Algebra Linear

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA DISCIPLINA UFSM0035 Álgebra Linear e Geometria Analítica CURSO Engenharia Química HORASAULA 90 hrs ANOPERÍODO 202501 TURMA 10305 PROFESSOR Paulo F C Tilles ATIVIDADE AVALIATIVA 03 QUESTÕES QUESTÃO 01 VALOR 50 Dada a matriz 𝐴 determine as matrizes 𝑃 e 𝑃1 responsáveis pela transformação 𝐷 𝑃1𝐴𝑃 onde 𝐷 é a matriz diagonal similar à matriz 𝐴 A distribuição das matrizes para cada aluno está disposta na TABELA I QUESTÃO 02 VALOR 50 Considere o conjunto de vetores linearmente independentes 𝑋 x1 x2 x3 x4 I Utilize o método de GramSchmidt para obter uma base ortonormal 𝑈 ˆu1 ˆu2 ˆu3 ˆu4 a partir de 𝑋 II Determine o vetor de coordenadas z𝑈 de um dado vetor z em relação à base 𝑈 O conjunto 𝑋 e o vetor z a serem utilizados por cada aluno estão definidos na TABELA II DIRETRIZES 1 Todos os passos intermediários necessários para se obter a resposta final devem ser mostrados O critério de ava liação adotado é baseado na quantidade de passos corretos realizados 2 A solução deve ser enviada por email na forma de um único arquivo no formato pdf com páginas ordenadas e numeradas 3 Caso a sua resolução seja manuscrita tire fotos das páginas e convertaas em um único arquivo pdf Este procedimento pode ser realizado gratuitamente no seguinte site wwwilovepdfcom 4 Cada aluno deve nomear o seu arquivo conforme descrito na TABELA III 5 Caso a solução apresentada não esteja em conformidade com alguma destas diretrizes a nota será nula 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA TABELAS QUESTÃO 01 TABELA I PARTE 0102 ANA CLARA SEVERO RIGHI A 5 0 0 0 4 8 0 0 6 6 3 0 5 3 5 6 ANDRE TEIXEIRA SCHMITZ A 5 0 5 4 0 4 2 6 0 0 7 4 0 0 0 7 ANGELO PADOIN DEL FABBRO A 1 9 8 5 0 3 6 7 0 0 6 6 0 0 0 1 ARIELLY BARROS DA COSTA A 1 9 3 4 0 2 6 3 0 0 9 5 0 0 0 4 AUGUSTO DE OLIVEIRA LIMA A 7 0 0 0 7 5 0 0 1 0 4 0 3 8 1 6 BIANCA DAVILA DA SILVA A 1 8 9 5 0 7 2 3 0 0 2 2 0 0 0 5 BRENDA GISELE DE SOUZA NUNES A 6 3 4 0 0 7 4 5 0 0 2 8 0 0 0 3 BRITNEY VITORIA DE SOUZA NUNES A 1 3 7 4 0 5 6 0 0 0 8 9 0 0 0 9 BRUNA PUNTEL A 2 0 0 0 2 5 0 0 2 3 6 0 1 6 2 2 CRISTIAN N DE AQUINO QUINTEIRO A 5 6 4 7 0 3 5 6 0 0 9 0 0 0 0 6 DANIELA MARTINS FLORES A 2 5 1 3 0 8 4 0 0 0 4 9 0 0 0 4 DIONATHAS SILVA DA CRUZ A 3 0 3 7 0 6 7 4 0 0 9 8 0 0 0 2 EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN A 8 6 0 3 0 6 3 2 0 0 6 5 0 0 0 7 ELIZ DRUSIAO A 6 0 0 0 2 1 0 0 8 7 3 0 1 4 8 4 ENZO LUIS CORAZZA A 5 9 6 4 0 4 5 2 0 0 7 7 0 0 0 2 GREISSY K KARSTEN DE AGUSTINHO A 4 0 0 0 8 8 0 0 5 2 5 0 6 8 9 7 INGRID SEVERO OTANHA A 3 0 0 0 1 9 0 0 7 5 6 0 5 9 9 9 ISADORA COELHO DE LIMA A 6 1 3 3 0 3 2 9 0 0 2 4 0 0 0 2 JENNIFER SOUZA