Numeros Complexos e Variaveis Complexas - Teoria e Aplicacoes

O livro é uma revisão extensa da primeira edição publicada em 1948 Grande parte do material foi reescrito com vistas à exatidão lógica e clareza O capítulo 11 sobre fórmulas integrais de Poisson é inteiramente novo Ao que saiba o autor constituiu a primeira coleção de tais fórmulas O número de exercícios foi aumentado consideravelmente dandose as respostas para a maioria deles Algumas extensões da teoria aparecem nos exercícios Durante a preparação do livro nesta edição o autor se valeu de sugestões de vários estudantes e colegas Dentre seus colegas locais Prof C L Dolph B Dushnik T H Hildebrandt W Kaplan e E D Rainville merecem agradecimentos especiais Por comentários proveitosos de colegas entre os quais J R Britton W B Curry R J Duffin W L Duren T J Higgins I Marx M E Shanks e F H Steen o autor expressa sua apreciação A seleção do material ou dos métodos de demonstração foi influenciada por alguns dos livros cujos títulos se encontram no Apêndice 1 Ruel V Churchill CAPÍTULO 1 Números Complexos 1 Definição Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado xy de números reais x e y 1 z xy sujeito às regras e leis de operação a serem especificadas abaixo O par x0 é identificado com o número real x 2 x0 x Esta regra permite configurar os números reais como um subconjunto do conjunto dos números complexos Convém dar um nome e um símbolo ao par 01 Este par será chamado unidade imaginária e indicado por i 01 i Os números reais x e y são respectivamente a parte real e a parte imaginária de xy sendo indicados por Rz x gz y Um par do tipo 0y é um número imaginário puro Uma outra regra a ser imposta a tais pares é que dois números complexos são iguais se e somente se as partes real e imaginária de um são iguais respectivamente às do outro 3 x1y1 x2y2 se e somente se x1 x2 e y1 y2 Em particular visto que 0 00 temse z xy 0 se e somente se x 0 e y 0 2 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES Dois números complexos quaisquer z1 x1y1 e z2 x2y2 têm a soma e o produto denotados por z1 z2 e z1z2 definidos como os números complexos dados pelas fórmulas 4 z1 z2 x1y1 x2y2 x1 x2 y1 y2 5 z1z2 x1y1x2y2 x1x2 y1y2 x1y2 x2y1 Em particular temse x0 0y xy e 0y y0 01 Assim cada número complexo que não é real pode ser escrito como soma de um número real e um número imaginário puro 6 z xy x yi O produto zz se escreve z2 z² significa zz² etc De acordo com a definição 5 temse 012 10 isto é i2 1 Em vista da equação 6 a fórmula 5 pode ser escrita x1 y1ix2 y2i x1x2 y1y2 x1y2 x2y1i A expansão formal do produto no primeiro membro efetuada como se os binômios fossem reais e a substituição de i2 por 1 dão o mesmo resultado A definição 5 justifica esse procedimento formal Os pares ordenados 1 de números reais que satisfazem às condições 2 a 5 são definidos como números complexos 2 Propriedades Adicionais Podemse definir várias outras operações sobre números A operação de subtração é a inversa da adição isto é se a diferença z1 z2 se denota por z3 z1 z2 z3 então z3 é o número complexo que deve ser somado a z2 para produzir z1 z2 z3 z1 ou x2y2 x3y3 x1y1 Em vista da definição 4 Sec 1 da adição temse x2 x3 y2 y3 x1y1 e igualandose as partes correspondentes vêse que x2 x3 x1 y2 y3 y1 NÚMEROS COMPLEXOS 3 Resolvendose em relação a x3 e y3 obtémse a lei da subtração 1 z1 z2 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2i A divisão é a inversa da multiplicação isto é z1z2 z3 se z2z3 z1 z2 0 ou x1x3 y1y3 x2y3 x3y2 x1y1 A seguir igualando as partes correspondentes e resolvendo as duas equações resultantes em relação a x3 e y3 obtemos a lei da divisão 2 z1z2 x1x2 y1y2x2² y2² x2y1 x1y2x2² y2²i z2 0 É útil observar que esta mesma fórmula aparece numa maneira puramente manipulativa quando o numerador e o denominador no primeiro membro são ambos multiplicados por x2 y2i A divisão por zero não é definida A partir das fórmulas para o quociente e o produto é fácil mostrar que 3 z1z2 z1 1z2 1z2z3 1z21z3 z2 0 z3 0 As operações fundamentais são ilustradas no seguinte exemplo 1 3i1 2i2 i 2i 7 i2 i 155 55 i 2i 3 i As leis comutativas para a adição e a multiplicação 4 z1 z2 z2 z1 z1z2 z2z1 decorrem da definição de números complexos e do fato de que os números reais satisfazem a tais leis Por exemplo z1 z2 z1 x2 y1 y2i x2 x1 y2 y1i z2 z1 A prova da segunda das leis comutativas 4 é deixada como exercício De acordo com esta lei temos yi iy e doravante podemos escrever ou z x yi ou z x iy As leis associativas para a adição e a multiplicação 4 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES 5 z1 z2 z3 z1 z2 z3 6 z1z2z3 z1z2z3 e a lei distributiva da multiplicação em relação à adição 7 z1z2 z3 z1z2 z1z3 são também satisfeitas pelos números complexos As demonstrações destas leis que decorrem da definição e das leis correspondentes para os números reais bem como as deduções de algumas consequências das leis 4 a 7 são deixadas como exercícios Dentre as consequências vemos que 8 z1 z2z3 z1z3 z2z3 z1z2z3 z1z3z2z3 z3 0 z4 0 Estas fórmulas podem ser deduzidas com o auxílio das fórmulas 3 Observese que a lei distributiva 7 também é uma lei para fatoração Devemos destacar aqui outra propriedade que decorre da nossa definição Se o produto de dois números complexos é nulo então pelo menos um dos fatores deve ser nulo isto é 9 z1z2 0 implica z1 0 ou z2 0 Da definição do produto decorre que se z1z2 0 então 10 x2x1 y2y1 0 e y2x1 x2y1 0 Se pelo menos um dos x1 e y1 não é nulo então o determinante dos seus coeficientes no sistema homogêneo 10 deve ser igual a zero isto é x2² y2² 0 e portanto x2 y2 0 Logo se z1z2 0 então ou z1 0 ou z2 0 ou ainda z1 z2 0 3 Representação Geométrica É natural associar ao par xy que representa o número complexo z as coordenadas cartesianas retangulares de um ponto no planoxy Cada número complexo corresponde a um único ponto e reciprocamente O número 2i por exemplo é representado pelo ponto 21 Fig 1 A origem representa o ponto z 0 Quando usado para exibir os números complexos z geometricamente o planoxy se diz plano complexo ou planoz Por outro lado o número z pode ser concebido como o segmento orientado vetor da origem ao ponto xy ou como qualquer vetor obtido pela translação no plano desse vetor Assim o vetor emanando do ponto 21 ao ponto 33 que tem a primeira componente igual a 1 e a segunda igual a 2 representa o número 12i A representação vetorial e a representação por pontos de números complexos são ambas muito úteis Doravante o número complexo z será considerado freqüentemente como ponto z ou como vetor z Devese notar porém que o produto z1z2 de dois números complexos é um número complexo vetor no plano dos vetores z1 e z2 Este produto portanto não é o produto escalar nem o produto vetorial usados no cálculo vetorial Conseqüentemente os números complexos não podem ser identificados com os vetores do cálculo vetorial de dimensão dois Os vetores no cálculo vetorial assim como matrizes são números complexos de outro tipo suas álgebras são diferentes da álgebra para os números z De acordo com a definição da soma de dois números complexos z1 z2 corresponde ao ponto x1 x2y1 y2 Este ponto por sua vez corresponde ao vetor cujas componentes são as coordenadas do ponto Assim o número z1 z2 é representado pela soma vetorial dos vetores z1 e z2 como mostra a figura 2 A diferença z1 z2 é representada pelo vetor partindo do ponto z2 ao ponto z1 Fig 3 EXERCÍCIOS 1 Verifique a 2 i i1 i2 2i b 2 321 18 c 313135 110 21 d 1 2i3 4i 2 i5i 25 e 51 i2 i3 i 12i f 1 i4 4 2 Apresente os números z1 z2 z1 z2 e z1 z2 graficamente quando a z1 2i z2 39 i b z1 3 1 z2 3 0 c z1 31 z2 14 d z1 x1 y1i z2 x1 y1i 3 Mostre que a zz 1 b 11z z c gix gz sendo z 0 em a e b 4 Mostre que cada um dos dois números z 1 i satisfaz à equação z2 2z 2 0 5 Estabeleça as fórmulas 3 Sec 2 6 Prove a lei comutativa z1z2 z2z1 7 Prove as leis associativas 5 e 6 Sec 2 8 Prove a lei distributiva 7 Sec 2 9 Sendo K um número real e z x y mostre que kz kx ky e portanto z x yi onde z designa 1 z 10 Estabeleça a primeira das fórmulas 8 Sec 2 11 Prove que z2z1 2z2 z3 zz1 zz2 zz3 12 Mostre que o produto de três números z1 z2 e z3 não depende da ordem de multiplicação de modo que o produto pode ser escrito z1z2z3 13 Prove que se z1z2z3 0 pelo menos um dos três fatores é zero 14 Prove que z1z2z3z4 z1z3z2z4 15 Estabeleça a segunda das fórmulas 8 Sec 2 e mostre que zz1zz2 z1z2 z 0 z2 0 16 Mostre que o ponto representado por 12 z1 z2 é o ponto médio do segmento entre os pontos z1 e z2 17 Prove que 1 z2 1 2z z2 18 Prove por indução a fórmula binomial 1 zn 1 nz nn 12 z2 nn 1n k 1k zk zn onde n e k são inteiros positivos 4 Conjugados Complexos O conjugado complexo ou simplesmente conjugado de um número complexo z x y x yi é o número z x y x yi O ponto z é a reflexão do ponto z no eixo x isto é a posição do ponto z é simétrica à do ponto z em relação ao eixo x Fig 4 Se z1 x1 y1 e z2 x2 y2 então z1 z2 x1 x2 y1 y2i x1 y1i x2 y2i em outras palavras o conjugado da soma é a soma dos conjugados 1 z1 z2 z1 z2 O leitor poderá provar de maneira análoga que a operação de tomar conjugados também é distributiva em relação à subtração à multiplicação e à divisão isto é 2 z1 z2 z1 z2 3 z1 z2 z1 z2 4 z1z2 z1z2 z2 0 O conjugado de z1 z2 é ilustrado como vetor na Fig 4 Observese que o conjugado de z é z O conjugado de um número real é ele próprio Devese notar também que a soma de um número complexo e seu conjugado é um número real de fato 5 z z 2x 2Rez Por outro lado a diferença de um número complexo e seu conjugado é um número imaginário puro a saber 6 z z 2yi 2gzi 5 Valores Absolutos Se x e y são reais o número real não negativo x2 y2 é chamado valor absoluto ou módulo do número complexo z x iy isto é por definição 1 z x iy x2 y2 Geometricamente o valor absoluto de z é o comprimento do vetor z é a distância entre o ponto z e a origem Conseqüentemente z1 z2 é a distância entre os pontos z1 e z2 Esta afirmação segue imediatamente da definição 1 já que 2 z1 z2 x1 x2 iy1 y2 x1 x22 y1 y22 A condição z2 z1 3 por exemplo implica que o ponto z está sobre o círculo de raio 3 com centro em 0 1 O enunciado z1 z2 significa que o ponto z1 está a maior distância da origem do que o ponto z2 A noção elementar de ordem maior do que ou menor do que se aplica a valores absolutos uma vez que eles são números reais Entretanto tal noção não se aplica em geral a números complexos isto é uma afirmação do tipo z1 z2 ou z1 z2 não tem significado a menos que z1 e z2 sejam ambos reais Associados a cada número complexo z há três números reais já definidos z Rez e gz que se relacionam pela equação z2 Rez2 gz2 e pelas condições 3 z Rez 0 z gz 0 Visto que z x y quando z x y é imediato que 4 zz x2 y2 z2 5 z z A partir das definições de produto quociente e valor absoluto podese mostrar que os símbolos de valor absoluto são distributivos em produtos e quocientes isto é 6 z1 z2 z1 z2 7 z1z2 z1z2 z2 0 É mais simples porém estabelecer essas fórmulas com o auxílio da fórmula 4 e propriedades de conjugados Para provar a fórmula 6 por exemplo podese usar uma extensão da lei associativa Exercício 14 Sec 3 para se escrever z1 z22 z1 z2z1 z2 z1 z1z2 z2 z12 z22 isto é z1 z22 z12 z22 0 Assim temse z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 0 Se nenhum dos z1 e z2 é zero o segundo fator em parêntesis tem um valor positivo e portanto o primeiro fator deve ser nulo donde segue a fórmula 6 Quando z1 0 ou z2 0 a fórmula 6 é obviamente verdadeira As duas desigualdades triangulares 8 z1 z2 z1 z2 9 z1 z2 z1 z2 nos dizem que nenhum lado de um triângulo é maior em comprimento do que a soma dos dois outros lados Fig 2 nem é menor do que a diferença dos comprimentos dos demais lados Fig 3 Em vista da desigualdade 9 z1 z2 z1 z2 mas esta desigualdade é trivial a menos que z1 z2 Notese também que substituindo z2 por z2 em 8 e 9 podemos escrever z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 As desigualdades triangulares podem ser demonstradas algebricamente A desigualdade 8 por exemplo é estabelecida assim Escrevese primeiro z1 z22 z1 z2z1 z2 z1 z1 z2 z2 z1 z2 z1 z2 Agora z1 z2 é o conjugado de z1 z2 Portanto e z1 z2 z1 z2 2Rez1 z2 e z1 z22 z1 z22 2z1 z2 Rez1 z2 De acordo com 3 e 5 temse Rez1 z2 z1 z2 z1 z2 Logo z1 z22 z1 z22 0 e a desigualdade 8 segue quando o primeiro membro é fatorado Em vista da desigualdade 8 temse por exemplo z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 Esta propriedade é facilmente estendida por indução à forma 10 Σzknk1 Σzknk1 n 1 2 6 A Forma Polar Sejam r e t as coordenadas polares do ponto representando z Fig 5 onde r 0 Então 1 x r cos t y r sen t e o número complexo z pode ser escrito na forma polar 2 z r cos t i sen t r 0 O raio vetor r é x2 y2 isto é 3 r z O ângulo t é chamado argumento de z denotado por arg z Quando z 0 os valores de t são determinados a partir das equações 1 ou da relação 4 tg t yx e do quadrante em que o ponto z se encontra Entretanto arg z é multivalente pois nas equações 1 sen t cos t são funções periódicas de t com período 2pi radianos Se z 0 existe um único valor de t em radianos no intervalo t0 t t0 2pi onde t0 é um número qualquer Quando z 0 então r 0 e t é arbitrário Como um exemplo podemos ver que se z 2 2i então r 22 e arg z pi4 2npi n 0 1 2 como outro exemplo i cos 3pi2 i sen 3pi2 cos pi2 i sen pi2 Quando z tem a forma 2 a forma polar do seu conjugado é 5 z r cos t i sen t Assim um dos valores de arg z é arg z É conveniente usar às vezes a representação polar em torno de um certo ponto z0 ao invés da origem A representação 6 z z0 rcos f i sen f de z z0 na forma polar pode ser interpretada graficamente como indicada na figura 6 isto é r é a distância entre z e z0 r z z0 e f é o ângulo de inclinação do vetor Como ilustração a equação z i z i 4 cos f i sen f onde f assume todos os valores no intervalo 0 f 2pi representa os pontos do círculo de raio de 4 e com centro em 0 1 7 Produtos Potências e Quocientes O produto dos dois números z1 r1 cos t1 i sen t1 z2 r2 cos t2 i sen t2 é z1 z2 r1 r2 cos t1 cos t2 sen t1 sen t2 i sen t1 cos t2 cos t1 sen t2 e esta fórmula se reduz à forma polar do produto 1 z1 z2 r1 r2 cos t1 t2 i sen t1 t2 Logo um dos argumentos do produto é a soma t1 t2 dos argumentos dos fatores arg z1 z2 arg z1 arg z2 Geometricamente o comprimento do vetor z1 z2 é igual ao produto dos comprimentos de z1 e z2 O ângulo de inclinação do vetor z1 z2 é a soma dos ângulos t1 e t2 Fig 7 Em particular quando um número complexo z é multiplicado por i o vetor resultante iz é aquele que se obtém girando o vetor z no sentido antihorário de ângulo reto e sem alterar o comprimento do vetor visto que iz cos pi2 i sen pi2 r cos t i sen t r cos t pi2 i sen t pi2 Da fórmula 1 decorre imediatamente z1 z2 zn r1 r2 rn cos t1 t2 tn i sen t1 t2 tn Conseqüentemente se z r cos t i sen t e se n é um número inteiro positivo 2 zn rn cos n t i sen n t Quando r 1 esta fórmula se reduz ao teorema de De Moivre para expoentes inteiros positivos 3 cos t i sen tn cos n t i sen n t O quociente de dois números complexos é dado na sua forma polar pela fórmula 4 z1z2 r1r2 cos t1 t2 i sen t1 t2 r2 0 Como a divisão é a inversa da multiplicação esta fórmula pode ser facilmente obtida a partir da fórmula 1 Temse como caso particular 1z 1r cos t i sen t 1r cos t i sen t 12 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES e em vista de 2 se zn designa 1zn 5 zn 1zn 1rn cos nΘ i sen nΘ 12n Assim sendo a fórmula 2 e o teorema deDe Moivre 3 são válidos também para expoentes inteiros negativos EXERCÍCIOS 1 Mostre que a z 3i z 3i b iz iz c 2 i23 4ţ 1 d 2z 52 i 3 2z 5 2 Determine um valor de argz quando a z z1z2 z2 0 b z z1n n 1 2 c z 21 i3 d z i2 2i e z 3 i6 Resp a argz1 argz2 b n argz1 c 2π3 e π 3 Usando a forma polar mostre que a i1 i33 i 2 2i3 b 5i2 i 1 2i c 1 i7 8 1 i d 1 i310 2111 i3 4 Sejam z0 um número complexo fixo e R uma constante positiva explique por que um ponto z se situa sobre um círculo de raio R com centro em z0 quando z satisfaz a qualquer uma das seguintes equações a z z0 R b z z0 Rcos Φ i sen Φ onde Φ é real c zz z0z z0z z0z0 R2 5 Prove que a z é real se z z b z é real ou imaginário puro se z2 z2 6 Estabeleça a fórmula 3 Sec 4 b fórmula 4 Sec 4 7 Prove que a z1z2z3 z1z2z3 b z4 z4 8 Demonstre a propriedade 7 Sec 5 relativa ao valor absoluto de um quociente 9 Sendo z2z3 0 mostre que a z1z2z3 z1z2z3 b z1z2z3 z1 z2 z3 NÚMEROS COMPLEXOS 13 10 Dê uma demonstração algébrica da desigualdade triangular 9 Sec 5 11 Sendo z2 z3 mostre que z1z2 z3 z1z2 z3 12 Prove que z2 Rz gz 13 Seja z1z2 0 Usando a forma polar com argumentos medidos em radianos mostre que Rz1z2 z1 z2 se e somente se arg z2 arg z1 2nπ n 0 1 2 14 Seja z1z2 0 Usando o resultado em Ex 13 mostre que z1 z2 z1 z2 se e somente se arg z2 arg z1 2n Verifique esta afirmação geometricamente 15 Seja z1z2 0 Usando o resultado em Ex 13 mostre que z1 z2 z1 z2 se e somente se arg z2 arg z1 2nπ Verifique esta afirmação geometricamente 