Matriz de Transformação Linear e Forma Reduzida de Equação Quadrática Geral

Questão 02 Valor 50 Considere a equação geral de segundo grau em R² Ax² 2Bxy Cy² Dx Ey F 0 1 Realize as operações de rotação e translação apropriadas para obter a forma reduzida da equação 2 Determine o valor dos coeficientes característicos para identificar a forma cônica descrita pela equação parâmetros a b e c Questão 01 Valor 50 Considere as transformações lineares definidas no espaço vetorial Pn de polinômios de ordem menor ou igual à n T1 Pn Pn T1 px pa1 x b1 T2 Pn Pn1 T2px a2 x b2px Partindo de um polinômio p P2 determine as seguintes matrizes de transformação a M1 associada a transformação T1px valor 10 b M21 associada a transformação T2T1px valor 15 c M2 associada a transformação T2px valor 10 d M12 associada a transformação T1T2px valor 15 Questão 1 Seja T1 a transformação que atua em Pn para Pn dada por T1px pa1 x b1 onde a1 b1 83 13 E seja T2 a transformação que atua em Pn para Pn1 dada por T2px a2 x b2px onde a2 b2 1 3 Vamos determinar as seguintes matrizes a partir de um polinômio p P2 a Matriz M1 associada à transformação T1px Considere o espaço vetorial P2 que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2 Uma base canônica para P2 é dada por 1 x x² Queremos encontrar a matriz da transformação T1 com respeito a esta base A transformação T1 é definida como T1px pa1 x b1 Para determinar a matriz M1 da transformação T1 aplicamos T1 a cada vetor da base e expressamos o resultado em termos da base 1 x x² 1 Aplicação da transformação T1 ao polinômio 1 T11 1 Aqui a transformação de 1 é simplesmente 1 Em termos da base 1 x x² temos T11 11 0x 0x² Portanto a primeira coluna da matriz M1 é 1 0 0T 2 Aplicação da transformação T1 ao polinômio x T1x 83 x 13 Em termos da base 1 x x² temos T1x 13 1 83 x 0 x² Portanto a segunda coluna da matriz M1 é 13 83 0T 3 Aplicação da transformação T1 ao polinômio x² T1x² 83 x 13² Expandindo o quadrado 83 x 13² 649 x² 169 x 19 Em termos da base 1 x x² temos T1x² 19 1 169 x 649 x² Portanto a terceira coluna da matriz M1 é 19 169 649T Assim a matriz M1 da transformação T1 é dada por M1 1 13 19 0 83 169 0 0 649 b Matriz M21 associada à transformação T2T1px Queremos encontrar a matriz M21 da transformação T21 T2 T1 que é a composição das transformações T2 e T1 Primeiro aplicamos T1 e depois aplicamos T2 Para isso precisamos calcular T2 em cada um dos resultados obtidos para T1 1 Aplicação da transformação T21 ao polinômio 1 T211 T2T11 T21 a2x b2 1 1 x 3 1 x 3 Em termos da base 1 x x2 temos T211 3 1 1 x 0 x2 Portanto a primeira coluna da matriz M21 é 3 1 0 2 Aplicação da transformação T21 ao polinômio x T21x T2T1x T283x 13 1 x 383x 13 Expandindo o produto T21x 83x 13x 383x 13 83 x2 13 x 8x 1 83 x2 253 x 1 Em termos da base 1 x x2 temos T21x 1 1 253 x 83 x2 Portanto a segunda coluna da matriz M21 é 1 253 83 3 Aplicação da transformação T21 ao polinômio x2 T21x2 T2T1x2 T2649x2 169x 19 1 x 3649x2 169x 19 Expandindo o produto T21x2 649x2 169x 19x 3649x2 169x 19 649x3 169x2 19x 1929x2 489x 39 649x3 2089x2 499x 13 Em termos da base 1 x x2 temos T21x2 13 1 499 x 2089 x2 Portanto a terceira coluna da matriz M21 é 13 499 2089 Assim a matriz M21 da transformação T21 é dada por M21 3 1 13 1 253 499 0 83 2089 c Matriz M2 associada à transformação T2px Queremos encontrar a matriz M2 da transformação T2 que atua em P2 e leva um polinômio px a a2x b2px onde a2 b2 1 3 Nesta transformação o polinômio resultante pode ter termos até x3 Para determinar a matriz M2 aplicamos a transformação T2 a cada vetor da base 1 x x2 de P2 e expressamos o resultado em termos da base 1 x x2 x3 1 Aplicação da transformação T2 ao polinômio 1 T21 1 x 3 1 x 3 Em termos da base 1 x x2 x3 temos T21 3 1 1 x 0 x2 0 x3 Portanto a primeira coluna da matriz M2 é 3 1 0 0 2 Aplicação da transformação T2 ao polinômio x T2x 1 x 3 x x2 3x Em termos da base 1 x x2 x3 temos T2x 3 x 1 x2 0 x3 Portanto a segunda coluna da matriz M2 é 0 3 1 0 3 Aplicação da transformação T2 ao polinômio x2 T2x2 1 x 3 x2 x3 3x2 Em termos da base 1 x x2 x3 temos T2x2 0 1 0 x 3 x2 1 x3 Portanto a terceira coluna da