VILARINO A 9 0 0 0 6 5 0 0 6 8 2 0 7 7 2 8 JONATHAN H DOS SANTOS DANTAS A 2 4 0 3 0 3 9 7 0 0 8 0 0 0 0 6 JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION A 7 0 0 0 3 4 0 0 8 3 3 0 7 2 9 9 JOSE VLAN DE CASTRO NETO A 6 0 0 0 6 9 0 0 9 9 1 0 4 6 1 4 JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO A 9 6 1 7 0 9 2 7 0 0 4 3 0 0 0 8 JULIA PALHANO VERARDO A 5 6 5 0 0 2 8 8 0 0 1 7 0 0 0 6 KAUESLER SCHUSTER A 7 2 2 6 0 1 9 7 0 0 9 7 0 0 0 2 KELLY APARECIDA WINK A 4 7 3 6 0 3 3 0 0 0 1 7 0 0 0 1 KHYARA V DE PAULA RODRIGUES A 8 9 9 9 0 3 2 6 0 0 3 4 0 0 0 7 LAURA BORCK WELTER A 3 0 3 2 0 4 8 9 0 0 1 3 0 0 0 4 LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES A 3 0 0 0 3 6 0 0 8 9 9 0 9 1 6 3 LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR A 5 9 2 4 0 8 1 2 0 0 2 5 0 0 0 1 LUIZA HACKENHAAR HECK A 9 0 6 1 0 6 5 5 0 0 2 4 0 0 0 4 MARIA CLARA JULIANI SILVEIRA A 5 9 1 5 0 2 2 1 0 0 7 6 0 0 0 6 MARIA EDUARDA KLEIN MERLO A 5 0 0 0 7 1 0 0 7 4 9 0 8 1 5 5 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA TABELA I PARTE 0202 MARIANA MANN DE SOUZA A 5 0 0 0 7 7 0 0 7 5 2 0 5 9 0 4 MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES A 1 6 8 3 0 6 8 2 0 0 2 2 0 0 0 3 MIGUEL BATISTA ALVES A 8 0 0 0 3 7 0 0 4 7 6 0 8 9 8 6 NATHALIA WALKER GALLI A 1 3 9 7 0 4 3 5 0 0 5 9 0 0 0 7 NICIVANIA DA CRUZ MENDES A 5 6 2 5 0 8 9 9 0 0 6 7 0 0 0 1 PAMELA VEZZOSI DE BARROS A 3 7 9 3 0 2 8 2 0 0 1 2 0 0 0 7 PEDRO SEVERO PRESTES A 8 0 0 0 4 3 0 0 2 4 9 0 5 3 6 3 RICARDO ZIMMERMANN MARTINS A 7 0 0 0 2 6 0 0 7 4 5 0 5 0 7 4 STEPHANY NATALY EHLE A 6 1 6 1 0 8 8 4 0 0 3 6 0 0 0 5 STHEFANY SABRINY DE MORAES A 2 7 6 6 0 1 1 8 0 0 4 8 0 0 0 5 THAISSA SOUZA CALVANO A 7 1 2 2 0 6 6 7 0 0 9 8 0 0 0 2 THIAGO ROGER ZAGO A 9 0 0 0 3 2 0 0 4 8 4 0 5 8 1 6 VINICIUS GONGO DE SOUZA A 1 0 0 0 8 3 0 0 5 1 7 0 0 3 0 2 VITORIA BORGES DA TRINDADE A 6 4 2 6 0 9 5 7 0 0 8 5 0 0 0 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA TABELAS QUESTÃO 02 TABELA II PARTE 0102 ANA CLARA SEVERO RIGHI z 2 2 1 4 x1 0 1 3 1 x2 0 0 12 1 x3 1 2 14 0 x4 0 1 34 14 ANDRE TEIXEIRA SCHMITZ z 5 0 0 1 x1 0 12 1 1 x2 2 12 1 1 x3 1 0 0 1 x4 12 14 15 0 ANGELO PADOIN DEL FABBRO z 5 4 4 3 x1 0 12 1 2 x2 53 54 54 0 x3 0 0 2 23 x4 0 5 2 23 ARIELLY BARROS DA COSTA z 0 4 5 2 x1 0 2 1 1 x2 32 34 0 25 x3 32 23 53 53 x4 13 15 0 0 AUGUSTO DE OLIVEIRA LIMA z 4 2 3 4 x1 32 32 1 0 x2 53 32 13 2 x3 1 54 0 1 x4 0 0 34 43 BIANCA DAVILA DA SILVA z 4 3 3 1 x1 1 13 1 13 x2 0 0 34 54 x3 0 2 13 23 x4 2 2 0 1 BRENDA GISELE DE SOUZA NUNES z 1 4 1 2 x1 12 0 1 3 x2 1 1 0 0 x3 3 23 23 12 x4 41 0 0 53 BRITNEY VITORIA DE SOUZA NUNES z 4 3 0 3 x1 5 3 0 1 x2 13 1 1 0 x3 1 2 0 12 x4 1 13 23 1 BRUNA PUNTEL