16 Estabeleça a fórmula 1 z z2 zn 1 zn11 z z 1 para a soma de uma série geométrica finita e daí deduza as seguintes fórmulas a 1 cos θ cos 2θ cos nθ 12 sen n 12 θ2 sen θ2 b sen θ sen 2θ sen nθ 12 cot θ2 cosn 12 θ 2 sen θ2 onde 0 θ 2π 8 Extração de Raízes O problema de extrair as raízes nésimas z1n de um número complexo z é o de resolver a equação 1 z0n z para z0 quando z e o número inteiro positivo n são dados Seja z rcos θ i sen θ a forma polar de z z 0 e escrevemos z0 r0cos θ0 i sen θ0 onde r0 e θ0 são ainda incógnitas A equação 1 fica r0n cos nθ0 i sen nθ0 rcos θ i sen θ Conseqüentemente se os ângulos são medidos em radianos r0n r nθ0 θ 2kπ 14 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES onde k é zero ou inteiro positivo qualquer Como r e r0 são números positivos r0 deve ser a raiz nésima real positiva de r Agora θ0 θn 2kπn mas esses valores de θ0 dão o mesmo valor de z0 para dois inteiros k quaisquer que diferam entre si de um múltiplo de n Portanto existem exatamente n soluções distintas da equação 1 quando z 0 a saber 2 z0 r cos θ 2πkn i sen θ 2πkn onde k 0 1 2 n 1 São estes os n valores de z1n Geometricamente o comprimento de cada um dos n vetores z1n é o número positivo r O argumento de um desses vetores é o ângulo obtido dividindose θ por n e os demais argumentos são obtidos por adição de múltiplos de 2πn a θn Quando z 0 equação 1 tem uma e uma só solução z0 0 portanto 01n 0 Como 1 cos 0 i sen 0 as raízes nésimas da unidade podem ser escritas 3 11n cos 2πkn i sen 2πkn k 0 1 2 n 1 Em particular quando k 1 a raiz correspondente se denota por ω 4 ω cos 2πn i sen 2πn Em vista do teorema de De Moivre Sec 7 as raízes 3 são 5 1 ω ω2 ωn1 No plano complexo as raízes nésimas da unidade são os vértices do polígono regular de n lados inscrito no círculo z 1 com um vértice no ponto z 1 Veja a figura 8 para n 3 e a figura 9 para n 6 FIG 8 FIG 9 NÚMEROS COMPLEXOS 15 Se z1 é uma raiz nésima qualquer de z então 6 z1 z1ω z1ω2 z1ωk z1ωn1 são as n raízes nésimas de z pois multiplicar z1 por ωk corresponde a aumentar de 2kπn o argumento de z1 Sejam m e n inteiros positivos sem fator comum De acordo com a fórmula 2 e a expressão 6 7 zm1n rm cos mθn i sen mθn ωm h 0 1 n 1 8 z1nm rm cos θn i sen θnm rm cos mθn i sen mθn ωkm k 0 1 n 1 Os dois conjuntos de n números acima são idênticos se os conjuntos ωh e ωkm coincidem quando h e k percorrem independentemente os valores 0 1 2 n 1 Mostremos primeiro que ωkm tem n valores distintos Se dois dos seus valores correspondentes a dois valores distintos k e k de k fossem iguais então os dois pontos ωkm e ωkm coincidiriam e em vista da fórmula 4 existiria um inteiro positivo p tal que 2πkmn 2πkmn 2πp ou k k mn p Como mn é irredutível k k seria divisível por n isto é existiria um inteiro positivo j tal que k k nj Mas isto é impossível já que k k n Mostremos agora que para cada valor fixado de k o número ωkm é um dos n números distintos ωh o que mostra a coincidência dos dois conjuntos em questão Seja qn o maior múltiplo de n que não excede km sendo q zero ou algum inteiro positivo de modo que km qn h onde h toma um dos valores 0 1 2 n 1 Seguese então da fórmula 4 que ωkm ωh e este último é o número ωh quando h h Assim a coincidência dos dois conjuntos de números 7 e 8 está completamente demonstrada Os n números em qualquer um dos conjuntos podem ser indicados por zmn 16 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES 9 zmn nrm cosmnθ 2πk i senmnθ 2πk onde k 0 1 2 n 1 Definiremos zc onde c é qualquer número complexo na Sec 28 O número 1zc é escrito zc Portanto se o expoente é racional escrevemos zmn para 1zmn Podemos mostrar dos resultados já estabelecidos que o conjunto zmn pode ser escrito 10 zmn z1nm zm1n 9 Regiões no Plano Complexo Daremos aqui as definições de alguns termos técnicos Uma vizinhança de um ponto z0 é o conjunto de todos os pontos para os quais 1 z z0 ε onde ε é alguma constante positiva Assim uma vizinhança consiste em todos os pontos de um disco ou região circular inclusive o centro z0 mas sem os pontos do círculo de contorno O termo vizinhança será usado estritamente neste sentido Um ponto z0 se diz ponto de acumulação ou pontolimite de um conjunto de pontos no planoz se toda vizinhança de z0 contém pontos do conjunto distintos de z0 Sendo assim cada ponto do círculo z c é um ponto de acumulação do conjunto z c e esses pontos de acumulação não pertencem ao conjunto Cada ponto do conjunto z c é também um ponto de acumulação do conjunto Como outro exemplo o conjunto dos pontos z 1n n 1 2 tem o ponto de acumulação z 0 Um ponto interior de um conjunto S é um ponto de S tal que alguma vizinhança desse ponto contém somente pontos de S Assim pontos interiores são sempre pontos de acumulação Se um ponto de acumulação z0 de um conjunto S não é ponto interior isto é se cada vizinhança de z0 contém um ponto não pertencente a S assim como pontos de S então z0 se diz ponto de fronteira do conjunto S Em particular então todo ponto de acumulação que não pertence ao conjunto é um ponto de fronteira A origem z 0 bem como cada ponto do círculo unitário z 1 é um ponto de fronteira de qualquer um dos seguintes conjuntos 2 0 z 1 ou 0 z 1 O conjunto 1 e o primeiro dos conjuntos 2 são exemplos de regiões abertas conjuntos que contêm somente pontos interiores Um conjunto que consiste de todos os pontos de uma região aberta e eventualmente de alguns dos seus pontos de fronteira tal como o segundo dos conjuntos 2 se diz simplesmente região Uma região é limitada se todos os seus pontos pertencem a um certo disco z c para alguma constante c Assim as regiões 2 são limitadas enquanto que a região aberta x0 é ilimitada Uma região limitada que contém todos os seus pontos de acumulação será chamada região fechada O fecho R de uma região limitada R é o conjunto formado por todos os pontos de R e por todos os seus pontos de fronteira A região fechada z 1 por exemplo é o fecho de cada uma das regiões 2 Uma região é conexa se dois pontos quaisquer da mesma podem ser ligados por uma cadeia contínua de um número finito de segmentos cujos pontos pertencem à região Assim a região aberta que consiste de todos os pontos interiores ao círculo z 1 e de todos os pontos exteriores ao círculo z 2 não é conexa Uma região aberta e conexa é denominada domínio O domínio 3 0 arg z 2π z 0 por exemplo contém todos os pontos do plano exceto a origem e os pontos do semieixo positivo dos x EXERCÍCIOS 1 Ache todos os valores das seguintes raízes Verifiqueas graficamente a 2i12 b i13 c 113 d 816 Resp a 1 i b i 3 i2 d 2 12 i32 2 Ache todos os valores de a 1 i332 b 134 Resp a 22 3 Ache as quatro raízes da equação z4 4 0 e usandoas fatore z4 4 em fatores quadráticos com coeficientes reais 4 Resp z2 2z 2z2 2z 2 Usando a fórmula para a soma de uma série geométrica finita Ex 16 Sec 7 mostre que se w é uma raiz nésima imaginária qualquer da unidade então 1 w w2 wn1 0 5 Mostre que a fórmula quadrática usual resolve a equação quadrática az2 bz c 0 onde os coeficientes a b e c são números complexos 6 Sendo m e n inteiros positivos mostre a que z1z2m z1m z2m b que os dois conjuntos de números z1 z2mn e z11n z21n são iguais e portanto c que os dois conjuntos z1z2mn e z1mnz2mn coincidem 7 Descreva geometricamente a região determinada por cada uma das seguintes condições Classifique também a região conforme termos definidos na Sec 9 18 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES a Θz 2 b z 4 3 c z 1 3i 1 d gz 1 e Θz 0 f 0 arg z π4 z 0 Resp a b e domínio ilimitado c região fechada o fecho de um domínio limitado d região aberta ilimitada não conexa 8 Descreva geometricamente cada uma das seguintes regiões a π arg z π z 2 b 1 z 2i 2 c 2z 3 4 d gz² 0 e ℜ1z 12 f z 4 z CAPÍTULO 2 Funções Analíticas 10 Funções de uma Variável Complexa Quando z designa qualquer um dos números de um conjunto S de números complexos chamamos z de variável complexa Se para cada valor de z em S o valor de uma segunda variável complexa w é determinado então w é uma função da variável complexa z no conjunto S w fz O conjunto S é usualmente um domínio Nesse caso ele se diz domínio de definição da função w Os valores fz correspondentes a todos os z em S constituem um outro conjunto R de números complexos conhecido como contradomínio da função w Uma função é univalente num conjunto S se ela tem um único valor correspondente a cada valor de z em S Convencionemos que o termo função significa função univalente a menos que o contrário seja explicitamente indicado De um modo geral o estudo sobre funções multivalentes tais como z12 pode ser feito lidando com funções univalentes cada uma das quais toma para cada valor de z um dos valores múltiplos num domínio especificado O domínio de definição de cada uma das seguintes funções f1z z³ 2iz 3 f2z z f3z 1z² 1 é o plano complexo inteiro com exceção de f3 que não está definido nos pontos z i Observe que f2 é uma função real da variável complexa z de fato o seu contradomínio é o semieixo não negativo do eixo real As funções x ℜz e y ℑz são também reais Se u e v são duas funções reais quaisquer das variáveis reais x e y então u iv é uma função de z Reciprocamente toda função fz tem partes real e imaginária bem definidas as quais são funções reais de x e y Se u e v designam tais partes então fz uxy ivxy Por exemplo se fz z² x iy² 20 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES então u x² y² e v 2xy Como outros exemplos a função f4z x² i2x y é definida sobre todo planoz ao passo que o domínio de definição da função f5z y₀⁰ etx dt i ₙ₀⁰ yⁿ é a faixa semiinfinita x 0 1 y 1 visto que a integral imprópria existe e a série infinita converge somente quando x e y são assim restritos Se n é zero ou um inteiro positivo e se a₀ a₁ an são constantes complexas a função Pz a₀ a₁z a₂z² anzⁿ an 0 é um polinômio em z de grau n Observe que a soma aqui tem um número finito de termos O domínio de definição de todo polinômio é o plano inteiro Quocientes de polinômios PzQz também chamados funções racionais são definidos para todos os z exceto aqueles para os quais Qz 0 A função f3 acima é um exemplo Polinômios e seus quocientes constituem duas classes elementares mas importantes de funções de uma variável complexa 11 Transformação Propriedades de uma função real fx de uma variável real x são demonstradas geometricamente pelo gráfico da função A equação y fx estabelece uma correspondência entre pontos x no eixox e pontos y no eixoy isto é ela leva pontos x em pontos y A descrição gráfica melhora quando se leva cada ponto x num ponto xy do planoxy ponto este que se situa à distância orientada y acima ou abaixo do ponto x A curva assim obtida é o gráfico de fx Da mesma maneira usamos uma superfície para exibir graficamente uma função real fxy das variáveis reais x e y Entretanto quando w fz e as variáveis w e z são complexas não dispomos de tal representação gráfica da função f uma vez que precisamos de um plano para a representação de cada uma das variáveis Algumas informações sobre a função podem entretanto ser obtidas graficamente exibindose conjuntos de pontos correspondentes z e w É mais simples em geral desenhar dois planos complexos separadamente para as variáveis z e w para cada ponto xy no planoz no domínio de definição de f existe um ponto uv no planow onde w u iv A correspondência entre pontos nos dois planos se diz aplicação ou transformação de pontos no planoz em pontos do planow pela função f Pontos w são então imagens de pontos z Este termo se aplica também entre conjuntos como por exemplo imagem de uma curva de uma região etc Para se empregar certos termos geométricos tais como translação rotação e reflexão é conveniente às vezes considerar a aplicação como transformação num só plano A função z 2 por exemplo pode ser encarada como uma translação de cada ponto z à posição w z 2 duas unidades para a direita de z A função w z leva cada ponto z na reflexão z desse ponto no eixo real A transformação de curvas e regiões fornece em geral mais informações sobre a função do que a transformação de pontos individuais Como ilustração a função w x² y² iy leva os pontos de cada círculo x² y² c² onde c 0 em alguns pontos da reta u c pois u x² y² Mas para se ter todos os z no círculo y deve assumir todos os valores de c até c e como v iy v varia de ci a ci A imagem do círculo u c c v c é o segmento da reta u c compreendido entre as retas y u e v u Fig 10 Visto que os dois pontos z x iy e z x iy têm a mesma imagem w cada ponto do segmento exceto as extremidades é a imagem de dois pontos do círculo O domínio D de definição da função w é o planoz inteiro Cada ponto de D se situa sobre um desses círculos pois c pode ser qualquer constante não negativa e a imagem desse círculo é o segmento descrito acima Reciprocamente um tal segmento é sempre a imagem de um dos círculos Portanto a imagem de D contradomínio R da função w é o quadrante y 0 u v u FIG 10 12 Limites Seja f uma função definida em todos os pontos de uma vizinhança de um ponto z₀ exceto eventualmente no próprio ponto z₀ A afirmação de que o limite desta função quando z tende para z₀ é um número w₀ 1 lim zz₀ fz w₀ significa que o valor fz da função é arbitrariamente próximo do valor w₀ para todos os pontos z numa vizinhança de z₀ exceto eventualmente para z z₀ quan 22 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES do essa vizinhança se torna suficientemente pequena Vamos enunciar esta definição numa forma precisa e utilizável Dados uma função f e dois números complexos z₀ e w₀ a afirmação 1 significa que para cada número positivo ε existe um número positivo δ tal que 2 fz w₀ ε sempre que z z₀ δ z z₀ Graficamente a definição 2 exige que para cada número positivo ε exista um certo número positivo δ tal que todos os pontos z exceto z₀ interiores ao círculo z z₀ δ no planoz tenham suas imagens w fz no interior do círculo w w₀ ε no planow Fig 11 Observe que a definição exige apenas que todas as imagens pertçam à vizinhança w w₀ ε não é necessário que elas constituam a vizinhança toda Quando fz é uma constante w₀ por exemplo w nada mais é que o centro z₀ dessa vizinhança Os pontos z porém formam todo o domínio 0 z z₀ δ O símbolo z z₀ significa que z se aproxima de z₀ numa maneira arbitrária e não por exemplo numa direção particular O limite fica estabelecido quando se encontra alguma fórmula para δ como função de ε Tal fórmula δ φε porém não é única uma vez que a condição continua satisfeita quando δ é substituído por um número menor δ 12φε por exemplo é uma outra fórmula FIG 11 A definição fornece um meio para testar se w₀ é o limite de f Contudo ela não dá diretamente um método para determinar o limite w₀ Teoremas sobre limites deduzidos a partir da definição nos permitem achar limites de diversas funções Vamos aplicar a definição para provar que 3 lim z1 z² 1z 1 2 O valor da função fz z² 1z 1 não está definido quando z 1 quando z 1 fz z 1 Assim fz 2 z 1 2 z 1 z 1 e portanto fz 2 ε sempre que 0 z 1 ε isto é a condição 2 é satisfeita para todo número positivo ε se δ ε Isto prova a afirmação 3 Como outro exemplo mostremos que 4 lim z2i 2x iy² 4i z x iy Para cada número positivo ε exibiremos um número δ tal que 5 2x iy² 4i ε sempre que z 2i δ Para simplificar o problema escrevamos 2x iy² 4i 2x iy² 4 2x iy 2iy 2 e a seguir procuremos um valor de δ tal que 6 2x ε2 e iy 2iy 2 ε2 Mas se z 2i é pequeno então o valor de y é próximo de 2 e portanto y 2 tem um valor vizinho de 4 A segunda das desigualdades 6 poderá então ser satisfeita se y 2 ε10 isto é se ε10 y 2 ε10 ou 4 ε10 y 2 4 ε10 Assim y 2 4 ε10 5 desde que ε 10 e portanto y 2y 2 ε2 Se ε 10 na desigualdade 5 então essa desigualdade é certamente satisfeita quando 2x iy² 4i 5 e podemos usar com segurança o valor de δ que corresponde a ε 5 Acabamos de mostrar que a condição 5 será satis feita sempre que o ponto z estiver no domínio retangular Fig 12 x ε4 y 2 ε10 0 ε 10 FIG 12 A vizinhança z 2i ε10 é interior a esse domínio Nossa fórmula para δ que estabelece o limite 4 pode então ser escrita 7 δ ε10 quando 0 ε 10 1 quando ε 10 12 Quando o limite de uma função f existe em z0 esse limite tem um único valor Com efeito suponhamos que o limite pudesse ter dois valores distintos w0 e w1 Então para cada número positivo e arbitrariamente pequeno existiria um número d tal que fz w0 e e fz w1 e quando 0 z z0 d Decorreria então que fz w0 fz w1 fz w0 fz w1 2e isto é w1 w0 2e Mas w0 e w1 são constantes distintas e portanto w0 w1 não pode ser arbitrariamente pequeno Está assim demostrada a unicidade do limite 13 Teoremas sobre Limites Podemos tratar problemas de limite estabelecendo a conexão entre o limite de uma função de uma variável complexa e os limites de funções reais de duas variáveis reais Limites do último tipo são tratados no cálculo avançado Usaremos livremente a definição e as propriedades desses limites Teorema 1 Sejam fz uxy ivxy z x iy e z0 x0 iy0 Então o limite de f existe em z0 e é igual a u0 iv0 1 lim zz0 fz u0 iv0 se e somente se os