Matriz de Transformação Linear e Forma Reduzida de Equação Quadrática Geral

Considere as transformações lineares definidas no espaço vetorial Pn de polinômios de ordem menor ou igual à n T1 Pn Pn T1 px p a1 x b1 T2 Pn Pn1 T2 p x a2 x b2 p x Partindo de um polinômio p P2 determine as seguintes matrizes de transformação a M1 associada a transformação T1 p x valor 10 b M21 associada a transformação T2 T1 p x valor 15 c M2 associada a transformação T2 p x valor 10 d M12 associada a transformação T1 T2 p x valor 15 Questão 02 Valor 50 Considere a equação geral de segundo grau em R2 A x2 2Bxy C y2 Dx Ey F 0 1 Realize as operações de rotação e translação apropriadas para obter a forma reduzida da equação 2 Determine o valor dos coeficientes característicos para identificar a forma cônica descrita pela equação parâmetros a b e c conforme livro a1b1 4 43 a2b2 52 1 Para isso faremos o que a transformação faz com um po linômio qualquer de P2 Aqui já podemos interpretar que os termos ligados a 1xx² que multiplicam os termos c0 estão ligados a primeira coluna da matriz c1 à segunda e assim por diante Logo OBS Isso é possível justamente pois a combinação linear das colunas é o conjunto imagem Logo a matriz será Faremos da mesma forma só que agora aplicaremos o polinômio qualquer de P2 em 2 transformações Ok vamos fazer o mesmo processo única observação é que essa transformação recebe polinômios de P2 e dá como respos ta polinômios de P3 portanto ela não será quadrada e terá dimensões 4x3 Uma observação é que essa matriz poderia ter sido obtida como uma multiplicação de matrizes uma representando T2 e outra T1 Mesma ideia Vamos as contas Com a mesma justificativa da anterior a matriz M2 não será quadrada será 4x3 Faremos no mesmo esquema A matriz não será quadrada mais uma vez será 4x3 Dessa vez não poderiamos multiplicar pois a matriz de T1 leva em conta que ela leva um polinômio de P2 em P2 não P3 em P3 Questão 2 a Realizar operações de rotaçãotranslação apropriadas para obter a forma reduzida da equação 54x2 228xy 41y2 1008x 438y 1974 0 Vamos aplicar a translação para eliminar os termos lineares da equação cônica 54x2 228xy 41y2 1008x 438y 1974 0 Primeiramente identificamos os coeficientes a 54 b 228 c 41 d 1008 e 438 f 1974 Formamos o sistema de equações para eliminar os termos lineares 2ax0 by0 d 0 bx0 2cy0 e 0 Substituindo os valores dos coeficientes obtemos 108x0 228y0 1008 0 228x0 82y0 438 0 Resolvendo este sistema encontramos x0 3 e y0 3 1083 2283 1008 0 2283 823 438 0 Verificação 324 684 1008 0 684 246 438 0 Portanto x0 3 e y0 3 são soluções válidas Agora substituímos x0 3 e y0 3 na equação original para encontrar a nova constante fx0y0 5432 22833 4132 10083 4383 1974 Calculando cada termo 5432 54 9 486 22833 228 9 2052 4132 41 9 369 10083 1008 3 3024 4383 438 3 1314 f 1974 Somando tudo fx0y0 486 2052 369 3024 1314 1974 805 A nova equação da cônica no sistema de coordenadas transladado é 54x2 228xy 41y2 805 0 Portanto após a translação para eliminar os termos lineares a equação da cônica é 54x2 228xy 41y2 805 0 Observe que os coeficientes dos termos quadráticos permanecem inalterados após a translação conforme esperado Agora a parte da Rotação Agora aplicamos a rotação para eliminar o termo misto 228xy Escrevemos a matriz dos coeficientes dos termos quadráticos M 54 2282 2282 41 54 114 114 41 Os autovalores da matriz M são λ1 117 e λ2 130 Encontramos os autovetores correspondentes Para λ1 117 54 114 114 41 x y 117 x y 171 114 114 76 x y 0 171x 114y 0 x 114171 y 23 y Escolhemos y 3 para simplificar v1 2 3 Para λ2 130 54 114 114 41 x y 130 x y 76 114 114 171 x y 0 76x 114y 0 x 11476 y 32 y Escolhemos y 2 para simplificar v2 3 2 Normalizando os autovetores Para v1 2 3 v1 sqrt22 32 sqrt4 9 sqrt13 u1 v1 v1 1sqrt13 2 3 2sqrt13 3sqrt13 Para v2 3 2 v2 sqrt32 22 sqrt9 4 sqrt13 u2 v2 v2 1sqrt13 3 2 3sqrt13 2sqrt13 A matriz de rotação R é formada pelos autovetores normalizados como colunas R 2sqrt13 3sqrt13 3sqrt13 2sqrt13 Aplicamos a rotação à matriz M RT M R 117 0 0 130 Assim a nova equação da cônica no sistema de coordenadas rotacionado é 117x2 130y2 805 0 Portanto após a rotação para eliminar o termo misto a equação da cônica é 117x2 130y2 805 0 Essa é a equação reduzida onde λ1 117 e λ2 130 são os autovalores da matriz M b Determine os coeficientes caracterısticos para identificar a forma cˆonica de scrita pela equacao parˆametros a b e c A equacao da cˆonica rotacionada e 117x2 130y2 805 0 Os coeficientes caracterısticos sao dados pelos termos quadraticos da equacao Comparando a equacao acima com a forma geral de uma cˆonica ax2 bxy cy2 dx ey f 0 Podemos ver que a 117 b 0 c 130 Para identificar a forma da cˆonica utilizamos o discriminante da equacao geral da cˆonica que e dado por b2 4ac Substituindo os valores dos coeficientes 02 4117130 468 130 60840 Como 0 a cˆonica e uma hiperbole 3