z 4 4 5 3 x1 0 2 1 3 x2 12 32 13 2 x3 35 32 1 0 x4 52 12 1 0 CRISTIAN N DE AQUINO QUINTEIRO z 1 1 4 0 x1 1 3 0 2 x2 13 1 0 14 x3 0 2 0 15 x4 3 32 2 1 DANIELA MARTINS FLORES z 4 5 5 2 x1 2 0 13 15 x2 0 23 0 53 x3 0 1 1 2 x4 0 3 34 34 DIONATHAS SILVA DA CRUZ z 5 5 5 4 x1 12 1 54 3 x2 1 12 0 12 x3 25 1 1 4 x4 1 1 1 5 EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN z 0 1 4 3 x1 0 13 2 0 x2 12 1 5 12 x3 1 0 5 4 x4 1 1 4 2 ELIZ DRUSIAO z 0 2 4 2 x1 23 0 5 14 x2 1 15 1 23 x3 0 1 0 1 x4 0 0 45 1 ENZO LUIS CORAZZA z 2 4 4 2 x1 12 5 1 14 x2 12 1 0 0 x3 1 2 1 1 x4 2 2 2 5 GREISSY K KARSTEN DE AGUSTINHO z 3 5 2 2 x1 1 5 0 1 x2 12 1 1 0 x3 1 0 0 34 x4 5 0 0 5 INGRID SEVERO OTANHA z 5 1 4 4 x1 1 23 32 45 x2 0 1 15 34 x3 2 54 12 1 x4 4 1 1 2 ISADORA COELHO DE LIMA z 5 0 2 3 x1 2 1 4 5 x2 1 0 1 1 x3 1 0 1 1 x4 1 2 1 0 JENNIFER SOUZA VILARINO z 5 5 3 5 x1 15 32 1 0 x2 14 0 14 1 x3 0 0 1 2 x4 0 5 5 0 JONATHAN H DOS SANTOS DANTAS z 3 4 3 0 x1 25 23 53 35 x2 1 5 5 3 x3 0 1 1 54 x4 52 12 1 54 JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION z 0 5 3 3 x1 0 38 23 5 x2 1 6 2 5 x3 1 3 0 0 x4 1 2 2 2 JOSE VLAN DE CASTRO NETO z 1 4 4 4 x1 34 1 3 12 x2 3 32 1 12 x3 4 38 0 0 x4 3 0 2 12 JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO z 5 2 5 3 x1 0 4 1 0 x2 4 2 12 1 x3 0 2 54 4 x4 38 13 5 2 JULIA PALHANO VERARDO z 5 3 0 2 x1 0 2 5 0 x2 1 1 1 0 x3 12 2 4 34 x4 1 13 5 0 KAUESLER SCHUSTER z 4 5 0 0 x1 45 0 1 0 x2 1 0 1 12 x3 1 1 0 0 x4 12 54 0 1 KELLY APARECIDA WINK z 0 5 4 3 x1 12 34 32 5 x2 5 5 23 1 x3 0 52 0 32 x4 0 1 0 45 KHYARA V DE PAULA RODRIGUES z 4 4 1 0 x1 54 2 0 2 x2 5 23 33 12 x3 1 2 0 2 x4 13 13 1 43 LAURA BORCK WELTER z 5 3 0 5 x1 0 1 54 1 x2 53 0 54 1 x3 2 1 2 4 x4 0 34 34 0 LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES z 4 5 1 0 x1 1 38 54 0 x2 52 34 1 54 x3 1 1 1 1 x4 1 0 1 0 LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR z 1 1 5 2 x1 0 52 0 54 x2 12 1 1 1 x3 12 35 53 0 x4 12 1 0 0 LUIZA HACKENHAAR HECK z 3 1 2 3 x1 12 2 1 0 x2 1 34 2 32 x3 1 34 34 33 x4 52 0 54 2 MARIA CLARA JULIANI SILVEIRA z 3 2 5 0 x1 0 34 4 0 x2 1 2 0 2 x3 0 32 32 34 x4 12 1 2 2 MARIA EDUARDA KLEIN MERLO z 2 1 0 2 x1 32 0 1 52 x2 0 1 13 0 x3 0 34 1 13 x4 5 1 0 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA TABELA II PARTE 0202 MARIANA MANN DE SOUZA z 3 2 2 1 x1 0 12 53 34 x2 32 2 1 0 x3 1 0 34 2 x4 154 38 1 34 MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES z 3 5 5 0 x1 1 23 12 4 x2 41 0 54 1 x3 1 2 1 12 x4 1 32 12 1 MIGUEL BATISTA ALVES z 4 2 4 1 x1 4 3 54 5 x2 0 1 0 35 x3 1 1 0 14 x4 0 35 0 14 NATHALIA WALKER GALLI z 2 5 3 1 x1 45 35 52 0 x2 1 52 2 0 x3 4 34 3 7 x4 2 3 4 0 NICIVANIA DA CRUZ MENDES z 3 2 5 4 x1 1 51 