limites de u e v existem em x0 y0 e são iguais a u0 e v0 respectivamente 2 lim xyx0y0 uxy u0 e lim xyx0y0 vxy v0 Para estabelecer a necessidade de 2 suponhamos que 1 seja verdadeiro Então para cada número positivo e existe um número d tal que 3 u u0 iv v0 e sempre que 0 x x0 iy y0 d Como u u0 u u0 iv v0 e v v0 u u0 iv v0 seguese que 4 u u0 e e v v0 e sempre que 0 x x02 y y02 d2 Assim existe uma vizinhança do ponto x0 y0 na qual exceto eventualmente no próprio ponto uxy u0 e e vxy v0 e Uma região quadrada interior à vizinhança circular também serve para nosso propósito De acordo com a definição de limite de uma função real de duas variáveis reais os limites de u e v existem e têm os valores indicados em 2 Reciprocamente se as condições 2 estão satisfeitas então para cada número positivo e existem dois números d1 e d2 tais que u u0 e2 sempre que 0 x x02 y y02 d12 e v v0 e2 sempre que 0 x x02 y y02 d22 Seja d o menor dos dois números d1 e d2 Então para este d a condição 3 se verifica visto que u u0 iv v0 u u0 v v0 Assim sendo a afirmação 1 é uma consequência de 2 e a demonstração do teorema está completa Teorema 2 Sejam f e F funções cujos limites existem em z0 5 lim zz0 fz w0 lim zz0 Fz W0 Então 6 lim zz0 fz Fz w0 W0 7 lim zz0 fzFz w0W0 e se W0 0 8 lim zz0 fzFz w0 W0 Este teorema fundamental pode ser estabelecido diretamente da definição Sec 12 do limite de uma função de uma variável complexa Mas com auxílio do Teorema 1 ele decorre quase que imediatamente de teoremas sobre limites de funções reais de duas variáveis reais Considere por exemplo a demonstração da propriedade 7 Escrevemos fz uxy ivxy Fz Uxy iVxy z0 x0 iy0 w0 u0 iv0 W0 U0 iV0 Então de acordo com as hipóteses 5 e o Teorema 1 os limites quando xy tende para x0 y0 de u v U e V existem e têm os valores u0 v0 U0 e V0 respectivamente As partes real e imaginária da função fzFz uU vV iuV vU portanto têm os limites u0U0 v0V0 e u0V0 v0U0 em vista de teoremas sobre limites de somas e produtos de funções Assim a função fzFz tem o limite u0U0 v0V0 iu0V0 v0U0 que é igual a w0W0 e a afirmação 7 está demonstrada De modo semelhante podemos estabelecer as demonstrações de 6 e 8 Observe porém que para provar 8 diretamente da definição do limite de uma função de uma variável complexa é necessário lançar mão de um resultado auxiliar concernente a uma função F cujo limite W0 é diferente de zero É conveniente definir Fz0 como sendo W0 Então existe uma vizinhança de z0 tal que Fz supera certa constante positiva para todos os z nessa vizinhança Isto pode ser visto assim seja d0 um valor de d que corresponde ao valor 12W0 de e Então 9 Fz W0 12 W0 sempre que z z0 d0 Deixamos como exercício mostrar que em consequência disso 10 Fz 12 W0 sempre que z z0 d0 Em particular Fz 0 para qualquer valor de z nessa vizinhança de z0 Da definição do limite temos lim zz0 z z0 visto que podemos tomar d e quando fz z Isto e a afirmação 7 sobre o limite do produto nos permitem concluir por indução que 11 lim zz0 zn z0n n 1 2 onde z0 é um número complexo qualquer Também o limite de uma constante é essa constante Em vista do teorema 2 então o limite de um polinômio Pz a0 a1 z a2 z2 an zn é o valor desse polinômio em z0 para todo número z0 12 lim zz0 Pz Pz0 EXERCÍCIOS 1 Descreva o domínio de definição da função gz yx 11 y i Mostre que gz f5z para todo z no domínio de definição da função f5 descrita na Sec 10 2 Sejam b c e z0 constantes complexas Usando a definição do limite Sec 12 prove que a lim zz0 c c b lim zz0 bz c bz0 c c lim zz0 z2 c z02 c d lim zz0 Rz Rz0 e lim zz0 z z0 f lim z1i z i2x y 1 i 3 Prove a afirmação 6 no Teorema 2 a usando o Teorema 1 e propriedades de limites de funções reais b diretamente da definição Sec 12 do limite de uma função 4 Mostre que a condição 10 decorre da condição 9 5 Sejam n um inteiro positivo P e Q polinômios com Qz0 0 Usando o Teorema 2 e limites já estabelecidos ache a lim zz0 1zn z0 0 b lim zi iz3 1z i c lim zz0 PzQz Resp a 1z0n b 0 c Pz0Qz0 14 Continuidade Uma função f é contínua num ponto z0 se e somente se todas as três condições seguintes são satisfeitas 1 fz0 existe 2 lim zz0 fz existe 3 lim zz0 fz fz0 Essas condições por si já implicam que fz está definida numa vizinhança do ponto z0 Exigese uma modificação natural desta definição quando se deseja definir a continuidade de uma função num ponto da fronteira da região em que a função está definida Suponhamos que fz seja definida numa região que se estende até uma curva C inclusive mas não além de C Então f é contínua num ponto z0 da curva C se e somente se as condições 2 e 3 são satisfeitas onde neste caso o limite é do interior da região isto é a vizinhança z z0 δ usada ao definir o limite é substituída pela intersecção da vizinhança com a região Como consequência dos teoremas sobre limites se duas funções são contínuas sua soma e seu produto também o são e seu quociente é contínuo exceto nos pontos z para os quais o denominador se anula De acordo com a fórmula 12 Sec 13 todo polinômio em z é contínuo em cada ponto O quociente de dois polinômios é contínuo nos pontos para os quais o denominador é diferente de zero Do Teorema 1 Sec 13 seguese que 4 f u iv é contínua se e somente se u e v são contínuas Assim podemos deduzir propriedades de funções contínuas de z a partir de propriedades de funções contínuas u e v de x e y Por exemplo se f é uma função contínua de z em todos os pontos de uma região fechada R então u e v são contínuas em R e portanto são limitadas em R conseqüentemente f é limitada em R isto é existe um número positivo M tal que fz M para todo z em R De acordo com 4 xy2 i2x y é contínua em todos os pontos z pois os polinômios xy2 e 2x y em x e y são funções contínuas em todos os pontos xy das variáveis reais x e y Da mesma maneira ex i sen xy é contínua em todos os pontos z em virtude da continuidade das funções em questão exponencial seno e polinômio xy A condição 3 pode ser escrita como segue Para cada número positivo e existe um número δ tal que 5 fz fz0 e sempre que z z0 δ O número δ que corresponde a e pode também depender de z0 Mas se f é contínua em todos os pontos de uma região fechada R então f é uniformemente contínua em R isto é para cada e existe um número δ independente de z0 tal que a condição 5 é satisfeita simultaneamente para todo ponto z0 em R Isto decorre de 4 e da propriedade correspondente de funções reais u e v Seja D o domínio de definição de uma função f Considere uma função g definida numa vizinhança N de um ponto z0 tal que todos os valores gz com z em N pertençam a D Então fgz é definida quando z está em N Se g é contínua em z0 e se f é contínua no ponto gz0 então a função composta fg é contínua em z0 Em síntese função contínua de função contínua é contínua Isto decorre da condição 5 da definição de continuidade Para cada e existe um número δ tal que fgz fgz0 e sempre que gz gz0 δ mas para δ existe um número δ tal que a última desigualdade se verifica sempre que z z0 δ Observe que a função composta fg não inclui somas produtos ou quocientes de duas funções uma vez que f e g aqui são funções de uma só variável complexa Condições para a continuidade dessas combinações de funções já foram dadas no começo desta seção 15 A Derivada Seja z um ponto arbitrário de uma vizinhança de um ponto fixo z0 onde essa vizinhança está contida no domínio de definição de uma certa função f Vamos escrever Δz z z0 e considerar Δz como nossa variável complexa A derivada f ou fdz de f em z0 é então definida pela fórmula 1 fz0 lim Δz0 fz0 Δz fz0 Δz se o limite existe Isto é se o número complexo fz0 derivada existe então para cada número positivo e existe um número δ tal que 2 fz0 Δz fz0 Δz fz0 e sempre que 0 Δz δ Se fz z2 por exemplo então fz0 2z0 em qualquer ponto z0 pois lim Δz0 z0 Δz2 z02 Δz lim Δz0 2z0 Δz 2z0 visto que 2z0 Δz é um polinômio em Δz Em vista da fórmula 1 quando fz0 existe temos lim Δz0 fz0 Δz fz0 lim Δz0 fz0 Δz fz0 Δz lim Δz0 Δz 0 isto é 3 lim zz0 fz fz0 Assim f é necessariamente contínua em todo ponto z0 onde sua derivada existe A continuidade da função porém não implica na derivabilidade da mesma como mostra o seguinte exemplo A função w z2 é contínua em todo ponto Mostraremos que sua derivada existe somente no ponto z 0 Para esta função o quociente de diferença fica 30 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES 4 Δw Δz z0 Δz² z0² Δz z0 Δzz0 Δz z0z0 Δz z0 Δz z0 Δz Δz Quando z0 0 ΔwΔz Δz e seu limite é zero isto é ddz z² 0 em z 0 Fig 13 Suponha z0 0 Se w existisse ΔwΔz teria o limite único w independente de como Δz tendesse para zero Se Δz é real Δz Δx na figura 13 então Δz Δz e de acordo com 4 o limite teria que ser z0 z0 Por outro lado se Δz é restrito ao diâmetro vertical da região 0 Δz δ Δz iΔy então Δz Δz e o limite seria z0 z0 Como z0 0 o limite não pode existir e portanto z² não possui derivada em z0 16 Fórmulas de Derivação A definição da derivada fz é idêntica em forma à da derivada de função real de uma variável real Existe porém uma diferença significativa entre as duas definições o limite na definição de fz é de dimensão dois Por esta razão muitos resultados do cálculo de variáveis reais não se aplicam ao cálculo de variáveis complexas Como pequena ilustração notemos que a função x² possui a derivada 2x para todo real x mas acabamos de mostrar acima que a derivada de z² existe somente no ponto z 0 As fórmulas básicas de derivação abaixo podem ser deduzidas da definição da derivada e dos teoremas sobre limites exatamente como no caso de variáveis reais Seja c uma constante complexa e w uma função cuja derivada wz existe Então 1 ddz c 0 ddz z 1 2 ddz cw c dwdz Se as derivadas w1z e w2z de duas funções w1 e w2 existem então 3 ddz w1 w2 w1z w2z FUNÇÕES ANALÍTICAS 31 4 ddz w1w2 w1zw2z w2zw1z e se w2z 0 5 ddz w1w2 w2zw1z w1zw2z w2z² Para a função composta w1w2 onde w1t existe no ponto t w2z e w2z existe 6 ddz w1w2 dw1dw2 dw2dz Se n é um inteiro positivo então em todo ponto z 7 ddz zⁿ nzⁿ¹ e esta fórmula permanece válida quando n é um inteiro negativo se z 0 Como exemplo se w1 z⁵e w2 2z 1 na fórmula 6 então ddz 2z 1⁵ ddz w2⁵ 5w2⁴ dw2dz 102z 1⁴ Se escrevemos Δw1 w1z Δz w1z Δw2 w2z Δz w2z e fz w1zw2z o quociente de diferença para a fórmula 4 se reduz à forma 8 Δf Δz w1 Δw2 Δz w2 Δw1 Δz Δw2 Δw1 Δz Como w1z e w2z existam w2 é contínua no ponto z e por conseguinte lim Δw2 0 quando Δz 0 A demonstração da fórmula 4 se completa aplicando os teoremas de limite para somas e produtos à expressão 8 para ΔfΔz A dedução completa da fórmula 6 para a derivada de função composta w1w2 não é tão simples Se a função w2 é constante a fórmula se reduz à primeira das fórmulas 1 Seja w2 não constante No lugar de z escrevemos z0 para indicar o ponto no qual w2 é suposta existir e vamos denotar o número complexo w2z0 por t0 Supõese então também a existência de w1t0 conseqüentemente a função w1t é definida em todos os pontos de alguma vizinhança N de t0 digamos t t0 δ1 Como w2 deve ser contínua em z0 existe um número δ2 tal que 9 Δw2 δ1 sempre que Δz δ2 32 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES FUNÇÕES ANALÍTICAS 33 onde Δw2 w2z0 Δz t0 isto é os pontos w2z0 Δz permanecem na vizinhança N quando Δz δ2 Toda vizinhança de z0 contém pontos z0 Δz tais que Δw2 0 uma vez que w2 não é constante Para os valores de Δz tais que Δw2 0 escrevemos 10 Δw1 Δz Δw1 Δw2 Δw2 Δz onde Δw1 w1 w2z0 Δz w1t0 O limite quando Δz 0 do produto no segundo membro de 10 existe se Δw1 Δw2 tem um limite quando Δz 0 já que o limite do segundo fator é w2z0 Da existência de w1t0 como limite único seguese que para cada número positivo ε existe um número δ3 tal que 11 Δw1 Δw2 w1t0 ε sempre que Δw2 δ3 Mas de acordo com a condição de continuidade 9 existe um número δ δ δ2 tal que Δw2 δ3 sempre que Δz δ Assim a condição 11 é satisfeita sempre que Δz δ isto é Δw1Δw2 tem o limite w1t0 quando Δz 0 De 10 seguese que dw1dz w1t0w2z0 esta é uma forma alternada da fórmula 6 EXERCÍCIOS 1 Usando resultados obtidos nesta seção mostre que a derivada de um polinômio Pz a0 a1z a2z² anzn n 1 2 existe em todos os pontos e que Pz a1 2a2z nanzⁿ¹ 2 Mostre que o quociente PzQz de dois polinômios possui a derivada em todo ponto z tal que Qz 0 ver Exercício 1 3 Usando resultados desta seção ache fz quando a fz 3z² 2z 4 b fz 1 4z²³ c fz z 1 2z 1 z 12 d fz z² 1 z²⁴ z 0 4 Deduz a fórmula 5 desta seção 5 Usando a indução ou a fórmula binomial Exercício 18 Sec 3 deduza a fórmula 7 quando n é inteiro positivo 6 Deduz a fórmula 7 quando n é inteiro negativo e z 0 7 Prove diretamente da definição da derivada que fz0 1z0² quando fz 1z e z0 0 8 Aplicando a definição da derivada mostre que se fz ℛz então fz não existe em nenhum ponto 9 Mostre que a função z não é derivável em nenhum ponto 10 Diga se a função gz tem derivada em algum ponto 34 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES FUNÇÕES ANALÍTICAS 35 Estas equações são as condições de CauchyRiemann assim chamadas em homenagem ao matemático francês A L Cauchy 17891857 que as descobriu e usou e ao matemático alemão G F B Riemann 18261866 que as tornou fundamentais na teoria das funções analíticas Como fz0 a ib as fórmulas 3 e 4 nos fornecem duas expressões úteis para a derivada de f a saber 6 fz ux i vx vy i uy no ponto z z0 O seguinte teorema então está estabelecido Teorema Se a derivada fz de uma função f u iv existe num ponto z então as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e y de cada uma das partes u e v existem nesse ponto e satisfazem às condições de CauchyRiemann 5 Também fz é dada em termos dessas derivadas parciais pela fórmula 6 Como ilustração consideremos a função fz z² x² y² 2xyi Já provamos que sua derivada existe em todos os pontos de fato fz 2z Assim as condições de CauchyRiemann devem ser satisfeitas em todos os pontos Para verificar isto notemos que u x² y² e v 2xy e portanto ux 2x vy vx 2y uy Também de acordo com 6 temos fz ux i vx 2x 2yi 2z O teorema acima apresenta condições necessárias para a existência de fz Mostra por exemplo que em cada ponto z tal que z 0 a função z² não pode ter derivada Neste caso u x² y² e v 0 Embora as derivadas parciais existam sempre ux 2x e vy 0 enquanto uy 2y e vx 0 as condições de CauchyRiemann não são satisfeitas a menos que x y 0 Observe que o teorema não garante a existência da derivada de z² em z 0 mas o teorema 1 na seção seguinte o fará é um ponto na vizinhança podemos escrever Δu ux0 Δx y0 Δy ux0 y0 ux Δx uy Δy ε1 Δx ε2 Δy onde ux e uy são os valores das derivadas parciais no ponto x0 y0 e onde ε1 e ε2 se aproximam de zero quando Δx e Δy tendem ambos para zero A fórmula acima para Δu é estabelecida no cálculo avançado em conexão com a definição da diferencial da função u Uma fórmula análoga pode ser escrita para Δv Portanto Δf fz0 Δz fz0 Δu i Δv ux Δx uy Δy ε1 Δx ε2 Δy i vx Δx vy Δy ε3 Δx ε4 Δy Passemos a usar a hipótese de que as condições de CauchyRiemann estejam satisfeitas no ponto x0 y0 Podemos substituir uy por vx e vy por ux e escrever a fórmula acima na forma Δf ux Δx i Δy i vx Δx i Δy δ1 Δx δ2 Δy onde δ1 e δ2 tendem para zero quando Δz se aproxima de zero Δz Δx i Δy Seguese então que 1 Δf Δz ux i vx δ1 Δx Δz δ2 Δy Δz Como Δx Δz e Δy Δz vem Δx Δz 1 e Δy Δz 1 de modo que os dois últimos termos no segundo membro da fórmula 1 tendem para zero com Δz Portanto no ponto z0 2 fz lim Δz 0 Δf Δz ux i vx isto é a derivada fz0 existe e o teorema está demonstrado Como ilustração do Teorema 1 as funções u ex cos y e v ex sen y são contínuas em todos os pontos assim como suas derivadas parciais de primeira ordem É fácil ver que as derivadas parciais satisfazem às condições de CauchyRiemann em todos os pontos Conseqüentemente a derivada fz da função 36 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES fz ex cos y i ex sen y existe em todos os pontos Como ux u e vx v seguese da fórmula 2 que fz fz De novo sejam u e v duas funções satisfazendo a todas as hipóteses enunciadas no Teorema 1 mas agora suponhamos que z0 0 Usando a regra de cadeia para derivação podemos mostrar que u e v que já atendem em z0 às condições de CauchyRiemann 5 Sec 17 satisfazem nas coordenadas polares x r cos θ y r sen θ às condições ur 1r vθ 1r uθ vr r 0 nesse ponto Aqui θ é medido em radianos Reciprocamente as condições 6 implicam nas condições 5 Sec 17 Detalhes são deixados para o exercício 7 abaixo As equações 6 são as condições de CauchyRiemann em coordenadas polares Elas são úteis em conexão com a seguinte forma alternada do Teorema 1 Teorema 2 Sejam urθ e vrθ reais e univalentes em cada ponto z de uma vizinhança de um ponto r0 θ0 as quais juntamente com suas derivadas parciais primeiras em relação a r e θ são funções contínuas de z em r0 θ0 satisfazendo às condições de CauchyRiemann 6 em coordenadas polares nesse ponto onde r0 0 Então a derivada fz0 da função f u iv existe onde z0 r0 cos θ0 i sen θ0 e além disso no ponto z z0 fz cos θ i sen θ ur i vr O método empregado acima para demonstrar o Teorema 1 pode ser usado novamente aqui Os pormenores não