Aula 12 - Estabilidade Relativa em Sistemas de Controle II

Sistemas de Controle II SCOE7 Aula 12 Prof Elian João Agnoletto agnolettoelianifspedubr SCOE7 Sistemas de Controle II 1 Sumário SCOE7 Sistemas de Controle II 2 Estabilidade relativa Margem de fase 𝑀𝐹 Margem de ganho 𝑀𝐺 Avaliação Data da divulgação Data máxima para entrega Avaliação Formativa 1 AF1 14022023 18042023 Avaliação Somativa 1 AS1 25042023 Avaliação Formativa 2 AF2 25042023 13062023 Avaliação Somativa 2 AS2 13062023 Análise de estabilidade relativa SCOE7 Sistemas de Controle II 3 Estabilidade relativa identificar não apenas se o sistema é ou não estável estabilidade absoluta mas também qual é o grau de estabilidade de um sistema estável O diagrama de Nyquist também fornece informações de como a estabilidade pode ser melhorada se isso for necessário As análises serão realizadas para sistemas com realimentação unitária e de fase mínima todos os polos e zeros da função de transferência de malha aberta estão no semiplano esquerdo do plano 𝑠 Análise de estabilidade relativa SCOE7 Sistemas de Controle II 4 Técnica de análise baseada no mapeamento conforme Importância na determinação de todos os polos de malha fechada ou pelo menos aqueles mais próximos do eixo 𝑗𝜔 par dominante de polos de malha fechada A partir das características da resposta em frequência de um sistema de malha aberta é possível estimar os polos de malha fechada mais próximos do eixo 𝑗𝜔 O lugar geométrico de Nyquist de 𝐺𝑗𝜔 não precisa ser uma função analiticamente conhecida de 𝜔 O lugar geométrico de Nyquist como um todo pode ser obtido experimentalmente Análise de estabilidade relativa SCOE7 Sistemas de Controle II 5 As retas de 𝜎 constante no plano 𝑠 são mapeadas em curvas similares ao diagrama de Nyquist e são de certo modo paralelas ao diagrama de Nyquist A reta 𝜎 0 o eixo 𝑗𝜔 no plano s é mapeada no diagrama de Nyquist no plano 𝐺𝑠 Análise de estabilidade relativa SCOE7 Sistemas de Controle II 6 As formas dos lugares geométricos de 𝜎 constante e 𝜔 constante no plano Gs e a proximidade do lugar geométrico de 𝐺𝑗𝜔 do ponto 1 𝑗0 dependem de uma 𝐺𝑠 particular A aproximação do lugar geométrico de 𝐺𝑗𝜔 ao ponto 1 𝑗0 é uma indicação da estabilidade relativa de um sistema estável Em geral esperase que quanto mais próximo o lugar geométrico de 𝐺𝑗𝜔 esteja do ponto 1 𝑗0 maior será o máximo sobressinal na resposta transitória ao degrau e maior o tempo de acomodação Análise de estabilidade relativa SCOE7 Sistemas de Controle II 7 Dois sistemas com dois polos de malha fechada cada um O sistema a é mais estável do que o sistema b porque os polos de malha fechada do sistema a estão localizados mais à esquerda do que os do sistema b Qual sistema é mais estável Análise de estabilidade relativa SCOE7 Sistemas de Controle II 8 Quanto mais próximos do eixo 𝑗𝜔 estiverem localizados os polos de malha fechada mais próximo estará o lugar geométrico de 𝐺𝑗𝜔 do ponto 1 𝑗0 Margem de estabilidade SCOE7 Sistemas de Controle II 9 𝐾 grande sistema instável 𝐾 intermediário o lugar geométrico de 𝐺𝑗𝜔 passa pelo ponto 1 𝑗0 limite da instabilidade oscilações sustentadas 𝐾 pequeno sistema estável Considere um sistema descrito