35 x2 3 2 1 2 x3 3 12 5 3 x4 1 1 0 0 PAMELA VEZZOSI DE BARROS z 5 1 2 0 x1 1 0 4 0 x2 1 0 5 15 x3 13 0 14 3 x4 52 12 1 1 PEDRO SEVERO PRESTES z 3 1 4 1 x1 34 0 1 0 x2 54 3 0 1 x3 0 1 1 0 x4 2 1 2 0 RICARDO ZIMMERMANN MARTINS z 5 3 1 3 x1 1 1 0 1 x2 54 2 3 4 x3 5 15 54 0 x4 12 34 2 0 STEPHANY NATALY EHLE z 0 5 5 3 x1 4 1 52 12 x2 4 53 32 x3 32 12 12 0 x4 1 23 3 0 STHEFANY SABRINY DE MORAES z 5 1 5 5 x1 2 1 1 1 x2 32 0 3 1 x3 12 32 2 14 x4 32 13 52 54 THAISSA SOUZA CALVANO z 0 4 5 5 x1 13 1 0 0 x2 53 0 1 13 x3 2 52 1 0 x4 1 34 12 1 THIAGO ROGER ZAGO z 1 5 4 5 x1 1 0 0 1 x2 0 1 14 2 x3 1 1 0 12 x4 3 5 1 2 VINICIUS GONGO DE SOUZA z 3 5 5 3 x1 0 0 15 12 x2 43 14 25 43 x3 2 1 2 1 x4 0 1 4 0 VITORIA BORGES DA TRINDADE z 4 5 5 2 x1 45 12 32 5 x2 1 0 1 4 x3 1 1 2 1 x4 34 0 54 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA TABELAS NOMECLATURA DOS ARQUIVOS TABELA III ANA CLARA SEVERO RIGHI ANDRE TEIXEIRA SCHMITZ ANGELO PADOIN DEL FABBRO UFSM0035ENGQUIAA03AL01ACSRpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL02ATSpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL03APFpdf ARIELLY BARROS DA COSTA AUGUSTO DE OLIVEIRA LIMA BIANCA DAVILA DA SILVA UFSM0035ENGQUIAA03AL04ABCpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL05AOLpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL06BDSpdf BRENDA GISELE DE SOUZA NUNES BRITNEY VITORIA DE SOUZA NUNES BRUNA PUNTEL UFSM0035ENGQUIAA03AL07BGSNpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL08BVSNpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL09BPpdf CRISTIAN NICOLLAS DE AQUINO QUINTEIRO DANIELA MARTINS FLORES DIONATHAS SILVA DA CRUZ UFSM0035ENGQUIAA03AL10CNAQpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL11DMFpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL12DSCpdf EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN ELIZ DRUSIAO ENZO LUIS CORAZZA UFSM0035ENGQUIAA03AL13EVGTpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL14EDpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL15ELCpdf GREISSY KALLEY KARSTEN DE AGUSTINHO INGRID SEVERO OTANHA ISADORA COELHO DE LIMA UFSM0035ENGQUIAA03AL16GKKApdf UFSM0035ENGQUIAA03AL17ISOpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL18ICLpdf JENNIFER SOUZA VILARINO JONATHAN HENRIQUE DOS SANTOS DANTAS JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION UFSM0035ENGQUIAA03AL19JSVpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL20JHSDpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL21JAVMpdf JOSE VLAN DE CASTRO NETO JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO JULIA PALHANO VERARDO UFSM0035ENGQUIAA03AL22JVCNpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL23JASMpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL24JPVpdf