são tão simples neste caso devido à natureza da fórmula para Δz em termos de Δr e Δθ A demonstração é esboçada nos exercícios 8 a 10 abaixo EXERCÍCIOS 1 Usando o teorema da Sec 17 mostre que fz não existe em nenhum ponto se fz é a z b z z c 2x xy²i d excos y i sen y 2 Use o Teorema 1 para mostrar que fz e sua derivada fz existem em todos os pontos e ache fz e fz usando a fórmula 2 quando a fz iz 2 b fz ezcos y i sen y c fz z³ d fz cos x cosh y i sen x senh y Resp b fz fz fz fz d fz fz 3 A partir dos resultados obtidos nas Secs 17 e 18 determine onde fz existe e ache seu valor quando a fz 1z b fz x² iy² c fz z gz Resp a fz 1z² z 0 b fx ix 2x c f0 0 4 Seja fz z12 onde z12 r cosθ2 i senθ2 r 0 0 θ 2π usando o Teorema 2 mostre que fz existe em todos os pontos exceto nos pontos do semieixo real não negativo e que fz 12fz 5 Se fz x³ iy 1³ então ux i vx 3x² Por que 3x² representa fz somente no ponto z i 6 A hipótese na Sec 17 de que fz0 a ib pode ser enunciada como sendo a condição para cada número positivo ε existe um número δ tal que ΔfΔz a ib ε sempre que 0 Δz δ Use esta condição para deduzir as fórmulas 3 e 4 Sec 17 7 Sob as transformações de coordenadas 5 e as condições de continuidade enunciadas no Teorema 1 obtenha as derivadas parciais de u e v em relação a r e θ em termos das derivadas em relação a x e y prove então que no ponto z0z0 0 as condições 6 são satisfeitas quando as condições 5 Sec 17 se verificam e reciprocamente 8 Para simplificar as fórmulas aqui escrevemos Eθ cos θ i sen θ então a forma polar de z é z r Eθ Sendo Δz r0 Δr Eθ0 Δθ r0 Eθ0 onde r0 0 deduza as fórmulas Δz Eθ0 ΔθΔr i r0 sen Δθ τ01 cos Δθ Eθ0 ΔθΔr i r0 Δθ τ0 Δθ hΔθ onde hΔθ 1 cos ΔθΔθ i Δθ sen ΔθΔθ e limΔθ0 hΔθ 0 9 Quando r0 0 no exercício 8 prove que ΔθΔz é limitado para todos Δr e Δθ quando Δθ é suficientemente pequeno também escreva Δz² em termos de Δr e Δθ e prove que ΔrΔz é limitado quando Δr r0 10 Demonstre o Teorema 2 deduzindo primeiro com o auxílio das fórmulas 6 e dos resultados obtidos nos exercícios 8 e 9 as fórmulas 38 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES Δf ur i vrΔr i r0 Δθ σ1 Δr σ2 Δθ Eθ0 Δθur i vr Δz σ1 Δr σ2 Δθ onde ur e vr são calculadas em z0 e σn 0 quando Δz 0 n 1 2 3 19 Funções Analíticas Uma função f da variável complexa z se diz analítica num ponto z0 se sua derivada fz existe não só em z0 como também em todo ponto z de uma vizinhança de z0 f é analítica num domínio do planoz se ela é analítica em todo ponto desse domínio Os termos regular e holomorfa são às vezes introduzidos para indicar analiticidade em domínios de certas classes A função z² por exemplo não é analítica em nenhum ponto visto que sua derivada existe somente no ponto z 0 e não numa vizinhança Uma função inteira é aquela que é analítica em todo ponto do planoz isto é no plano inteiro Mostramos Exercício 1 Sec 16 que a derivada de qualquer polinômio em z existe em todo ponto portanto todo polinômio Pz a0 a1z a2z² anzn n 0 1 2 é uma função inteira Se uma função é analítica em algum ponto de cada vizinhança de um ponto z0 exceto no próprio ponto z0 então z0 é chamado ponto singular ou singularidade da função Por exemplo vimos que se fz 1z então fz 1z² z 0 Assim f é analítica em todo ponto exceto no ponto z 0 onde ela não é contínua de modo que f0 não pode existir O ponto z 0 é ponto singular Por outro lado a nossa definição não assinala em absoluto pontos singulares para a função z² já que esta função não é analítica em nenhum ponto Uma condição necessária mas jamais suficiente para que uma função seja analítica num domínio D é que a função seja contínua em D As condições de CauchyRiemann também são necessárias mas não suficientes Dois conjuntos de condições suficientes para analiticidade em D ficam sendo dados pelos Teoremas 1 e 2 Sec 18 desde que as hipóteses nesses teoremas sejam satisfeitas em todo ponto de D Outros conjuntos práticos de condições suficientes decorrem entretanto das condições de validade das fórmulas de derivação Sec 16 da seguinte maneira As derivadas da soma e do produto de duas funções existem onde as funções possuem derivadas Assim se duas funções são analíticas num domínio D então sua soma e seu produto são ambos analíticos em D Analogamente seu quociente é analítico em D desde que a função no denominador não se anule em nenhum ponto de D Em particular o quociente PQ de dois polinômios é analítico em qualquer domínio no qual Qz 0 Seja g uma função analítica de z num domínio D1 e seja R o contradomínio de gz para os z em D1 Então se f é analítica num domínio D2 contendo R seguese das condições de validade da fórmula de derivação 6 Sec 16 que a função composta fgz é analítica em D1 Em resumo função analítica de função analítica é analítica Como ilustração à função gz 1 z² é inteira De acordo com o exercício 4 Sec 18 a função fz z²¹ r cosθ2 i senθ2 r 0 0 θ 2π é analítica no semiplano de definição Em particular ela é analítica no semiplano superior gz 0 exemplo do domínio D2 acima Como ggz 2xy o contradomínio de g é restrito a esse semiplano se xy 0 Assim a função composta fgz 1 z²¹ é analítica no domínio D1 consistindo do quadrante x 0 y 0 do planoz Observemos também que função inteira de função inteira é inteira 20 Funções Harmônicas Seja a função f u iv analítica num domínio do planoz Então em todo ponto do domínio ux vy uy vx 0 e portanto 2 ²ux² ²vx y ²uy² ²vy x desde que estas segundas derivadas existam Mostraremos no Cap 5 Sec 52 que quando f é analítica as derivadas parciais de u e v de todas as ordens existem e são funções contínuas de x e y Admitindo isto por ora seguese que as duas derivadas mistas nas equações 2 são iguais e portanto que 3 ²ux² ²uy² 0 em todos os pontos do domínio A equação 3 é a equação diferencial parcial de Laplace em duas variáveis independentes x e y Qualquer função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas que satisfaz à equação de Laplace é chamada função harmônica 40 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES A função u bem como v é harmônica quando a função f u iv é analítica Podemos mostrar isto derivando a primeira das equações 1 em relação a y e a segunda em relação a x e subtraindo membro a membro para obtermos a equação ²vx² ²vy² 0 As funções u e v se dizem funções harmônicas conjugadas se a função f u iv é analítica O uso da palavra conjugado acima é diferente daquele empregado na definição de z Quando uma das duas funções harmônicas conjugadas é dada as equações de CauchyRiemann 1 permitem determinar a outra Vamos ilustrar um método para obter a conjugada harmônica de uma função harmônica dada É fácil ver pela substituição direta na equação de Laplace que a função u y³ 3x² y é harmônica Para achar sua conjugada harmônica v notemos que ux 6xy e daí usando uma das equações de CauchyRiemann podemos concluir que vy 6xy Integrando esta equação em relação a y com x fixo vem y 3xy² φx onde φx é no momento uma função arbitrária de x Mas como vx uy φ deve ser tal que 3y² φx 3y² 3x² portanto φx 3x² e φx x³ c onde c é constante arbitrária Assim a conjugada harmônica da função u y³ 3x² y é v 3xy² x³ c A função correspondente f u iv é fz y³ 3x² y ix³ 3xy² ic É fácil verificar que fz iz³ c Esta forma é sugerida pelo fato de a fórmula 5 ficar fx ix³ c quando se faz y 0 Mais adiante Sec 78 mostraremos que para cada função harmônica u existe uma função harmônica conjugada v Usaremos integral de linha para escrever uma fórmula explícita para v em termos de u EXERCÍCIOS 1 Prove que cada uma das seguintes funções é inteira a fz 3x y i3y x b fz sen x cosh y i cos x senh y c fz evcos x i sen x d fz z² 2 ezcos y i sen y 2 Diga por que cada uma das seguintes funções não é analítica em nenhum ponto a fz xy iy b fz eycos x i sen x 3 Determine os pontos singulares de cada uma das seguintes funções e diga por que a função é analítica em todos os pontos exceto nesses pontos a 2z 1zz² 1 b z³ iz² 3z 2 c z 21 z² 2z 21 Resp a z 0 i b z 2 1 i 4 Sendo z rcos φ i sen θ mostre que a função Fz logr iθ r 0 π2 θ π2 é analítica no domínio de definição indicado e que Fz 1z aí Diga então por que a função composta F2z i 2 é função analítica de z no domínio x 1 5 Seja u iv analítica Diga porque v iu também é analítica Mostre que por conseguinte se u e v são funções harmônicas conjugadas então u e v também o são No exemplo dado na Sec 20 portanto 3xy² x³ C é outra conjugada harmônica da função y³ 3x² y 6 Mostre que u é harmônica em algum domínio e ache uma conjugada harmônica v quando a u 2x1 y b u 2x x³ 3xy² c u sh x sen y d u yx² y²1 Resp a v x² y² 2y c v ch x cos y 7 Sejam u e v são funções harmônicas conjugadas Suas curvas de nível são as famílias de curvas u c₁ e v c₂ Mostre que estas famílias de curvas são ortogonais Mais precisamente mostre que em cada ponto x₀ y₀ comum a duas curvas u c₁ e v c₂ as tangentes ou normais às duas curvas são perpendiculares desde que ux e uy não se anulam simultaneamente no ponto isto é desde que fz₀ 0 onde f u iv e z₀ x₀ iy₀ 8 Mostre que quando fz u iv z2 as famílias de curvas u c1 e v c2 são como mostra a figura 14 Observe a ortogonalidade dessas curvas demonstrada no exercício 7 As curvas u 0 e v 0 se encontram na origem e não são ortogonais uma à outra Por que este fato não contradiz o resultado do exercício 7 9 Esboce as famílias de curvas u c1 e v c2 quando fz 1z e observe a ortogonalidade demonstrada no exercício 7 10 Esboce as famílias de curvas u c1 e v c2 quando fz z 1z 1 e observe como os resultados do exercício 7 são ilustrados aqui 11 Resolva o exercício 9 usando coordenadas polares 12 Seja f uma função analítica num domínio D que não contém o ponto z 0 Sendo fz urθ ivrθ use as condições de CauchyRiemann em coordenadas polares para mostrar que em D tanto u como v satisfazem à equação de Laplace em coordenadas polares r2 2ur2 r ur 2uθ2 0 θ em radianos supondo que todas as derivadas parciais de u e v até a segunda ordem sejam contínuas 13 No domínio r 0 0 θ 2π mostre que a função u log r é harmônica Exercício 12 e ache sua conjugada harmônica Resp v θ c 14 Sendo uma função f u iv e a sua conjugada complexa f u iv ambas analíticas num domínio mostre que f é constante 15 Sendo f analítica num domínio mostre que o seu valor absoluto f não pode ser constante a menos que f o seja 16 Explique por que a afirmação final na Sec 19 de que a função composta fg de duas funções inteiras é inteira é verdadeira sem qualquer qualificação Também diga por que uma combinação linear bf cg onde b e c são constantes complexas de funções inteiras f e g é inteira CAPÍTULO 3 Funções Elementares 21 A Função Exponencial Definimos a função exponencial exp em termos de funções reais pela equação 1 exp z e zcos y i sen y onde z x iy e o número y é usado como medida em radiano do ângulo na definição dos números cos y e sen y O símbolo ez também é usado para indicar exp z mas no momento este símbolo não pode representar a zésima potência da base e do logaritmo natural pois até agora só foram introduzidos os expoentes reais Observe que exp z é univalente para cada z Como justificativa da escolha da definição 1 notemos primeiro que no caso y 0 a definição se reduz à da função exponencial real exp x ex No caso x 0 a equação 1 fica 2 exp iy cos y i sen y Esta definição de exp iy ou eiy é natural se esperamos que a representação em série de Maclaurin de et t real se aplique quando t é substituído por iy a série para exp iy então pode ser escrita formalmente 3 n0 iynn n0 i2ny2n2n n0 i2n1 y2n12n 1 n0 1n y2n2n i n0 1n y2n12n 1 onde 0 1 As duas últimas séries aqui são as séries de Maclaurin para cos y e sen y respectivamente De fato exp z é definida freqüentemente como soma de uma série de potências em z que se reduz à série 3 quando x 0 Mas então deveremos introduzir séries infinitas em potências de z cap 6 antes do estudo de funções exponenciais FUNÇÕES ELEMENTARES 45 A função exponencial 1 é uma função inteira Decorre do Teorema 1 Sec 18 visto que as partes 4 u ex cos y v ex sen y e suas derivadas parciais são contínuas e satisfazem às condições de CauchyRiemann em todos os pontos Além disso ux i vx u iv isto é 5 ddz exp z exp z As duas funções 4 são funções harmônicas conjugadas de x e y no plano todo pois são as partes de uma função inteira Sec 20 Se w é uma função analítica de z num domínio D então a função composta exp w é uma função analítica de z em D porque a função exponencial é inteira De acordo com a fórmula 6 Sec 16 para a derivada de função de função temse 6 ddz exp w dwdz exp w quando z está em D 22 Outras Propriedades de exp z Como ex 0 para todo número real x para cada z nossa definição 1 exp z e zcos y i sen y representa o número complexo exp z na forma polar 2 exp z ρ cos ϕ i sen ϕ onde ρ ex ϕ y isto é exp z ex e y é um valor do argumento em radianos 3 ex ex arg ex y Logo ez 0 para todo valor de z o que significa que 4 ez 0 para qualquer número z De acordo com a representação 2 para cada valor positivo de ρ existe um valor de x x log ρ e independentemente a cada ângulo ϕ corresponde um valor y y ϕ Conseqüentemente o contradomínio da função exponencial é o plano complexo inteiro menos a origem ρ 0 Devem existir valores de z tais que exp z 1 por exemplo Como 1 tem a forma polar 2 onde ρ 1 e ϕ π 2nπ n 0 1 2 seguese que x 0 e y π 2nπ ou z 1 2nπi As leis de expoentes para a função decorrem de representação 2 de exp z em forma polar e das fórmulas Secs 7 e 8 para produtos quocientes potências e raízes de números complexos em forma polar Escrevemos z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 exp z1 ρ1 cos ϕ1 i sen ϕ1 onde ρ1 ex1 ϕ1 y1 exp z2 ρ2 cos ϕ2 i sen ϕ2 onde ρ2 ex2 ϕ2 y2 Então exp z1exp z2 ρ1 ρ2 cos ϕ1 ϕ2 i sen ϕ1 ϕ2 ex1 ex2 cos y1 y2 i sen y1 y2 Mas ex1 ex2 ex1 x2 e x1 x2 i y1 y2 z1 z2 portanto 5 exp z1exp z2 exp z1 z2 Da mesma maneira obtemos a fórmula 6 exp z1exp z2 exp z1 z2 em particular 1exp z exp z Também se m e n são inteiros positivos 7 exp zn exp nz 8 exp zmn exp mn z 2πki k 0 1 2 n 1 Visto que exp z 2nπi exp z exp 2πi e exp 2πi 1 a função exponencial é periódica com período 2nπ isto é 9 exp z 2nπi exp z Da definição 1 podemos ver que 10 exp z exp z Em termos da função exponencial a forma polar de um número complexo z r cos θ i sen θ tem as representações convenientes 11 z r exp iθ reiθ FUNÇÕES ELEMENTARES 47 As fórmulas para operações sobre números em forma polar também tomam formas mais simples por exemplo z r exp iθ e 12 z1z2 r1r2 exp iθ1 θ2 z1z2 r1r2 exp iθ1 θ2 r2 0 EXERCÍCIOS 1 Mostre que a exp 0 1 b exp 2 3πi e2 c exp π2 i i d exp 2 πi4 e 1 i2 2 Mostre que a exp z πi exp z b exp nz 1exp zn n 1 2 3 Quando z tem a representação polar z r exp iθ mostre que a z r exp iθ b exp log r iθ z 4 Determine todos os valores de z tais que a exp z 2 b exp z 1 i3 c exp 2z 1 1 Resp a z log 2 2n 1πi c z 12 nπi n 0 1 2 5 Deduz com o auxílio das fórmulas da Sec 7 as leis exponenciais 6 e 7 6 Deduz com o auxílio das fórmulas da Sec 8 a fórmula exponencial 8 7 Mostre que exp iz exp iz a menos que z nπ onde n 0 1 2 8 Simplifique exp 2z i e exp iz2 e mostre que exp 2z i exp iz2 ex ex y 9 Mostre que exp 2z 1 se e somente se o ponto z se encontra no semiplano x 0 10 a Mostre que se exp z é real então gz nπi n 0 1 2 b Para que conjunto de valores de z exp z é imaginário puro 11 Examine o comportamento de a exp x iy quando x b exp 2 iy quando y 12 Diga por que a função 2x² 3 xz² ez é inteira 13 Prove que exp z não é analítica em nenhum ponto 14 Mostre de duas maneiras que a função exp z² é inteira Qual é sua derivada Resp 2z exp z² 15 Simplifique ßexp 12 Por que esta deve ser uma função harmônica de x e y em todo domínio que não contenha a origem 16 Sendo u iv uma função analítica de z num domínio D mostre que as funções U e V onde Uxy exp uxy cos vxy Vxy exp uxy sen vxy devem ser harmônicas em D e que de fato elas são funções harmônicas conjugadas 23 As Funções Trigonométricas Das fórmulas eiy cos y i sen y eiy cos y i sen y seguese que para todo número real y 1 eiy eiy 2 cos y eiy eiy 2i sen y É natural portanto definir as funções coseno e seno de uma variável complexa z como sendo 2 cos z eiz eiz 2 sen z eiz eiz 2i Ambas as funções sen z e cos z são inteiras pois de acordo com as fórmulas 2 elas são combinações lineares Exercício 16 Sec 20 das funções inteiras exp iz e exp iz Conhecendo as derivadas das funções exponenciais nas fórmulas 2 obtemos as seguintes fórmulas de derivação 3 ddz sen z cos z ddz cos z sen z As outras quatro funções trigonométricas são definidas em termos das funções seno e coseno pelas relações usuais 4 tg z sen zcos z cotg z cos zsen z sec z 1cos z cosec z 1sen z Assim sendo tg z e sec z são analíticas em qualquer domínio onde cos z 0 e cotg z e cosec z são analíticas em todo domínio onde sen z 0 Derivando os segundos membros das equações 4 obtemos 5 ddz tg z sec2 z ddz cotg z cosec2 z ddz sec z sec z tg z ddz cosec z cosec z cotg z Da definição de cos z seguese que cos z cos x iy ½eiz eiz ½cos x i sen x ½cos x i sen x ev ev2 cos x i ev ev2 sen x Assim as partes