pela função de transferência de malha aberta 𝐺𝑠 com 𝑃 0 Diagramas polares para 3 valores de 𝐾 diferentes 𝐺 𝑠 Margem de estabilidade SCOE7 Sistemas de Controle II 10 Quanto mais próximo o lugar geométrico de 𝐺𝑗𝜔 chegar do envolvimento do ponto 1 𝑗0 mais oscilatória será a resposta do sistema A proximidade do lugar geométrico 𝐺𝑗𝜔 do ponto 1 𝑗0 pode ser utilizada como uma medida da margem de estabilidade Tal proximidade é representada em termos de margem de fase e margem de ganho Diagramas polares para 3 valores de 𝐾 diferentes 𝐺 𝑠 Margem de fase 𝑀𝐹 SCOE7 Sistemas de Controle II 11 Frequência de cruzamento de ganho 𝝎𝒄𝒈 frequência na qual o módulo da função de transferência de malha aberta 𝐺𝑗𝜔 é unitário ou seja 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 1 ou 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 dB 0 dB Margem de fase 𝑴𝑭 𝑷𝑴 𝛟𝐌 𝐨𝐮 𝛄 atraso de fase adicional na frequência de cruzamento de ganho necessária para que o sistema atinja o limiar de instabilidade A margem de fase 𝑀𝐹 é calculada como 180 mais o ângulo de fase ϕ da função de transferência de malha aberta na frequência de cruzamento de ganho ou seja 𝑀𝐹 180 ϕ ϕ 𝐺𝑗𝜔𝑐𝑔 Margem de fase 𝑀𝐹 SCOE7 Sistemas de Controle II 12 𝜔𝑐𝑔1 𝜔𝑐𝑔2 𝜔𝑐𝑔3 ϕ1 ϕ2 ϕ3 𝑀𝐹 180 ϕ 𝜙1 𝜙2 𝜙3 ϕ3 é mais negativo que ϕ2 e que ϕ1 Como estão sendo analisados sistemas com 𝑃 0 os três sistemas apresentados são estáveis Margem de fase 𝑀𝐹 SCOE7 Sistemas de Controle II 13 𝜔𝑐𝑔1 𝜔𝑐𝑔2 𝜔𝑐𝑔3 𝑀𝐹1 𝑀𝐹2 𝑀𝐹3 𝑀𝐹 180 ϕ 𝑀𝐹1 𝑀𝐹2 𝑀𝐹3 O sistema 3 está mais próximo da instabilidade mais próximo de enlaçar o ponto 1 𝜙1 𝜙2 𝜙3 SCOE7 Sistemas de Controle II 14 𝑀𝐹1 𝑀𝐹2 O sistema 1 possui margem de fase positiva 𝑀𝐹1 0 O sistema 2 possui margem de fase negativa 𝑀𝐹2 0 A sistema 1 é estável e o sistema 2 é instável em malha fechada Margem de fase 𝑀𝐹 Os sistemas analisados possuem 𝑃 0 Margem de fase 𝑀𝐹 SCOE7 Sistemas de Controle II 15 𝑀𝐹 180 ϕ Para que um sistema de fase mínima seja estável a margem de fase deve ser positiva Nos diagramas logarítmicos o ponto crítico no plano complexo corresponde às retas 0 dB e 180 Sistema estável 𝑀𝐹 0 𝑀𝐹 𝜔𝑐𝑔 𝜔𝑐𝑔 Margem de fase 𝑀𝐹 SCOE7 Sistemas de Controle II 16 𝑀𝐹 180 ϕ Sistema instável 𝑀𝐹 0 Se um sistema de fase mínima possui margem de fase negativa então ele será instável 𝑀𝐹 𝜔𝑐𝑔 𝜔𝑐𝑔 Margem de ganho 𝑀𝐺 SCOE7 Sistemas de Controle II 17 Frequência de cruzamento de fase 𝝎𝒄𝒑 frequência na qual o ângulo de fase da função de transferência de malha aberta é igual a 180 ou seja ϕ 180 Margem de ganho 𝑴𝑮 𝑮𝑴 𝐨𝐮 𝑲𝒈 inverso do módulo de 𝐺𝑗𝜔 na frequência de cruzamento de fase 𝜔𝑐𝑝 ou seja 𝑀𝐺 1 𝐺𝑗𝜔𝑐𝑝 𝑀𝐺dB 20 log 𝑀𝐺 20 log 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑝 Se 𝑀𝐺 1 𝑀𝐺dB 0 Se 𝑀𝐺 1 𝑀𝐺dB 0 Margem de ganho positiva em decibéis sistema estável Margem de ganho negativa em decibéis sistema instável Margem de ganho 𝑀𝐺 SCOE7 Sistemas de Controle II 18 Para um sistema de fase mínima estável a margem de ganho indica em quanto o ganho pode ser aumentado antes que o sistema se torne instável Sistema estável 𝑴𝑮 𝟏 ou 𝑴𝑮𝐝𝐁 𝟎 𝑀𝐹 1 𝑀𝐺 𝑀𝐺dB 20 log 𝑀𝐺 20 log 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑝 𝜔𝑐𝑔 𝜔𝑐𝑔 𝜔𝑐𝑝 𝜔𝑐𝑝 Margem de ganho 𝑀𝐺 SCOE7 Sistemas de Controle II 19 Sistema