KAUESLER SCHUSTER KELLY APARECIDA WINK KHYARA VALENTINE DE PAULA RODRIGUES UFSM0035ENGQUIAA03AL25KSpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL26KAWpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL27KVPRpdf LAURA BORCK WELTER LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR UFSM0035ENGQUIAA03AL28LBWpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL29LACGpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL30LOBJpdf LUIZA HACKENHAAR HECK MARIA CLARA JULIANI SILVEIRA MARIA EDUARDA KLEIN MERLO UFSM0035ENGQUIAA03AL31LHHpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL32MCJSpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL33MEKMpdf MARIANA MANN DE SOUZA MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES MIGUEL BATISTA ALVES UFSM0035ENGQUIAA03AL34MMSpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL35MJRpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL36MBApdf NATHALIA WALKER GALLI NICIVANIA DA CRUZ MENDES PAMELA VEZZOSI DE BARROS UFSM0035ENGQUIAA03AL37NWGpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL38NCMpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL39PVBpdf PEDRO SEVERO PRESTES RICARDO ZIMMERMANN MARTINS STEPHANY NATALY EHLE UFSM0035ENGQUIAA03AL40PSPpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL41RZMpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL42SNEpdf STHEFANY SABRINY DE MORAES THAISSA SOUZA CALVANO THIAGO ROGER ZAGO UFSM0035ENGQUIAA03AL43SSMpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL44TSCpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL45TRZpdf VINICIUS GONGO DE SOUZA VITORIA BORGES DA TRINDADE UFSM0035ENGQUIAA03AL46VGSpdf UFSM0035ENGQUIAA03AL47VBTpdf 6 Questão 1 Dada a matriz A 1 3 9 7 0 4 3 5 0 0 5 9 0 0 0 7 queremos encontrar as matrizes P e P 1 tais que D P 1AP onde D é uma matriz diagonal contendo os autovalores de A Comecemos pelos autovalores Os autovalores de A são obtidos resolvendo a equação característica detA λI 0 Formamos a matriz A λI 1 λ 3 9 7 0 4 λ 3 5 0 0 5 λ 9 0 0 0 7 λ Como A é triangular superior o determinante é o produto dos elementos da diagonal detA λI 1 λ4 λ5 λ7 λ Igualando a zero e resolvendo os autovalores são λ1 1 λ2 4 λ3 5 λ4 7 Para cada autovalor λi resolvemos A λiIvi 0 para encontrar os autovetores correspondentes Para λ1 1 A 1I 0 3 9 7 0 3 3 5 0 0 4 9 0 0 0 8 Sistema 0 3 9 7 0 3 3 5 0 0 4 9 0 0 0 8 v1 v2 v3 v4 0 0 0 0 Temos o sistema de equações 1 3v2 9v3 7v4 0 2 3v2 3v3 5v4 0 3 4v3 9v4 0 4 8v4 0 De 4 v4 0 De 3 4v3 0 v3 0 De 2 3v2 0 v2 0 De 1 0 0 verdadeiro Assim v1 é livre Escolhemos v1 1 então v1 1 0 0 0 1 Para λ2 4 A 4I 3 3 9 7 0 0 3 5 