real e imaginária de cos z são como mostra a seguinte fórmula 6 cos z cos x iy cos x ch y i sen x sh y Da mesma maneira temos 7 sen z sen x iy sen x ch y i cos x sh y É evidente das fórmulas acima que 8 sen iy i sh y cos iy ch y e também que sen z e cos z são os conjugados complexos de sen z e cos z respectivamente Das fórmulas 6 e 7 e da definição de tg z decorrem imediatamente as seguintes propriedades sobre o caráter periódico das funções 9 cos z π cos z sen z π sen z tg z π tg z 10 cos z 2π cos z sen z 2π sen z 24 Propriedades Adicionais de Funções Trigonométricas Usando as fórmulas 1 e 2 ou as fórmulas 7 e 6 da seção precedente o leitor poderá mostrar que 1 sen z2 sen2 x sh2 y 2 cos z2 cos2 x sh2 y É óbvio destas duas fórmulas que as funções complexas sen z e cos z não são limitadas em valor absoluto enquanto que em variáveis reais os valores absolutos das funções seno e coseno nunca são maiores do que um As identidades trigonométricas esperadas ainda são válidas em variáveis complexas 3 sen2 z cos2 z 1 4 sen z1 z2 sen z1 cos z2 cos z1 sen z2 5 cos z1 z2 cos z1 cos z2 sen z1 sen z2 6 sen z sen z cos z cos z 7 sen π2 z cos z 8 sen 2z 2 sen z cos z cos 2z cos2 z sen2 z etc As demonstrações podem ser feitas baseandose inteiramente nas propriedades da função exponencial Elas são deixadas como exercícios Um valor de z para o qual fz zero se diz zero da função f Os zeros reais de sen z e cos z são seus únicos zeros A fim de provar isto para a função seno seja sen z 0 Então de acordo com a fórmula 7 Sec23 x e y devem satisfazer às equações simultâneas sen x ch y 0 cos x sh y 0 Como x e y são reais ch y 1 nunca se anulando e sen x 0 somente para x 0 π 2π Mas para esses valores de x cos x não se anula Portanto sh y 0 isto é y 0 Logo 9 sen z 0 implica z 0 ou z nπ n 1 2 Esta afirmação também se aplica a tg z De um modo análogo obtemos o seguinte 10 cos z 0 implica z 2n1π2 n 1 2 Em vista da afirmação 10 os pontos singulares de tg z são os pontos z 2n1π2 a função tangente é analítica nos outros pontos EXERCÍCIOS 1 Estabeleça as fórmulas de derivação 5 Sec 23 2 Deduza as fórmulas 7 e 8 Sec 23 3 Deduza a fórmula 1 acima e mostre então que sh y sen z ch y 4 Deduza a fórmula 2 e mostre então que sh y cos z ch y 5 Mostre que sen z sen x e cos z cos x 6 Estabeleça as identidades 3 e 4 desta seção 7 Prove que a 1 tg² z sec² z b 1 cotg² z cosec² z 8 Estabeleça as identidades a 2 sen z1 z2 sen z1 z2 cos 2z2 cos 2z1 b 2 cos z1 z2 sen z1 z2 sen 2z1 sen 2z2 9 Mostre que cos iz cos iz para todo z e que sen iz sen iz a menos que z nπi onde n 0 1 2 10 Prove a afirmação 10 desta seção 11 Com o auxílio das identidades no exercício 8 mostre que a se cos z1 cos z2 então z2 z1 2nπ b se sen z1 sen z2 então z2 z1 2nπ ou z2 z1 2n 1 π onde n 0 1 2 12 Ache todas as raízes da equação cos z 2 Resp z 2nπ i ch¹ 2 2nπ i log2 3 n 0 1 2 13 Ache todas as raízes da equação sen z ch 4 Resp z 2n 12 π 4i n 0 1 2 14 Mostre de duas maneiras que cada uma das seguintes funções é harmônica em todos os pontos a sen x sh y b cos 2x sh 2y 15 Sendo w uma função analítica de z em algum domínio explique por que sen w e cos w são funções analíticas de z nesse domínio com derivadas cos w dwdz e sen w dwdz respectivamente 16 Mostre que cada uma das funções a sen z é b cos z não é analítica em nenhum ponto 25 Funções Hiperbólicas As funções seno e cosseno hiperbólicos de uma variável complexa são definidas como as de variável real isto é 1 sh z ez ez2 ch z ez ez2 A função tangente hiperbólica de z é definida pela equação tgh z sh zch z e então cotgh z sech z e cosech z são definidas como sendo as inversas multiplicativas não funções inversas de tgh z ch z e sh z respectivamente Como exp z e exp z são inteiras seguese das definições 1 que sh z e ch z são funções inteiras A função tgh z é analítica em todo domínio que não contenha zeros de ch z O cálculo e a álgebra das funções hiperbólicas são deduzidos facilmente das definições acima As fórmulas são as mesmas estabelecidas para as funções correspondentes de variável real 2 ddz sh z ch z ddz ch z sh z 3 ddz tgh z sech2 z ddz cotgh z cosech2 z 4 ddz sech z sech z tgh z ddz cosech z cosech z cotgh z Algumas das identidades mais usadas são 5 ch2 z sh2 z 1 6 shz1 z2 sh z1 ch z2 ch z1 sh z2 7 chz1 z2 ch z1 ch z2 sh z1 sh z2 8 sh 2z 2 sh z ch z 9 shz sh z chz ch z As relações entre as funções hiperbólicas e as trigonométricas circulares também decorrem das definições dessas funções em termos das funções exponenciais 10 sh iz i sen z ch iz cos z 11 sen iz i sh z cos iz ch z As partes real e imaginária das duas primeiras funções hiperbólicas são como mostram as seguintes fórmulas 12 sh x iy sh x cos y i ch x sen y 13 ch x iy ch x cos y i sh x sen y O leitor poderá mostrar de várias maneiras que 14 sh z2 sh2 x sen2 y 15 ch z2 sh2 x cos2 y As funções sh z e ch z são periódicas com período 2πi seu quociente tgh z também é periódico com período πi Os zeros de sh z são os números nπi e os de ch z são n 12 πi onde n 0 1 2 O último conjunto de números z n 12 πi é por conseguinte o conjunto dos pontos singulares da função tgh z EXERCÍCIOS 1 Deduza as fórmulas de derivação 2 e 4 2 Prove as identidades 5 e 7 3 Mostre como as fórmulas 12 e 13 decorrem das identidades 6 7 e 10 4 Deduza a fórmula 15 e mostre então que shx ch z ch x 5 Mostre que sh z πi sh z e ch z πi ch z e portanto que tgh z πi tgh z 6 Determine todos os zeros de a sh z b ch z 7 Determine todas as raízes das equações a ch z ½ b sh z i c ch z 2 Resp a 13 2nπ πi b ½ 2n πi n 0 1 2 8 Por que a função sh ez é inteira Escreva sua parte real como função de x e y e diga por que esta parte deve ser harmônica em todos os pontos 26 A Função Logarítmica Ramos Doravante vamos escrever Log r ou ln r ao invés de log r para indicar o logaritmo natural real de um número positivo r Definimos a função log de uma variável complexa z onde z r exp iθ e o argumento θ é medido em radianos pela equação 1 log z log reiθ Log r iθ se r 0 A definição é natural no sentido de que a mesma é escrita usando formalmente propriedades de logaritmos reais Em correspondência ao argumento particular Θ de z tal que π Θ π podemos escrever z r exp iΘ 2nπ onde n 0 1 2 Assim a fórmula 1 pode ser escrita 2 log z Log r iΘ 2nπ n 0 1 2 isto é a função log z é multivalente com infinitos valores Chamaremos de valor principal de log z o número definido pela fórmula 2 quando n 0 e o indicaremos por Log z 3 Log z Log r iΘ r 0 π Θ π Observe que se z é real e positivo então z r de modo que o símbolo Log r representa o valor principal de log r Consideremos o comportamento da função univalente Log z definida pela fórmula 3 em cada ponto z x0 x0 0 do eixo real negativo Num tal ponto r x0 e Θ π A parte imaginária Θ de Log z não é função contínua de z em x0 pois seu valor em x0 é π ao passo que seu valor na parte inferior de cada vizinhança arbitrariamente pequena de x0 é próximo de π Conseqüentemente Log z não é contínua no ponto z x0 e portanto sua derivada não pode existir aí A função univalente 4 Log z Log r iΘ r 0 π Θ π definida em todos os pontos z r exp iΘ exceto na origem e nos pontos do eixo real negativo possui as partes contínuas u Log r v Θ no seu domínio de definição Além disso as derivadas ur 1r uΘ 0 vr 0 vΘ 1 são todas funções contínuas do ponto z nesse domínio e satisfazem às condições de CauchyRiemann em coordenadas polares Seguese então do Teorema 2 Sec 18 que a função Log z definida pela equação 4 é analítica no seu domínio de definição r 0 π θ π Além disso ddz Log z exp iΘ ur i vr 1r exp iΘ isto é a fórmula para a derivada desta função é 5 ddz Log z 1z z 0 π arg z π Podemos tornar a função log z definida pela equação 1 univalente e contínua restringindo r e θ de modo que r 0 e θ0 θ θ0 2π onde θ0 é qualquer ângulo fixado em radians Assim podemos escrever 6 log z Log r iθ r 0 θ0 θ θ0 2π No domínio de definição desta função Log r e θ e suas derivadas parciais em relação a r e θ são funções contínuas de z e as derivadas parciais satisfazem às condições de CauchyRiemann em coordenadas polares Logo log z é analítica no domínio r 0 θ0 θ0 2π e 7 ddz log z 1z r 0 θ0 arg z θ0 2π Um ramo F de uma função multivalente f é qualquer função univalente que é analítica em algum domínio tal que em cada ponto z desse domínio o valor Fz coincida com um dos valores fz A exigência de analiticidade não permite uma seleção arbitrária dos valores de f para F Em vista desta definição os valores principais do logaritmo descritos pela equação 4 representam um ramo Log z ramo principal da função multivalente log z Mas para cada θ0 fixado a função definida pela equação 6 também é um ramo da mesma função multivalente Cada ponto do eixo real negativo Θ π assim como a origem é um ponto singular do ramo principal Log z de acordo com a nossa definição Sec 19 de ponto singular O raio Θ π é o corte de ramo para o ramo principal reta ou curva de pontos singulares introduzida ao definir um ramo de uma função multivalente O raio θ θ0 é o corte de ramo para o ramo 6 da função logarítmica O ponto singular z 0 comum para todos os cortes de ramo para a função multivalente log z é chamado nó de ramos também ponto de ramificação 27 Propriedades de Logaritmos Se w log z então independentemente do valor usado para log z podemos escrever a relação inversa FUNÇÕES ELEMENTARES 57 10 zmn exp mn log z Assim para os vários valores de log z o segundo membro toma exatamente n valores distintos os números zmn EXERCÍCIOS 1 Quando n 0 1 2 mostre que a log 1 2nπi b log 1 2n 1 πi c log i 12 πi 2nπi d log i2 14 πi nπi 2 Mostre que a Log ei 1 12 πi b Log 1 i 12 Log 2 14 πi 3 Ache todas as raízes da equação log z 12 πi Resp z i 4 Ache todas as raízes da equação az 3 Resp z Log 3 2n 1 πi 5 Estabeleça a fórmula 5 desta secção 6 Para todos os pontos z do semiplano x 0 mostre que Log z 12 Log x2 y2 i arctan yx onde arctg t indica o valor principal usado no cálculo isto é π2 arctg t π2 Use esta representação juntamente com o Teorema 1 Sec 18 para dar uma outra demonstração de que o ramo principal Log z é analítico no domínio x 0 e a fórmula 5 Sec 26 é válida aí Note entretanto o aparecimento de algumas complicações com a inversa da tangente e sua derivação na parte restante do domínio de analiticidade r 0 π arg z π de Log z especialmente na reta x 0 7 Mostre de duas maneiras que a função Log x2 y2 é harmônica em todo domínio que não contenha a origem 8 Escreva z r exp iθ e z 1 ρ exp iφ e mostre que ℜ log z 1 12 Log 1 r2 2r cos θ z 1 Por que esta função deve satisfazer à equação de Laplace quando z 1 28 Expoentes Complexos Quando o expoente k é um número racional real k mn a fórmula 10 da seção precedente apresenta os n números zk na forma 1 zk exp k log z k mn z 0 Antes definimos zk como sendo 1zk Vamos agora definir zc onde o expoente c é qualquer número complexo substituindo k por c na fórmula 1 isto é 2 zc exp c log z z c complexos z 0 A definição identifica os dois conjuntos de números zc e 1zc zc 1zc Esta inclui a fórmula 1 como caso particular mas a mesma também define a função multivalente zc quando c é real e irracional e quando c é nãoreal Por exemplo i2i exp 2i log i exp 2i 12 π 2nπ i exp π 4nπ n 0 1 2 Se z r exp iθ e θ0 é uma constante real a função 3 log z Log r iθ r 0 θ0 θ θ0 2π é univalente e analítica no domínio indicado como também o é a função composta exp c log z Assim a função zc definida pela equação 2 em que log z é definida pela equação 3 é univalente e analítica no domínio r 0 0 θ θ0 2π A derivada deste ramo da função multivalente 2 pode ser escrita em termos do logaritmo definido pela fórmula 3 4 ddz zc exp c log z cz c exp c log zexp log z c exp c1 log z O último membro é a função univalente czc1 assim 5 ddz zc c zcz czc1 r 0 θ0 θ θ0 2π Em particular quando θ0 π de modo que π θ π a função 6 zc exp c Log z z 0 e o ramo principal da função multivalente potência 2 Este ramo é univalente e analítico no domínio r 0 π θ π O valor principal de ez como potência de e é portanto exp z Log e exp z Como exemplo escrevemos o valor principal de ii exp i Log i exp i π2 exp π2 Como outro exemplo o ramo principal de z23 z23 exp 23 Log z exp 23 Log r 23 iθ ³r² exp 23 iθ 60 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES FUNÇÕES ELEMENTARES 61 não depende da maneira pela qual a função é tornada univalente As derivadas das duas primeiras dependem dos valores escolhidos para raízes quadradas por exemplo 5 ddz sen¹z 1 1 z² ½ As inversas das funções hiperbólicas podem ser escritas em termos de logaritmos assim 6 sh¹z log z z² 1½ 7 ch¹z log z z² 1½ 8 tgh¹z ½ log 1z1z EXERCÍCIOS 1 Quando n 012 mostre que a 1 iⁱ exp 14 π 2nπ exp ½ i Log 2 b 1¹n exp 2n 1i 2 Ache o valor principal de a iⁱ b ½ e1i3³πi c 1 i⁴i Resp a exp ½ π b exp 2π² 3 Mostre que se z 0 a z⁰ 1 b zᵏ exp k Log z zᵏ quando k é real 4 Sejam bc e z números complexos com z 0 Sendo que todas as potências aqui são valores principais mostre que a zⁿ 1zⁿ b zᵐⁿ zmn c zᵇc zᵇᶜ d zᵇzᶜ zᵇᶜ n 12 5 Usando os valores principais de zⁱ escreva as funções harmônicas conjugadas u r θ e v r θ onde zⁱ u iv 6 Deduza a fórmula 8 Sec 28 também a fórmula para a derivada de cw em relação a z onde w z existe 7 Ache os valores de a tg¹2i b tg¹1 i c ch¹1 d tgh¹0 Resp a n ½π ½ i Log 3 d mπ n 012 8 Resolva a equação sen z 2 em relação a z a identificando as partes real e imaginária nos dois membros b usando a fórmula 1 Resp z ½ π 1 4n i Log 2 3 n 012 9 Resolva a equação cos z 2 em relação a z 10 Deduza as fórmulas 2 e 5 desta secção 11 Deduza as fórmulas 3 e 4 desta seção 12 Deduza as fórmulas 6 e 8 desta secção CAPÍTULO 4 Transformações por Funções Elementares O conceito de aplicação ou transformação de pontos por uma função f de uma variável complexa z foi introduzido em Sec 11 Na realidade definimos funções como transformações de pontos Salientamos na ocasião que a natureza da função pode ser exibida graficamente até certo ponto pela maneira segundo a qual a função leva regiões e curvas de um plano complexo no outro Mostraremos que o problema de encontrar uma função de x e y que seja harmônica numa região e satisfaça a certas condições prescritas sobre a fronteira da região pode ser resolvido por meio de transformações por funções analíticas Tais problemas problemas de contorno na equação de Laplace são proeminentes na Física e Engenharia Caps 9 10 Como preparativo para a resolução desses problemas devemos ver como várias regiões são transformadas por funções analíticas elementares 30 Funções Lineares A transformação por meio da função 1 w z C onde C é uma constante complexa é a translação de cada ponto z através do vetor que representa C Isto é se z x iy w u iv C C₁ iC₂ então a imagem de cada ponto x y no planoz é o ponto x C₁ y C₂ no planow Visto que todo ponto numa região do planoz é levado no planow nesta mesma maneira a imagem da região é simplesmente a translação da região As duas regiões têm a mesma forma o mesmo tamanho e a mesma orientação Seja B uma constante complexa cuja forma polar é B b exp iβ Então se z r exp iθ a função 2 w Bz breiβθ 62 TRANSFORMAÇÕES POR FUNÇÕES ELEMENTARES 63 transforma o ponto r θ do planoz no ponto do planow cujas coordenadas polares são br e θ β Isto é a transformação consiste em girar o raio vetor do ponto z em torno da origem de um ângulo β arg B e em expandir ou contrair o raio vetor pelo fator b B Toda região no planoz é transformada por esta rotação e expansão numa região geometricamente semelhante no planow Aplicando a transformação 1 à variável w na equação 2 vemos que a transformação pela função linear geral 3 w Bz C consiste na rotação pelo ângulo arg B e expansão pelo fator B seguidas pela translação pelo vetor C Como ilustração a função w 1 iz 2 i transforma a região retangular no planoz Fig 15 na região retangular no planow Fig 15 Isto é evidente geometricamente visto que arg 1 i π4 e 1 i 2 Como outro exemplo consideremos a imagem da região 0 x 1 faixa infinita entre as retas x 0 e x 1 pela transformação w iz Como i exp iπ2 a transformação é a rotação pelo ângulo π2 Portanto a imagem da faixa dada é a faixa 0 v 1 Isto se vê também notandose que u y e v x pois w iz Quando 0 x 1 e y é livre seguese que 0 v 1 e u é livre 31 As Funções zⁿ Consideremos primeiro a função w z² Esta transformação pode ser descrita facilmente em termos de coordenadas polares 64 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES Se z r exp iθ e w ρ exp iφ então ρeiφ r²e2iθ Logo a imagem do ponto r θ é o ponto no planow cujas coordenadas polares são transformadas nos círculos Em particular a função z² transforma o primeiro quadrante do planoz 0 θ π2 r 0 no semiplano superior do planow Fig 16 Fig 16 w z² Os círculos em torno da origem r r₀ são transformados nos círculos ρ r₀² do planow A região semicircular r r₀ 0 θ π é levada na região circular ρ r₀² e a parte dessa região semicircular no primeiro quadrante é transformada na parte superior da região circular como indicam as linhas tracejadas na figura 16 Na transformação das regiões acima