instável Para um sistema instável a margem de ganho é indicativa de quanto o ganho deve decrescer para que o sistema se torne estável 𝑀𝐹 1 𝑀𝐺 𝑴𝑮 𝟏 ou 𝑴𝑮𝐝𝐁 𝟎 𝑀𝐺dB 20 log 𝑀𝐺 20 log 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑝 𝜔𝑐𝑔 𝜔𝑐𝑔 𝜔𝑐𝑝 𝜔𝑐𝑝 Comentários sobre 𝑀𝐹 e 𝑀𝐺 SCOE7 Sistemas de Controle II 20 As margens 𝑀𝐹 e 𝑀𝐺 de um sistema de controle podem ser utilizadas como critérios de projeto uma vez que fornecem uma medida da proximidade do diagrama polar em relação ao ponto 1 𝑗0 Apenas 𝑀𝐺 ou apenas 𝑀𝐹 não fornece indicação suficiente sobre a estabilidade relativa as margens devem ser analisadas simultaneamente para determinação da estabilidade relativa Para um sistema de fase mínima Se 𝑀𝐺dB e 𝑀𝐹 forem positivas o sistema é estável Se 𝑀𝐺dB ou 𝑀𝐹 forem negativas o sistema é instável Comentários sobre 𝑀𝐹 e 𝑀𝐺 SCOE7 Sistemas de Controle II 21 Valores de 𝑀𝐹 e 𝑀𝐺 apropriados protegem contra variações nos componentes do sistema e são especificadas por valores positivos definidos Para obter um desempenho satisfatório 𝑀𝐹 deve estar entre 30 e 60 𝑀𝐺 deve ser maior que 6 dB Com esses valores um sistema de fase mínima tem estabilidade garantida mesmo que o ganho de malha aberta e as constantes de tempo dos componentes variem dentro de certos limites Embora 𝑀𝐺 e 𝑀𝐹 forneçam apenas estimativas aproximadas do coeficiente de amortecimento efetivo do sistema de malha fechada elas oferecem meios convenientes para o projeto de sistemas de controle ou do ajuste de constantes de ganho de sistemas Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 23 Obtenha as margens de fase e de ganho do sistema apresentado na Figura abaixo para os casos em que K 10 e K 100 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 24 Para 𝐾 10 𝐺 𝑗𝜔 10 𝑗𝜔 𝑗𝜔 1 𝑗𝜔 5 𝐺 𝑗𝜔 10 𝜔2 𝑗𝜔 𝑗𝜔 5 𝐺 𝑗𝜔 10 𝑗𝜔3 5𝜔2 𝜔2 𝑗5𝜔 𝐺 𝑗𝜔 10 6𝜔2 𝑗 5𝜔 𝜔3 𝐺 𝑗𝜔 10 6𝜔2 2 5𝜔 𝜔3 2 𝐺 𝑗𝜔 tg1 5𝜔 𝜔3 6𝜔2 𝐺 𝑗𝜔 90 tg1 𝜔 tg1 𝜔 5 ou 𝐺 𝑗𝜔 10 36𝜔4 5𝜔 𝜔3 2 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 25 𝐺 𝑗𝜔 10 36𝜔4 5𝜔 𝜔3 2 𝐺 𝑗𝜔 tg1 5𝜔 𝜔3 6𝜔2 A margem de ganho é calculada na frequência de cruzamento de fase 𝜔𝑐𝑝 ou seja frequência na qual a fase 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑝 180 A frequência 𝜔𝑐𝑝 pode ser calculada por 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑝 𝜋 tg1 5𝜔𝑐𝑝 𝜔𝑐𝑝 3 6𝜔𝑐𝑝 2 𝜋 5𝜔𝑐𝑝 𝜔𝑐𝑝 3 6𝜔𝑐𝑝 2 0 𝜔𝑐𝑝 5 rads Frequência na qual a fase é igual a 180 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 26 𝐺 𝑗𝜔 10 36𝜔4 5𝜔 𝜔3 2 A margem de ganho é definida por 𝜔𝑐𝑝 5 rads 𝑀𝐺 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑝 1 𝑀𝐺 10 36 5 4 5 5 5 3 2 1 𝑀𝐺 10 900 1 1 3 1 3 𝑀𝐺dB 20 log 𝑀𝐺 𝑀𝐺dB 20 log3 𝑀𝐺 954 dB Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 27 𝐺 𝑗𝜔 10 36𝜔4 5𝜔 𝜔3 2 𝐺 𝑗𝜔 tg1 5𝜔 𝜔3 6𝜔2 A margem de fase é calculada na frequência de cruzamento de ganho 𝜔𝑐𝑔 ou seja frequência na qual o ganho possui módulo unitário 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 1 A frequência 𝜔𝑐𝑔 pode ser calculada por 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 1 10 36𝜔𝑐𝑔4 5𝜔𝑐𝑔 𝜔𝑐𝑔 3 2 1 100 36𝜔𝑐𝑔4 5𝜔𝑐𝑔 𝜔𝑐𝑔 3 2 1 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 28 𝐺 𝑗𝜔 10 36𝜔4 5𝜔 𝜔3 2 𝐺 𝑗𝜔 tg1 5𝜔 𝜔3 6𝜔2 A margem de fase