0 0 1 9 0 0 0 11 Sistema 3 3 9 7 0 0 3 5 0 0 1 9 0 0 0 11 v1 v2 v3 v4 0 0 0 0 Temos o sistema de equações 1 3v1 3v2 9v3 7v4 0 2 3v3 5v4 0 3 v3 9v4 0 4 11v4 0 De 4 v4 0 De 3 v3 0 v3 0 De 2 0 0 verdadeiro De 1 3v1 3v2 0 v1 v2 Escolhemos v2 1 então v1 1 e v2 1 1 0 0 Para λ3 5 A 5I 4 3 9 7 0 1 3 5 0 0 0 9 0 0 0 12 Sistema 4 3 9 7 0 1 3 5 0 0 0 9 0 0 0 12 v1 v2 v3 v4 0 0 0 0 Temos o sistema de equações 1 4v1 3v2 9v3 7v4 0 2 v2 3v3 5v4 0 3 9v4 0 4 12v4 0 2 De 3 e 4 v4 0 De 2 v2 3v3 0 v2 3v3 De 1 4v1 33v39v3 0 4v1 0 v1 0 Escolhemos v3 1 então v2 3 e v3 0 3 1 0 Para λ4 7 A 7I 8 3 9 7 0 11 3 5 0 0 12 9 0 0 0 0 Sistema 8 3 9 7 0 11 3 5 0 0 12 9 0 0 0 0 v1 v2 v3 v4 0 0 0 0 Temos o sistema de equações 1 8v1 3v2 9v3 7v4 0 2 11v2 3v3 5v4 0 3 12v3 9v4 0 De 3 12v3 9v4 0 v4 4 3v3 Escolhemos v3 3 então v4 4 De 2 11v2 33 54 0 11v2 11 0 v2 1 De 1 8v1 31 93 74 0 8v1 52 0 v1 13 2 Para evitar frações multiplicamos por 2 v4 13 2 6 8 A matriz P é formada pelos autovetores como colunas P 1 1 0 13 0 1 3 2 0 0 1 6 0 0 0 8 Para encontrarmos a inversa de P usamos eliminação de Gauss na matriz aumentada PI 1 1 0 13 1 0 0 0 0 1 3 2 0 1 0 0 0 0 1 6 0 0 1 0 0 0 0 8 0 0 0 1 3 Linha 4 8 1 1 0 13 1 0 0 0 0 1 3 2 0 1 0 0 0 0 1 6 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 8 Linha 1 13 Linha 4 1 1 0 0 1 0 0 13 8 0 1 3 2 0 1 0 0 0 0 1 6 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 8 Linha 2 2 Linha 4 1 1 0 0 1 0 0 13 8 0 1 3 0 0 1 0 1 4 0 0 1 6 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 8 Linha 3 6 Linha 4 1 1 0 0 1 0 0 13 8 0 1 3 0 0 1 0 1 4 0 0 1 0 0 0 1 3 4 0 0 0 1 0 0 0 1 8 Linha 2 3 Linha 3 1 1 0 0 1 0 0 13 8 0 1 0 0 0 1 3 2 0 0 1 0 0 0 1 3 4 0 0 0 1 0 0 0 1 8 Linha 1 Linha 2 1 0 0 0 1 1 3 29 8 0 1 0 0 0 1 3 2 0 0 1 0 0 0 1 3 4 0 0 0 1 0 0 0 1 8 Assim P 1 1 1 3 29 8 0 1 3 2 0 0 1 3 4 0 0 0 1 8 A matriz diagonal D contém os autovalores na diagonal na ordem dos autovetores em P D 1 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 7 4 Por fim as matrizes são P 1 1 0 13 0 1 3 2 0 0 1 6 0 0 0 8 P 1 1 1 3 29 8 0 1 3 2 0 0 1 3 4 0 0 0 1 8 Para verificar a diagonalização da matriz A precisamos confirmar se D P 1AP onde D é a matriz diagonal contendo os autovalores de A P é a matriz de autovetores e P 1 é a sua inversa Vamos realizar a multiplicação explicitamentee Dadas as matrizes A P e D começamos multiplicamos A por P calculando cada col una do resultado Primeira coluna de AP A 1 0 0 0 1 1 3 0 9 0 7 0 0 1 4 0 3 0 5 0 0 1 0 0 5 0 9 0 0 1 0 0 0 0 7 0 1 0 0 0 Segunda coluna de AP A 1 1 0 0 1 1 3 1 9 0 7 0 0 1 4 1 3 0 5 0 0 1 0 1 5 0 9 0 0 1 0 1 0 0 7 0 1 3 4 0 0 4 4 0 0 Terceira coluna de AP A 0 3 1 0 1 0 3 3 9 1 7 0 0 0 4 3 3 1 5 0 0 0 0 3 