consideradas existe um único ponto na região transformada correspondendo a um ponto dado na região original é reciprocamente Esta correspondência biunívoca porém não subsiste para a região circular r r₀ 0 θ 2π e sua imagem ρ r₀² uma vez que cada ponto da última região é a imagem de dois pontos z e z da primeira Em coordenadas retangulares a transformação w z² fica u iv x² y² 2xyi Se 2xy c₂ então v c2 e reciprocamente onde c2 é uma constante real Isto é todo ponto da hipérbole 2xy c2 tem seu pontoimagem sobre a reta horizontal v c2 e todo ponto da reta é a imagem de algum ponto da hipérbole Assim a imagem da hipérbole é a reta inteira mas a cada ponto w da reta correspondem dois pontos z e z da hipérbole Os pontos do ramo superior v 0 da hipérbole estão em correspondência biunívoca com os pontos da reta pois como já observamos acima existe tal correspondência entre os pontos do semiplano superior do planoz e os pontos do planow O ramo inferior da hipérbole também é transformado na reta em correspondência biunívoca Da mesma maneira a imagem da hipérbole x² y² c₁ é a reta u c1 a correspondência entre pontos é biunívoca para cada um dos dois ramos da hipérbole As hipérboles como préimagens das retas u c1 e v c2 foram ilustradas no Cap 2 Fig 14 O domínio x 0 y 0 xy 1 consiste de todos os pontos do primeiro quadrante que ficam abaixo da hipérbole xy 1 ou de todos os pontos dos ramos superiores de todas as hipérbolas da família xy c 0 c 1 A imagem deste domínio portanto consiste de todos os pontos de todas as retas v 2c isto é a imagem do domínio é a faixa horizontal 0 v 2 Quando n é um inteiro positivo a transformação w zⁿ ou ρeiφ rⁿei nθ leva a região angular r 0 0 θ πn no semiplano superior ρ 0 0 φ π do planow Fig 17 visto que ρ rⁿ e φ nθ A mesma transforma um arco circular Fig 17 w zⁿ r r₀ θ₀ θ θ₀ 2πn no círculo ρ r₀ⁿ A correspondência entre pontos nos dois casos acima é biunívoca 32 A Função 1z A transformação w 1z ou z 1w estabelece uma correspondência biunívoca entre os pontos do planoz e os do planow exceto para os pontos z 0 e w 0 o primeiro não tem imagem e o último não é imagem de nenhum ponto Em coordenadas polares a transformação fica ρeiφ 1r eiθ Esta transformação pode ser descrita por meio das transformações consecutivas 66 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES A primeira é uma inversão em relação ao círculo unitário r 1 isto é o ponto z se situa sobre o raio traçado pelo ponto z e sua distância da origem é tal que z z 1 A inversão é seguida pela reflexão w z no eixo real Fig 18 Assim os pontos que ficam fora do círculo unitário são levados ao interior do círculo e reciprocamente Os pontos sobre o círculo são simplesmente refletidos no eixo real Em coordenadas cartesianas a equação w u iv 1x iy nos fornece as relações u xx2 y2 v yx2 y2 e x uu2 v2 y vu2 v2 Se a b c e d são números reais a equação 1 ax2 y2 bx cy d 0 representa um círculo ou uma reta conforme a 0 ou a 0 Sob a transformação w 1z a equação 1 se toma 2 du2 v2 bu cv a 0 Reciprocamente se u e v satisfazem à equação 2 então x e y são soluções da equação 1 Portanto se a e d são distintos de zero a curva e sua imagem são ambas círculos isto é círculos que não passam pela origem z 0 são transformados em círculos que não passam pela origem w 0 De modo análogo as equações 1 e 2 mostram que todo círculo passando pela origem z 0 é transformado numa linha reta no planow Retas no planoz por sua vez se transformam em círculos passando pela origem w 0 a menos que a reta passe pela origem z 0 quando então a imagem é uma reta passando pela origem w 0 Se consideramos retas como limites de círculos podemos dizer que a transformação sempre leva círculos em círculos Em particular as retas x c1 são transformadas nos círculos TRANSFORMAÇÕES POR FUNÇÕES ELEMENTARES 67 u2 v2 uc1 0 tangentes ao eixoy na origem e as retas y c2 nos círculos u2 v2 vc2 0 se c1 0 e c2 0 como mostra a figura 19 O semiplano x c1 tem como imagem a região uu2 v2 c1 Quando c1 0 seguese que u 12c12 v2 12c12 isto é o ponto w está no interior de um círculo tangente ao eixoy na origem Reciprocamente se u e v satisfazem à desigualdade 6 e c1 0 então segue a desigualdade 5 e portanto x c1 Conseqüentemente todo ponto no interior do círculo é a imagem de algum ponto no semiplano assim a imagem do semiplano é a região circular 6 33 O Ponto no Infinito Pela transformação w 1z ou peiθ 1r eiθ os pontos z exteriores ao círculo r R são transformados nos pontos w interiores ao círculo ρ 1R O ponto w 0 não é a imagem de nenhum ponto no 68 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES planoz finito Contudo fazendo o raio R suficientemente grande é possível fazer com que as imagens dos pontos exteriores ao círculo r R caiam no interior de uma vizinhança arbitrariamente pequena do ponto w 0 É conveniente usar às vezes o conceito do ponto no infinito ou ponto infinito z Formalmente este ponto é a préimagem do ponto w 0 pela transformação w 1z isto é o ponto w 0 é a imagem deste ponto pela transformação Deste modo quando fazemos uma afirmação sobre o comportamento de uma função em z estamos nos referindo precisamente ao comportamento da função em z 0 onde z 1z Podemos dizer por exemplo que a função w 4z21 z2 transforma o ponto z no ponto w 4 Isto significa que se escrevemos z 1z de modo que w 4z21 1z2 4z2 12 então w 4 quando z 0 Podemos dizer também que w quando z 1 se escrevemos w 1w então w 1 z24z2 e w 0 quando z 1 A noção do ponto infinito é uma abreviação para um processo de limite e em caso de dúvida devemos lançar mão do uso direto de limites A menos que se afirme o contrário continuaremos a usar as palavras ponto e número complexo para significar pontos com coordenadas finitas e os números complexos representados por tais pontos EXERCÍCIOS 1 Mostre que a função w iz i transforma o semiplano x 0 no semiplano v 1 2 Ache a região que é a imagem do semiplano y 0 pela transformação w 1 iz a usando coordenadas polares b usando coordenadas retangulares Mostre as regiões graficamente Resp O semiplano v u 3 Ache a imagem da região y 1 sob a transformação w 1 iz 4 Ache a imagem da faixa semiinfinita x 0 0 y 2 pela transformação w iz 1 Mostre as regiões graficamente Resp 1 u 1 v 0 TRANSFORMAÇÕES POR FUNÇÕES ELEMENTARES 69 5 Sendo B e C constantes complexas dê uma descrição geométrica da transformação w Bz C 6 Descreva a região na qual o setor circular 0 θ π4 r 1 é transformado pela função a w z2 b w z3 c w z4 7 Qual é a préimagem no planoz da região retangular delimitada pelas retas u 1 w 2 v 1 e v 2 sob a transformação w z2 8 Mostre que a função w z2 transforma as retas y c em parábolas com foco comum no ponto w 0 Qual é a imagem da reta y 0 9 Ache a imagem da faixa infinita 0 y 12c pela transformação w 1z Mostre as regiões graficamente Resp u2 v c2 c2 v 0 10 Mostre que a imagem do semiplano y c pela transformação w 1z é o interior de um círculo desde que c 0 Qual é a imagem quando c 0 E quando c 0 11 Ache a imagem do quadrante x 1 y 0 pela transformação w 1z Resp w 12 12 v2 k 0 12 Ache a imagem da hipérbole x2 y2 1 pela transformação w 1z Resp ρ2 cos 2φ 13 Descreva geometricamente a transformação w 1z 1 14 Descreva geometricamente a transformação w iz mostre também que a transformação leva círculos e retas em círculos e retas 15 Ache a imagem da faixa semiinfinita x 0 0 y 1 pela transformação w iz Mostre as regiões graficamente Resp 0 ϕ π2 ρ cos ϕ 16 Quando um círculo não degenerado é sujeito à ação da transformação w 1z prove que seu centro nunca é transformado no centro do círculoimagem 70 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES O plano complexo estendido ou o fecho do plano consiste de todos os números complexos finitos mais o ponto infinito Assim a transformação T estabelece uma correspondência biunívoca entre os pontos do planoz estendido e os do planow estendido A composta de duas transformações lineares fracionárias é ainda linear fracionária Isto é se z em 1 provém de z por uma transformação T z az bcz d podemos achar por substituição direta as constantes α β γ e δ tais que 3 w αz βγz δ A transformação linear fracionária 3 é denotada por TT ou w TTz Se T é uma terceira transformação linear fracionária podemos verificar pela substituição direta que as transformações TTT e TTT são as mesmas isto é a composição de transformações lineares fracionárias satisfaz à lei associativa 4 TTT TTT A transformação linear fracionária particular w z é a transformação identidade T0 TT0 T Acabamos de mostrar que na linguagem de álgebra o conjunto de todas as transformações lineares fracionárias é um grupo Exercícios 16 e 18 Sec 35 A transformação linear fracionária sempre transforma círculos e retas em círculos e retas Mostraremos isto escrevendo T como sucessão de transformações que tem esta propriedade Quando c 0 a equação 1 pode ser escrita w az dc b adccz dc ac b adccz d Escrevemos agora 5 z cz d z 1z seguese então que 6 w ac bc adc z As equações 5 e 6 representam três transformações sucessivas que resultam TRANSFORMAÇÕES POR FUNÇÕES ELEMENTARES 71 na transformação w Tz A primeira e a terceira são do tipo 7 w Bz C discutido na Sec 30 A segunda é uma transformação do tipo w 1z Sec 32 Notemos que a transformação linear 7 não altera a forma da curva e que a transformação w 1z leva círculos e retas em círculos e retas assim T possui esta última propriedade Se c 0 a transformação 1 é do tipo 7 Quando o denominador é eliminado a equação 1 toma a forma 8 Azw Bz Cw D 0 equação esta que é linear em z e linear em w ou bilinear em z e w Por esta razão a transformação linear fracionária também é chamada transformação bilinear Existe uma única transformação bilinear que leva três pontos distintos dados z1 z2 e z3 em três pontos especificados distintos w1 w2 e w3 respectivamente A demonstração é deixada como exercício Mas podemos verificar que a referida transformação é dada pela equação 9 w w1w2 w3w w3w2 w1 z z1z2 z3z z3z2 z1 a qual pode ser escrita na forma bilinear 8 desenvolvendo os produtos na equação 10 z z3w w1z2 z1w2 w3 z z1w w3z2 z3w2 w1 Com efeito se z z1 o segundo membro desta última equação se anula e conseqüentemente w w1 analogamente se z z3 então w w3 Se z z2 dois fatores são comuns a ambos os membros da equação 10 e a equação se reduz a w w1w2 w3 w w3w2 w1 a solução desta equação linear é obviamente w w2 Na equação 9 o ponto infinito pode ser introduzido como um dos pontos prescritos no planow ou no planoz Por exemplo sejam z1 1 z2 0 z3 1 e w1 i w2 1 w3 Pondo w3 1w3 podemos escrever a transformação na forma w w1w3 w2 1w3 w 1w2 w1 z z1z2 z3z z3z2 z1 Quando w3 0 e os valores das demais constantes são inseridos aqui a equação fica w i 1 i z 1 z 1 1 ou w 1 2iz 1 z 1 Usando qualquer uma destas duas formas o leitor poderá verificar que os três pontos dados são transformados nos pontos especificados e em particular que w tende para o infinito quando z se aproxima de 1 Um ponto fixo z de uma transformação é aquele cuja imagem w representa o mesmo número w z A transformação bilinear tem no máximo dois pontos fixos representados pelas raízes da equação em z obtida escrevendose w z na equação 1 ou na equação 8 35 Transformações Lineares Fracionárias Especiais Vamos determinar todas as transformações lineares fracionárias que transformam a parte superior do planoz y 0 no disco unitário w 1 A fronteira y 0 do semiplano deve ter a fronteira w 1 do disco unitário como sua imagem pois a transformação 1 w az b cz d leva retas em círculos ou retas Neste caso a reta y 0 deve transformarse num círculo visto que a região no planow é de extensão finita Suponha que esse círculo seja interior ao círculo w 1 Como w é uma função contínua de z pontos imediatamente abaixo do eixox são transformados em pontos próximos desse círculo interiores ao círculo w 1 o que é contrário às condições exigidas Se fizermos três pontos distintos da reta y 0 transformaremse em pontos do círculo w 1 então a reta toda será transformada neste círculo uma vez que os três pontosimagem determinam o círculoimagem De acordo com a equação 1 a exigência de que w 1 para cada um dos três pontos z 0 z 1 e z nos fornece as equações 2 b d 3 a b c d 4 a c Seguese da última equação que a 0 e c 0 pois se um deles for igual a zero o outro também o será e a transformação 1 levará todo o planoz num único ponto Logo podemos escrever w az ba cz dc Toda transformação da reta no círculo deve levar esses três pontos prescritos em três pontos do círculo ou como ac 1 5 w expiθ0 z z1 z z2 onde θ0 é uma constante real qualquer Também ba dc em vista das equações 2 e 4 portanto z1 z2 A condição 3 ainda não foi usada Vamos impor a condição correspondente de que w 1 quando z 1 à equação 5 Então 1 z1 1 z2 ou 1 z11 z1 1 z21 z2 Mas z1z1 z2z2 pois z1 z2 e a relação acima reduzse a z1 z1 z2 z2 ou ℜ z1 ℜz2 Portanto z2 z1 ou z2 z1 A condição z2 z1 nos conduz à transformação w exp iθ0 do planoz num único ponto logo devemos ter z2 z1 A transformação procurada deve ter portanto a forma 6 w eiθ0 z z1 z z1 Observe que o ponto w 0 é à imagem do ponto z z1 e portanto se o semiplano superior deve ser transformado no interior do círculo w 1 o ponto z1 deve situarse no semiplano superior isto é 7 y1 gz1 0 Vamos verificar que a transformação 6 leva efetivamente o semiplano no disco unitário interpretando a equação w z z1 z z1 geometricamente Fig 20 Como os pontos z e z1 estão no semiplano superior eles ficam do mesmo lado da bissetriz perpendicular ao segmento definido por z1 e z1 Logo a distância z z1 não excede a distância z z1 isto é w 1 A transformação 6 é portanto uma das procuradas A transformação identidade w z não é a única que pode transformar uma região em si mesma De fato todas as transformações 8 w eiθ1 z z0 z0z 1 onde θ1 é real e z0 1 levam o disco unitário z 1 no disco unitário w 1 A prova é deixada como exercício Duas transformações cada uma das quais transforma uma região R1 numa região R2 não são necessariamente as mesmas Este fato é ilustrado pelas transformações 6 com diferentes valores das constantes θ0 e z1 EXERCÍCIOS 1 Determine a transformação linear fracionária que transforma os pontos z1 2 z2 i e z3 2 nos pontos w1 1 w2 i e w3 1 Resp w 3z 2iiz 6 2 Determine a transformação linear fracionária que leva os pontos z1 i z2 0 e z3 i nos pontos w1 1 w2 i e w3 1 Em que curva é levado o eixoy por esta transformação 3 Determine a transformação bilinear que transforma os pontos z1 z2 i e z3 0 nos pontos w1 0 w2 i e w3 Resp w 1z 4 Determine a transformação bilinear que leva os pontos z1 z2 e z3 nos pontos w1 0 w2 1 e w3 Resp w z z1z2 z3z z3z2 z1 5 Determine os pontos fixos das transformações a w z 1 z 1 b w 6z 9 z 1 Resp a z i b z 3 6 Na transformação bilinear 9 Sec 34 se z1 0 z2 w1 0 e w2 isto é se z 0 e z são ambos pontos fixos mostre que a transformação tem a forma w az 7 Se a origem é um ponto fixo de uma transformação bilinear mostre que a transformação pode ser escrita na forma w z cz d 8 Quando z0 0 mostre que a transformação 8 se reduz a uma rotação dos pontos z em torno da origem de um ângulo θ1 π 9 Quando gz1 0 mostre que a transformação 6 leva o semiplano inferior y 0 no disco w 1 10 Determine as constantes exp iθ0 e z1 na transformação 6 que transforma a região y 0 no disco w 1 de tal modo que as imagens dos pontos z 0 z 0 e z 1 sejam respectivamente os pontos w 1 w 1 e w i Quando z x e x 0 mostre que y 0 e 1 u 1 de modo que a imagem do eixo real positivo é o semicírculo superior de w 1 Verifique assim à transformação exibida na fig 3 Apêndice 2 a Se a b c e d são os coeficientes correspondentes de uma segunda transformação T mostre que a matriz da transformação composta TTz é TT aa bc ab bd ca dc cb dd Este é o produto matricial das matrizes para T e T b Com o auxílio desta regra de multiplicação mostre que TT T T TT como enunciado na secção 34 36 A Função z12 A função multivalente 1 fz z12 r exp iθ2 onde z exp iθ toma dois valores em cada ponto z exceto na origem dependendo da escolha de θ Um valor é o oposto do outro pois exp iθ2 muda só em sinal quando θ é acrescido de 2π De acordo com a secção 28 a função f pode ser escrita 2 z12 exp 12 log z r 0 Esta é uma composta da função inteira exp com a função log Quando log z na fórmula 2 representa um ramo da função multivalente logarítmica Sec 26 a mesma fórmula define uma função univalente e analítica de z um ramo da função bivalente z12 O ramo principal fi da função 1 é 3 fiz exp 12 Log z r exp iθ2 r 0 π θ π O raio θ π é o corte de ramo para fi Observe que mesmo que fi fosse definida sobre esse raio estendendose o campo de variação de θ na fórmula 3 de modo a incluir o valor θ π ou θ π a função não seria contínua aí Apesar de fi ser analítica em alguns pontos em toda vizinhança de cada ponto z x x 0 fiz não pode existir em toda a vizinhança Portanto cada ponto do corte de ramo inclusive o ponto de ramificação z 0 é um ponto singular de fi A fiz r exp iθ 2π2 r 0 π θ π é um outro ramo com o mesmo corte de ramo Os valores fiz