é calculada na frequência de cruzamento de ganho 𝜔𝑐𝑔 ou seja frequência na qual o ganho possui módulo unitário 𝐺 𝑗𝜔 1 A frequência 𝜔𝑐𝑔 pode ser calculada por 36𝜔𝑐𝑔4 5𝜔𝑐𝑔 𝜔𝑐𝑔 3 2 100 36𝜔𝑐𝑔 4 25𝜔𝑐𝑔 2 10𝜔𝑐𝑔 4 𝜔𝑐𝑔 6 100 𝜔𝑐𝑔 6 26𝜔𝑐𝑔 4 25𝜔𝑐𝑔 2 100 0 Valor real positivo 𝜔𝑐𝑔 123 rads Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 29 A fase de 𝐺 𝑗𝜔 na frequência de cruzamento de ganho é 𝜔𝑐𝑔 123 rads 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 10 𝑗𝜔𝑐𝑔 𝑗𝜔𝑐𝑔 1 𝑗𝜔𝑐𝑔 5 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 0 90 tg1 𝜔𝑐𝑔 tg1 𝜔𝑐𝑔 5 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 0 90 tg1 123 tg1 123 5 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 ϕ 15471 ϕ 15471 Método 1 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 30 A fase de 𝐺 𝑗𝜔 na frequência de cruzamento de ganho é 𝜔𝑐𝑔 123 rads 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 ϕ 180 tg1 4289133 90774 ϕ 180 tg1 04725 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 10 6𝜔𝑐𝑔 2 𝑗 5𝜔𝑐𝑔 𝜔𝑐𝑔 2 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 10 6 1232 𝑗 5 123 1233 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 10 90774 𝑗4289133 O número complexo do denominador está no 2º quadrante Método 2 ϕ ϕ ϕ 15471 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 31 A margem de fase é definida por 𝑀𝐹 180 ϕ 𝑀𝐹 180 15471 𝑴𝑭 𝟐𝟓 𝟐𝟗 Método 1 𝑀𝐹 180 ϕ 𝑀𝐹 180 15471 𝑴𝑭 𝟐𝟓 𝟐𝟗𝟏 Método 2 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 32 𝐾 10 Código no MATLAB Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 33 𝐾 10 Código no MATLAB O Sistema é estável em malha fechada 𝑀𝐺 0 e 𝑀𝐹 0 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 34 𝐾 100 Código no MATLAB Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 35 𝐾 100 Código no MATLAB O Sistema é instável em malha fechada 𝑀𝐺 0 e 𝑀𝐹 0 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 36 Um dos aspectos mais convenientes da técnica do diagrama de Bode é a facilidade com que as variações de ganho podem ser avaliadas Note que para obter um desempenho satisfatório a margem de fase deve aumentar para valores entre 30 e 60 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 37 O ajuste da margem de fase pode ser obtido pela redução do ganho K Entretanto a diminuição de K não é desejável uma vez que um valor pequeno de K resulta em um grande erro na entrada em rampa Necessidade de modificação na curva de resposta em frequência de malha aberta compensadores Bibliografia SCOE7 Sistemas de Controle II 38 OGATA K Engenharia de controle moderno 5ª edição Ed Pearson 2011 Livro Digital NISE N S Engenharia de sistemas de controle 7 ed São Paulo Editora LTC 2017 DORF R C BISHOP R Sistemas de Controle Modernos 11 ed Rio de Janeiro LTC Editora 2009 SOUZA A C Z LIMA I PINHEIRO C A M PROJETOS SIMULAÇÕES E EXPERIÊNCIAS DE LABORATÓRIO EM SISTEMAS DE CONTROLE Editora Interciência 2014 ISBN 9788571933491 FELÍCIO L C Modelagem da Dinâmica de Sistemas e Estudo da Resposta 1 ed São Carlos Editora Rima 2010 MAYA P A e LEONARDI F Controle Essencial 2 ed São Paulo Pearson 2014 Sistemas de Controle II SCOE7 Obrigado Prof Elian João Agnoletto agnolettoelianifspedubr SCOE7 Sistemas de Controle II 39