5 1 9 0 0 0 0 3 0 1 7 0 9 9 12 3 5 0 0 15 5 0 Quarta coluna de AP A 13 2 6 8 1 13 3 2 9 6 7 8 0 13 4 2 3 6 5 8 0 13 0 2 5 6 9 8 0 13 0 2 0 6 7 8 13 6 54 56 8 18 40 30 72 56 91 14 42 56 Assim o resultado é AP 1 4 0 91 0 4 15 14 0 0 5 42 0 0 0 56 Agora multiplicamos P 1 por AP Primeira coluna de P 1AP P 1 1 0 0 0 1 1 1 0 3 0 29 8 0 0 1 1 0 3 0 2 0 0 1 0 0 1 0 3 4 0 0 1 0 0 0 0 1 8 0 1 0 0 0 5 Segunda coluna de P 1AP P 1 4 4 0 0 1 4 1 4 3 0 29 8 0 0 4 1 4 3 0 2 0 0 4 0 4 1 0 3 4 0 0 4 0 4 0 0 1 8 0 4 4 4 0 0 0 4 0 0 Terceira coluna de P 1AP P 1 0 15 5 0 1 0 1 15 3 5 29 8 0 0 0 1 15 3 5 2 0 0 0 0 15 1 5 3 4 0 0 0 0 15 0 5 1 8 0 0 15 15 15 15 5 0 0 0 5 0 Quarta coluna de P 1AP P 1 91 14 42 56 1 91 1 14 3 42 29 8 56 0 91 1 14 3 42 2 56 0 91 0 14 1 42 3 4 56 0 91 0 14 0 42 1 8 56 Calculando cada elemento Primeira linha 91 14 126 2956 8 91 14 126 203 217 217 0 Segunda linha 0 14 126 112 112 112 0 Terceira linha 0 0 42 356 4 42 42 0 Quarta linha 0 0 0 56 8 7 0 0 0 7 Temos P 1AP 1 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 7 O resultado é exatamente igual a D confirmando que a diagonalização está correta 6 2 û1 Primeiro x1² 45² 35² 52² 0² 1625 925 254 1 254 294 Logo x1 294 29 2 Portanto û1 x1 x1 1 29 2 45 35 52 0 8 529 6 529 5 29 0 û2 Projeção de x2 sobre û1 x2û1 1 8 529 52 6 529 2 5 29 8 529 3 29 10 29 57 529 Definindo v2 v2 x2 x2û1 û1 1 52 2 0 57 529 8 529 6 529 5 29 0 Logo v2 1 578 5529 52 57 529 6 529 2 57 529 5 29 0 1181725 29411450 129 0 A norma é v2² 1181725² 29411450² 129² 196292900 Assim v2 196292900 O vetor unitário û2 é û2 v2 v2 1181725 29411450 129 0 196292900 1181725 290019629 29411450 290019629 129 290019629 0 û3 Definimos primeiro w3 x3 x3û1 û1 x3û2 û2 com x3 4 34 13 23 Depois de calcular cada produto interno e subtrair chegase a w3 218059 10851227445 32553682335 177038 10851227445 32553682335 112268 10851227445 32553682335 12 10851227445 4975345 Observe que após a subtração o vetor já foi escalado de modo que w3 1 Então û3 w3 218059 10851227445 32553682335 177038 10851227445 32553682335 112268 10851227445 32553682335 12 10851227445 4975345 û4 Finalmente definimos v4 x4 x4û1 û1 x4û2 û2 x4û3 û3 com x4 2 35 4 0 Após as subtrações chegase a um vetor já normalizado u₄ 40449753454975345 32849753454975345 20849753454975345 215949753454975345 Por fim u₁ 8529 6529 529 0 u₂ 1181725290019629 29411450290019629 129290019629 0 u₃ 2180591085122744532553682335 1770381085122744532553682335 1122681085122744532553682335 12108512274454975345 u₄ 40449753454975345 32849753454975345 20849753454975345 215949753454975345 Basta calcular uᵢ z Obtemos zᵤ u₁ z u₂ z u₃ z u₄ z 6129145 1927963249948735 8643921085122744532553682335 70349753454975345