representam a totalidade de valores fz em todos os pontos exceto naturalmente os pontos do corte de ramo Outros ramos de z12 são 4 f2iz r exp iθ2 r 0 0 θ 2π e f2 cada um tendo o raio θ 0 como seu corte de ramo De fato um ramo com corte θ α é dado pelas condições 5 fαz r exp iθ2 r 0 α θ α 2π Como um corte serve para tornar θ ou arg z uma função univalente de z poderiam ser usadas curvas que partem da origem ao invés de raios como cortes de ramo Mas para se tornar θ univalente é essencial que todos os cortes de ramo para z12 partam do ponto de ramificação comum z 0 Como z w2 quando w z12 a transformação por meio da última função é a mesma que a transformação com sua inversa w z2 Sec 31 e Figs 1 2 e 3 no Apêndice 2 e inversão dos planosw e z O ramo f2 definido pela equação 4 transforma o domínio consistindo de todo o planoz menos o raio θ 0 no domínio v 0 semiplano superior do planow O mesmo transforma cada domínio z r0 0 θ 2π consistindo de todos os pontos interiores de um disco circular exceto aqueles que estão sobre os raios θ 0 0 r r0 no semidisco aberto w r0 v 0 Fig 22 Ambas as transformações acima consideradas são biunívocas Note porém que pontos interiores ao disco próximos do raio θ 0 têm imagens na proximidade da fronteira v 0 do semidisco 37 Outras Funções Irracionais Podese escolher um corte de ramo para a função z1m onde n é um inteiro como sendo qualquer raio partindo da origem Vamos escolher o eixo real negativo como corte de ramo para a função fz z13 por exemplo Cada uma das três funções 1 fkz r exp iθ 2πk3 k 0 1 2 r 0 π θ π é um ramo de f visto que fk é univalente e analítica em todos os pontos exceto nos do corte θ π e no ponto de ramificação z 0 O ramo principal f0 transforma o planoz menos o corte no domínio angular ρ 0 π3 φ π3 no planow onde w ρ exp iφ f0z O ramo f1 transforma o planoz cortado no domínio ρ 0 π3 φ π f2 o leva em ρ 0 π φ 5π3 As três transformações são biunívocas Se z z0 r exp iθ um ramo da função bivalente z z0¹² é definido pela fórmula 2 z z0¹² r exp iθ2 r 0 0 θ 2π Esta função univalente de z é analítica no seu domínio de definição visto que θ 0 que se estende à direita do ponto de ramificação z z0 O ramo 2 transforma o planoz cortado r 0 0 θ 2π numa maneira biunívoca no semiplano superior ρ 0 0 φ π do planow Como exemplo instrutivo mas menos elementar de funções irracionais vamos considerar um ramo da função bivalente z² 1¹² É útil representar z por cada um dos dois pares de coordenadas polares Fig 23 3 z1 r1 exp iθ1 z1 r2 exp iθ2 Fig 23 w gz Mostraremos que a função g 4 gz z1¹² z1¹² r1 exp iθ12 r2 exp iθ22 é um ramo de z2 1¹² que é definido em todo o domínio 5 Dz 0 θ1 2π 0 θ2 2π r1 0 r2 0 r1 r2 2 As coordenadas polares na fórmula 4 são restritas aos campos de variação prescritos pelas condições 5 Como r1 r2 deve ser maior do que o comprimento do segmento P1P2 do eixox entre os dois pontos z 1 o domínio Dz contém todos os pontos exceto os do segmento fechado P1P2 Note que gz pode ser escrita como r1r2 expiθ1 θ22 De acordo com a definição 4 g é o produto de dois ramos do tipo 2 cujos cortes de ramo são os raios θ1 0 e θ2 0 Conseqüentemente g é analítica sempre que z 1 ou θ2 0 O ramo r1 exp iθ12 é contínuo de fato analítico em cada ponto interior do segmento P1P2 mas o valor do ramo r2 exp iθ22 dá um salto de r2 para r2 quando o ponto z atravessa esse segmento Logo gz tem um salto de 2r1r2 aí de modo que g não é analítica sobre P1P2 Podemos mostrar que g é analítica sobre o raio θ1 0 r1 0 pois esse raio se estende ao longo de θ2 0 Com efeito se escrevemos 6 Gz r1 exp iθ12r2 exp iθ22 r1r2 0 π Θk π k1 2 então G é um produto de dois ramos principais que é analítico sobre o raio Θ1 θ1 0 de fato quando Θ1 0 e r1 0 Ora Gz gz quando o ponto z se encontra acima de ou sobre o raio θ1 0 pois nesse caso Θk θk k 1 2 Quando o ponto z está abaixo desse raio Θk θk 2 assim exp iΘk2 exp iθk2 e de novo Gz gz Logo g é analítica em todo o domínio x 1 e sobre o raio θ1 0 em particular Como g é univalente e analítica em Dz mas não sobre P1P2 e como gz² z² 1 g é um ramo de z² 1¹² com corte de ramo P1P2 e pontos de ramificação z 1 Sob a transformação 7 w ρ exp iφ gz ou ρ r1r2 φ θ1 θ22 a imagem de cada ponto do semiplano superior 0 θk π é algum ponto do semiplano superior 0 φ π analogamente φ varia entre π e 2π quando θk faz o mesmo As imagens dos raios θ1 0 e θ2 π são os eixos reais positivo e negativo φ 0 e φ π respectivamente Pontos próximos do corte P1P2 são transformados em pontos próximos do segmento do eixox entre w i e w i O resto do eixov é a imagem do eixoy Quando 0 θk π k1 2 ou quando θ1 0 gz z1¹² z1¹² r1r2 exp iθ2 π2 exp iθ1 π2 assim gz gz Quando π θk 2π ou quando θ2 π os argumentos de z 1 são θk π e de novo gz gz O ramo g é portanto uma função ímpar 8 gz gz z em Dz embora a função bivalente z² 1¹² seja num sentido par Dois pontos distintos nunca têm a mesma imagem w se w 0 Com efeito se gz w e gZ w então gz² gZ² isto é z² 1 Z² 1 e daí ou Z z ou Z z Como gz w gz w w logo Z z Concluímos que todo par de pontos distintos de Dz é transformado em algum par de pontos distintos de um domínio Dw que pode ser descrito como segue Fig 23 9 Dw π2 ϕ1 3π2 π2 ϕ2 3π2 ρ1 0 ρ2 0 ρ1 ρ2 2 onde w i ρ1 exp iϕ1 w i ρ2 exp iϕ2 Ora podese definir um ramo g1 da função bivalente w² 1¹² no domínio Dw consistindo de todos os pontos do planow exceto os do segmento 1 v 1 do eixov escrevendose 10 g1w wi¹² wi¹² ρ1ρ2 exp iϕ12 exp iϕ22 onde as coordenadas polares satisfazem às condições 9 Pelos métodos usados acima para a função g podemos mostrar que g1 é analítica em todo o Dw tendo como seu corte de ramo o segmento do eixov entre os pontos de ramificação w i Também a transformação z g1w leva cada ponto de Dw num ponto de Dz e tal modo que y 0 quando v 0 y 0 quando v 0 y 0 e x 1 quando v 0 e u 0 e y 0 e x 1 quando v 0 e u 0 Como z² g1w² w² 1 w² z² 1 e portanto ou w gz ou w gz A maneira como g1 e g transformam os semiplanos superior e inferior e os semieixos reais positivo e negativo mostra que w gz Logo cada ponto de Dw é a imagem de um ponto z g1w de Dz sob a transformação w gz O ramo g portanto transforma Dz em Dw de maneira biunívoca Além disso quando w gz podemos ver que z g1w Assim as funções analíticas g e g1 são inversas uma da outra Ramos das funções bivalentes 11 w z² Az B¹² z z0² z1²¹² onde A 2z0 e B z0² z1² e transformações por esses ramos podem ser tratadas com o auxílio dos resultados obtidos para g acima e das transformações sucessivas 12 z zz12 z1Z W Z² 1¹² w z1W 38 A Transformação w exp z A transformação w ez ou ρ eiφ ex iy onde w ρ exp iφ pode ser escrita ρ ex φ y A transformação portanto leva as retas x c nos círculos ρ exp c e as retas y 0 nos raios φ c Fig 24 w ez A região retangular c1 x c2 c3 y c4 é transformada na região exp c1 ρ exp c2 c3 φ c4 delimitada por círculos e raios Esta transformação é biunívoca se c4 c3 2π As duas regiões e as partes correspondentes das suas fronteiras são ilustradas na figura 24 Em particular se c3 0 e c4 π de modo que 0 y π o retângulo é transformado na metade de um anel circular como mostra a figura 8 do Apêndice 2 Quando x percorre todos os valores positivos e negativos o raio vetor ρ percorre todos os valores positivos ρ 0 quando x Quando y varia de zero a π φ varia de zero a π Assim a faixa infinita 0 y π é transformada no semiplano superiorw 0 φ π A imagem do ponto z 0 é o ponto w 1 e de z πi é w 1 As partes correspondentes das fronteiras das duas regiões são ilustradas na figura 6 do Apêndice 2 Esta transformação de uma faixa num semiplano é particularmente útil nas aplicações A faixa semiinfinita x 0 0 y π é transformada no semicírculo ρ 1 0 φ π Fig 7 Apêndice 2 A imagem da faixa infinita π y π é todo o planow mas a transformação não é biunívoca sobre o raio φ π Quando π y π então π φ π z log w log ρ iφ ρ 0 π φ π O ramo principal Log w tem o raio φ π como seu corte de ramo Cada ponto do planow cortado é a imagem de um único ponto da faixa aberta π y π no planoz e reciprocamente A função exponencial também transforma a faixa π y 3π de modo biunívoco no mesmo planow cortado φ π ρ 0 de fato a imagem de cada faixa 2n 1π y 2n 1π n0 1 2 é esse plano cortado EXERCÍCIOS 1 Mostre que a transformação w z12 r exp iθ2 onde 0 θ 2π leva o domínio entre as duas parábolas r 2b²1 cos θ e r 2c²1 cos θ de modo biunívoco na faixa b v c onde c b 0 2 Mostre que a transformação z w12 onde w12 é o ramo principal da função bivalente transforma a região triangular delimitada pelas retas y x y x e x 1 na região delimitada pelo eixov e pela parábola ρ 21 cos φ Mostre partes correspondentes das fronteiras das duas regiões 3 O ramo g de z² 1¹² foi definido na seção 37 em termos de r1 r2 θ1 e θ2 Mostre geometricamente porque as condições r1 0 0 θ1 θ2 π descrevem o quadrante x 0 y 0 do planoz Note que θ1 θ2 π em cada ponto do eixoy positivo e que θ1 θ2 decresce quando o ponto se desloca à direita ao longo de um raio θ2 c onde 0 c π2 Que condição satisfaz θ1 θ2 quando o ponto z se encontra fora desse quadrante Mostre então que a imagem desse quadrante é o quadrante u 0 v 0 do planow sob a transformação w gz 4 Para a transformação w gz do primeiro quadrante do planoz no primeiro quadrante do planow Exercício 3 mostre que a u 12r1r2 x² y² 1 v 12r1r2 x² y² 1 onde r1²r2² x² y² 1² 4x² e que b a imagem da parte Bx 0 y 0 da hipérbole x² y² 1 é o raio v u u 0 5 No exercício 4 mostre que o domínio D que se situa abaixo da parte B da hipérbole e no primeiro quadrante do planoz é descrito pelas condições r1 0 0 θ1 θ2 π2 Mostre então que a imagem de D é o octante 0 v u Esboce os domínios 6 Quando g é o ramo de z² 1¹² definido na seção 37 e quando z0 r0 exp iθ0 onde r0 0 e 0 θ0 2π mostre que um ramo go de z² z0²¹² cujo corte de ramo é o segmento entre os pontos z0 e z0 é definido pela fórmula goz z0 gZ onde Z zz0 7 Escreva z 1 r1 exp iθ1 e z 1 r2 exp iθ2 onde 0 θ1 2π e π Θ2 π para definir um ramo da função a z² 1¹² b z 1z 1¹² cujo corte de ramo consiste dos dois raios θ1 0 e Θ2 π 8 Na notação usada na seção 37 mostre que a função h onde hz z 1z 1¹² r1r2 exp iθ1 θ22 é um ramo com o mesmo domínio de definição Dz e o mesmo corte de ramo P1P2 Fig 23 que g que a transformação w hz leva Dz no semiplano direitow ρ 0 π2 φ π2 com o ponto w 1 como imagem do ponto z A transformação inversa é z 1 w²1 w² u 0 9 Mostre que a transformação w hz definida no exercício 8 transforma a região que é a intersecção do exterior do círculo z 1 com o semiplano superiorz na região angular no primeiro quadrante entre a reta v u e o eixou Mostre as regiões graficamente 10 Escreva z r exp iΘ z 1 r1 exp iΘ1 z 1 r2 exp iΘ2 onde os valores de todos os ângulos variam entre π e π e defina um ramo da função zz² 1¹² cujo corte de ramo consiste dos dois segmentos x 1 e 0 x 1 do eixox 11 Sob a transformação w exp z mostre que as retas ky x são transformadas em espirais ρ exp kφ 12 Verifique a transformação de regiões e fronteiras ilustradas na figura 7 do Apêndice 2 sob a transformação w exp z 13 Sob a transformação w exp z determine a imagem da faixa semiinfinita x 0 0 y π e exiba partes correspondentes das fronteiras 14 Defina um ramo de log z 1 que transforme o planoz cortado o plano menos o segmento x 1 do eixo real na faixa 0 v 2π no planow 39 A Transformação w sen z Como sen z sen x ch y i cos x sh y a transformação w sen z pode ser escrita u sen x ch y v cos x sh y Se x π2 então u ch y e v 0 Assim a reta x π2 é transformada na parte u 1 do eixo real no planow Esta transformação é biunívoca para cada uma das semiretas superior ou inferior da reta x π2 quando y varia de zero ao infinito por valores positivos ou por valores negativos u varia de um ao infinito FIG 25 w sen z Se y 0 então u sen x e v 0 Logo todo o eixox é transformado no segmento 1 u 1 do eixou mas esta transformação não é biunívoca De fato o segmento π2 x π2 do eixox é transformado univocamente nesse segmento A imagem da semireta superior do eixoy é a semireta superior do eixov e a da inferior é a parte inferior do mesmo eixo visto que u 0 e v sh y quando x 0 A transformação dessas retas é ilustrada na figura 25 A imagem do segmento y c π2 x π2 é a semielipse cujas equações paramétricas são u ch c sen x v sh c cos x Se c 0 então v 0 e as equações acima representam a parte superior da elipse u²ch² c v²sh² c 1 se c 0 elas representam a parte inferior Fig 26 Cada ponto do segmento é transformado num ponto da semielipse e reciprocamente de acordo com as equações paramétricas acima Os focos da elipse são os pontos w 1 que são independentes do valor de c A imagem da reta x c onde π2 x π2 é a curva u sen c ch y v cos c sh y que é a parte direita da hipérbole u²sen² c v²cos² c 1 se c 0 e é a parte esquerda se c 0 A transformação é biunívoca Os pontos w 1 são os focos desta hipérbole FIG 26 w sen z Cada ponto dado no semiplano superiorw é um ponto de uma das semielipses bem definida portanto ele corresponde a um único ponto de um segmento horizontal bem definido isto é a um único ponto da faixa semiinfinita π2 x π2 y 0 no planoz Também a cada ponto da faixa acima corresponde um único ponto w Logo a transformação dessa faixa no semiplano superiorw é biunívoca Fig 9 Apêndice 2 A imagem da parte 0 x π2 y 0 dessa faixa é o primeiro quadrante do planow Fig 10 Apêndice 2 O retângulo π x π c₁ y c₂ é transformado na região delimitada por duas elipses confocais como mostra a figura 27 Note porém que os dois lados x π são transformados no segmento u 0 v sh y c₁ y c₂ assim se c₁ 0 a imagem do domínio retangular é o anel elíptico com um corte ao longo do eixov negativo Quando o ponto z descreve a fronteira do retângulo sua imagem perfaƒz ãum circuito percorrendo primeiro uma elipse e depois o corte e a outra elipse e de novo o corte e a elipse original onde se encontra o ponto de partida como sugere a figura A região retangular π2 x π2 0 y c é transformada biunivocamente numa região semielíptica na maneira ilustrada na figura 11 do Apêndice 2 FIG 27 w sen z 40 Transformações Sucessivas Como cos z sen z π2 a transformação w cos z pode ser escrita sucessivamente como w sen z z z π2 A última transformação é uma translação de π2 para a direita de cada ponto do planoz Portanto a transformação w cos z é a mesma que a transformação w sen z precedida da translação à direita de π2 unidades A transformação w sh z pode ser escrita iw sen iz ou w sen z z iz w iw Ela é portanto a combinação da transformação w sen z com a rotação dos eixos em cada plano do ângulo π2 Analogamente a transformação w ch z é essencialmente a mesma que w cos z Como outro exemplo de transformações sucessivas consideremos w sen z12 onde a potência fracionária designa o ramo principal Escrevemos w sen z w w12 Vimos na secção precedente que a primeira transforma a faixa semiinfinita 0 x π2 y 0 no primeiro quadrante A segunda transforma o quadrante num octante As transformações sucessivas de regiões e fronteiras que levam a faixa do planoz num octante do planow são ilustradas na figura 28 FIG 28 w sen z12 A transformação linear fracionária w z 1z 1 leva o semiplano x 0 no círculo unitário w 1 Fig 12 Apêndice 2 É fácil ver que esta transformação também leva o semiplano y 0 no semiplano v 0 Como a transformação w Log w ou w exp w leva o semiplano v 0 na faixa 0 y π Fig 6 Apêndice 2 seguese que a transformação w Log z 1z 1 leva o semiplano na faixa A ordem dos pontos correspondentes nas fronteiras é indicada na figura 19 do Apêndice 2 41 Tabela de Transformações de Regiões O apêndice 2 consiste em um conjunto de figuras mostrando a transformação de regiões simples e úteis por várias funções elementares Em cada caso existe uma correspondência biunívoca entre os pontos da região e os da sua imagem Partes correspondentes de fronteiras são indicadas por letras A tabela inclui algumas transformações que não foram discutidas no texto A verificação das mesmas é deixada como exercício para o estudante Várias das transformações apresentadas no Apêndice 2 podem ser deduzidas por meio da transformação de SchwarzChristoffel Cap 10 EXERCÍCIOS 1 Mostre que a transformação w ch z leva os pontos z iy 0 y π2 no segmento 0 u 1 do eixou 2 Sob a transformação w ch z² mostre que a imagem da faixa semiinfinita x 0 0 y π2 é o primeiro quadrante do planow e indique partes correspondentes das fronteiras das regiões 3 Sob a transformação w sen z mostre que as imagens dos lados do retângulo 0 x π2 0 y 1 são os segmentos e o arco DE indicados na figura 29 onde DE é um quarto da elipse uch 1² vsh 1² 1 4 Complete a transformação indicada na figura 29 usando a transformação dos segmentos y c 0 x π2 para provar que a transformação w sen z estabelece uma correspondência biunívoca entre os pontos da região retangular e os da região ABDE 5 Verifique a transformação por sen z ilustrada na figura 10 Apêndice 2 6 Verifique a transformação por sen z ilustrada na figura 11 Apêndice 2 7 Descreva a transformação w ch z em termos da transformação w sen z e de rotações e translações 8 Mostre que a transformação w