Exercícios de Variáveis Complexas

Segunda verificação de variável complexa 1 1pt Use a definição para calcular a integral γ 𝑧 𝑧 dz γt eit 0 t 2π 2 1pt Use primitivas para calcular a integral γ z2iz dz onde γ é o segmento de reta que une 1 a 1i 3 2pt Use a fórmula integral de Cauchy para obter γ fzdz a fz sen zz2 γt eit 0 t 2π b fz 1z2 2 γ círculo de centro 2 e raio r1 4 2pt Obter a série de Laurent para as função fz cos zz3 em torno de a0 5 2pt Determinar e classificar as singularidades isoladas das funções a fz ezz2 1 b fz 1zz2i 6 2pt Determinar Resfa para as singularidades das funções do exercício 2 7 2pt Calcular as integrais reais seguintes a ₀ x21x242 dx b ₀ dxx4a4 a0 b ₀ dxx4a4 a0 fz 1z4 a4 z4 a4 0 z z 2a eiπ4 2a e3iπ4 a e5iπ4 a e7iπ4 No plano superior z 2a eiπ4 2a e3iπ4 Resf 2a eiπ4 limz z₁ 1z 2a eiπ4z 2a e5iπ4z 2a e7iπ4 12a eiπ4 2a e5iπ4 2a eiπ4 2a e3iπ4 2a eiπ4 2a e7iπ4 Resf 2a eiπ4 Resf 2a e3iπ4 1a2a2 a2 ii2 a 1a22 a i2 a a2 i 12a3 1 i 2 i 12a3 1 i 2 i 12a3 2 i Logo dxx4 a4 Re2π i 12a3 2 i Re2π2a3 2 Reπa3 2 πa3 2 Portanto ₀ dxx4 a4 12 dxx4 a4 π22 a3 Soluções ① γt eit cos t i sen t γt sen t i cos t dt Na integral γ z 𝑧 dz ₀2π cos t i sen tcos t i sen tsen t i cos t dt ₀2π cos2 t sen2 tsen t i cos t dt ₀2π sen t i cos t dt cos t i sen t0 2π 1 0i 1 0i 0 ② γ z2iz dz γ zz 2iz dz γ 1 2iz dz 11i 1 2iz dz z 2i ln z11i 1i 2i ln1i 1 2i ln1 i 2i ln1i ③ a γ sen zz2 dz γt eit 0 t 2π Pelo Teorema de Cauchy fz sen z fz cos z 2π i f0 2π i cos0 2π i 1 2π i caminho fechado y0 y2π x Y X b y 1z2 2 dz z2 2 z 2z 2 y 1z 2z 2 dz fz 1z 2 Pelo Teorema de Cauchy 2πi f2 2πi 12 2 2πi22 πi2 22 πi22 2π2 i ④ fz Cos zz3 Lembremos que a série de Taylor de Cos z é Cosz Σn0 1n z2n2n multiplicando x 1z3 fz 1z3 Cosz 1z3 Σh0 1n2n z2n Σn0 1n2n z2n3 Portanto a série de Laurent de fz em z0 fz Σn0 1n2n z2n3 ⑤ a fz ez z2 1 Se z2 1 0 z2 1 z i z i z i as singularidades são polos simples b fz 1 zz 2i Se zz 2i 0 z0 z2i0 z0 z2i as singularidades são polos simples ⑥ fz z 2iz a singularidade é z0 fz z 2iz 1 2iz logo o residuo é o termo a1 da série de Laurent de f a1 2i Assim Resf 0 2i ⑦ 0 x2 1x2 42 dx Consideremos a função complexa fz z2 1z2 42 z2 42 0 z2 4 z 2i polos de ordem 2 Resf 2i limz2i ddz z 2i2 z2 1z 2i2 z 2i2 limz2i ddz z2 1 z 2i2 limz2i 2zz 2i2 z2 12z 2i z 2i4 4i4i2 2i2 18i 256 i4 64i 32i 8i256 40i256 5i16 Resf 2i limz2i ddz z 2i2 z2 1 z 2i2 z 2i2 limz2i ddz z2 1 z 2i2 limz2i 2zz 2i2 z2 12z 2i z 2i4 4i4i2 324i 4i4 64i 24i256 40i256 Logo zR z2 1z2 42 dz γR z2 1z2 42 dz 2πi Resf 2i 5i16 RR x2 1x2 42 dx 5π32 R 2 0 x2 1x2 42 dx 5π16 0 x2 1x2 42 dx 5π32