Lista de Exercícios Resolvidos - Variável Complexa

Lista 3 de Variável Complexa 1 Desenhe a curva γ e calcule pela definição a seguinte integral γ 1z21 dz onde γ é o círculo unitário centrado na origem contido no semiplano superior 2 Calcule 12πi γ 1z dz onde γ é o círculo unitário centrado na origem com ângulo variando de 0 até 14π Qual o significado geométrico do valor achado 3 Calcule γ senzzi dz onde γ é dado por zi3 com o ângulo variando de 0 a 8π 4 Ache a série de Laurent o anel de convergência dessa série o resíduo e a integral sobre uma curva γ definida como no Teorema da série de Laurent para fz 2z13z com z0 0 5 Classifique a singularidade calcule seu resíduo e ache o valor da integral γ fz dz onde fz z4zi2 γ é a curva z2 6 Faça todas as contas para obter o valor da integral imprópria 2i1x4 dx Respostas 1 π2 2 7 3 4π1e2e 4 fz Σn0 1 13n1 zn Resf 0 0 5 polo de ordem 2 resíduo vale 1 6 π2i Resolução 14 de janeiro de 2023 Capítulo 1 Exercício 11 Comecemos analisando as singularidades z2 1 0 z i Portanto as singularidades ocorrem em z i A curva em questão tem seu traço dado por um arco de circunferência o qual representamos em azul A linha azul na parte inferior representa apenas a região cortada Assim note que a singularidade i está no traço da curva e por isso tornase impossível de ser resolvido com métodos convencionais Mas podemos fazer uma boa substituição observe que tratase de metade da circunferência então podemos escrever z eiθ com 0 θ π Daí γ 1z21 dz 0π i eiθeiθ21 dθ arctan1 arctan1 π4 π4 π2 Exercício 12 Esta questão pode ser resolvida aplicando a Fórmula Integral de Cauchy vejamos Veja que ao variar o ângulo de 0 a 14pi no círculo unitário estaremos dando a volta no mesmo 7 vezes Ainda mais sendo γ1 o mesmo círculo mas com o ângulo variando de 0 a 2pi teremos γ 1z dz 7 γ1 1z dz Daí aplicando a Fórmula Integral de Cauchy com fz 1 f0 1 12pii γ1 1z dz 12pii γ 1z dz 7f0 7 12pii γ1 1z dz 7 Ou seja 12pii γ 1z dz 7 Isso posto o significado geométrico do valor encontrado é a quantidade de voltas dada pela curva no contorno do círculo Exercício 13 Comecemos analisando a curva em questão z i 3 é a curva com centro em i e raio 3 mas dando 4 voltas pois o ângulo varia de 0 a 8pi Vamos usar novamente a Fórmula Integral de Cauchy sendo fz senz com z i sendo a singularidade Daí sendo γ1 a mesma curva dando apenas 1 volta fi seni 12pii γ1 senzz i dz Com isso γ senzz i dz 4 2pii seni 8pii ei2 ei22i 4pi e 1e 4pi e2 1e Exercício 14 A princípio veja que usando frações parciais podemos escrever 2z 13 z 1z 1 13 z 11 z 13 z Analisemos cada uma dessas frações separadamente a primeira se z 1 pode ser interpretada como a soma de progressão geométrica infinita com razão z e termo inicial 1 Portanto 11 z n0 zn em que zn são as singularidades da função a ser integrada no plano complexo Rz 2i1 z4 Isto é 1 z4 0 z4 1 epii e2kpii Disso decorre que z 41 Pela Fórmula de De Moivre teremos as raízes zk e2k1pii4 k 0123 Ou seja podemos expressar 1 z4 z z0z z1z z2z z3 e a partir disto perceber que cada um dos zk são polos simples pois existe é finito e não nulo cada limite limz zkz zkfz Ainda mais como a integração deve ser feita no semiplano superior isto é quando Imz 0 precisamos calcular os resíduos apenas nos pontos epii4 e e3pii4 isto pode ser facilmente verificado ao lembrar que eix cosx isenx Agora para calcular os resíduos poderemos usar a regra de LHospital Resf epii4 limz epii4 z epii4Rz limz epii4 2i4z3 i2 e3pii4 i2 22 i22 Analogamente com conta semelhante Resf epii4 i2 e9pii4 i2 22 i22 Pelo Teorema dos Resíduos 2i1 x4 dx 2pii i2 22 i22 i2 22 i22 pi2 Analogamente para a segunda sendo z 3 e termo inicial 13 Assim 13 z n0 zn3n1 Daí fz n0 1 13n1 zn e com as restrições que fizemos precisaremos z 1 sendo então o anel de convergência A001 z C 0 z 1 Isso posto claramente o resíduo em z0 0 é 0 pois todos os termos dessa série com n 0 são nulos Isto é Resf 0 0 Daí se γ está contida no anel A001 temos pelo Teorema dos Resíduos de Cauchy γ fz dz 2pii Resf 0 0 Observação A série de Laurent pode ser dada por fz n1 anz z0n n0 bnz z0n e o resíduo está relacionado com os termos de ordem negativa os an da expansão acima Na questão que estamos resolvendo temos an 0 para todo n 0 n 12 Exercício 15 A princípio observe que z i é um polo de ordem 2 pois limz i z i2 fz limz i z 4 4 i 0 Portanto para calcular o resíduo Resf i z i2 fzi z 4i 1 Agora se atente ao fato de i ser um ponto interior à curva γ Logo podemos calcular a integral em questão usando o Teorema dos Resíduos γ fz dz 2pii Resf i 2pii Exercício 16 Para resolver esta integral vamos recorrer aos números complexos Temos que vale o seguinte 2i1 x4 dx 2pii n14 Res11 z4 zn