demonstrou uma melhor resolução na imagem do comportamento do sistema Como pode ser visto o aumento do valor 𝐾𝑖 ocasiona um maior overshoot e uma frequencia de oscilação maior no sistema 12 16 Além disso em relação ao ganho integrativo vale ressaltar que o mesmo faz zerar o erro em regime permanente conforme cálculo analítico abaixo 𝐹𝑇𝑀𝐹 1200𝐾𝑑𝑠 𝐾𝑝 𝑠2 2𝑠 100 1200𝐾𝑑𝑠 𝐾𝑝 𝐸𝑠 𝑉𝑅𝑠 1 𝐹𝑇𝑀𝐹 𝑠2 2𝑠 100 𝑠2 2𝑠 100 1200𝐾𝑑𝑠 𝐾𝑝 Ess lim 𝑡 𝑒𝑡 lim 𝑠0 𝑒𝑠 𝑠 lim 𝑠0 𝑠 1 𝑠 𝑠2 2𝑠 100 𝑠2 2𝑠 100 1200𝐾𝑑𝑠 𝐾𝑝 100 100 1200𝐾𝑝 Ou seja sem a parcela integrativa o erro em regime permanente varia inversamente porporcional ao ganho 𝐾𝑝 proporcional Figura 10 Fonte OCTAVE 13 16 9 O erro em regime permanente é nulo para o controlador proposto Se não como você alteraria o controlador para garantir erro nulo em regime permanente Resposta Sim o erro em regime permanente é nulo para o controlador proposto 14 16 ANEXO Questão 2 numH 120 coeficientes do numerador da função de transferência denH 1 2 100 coeficientes do denominador da função de transferência V0 tfnumH denH figure stepV0 simula o sistema da função de transferência para uma entrada degrau unitário grid on xlabeltempo em segundos ylabelamplitude do sinal titleResposta do sistema a uma entrada degrau unitário Questão 4 clc clear all numG1 1200 denG1 1 2 100 G1 tfnumG1denG1 numH 1 denH 1 H tfnumH denH FTMA G1H rlocusFTMA titleLugar das Raízes da Questão 4 ylabeleixo imaginário xlabeleixo real Questão 5 clc clear all z110 z210 planta tf1200 1 2 100 ma tf1200 1200z11200z2 1200z1z21 2 100 0 figure rlocusma titleLugar Geométrico das Raízes 15 16 Questão 6 e 7 clc clear all Kd 0764 Kp 1528 Ki 764 planta tf1200 1 2 100 PID tfKd Kp Ki1 0 mf feedbackPIDplanta1 stepmf grid on titleresposta do sistema à entrada degrau unitário ylabelamplitude xlabeltempo segundos Questão 8 Variação de Kp clc clear all Kd 0764 Kp1 1528 Kp2 50 Kp3 10 Ki 764 planta tf1200 1 2 100 PID1 tfKd Kp1 Ki1 0 PID2 tfKd Kp2 Ki1 0 PID3 tfKd Kp3 Ki1 0 Kp1528 feedbackPID1planta1 Kp50 feedbackPID2planta1 Kp10 feedbackPID3planta1 hold on stepKp1528 b stepKp50 r stepKp10 k grid on titleresposta do sistema à entrada degrau unitário variando Kp 16 16 Variação de Kd clc clear all Kd1 0764 Kd2 5 Kd3 01 Kp 1528 Ki 764 planta tf1200 1 2 100 PID1 tfKd1 Kp Ki1 0 PID2 tfKd2 Kp Ki1 0 PID3 tfKd3 Kp Ki1 0 Kd0764 feedbackPID1planta1 Kd5 feedbackPID2planta1 Kd01 feedbackPID3planta1 hold on stepKd0764 b stepKd5 r stepKd01 k grid on titleresposta do sistema à entrada degrau unitário variando Kd Variação de Ki clc clear all Kd 0764 Kp 1528 Ki1 764 Ki2 300 Ki3 10 planta tf1200 1 2 100 PID1 tfKd Kp Ki11 0 PID2 tfKd Kp Ki21 0 PID3 tfKd Kp Ki31 0 Ki764 feedbackPID1planta1 Ki300 feedbackPID2planta1 Ki10 feedbackPID3planta1 hold on stepKi764 b hold on stepKi300 r hold on stepKi10 k grid on titleresposta do sistema à entrada degrau unitário variando Ki