matriz M2 é 0 0 3 1 Assim a matriz M2 da transformação T2 é dada por M2 3 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 Observação A matriz M2 é uma matriz 4 3 pois a transformação T2 pode gera termos em P3 d Matriz M21 associada à transformação T1T2px Queremos encontrar a matriz M21 da transformação T1 aplicada à transformação T2 que leva um polinômio px a T1T2px As transformações são definidas por T1px pa1x b1 onde a1 b1 83 13 e T2px a2x b2px onde a2 b2 1 3 Primeiro aplicamos T2 e depois aplicamos T1 para obter a transformação composta T1T2px A base usada é 1 x x2 x3 e a matriz resultante será 4 3 1 Aplicação da transformação T1T2 ao polinômio 1 Aplicando T2 a 1 T21 1 x 3 1 x 3 Aplicando T1 a x 3 T1x 3 83 x 13 3 83 x 83 Portanto a primeira coluna da matriz M21 é 83 13 0 0 2 Aplicação da transformação T1T2 ao polinômio x Aplicando T2 a x T2x 1 x 3 x x2 3x Aplicando T1 a x2 3x T1x2 3x 83 x 132 383 x 13 649 x2 169 x 19 8x 1 649 x2 169 8x 19 1 649 x2 569 x 89 Portanto a segunda coluna da matriz M21 é 89 569 649 0 3 Aplicação da transformação T1T2 ao polinômio x2 Aplicando T2 a x2 T2x2 1 x 3 x2 x3 3x2 Aplicando T1 a x3 3x2 T1x3 3x2 83x 13 3 3 83x 13 2 51227 x3 1289 x2 409 x 827 Portanto a terceira coluna da matriz M21 é 827 409 1289 51227 Assim a matriz M21 da transformação T1T2 é dada por M21 83 89 827 3 569 409 0 649 1289 0 9 51227 Observação A matriz M21 é uma matriz 4 x 3 pois a transformação composta pode gera termos de P3 Questão 2 a Realizar operações de rotaçãotranslação apropriadas para obter a forma reduzida da equação 32x2 52xy 7y2 72x 396y 10020 Vamos aplicar a translação para eliminar os termos lineares da equação cônica 32x2 52xy 7y2 72x 396y 1002 0 Primeiramente identificamos os coeficientes a 32 b 52 c 7 d 72 e 396 f 1002 Formamos o sistema de equações para eliminar os termos lineares 2ax0 by0 d 0 b x0 2cy0 e 0 Substituindo os valores dos coeficientes obtemos 2 32 x0 52 y0 72 0 52 x0 2 7 y0 396 0 Simplificando 64 x0 52 y0 72 0 52 x0 14 y0 396 0 Resolviendo este sistema encontramos x0 6 e y0 6 646 526 72 0 52 6 14 6 396 0 Verificação 384 312 720 312 84 396 0 Portanto x0 6 e y0 6 são soluções válidas Agora substituímos x0 6 e y0 6 na equação original para encontrar a nova constante fx0y0 32 62 52 6 6 7 62 72 6 396 6 1002 Calculando cada termo 32 62 32 36 1152 52 6 6 52 36 1872 7 62 7 36 252 72 6 432 396 6 2376 f 1002 Somando tudo fx0y0 1152 1872 252 432 2376 1002 30 A nova equação da cônica no sistema de coordenadas transladado é 32x2 52xy 7y2 30 0 Portanto após a translação para eliminar os termos lineares a equação da cônica é 32x2 52xy 7y2 30 0 Observe que os coeficientes dos termos quadráticos permanecem inalterados após a translação conforme esperado Aplicamos a rotação para eliminar o termo misto 52xy Escrevemos a matriz dos coeficientes dos termos quadráticos M 32 26 26 7 Os autovalores da matriz M são λ1 20 e λ2 45 Encontramos os autovetores correspondentes Para λ1 20 32 26 26 7 x y 20 x y 52 26 26 13 x y 0 0 Resolvendo o sistema 52x 26y 0 y 2x Escolhemos x 1 v1 1 2 Normalizando v1 v1 12 22 5 u1 15 1 2 15 25 Para λ2 45 32 26 26 7 x y 45 x y 13 26 26 52 x y 0 0 Resolvendo o sistema x 2y 0 y 12 x Escolhemos x 2 v2 2 1 Normalizando v2 v2 22 12 5 u2 15 2 1 25 15 A matriz de rotação R é formada pelos autovetores normalizados como colunas R 15 25 25 15 Aplicamos a rotação à matriz M RT M R 20 0 0 45 Assim a nova equação da cônica no sistema de coordenadas rotacionado é 20x2 45y2 1002 0 Portanto após a rotação para eliminar o termo misto a equação da cônica reduzida é 20x2 45y2 1002 0 b Determine os coeficientes característicos para identificar a forma cônica descrita pela equação A equação da cônica rotacionada é 20x2 45y2 1002 0 Comparando com a forma geral de uma cônica ax2 bxy cy2 dx ey f 0 Podemos identificar os coeficientes característicos como a 20 b 0 c 45 d 0 e 0 f 1002 Para identificar a forma da cˆonica utilizamos o discriminante da equacao geral da cˆonica que e dado por b2 4ac Substituindo os valores dos coeficientes 02 42045 3600 Como 0 a cˆonica e uma hiperbole Portanto a forma cˆonica descrita pela equacao e uma hiperbole 8