sen²z leva a região 0 x π2 y 0 na região v 0 e indique partes correspondentes das fronteiras 9 Sob a transformação w sen z14 mostre que a faixa π2 x π2 y 0 é transformada na parte do primeiro quadrante que fica abaixo da reta v u e determine as partes correspondentes das fronteiras 10 Verifique a transformação por w 1z das regiões e partes das fronteiras indicadas a na figura 4 Apêndice 2 b na figura 5 Apêndice 2 11 Verifique a transformação ilustrada na figura 12 Apêndice 2 pela função w z 1z 1 12 Mostre que a transformação bilinear z z 1z 1 transforma o eixox no eixox o segmento 1 x 1 desse eixo no semieixox negativo o semiplano y 0 no semiplano y 0 e y 0 em y 0 Quando se utiliza o ramo principal z12 mostre que a transformação composta w z12 z 1z 112 leva o planoz exceto o segmento 1 x 1 do eixox no semiplano u 0 compare com o exercício 8 Sec 38 13 Usando a representação polar de z mostre a transformação w z 1z leva as duas partes superior e inferior do círculo r 1 no segmento 2 u 2 v 0 14 Mostre que a transformação w z 1z leva o círculo r c na elipse u c 1c cos θ v c 1c sen θ 15 Verifique a transformação indicada na figura 16 Apêndice 2 pela função w z 1z 16 Descreva a transformação pela função w ch z em termos das transformações w ez e 2w z 1z CAPITULO 5 Integrais O leitor poderá passar diretamente para os capítulos sobre transformações conformes e suas aplicações se assim desejar Poderia parecer mais natural apresentar esses capítulos agora que acabamos de completar um estudo sobre transformações por funções elementares Devese notar porém que ainda não estabelecemos a continuidade das derivadas parciais primeira e segunda das partes real e imaginária ux y e vx y de uma função analítica Se abordarmos tópicos sobre transformações conformes neste momento seremos obrigados a admitir tal continuidade para estabelecêla precisamos lançar mão da teoria das integrais de funções analíticas A teoria das integrais curvilíneas junto com a de séries de potências e resíduos constitui parte importante da teoria das funções de variáveis complexas que se destaca por sua elegância matemática Os teoremas são geralmente concisos e poderosos e a maioria das demonstrações é simples A teoria também sobressai por sua grande utilidade tanto na matemática pura como na aplicada Apresentaremos uma introdução substancial a esta teoria neste e nos subseqüentes capítulos 42 Integrais Definidas Para introduzirmos de maneira simples a integral curvilínea de fz definimos primeiro a integral definida de uma função complexa F de uma variável real t Escrevemos 1 Ft Ut iVt a t b onde U e V são funções reais seccionalmente contínuas ou contínuas por partes da variável real t num intervalo limitado a b isto é cada uma dessas funções é tal que o intervalo consiste de um número finito de subintervalos em cada um dos quais a função é contínua e tem limites finitos quando t tende para as extremidades Tais funções são portanto contínuas no intervalo exceto no máximo para um número finito de saltos finitos Definimos então a integral definida de F em termos de duas integrais definidas reais que certamente existem pela fórmula 84 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES TRANSFORMAÇÕES POR FUNÇÕES ELEMENTARES 85 86 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES TRANSFORMAÇÕES POR FUNÇÕES ELEMENTARES 87 88 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES CAPITULO 5 Integrais 2 ab Ft dt ab Ut dt i ab Vt dt Desta definição seguese que 3 ℜ ab Ft dt ab Ut dt ab ℜFt dt Além disso se k é uma constante complexa k k1 ik2 então ab kF dt ab k1 U k2 V dt i a b k1 V k2 U dt k1 ik2 ab U dt i ab V dt isto é 4 ab kFt dt k ab Ft dt Tal como no caso real valem aqui também propriedades tais como as da inversão de limites de integração e integrais de soma Para estabelecer uma outra propriedade básica sejam r0 e θ0 o valor absoluto e um argumento do número complex o representado pela integral 2 onde r0 é suposto diferente de zero isto é 5 ab Ft dt r0 expiθ0 r0 ab Ft dt Quando ℜ expiθ0 seguese da fórmula 4 que ab eiθ0Ft dt eiθ0 ab Ft dt r0 Note que r0 é real e positivo Então em vista da fórmula 4 r0 ℜ ab eiθ0F dt ab ℜeiθ0F dt 0 mas ab ℜeiθ0F dt ab ℜeiθ0F dt ab eiθ0F dt desde que a b Como expiθ0 1 seguese que r0 ab F dt isto é ab Ft dt ab Ft dt a b Esta desigualdade também é verdadeira para r0 0 já que o primeiro membro se anula nesse caso 43 Caminhos Introduziremos aqui algumas classes de curvas adequadas ao estudo de integrais curvilíneas Um arco contínuo é definido como um conjunto de pontos x y tais que 1 x φt y ψt a t b onde φ e ψ são funções contínuas do parâmetro real t A definição estabelece uma transformação contínua de pontos t do intervalo a b no arco e uma orientação dos pontos x y de acordo com o sentido de crescimento de t Se nenhum par de valores distintos de t corresponde a um mesmo ponto x y o arco se diz arco de Jordan Mas se φa φb e ψa ψb e nenhum outro par de valores distintos de t corresponde a um mesmo ponto x y então o arco contínuo é uma curva simples fechada ou curva de Jordan A poligonal 2 x t 0 t 2 y t 0 t 1 1 1 t 2 isto é y x 0 x 1 y 1 1 x 2 é um exemplo de arco de Jordan Aqui o parâmetro t é mesmo que a coordenada x O círculo 3 x r0 cos t y r0 sen t 0 t 2π é um exemplo de curva simples fechada Se as funções φ e ψ nas equações 1 têm derivadas contínuas φt e ψt que não se anulam simultaneamente para qualquer valor de t então o arco tem uma tangente que varia continuamente de posição O arco ou curva é então suave Seu comprimento é determinado e dado pela fórmula 4 L ab φt2 ψt2 dt a b Um caminho é uma cadeia contínua de um número finito de arcos suaves Se as equações 1 representam um caminho então φ e ψ são contínuas enquanto que φ e ψ são seccionalmente contínuas A poligonal 2 por exemplo é um caminho Se o caminho é fechado e não se intercepta então é uma curva de Jordan seccionalmente suave chamada caminho fechado Contornos de triângulos e de retângulos são exemplos O comprimento de um caminho é a soma dos comprimentos dos arcos suaves que o compõem ele é dado pela integral 4 quando as equações 1 representam o caminho Qualquer curva de Jordan C e portanto qualquer caminho fechado divide o plano em dois domínios os quais têm os pontos de C como seus únicos pontos de fronteira Um desses domínios chamado interior de C é limitado o outro exterior de C é ilimitado Esta afirmação é conhecida como teorema de Jordan e sua demonstração não é simples Aceitálamos como geometricamente óbvia¹ ¹ Cf Cap 6 do livro de Dienes citado no Apêndice 1 Vamos introduzir um novo parâmetro r nas equações paramétricas 1 de um caminho fazendo 5 t pr onde p é contínua com derivada seccionalmente contínua pr e pr 0 de modo que t cresce com r Então se pc a e pd b às equações paramétricas tomam a forma 6 x φpr Φr y ψpr Ψr c r d Estas equações representam uma transformação contínua de pontos do intervalo c r d no caminho C orientado de acordo com o sentido de crescimento de r e portanto de t Ora φt Φr drdt Φrpr ψt Ψrpr e a integral na fórmula 4 para o comprimento de C é transformada em cd Φr2 Ψr2 1pr2 pr dr Portanto L cd Φr2 Ψr2 dr c d isto é o número L dado pela fórmula 4 é invariante sob tais mudanças na representação paramétrica de C 44 Integrais Curvilíneas A integral de uma função f da variável complexa z de um ponto z α a um ponto z β é definida em termos dos valores fz nos pontos de um arco C que se estende do ponto α ao ponto β A integral é portanto uma integral curvilínea Seu valor pode depender da escolha do arco C bem como de f α e β Embora a integral 1 C fz dz ou αβ fz dz possa ser definida diretamente como limite de uma soma uma definição em termos de integrais definidas do tipo introduzido na Sec 42 apresenta algumas vantagens Seja C um caminho que se estende de α a β e escrevemos z x iy Então quando z está sobre C 2 x φt y ψt a t b onde φ e ψ são contínuas e φ e ψ são seccionalmente contínuas também z α quando t a e z β quando t b Seja f seccionalmente contínua sobre C isto é as partes real e imaginária de f são funções seccionalmente contínuas de t Definimos então a integral 1 pela fórmula 3 C fz dz ab fφt iψtφt iψt dt A integral no segundo membro existe visto que seu integrando é uma função complexa seccionalmente contínua da variável real t Sec 42 Se u e v designam as partes de f então quando z está sobre C fz u iv uφt ψt iv φt ψt é nossa definição 3 pode ser escrita seja em termos de integrais definidas reais com integrandos seccionalmente contínuos 4 C fz dz ab uφ vψ dt i ab uψ vφ dt ou em termos de integrais curvilíneas reais 5 C fz dz C u dx v dy i C u dy v dx Observe que estas representações podem ser obtidas formalmente substituindo f por u iv e dz por dx idy e a seguir desenvolvendo o integrando A menos que se indique o contrário consideraremos integrais sobre caminhos tais como definidos na Sec 43 onde os integrandos são funções seccionalmente contínuas sobre esses caminhos Assim a integral curvilínea 1 também é chamada integral de caminho De acordo com a fórmula 3 ou 4 a integral de β a α sobre um dado caminho C é descrita em termos de integrais definidas de t b a t a e portanto 6 βα fz dz αβ fz dz onde as integrais são integrais de caminho sobre C em direções opostas Das fórmulas 3 e 4 decorrem outras propriedades de integrais de caminhos a saber 7 C kfz dz k C fz dz para qualquer constante complexa k 8 C fz gz dz C fz dz C gz dz e quando C consiste de um caminho C1 de α a algum ponto γ e de um caminho C2 de γ a β então 9 C fz dz C1 fz dz C2 fz dz Quando z está sobre C interpretamos o símbolo dz assim dz φt iψt dt dx2 dy2 Nossa definição 4 Sec 43 do comprimento do caminho C pode ser abreviada pela fórmula 10 L C dz desde que se considere positivo o valor da integral real aqui Em vista da desigualdade 6 Sec 42 temos a desigualdade ab fφ iψφ iψ dt ab f φ iψ dt a b Se usamos a abreviação C fz dz ab fφt iψt φt iψt dt a b a desigualdade anterior para a integral de caminho de uma função seccionalmente contínua toma a forma 11 C fz dz C fz dz Se fz M quando z percorre o caminho C onde M é alguma constante e se L designa o comprimento de C o valor da integral real no segundo membro da desigualdade 11 não exerce ML portanto 12 C fz dz ML As propriedades 11 e 12 são particularmente úteis na teoria das integrais de caminho O valor de uma integral de caminho é independente da mudança na representação paramétrica de seu arco descrita pela equação 5 Sec 43 Isto pode ser visto escrevendo as integrais reais na fórmula 4 em termos do novo parâmetro r e seguindo o procedimento usado na Sec 43 para mostrar a invariância do comprimento de arco Embora uma análise mais profunda de fundamentos geométricos e lógicos ou mesmo topológicos da teoria das integrais curvilíneas seja interessante limitarnosemos a abordar a teoria em si A integral definida real pode ser interpretada como área Ela tem outras interpretações Exceto em casos especiais não dispomos de uma interpretação útil geométrica ou física para a integral curvilínea no plano complexo Apesar disso como já salientamos a teoria da integração no plano complexo é notoriamente útil na física engenharia e matemática 45 Exemplos Calculemos o valor da integral I1 C1 z2 dz onde C1 é o segmento reto OB de z 0 a a z 2 i Fig 30 Se a coordenada ẏ é usada como parâmetro as equações paramétricas de C1 reduzemse a x 2y 0 y 1 O integrando z² é contínuo em todos os pontos sobre C1 ele fica z² x² y² 2xyi 3y² 4yi e φt iψt dt ou dx idy se torna 2 i dy logo I1 01 3y² 4yi2 i dy 3 4i2 i 01 y² dy ⅔ ⅓i Seja C2 o caminho OAB da Fig 30 e calculemos a integral I2 C2 z² dz OA z² dz AB z² dz Sobre o arco OA z x As equações paramétricas deste arco são x x y 0 0 x 2 logo dz é substituído por dx Sobre AB z 2 iy 0 y 1 e dz é substituído por idy Portanto I2 02 x² dx 01 2 iy² dy ⅘ i 01 4 y² dy 4i 01 y dy ⅘ ⅓i Incidentalmante as equações do caminho OAB podem ser escritas na forma x φt y ψt 0 t 3 onde φt t 0 t 2 2 2 t 3 ψt 0 0 t 2 t 2 2 t 3 Observemos que I2 I1 Assim a integral de z² sobre o caminho fechado OABO tem o valor I2 I1 0 e veremos logo que isto é uma consequência do fato de o integrando z² ser analítico sobre o caminho e no seu interior 96 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES Como terceiro exemplo consideremos a função fz overlinez como integrando f é contínua em todos os pontos Se C3 é o semicírculo superior do círculo z 1 de z 1 a z 1 Fig 31 suas equações paramétricas podem ser escritas x cos θ y sen θ ou z eiθ 0 θ π Então substituindo dz por sen θ i cos θdθ vemos que I3 intC3 overlinez dz intπ0 cos θ i sen θ sen θ i cos θdθ intπ0 eiθ ieiθ dθ i intπ0 dθ πi A integral I4 entre os dois mesmos pontos ao longo do semicírculo inferior C4 Fig 31 representado pelas equações x cos θ y sen θ ou z eiθ π θ 2π é avaliada da mesma maneira I4 intC4 overlinez dz i intπ2π dθ πi Note que I4 I3 e que a integral IC de overlinez ao longo de todo o círculo C no sentido antihorário não se anula IC intC overlinez dz I4 I3 2πi Quando z está sobre o círculo unitário C frac1zfracoverlinezz2 overlinez assim os integrandos das integrais I3 I4 e IC podem ser substituídos por 1z Em particular IC intC fracdzz 2πi Como último exemplo seja C5 o segmento reto do ponto z i a z 1 Sem calcular a integral I5 intC5 fracdzz2 vamos determinar um majorante para seu valor absoluto O integrando é contínuo sobre C5 visto que seu único ponto de descontinuidade é a origem Escolhido o parâmetro t como a coordenada x as equações paramétricas de C5 reduzemse a y 1 x 0 x 1 Quando z está sobre C5 z2 x2 y22 x2 1x22 2x2 2x 12 e para determinar um minorante para esta quantidade notemos que z4 2x 122 122 14 pois x 122 0 Conseqüentemente para todo z sobre C5 frac1z4 4 fato alias geometricamente evidente Assim podemos tomar M 4 na desigualdade 12 Sec 44 Como o comprimento de C5 é 2 seguese que I5 42 EXERCÍCIOS Para cada função f e caminho C dados nos exercícios 1 a 6 determine o valor de intC fz dz após verificar que f é pelo menos seccionalmente contínua sobre C e que C é de fato um caminho tal como definido na Sec 43 1 fz y x 3x2 i C é o segmento reto de z 0 a z 1 i Resp 1 i 2 fz y x 3x2 i C consiste de dois segmentos retos um de z 0 a z i e o outro de z i a z 1 i Resp 12 1 i 98 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES 3 fz z 2z e C é a o semicírculo z 2eiθ onde θ varia de 0 a π b o semicírculo z 2eiθ onde θ varia de 0 a π c o círculo z 2eiθ onde θ varia de π a π Resp a 4 2πi b 4 2πi c 4πi 4 fz z 1 e C é o arco abaixo de z 0 a z 2 a o semicírculo z 1 eiθ 0 θ π b o segmento do eixox Resp a 0 b 0 5 C é o arco de z 1 i a z 1 i da curva y x3 e fz 4y quando y 0 1 quando y0 Resp 2 3i 6 fz ez e C é o caminho abaixo de z πi a z 1 a o segmento reto b a poligonal ao longo dos eixos de coordenadas Resp a 1 e b 1 e 7 Se C é o contorno do quadrado com vértices nos pontos z 0 z i z 1 i e z 1 mostre que intC 3z 1 dz 0 8 Sendo C a fronteira do quadrado no exercício 7 calcule intC π exp πz dz Resp 4eπ 1 9 Avalie a integral I3 Sec 45 usando as equações de C x t y 1 t2 1 t 1 10 Seja C o arco do círculo z 2 que se situa no primeiro quadrante Mostre que intC fracdzz2 1 π3 sem calcular o valor da integral 11 Sendo C o contorno do triângulo com vértices nos pontos z 0 z 4 e z 3i mostre que intC ez overlinez dz 60 12 Sendo C um círculo z R onde R 1 mostre que intC fraclog zz2 dz 2π fracπ log RR e que portanto o valor da integral tende para zero quando R 13 Escrevendo a integral em termos de integrais reais prove que intalphabeta dz beta alpha quando a integração é efetuada do ponto z α a z β sobre a um arco de Jordan suave b um caminho 14 Prove que 2 intalphabeta z dz beta2 alpha2 quando a integração é efetuada sobre a um arco suave de Jordan b um caminho c Como conseqüência mostre que a integral de z ao longo de qualquer caminho fechado é nula 15 Quando C0 é um círculo z z0 r0 eiθ 0 θ 2π r0 0 com orientação antihorária mostre que intC0 fz dz i r0 int02π fz0 r0 eiθ eiθ dθ se f é contínua sobre C0 16 Como casos particulares do exercício 15 mostre que intC0 fracdzz z0 2πi intC0 fracdzz z0n 0 n 2 3 100 VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES intC u dx v dy iintR fracpartial vpartial x fracpartial upartial y dx dy intC v dx u dy iintR fracpartial upartial x fracpartial vpartial y dx dy Em vista das condições de CauchyRiemann os integrandos das duas integrais duplas se anulam na região R De acordo com a fórmula 5 Sec 44 as integrais curvilíneas no primeiro membro são as partes real e imaginária do número complexo representando a integral curvilínea de fz Assim intC fz dz 0 Este resultado foi obtido pela primeira vez por Cauchy no começo do último século Como exemplos elementares notemos que para todo caminho fechado C intC dz 0 intC z dz 0 intC z2 dz 0 visto que as funções 1 z e z2 são inteiras e suas derivadas são contínuas em todos os pontos Goursat foi o primeiro a provar que a continuidade de f pode ser omitida das hipóteses no teorema A remoção desta condição é importante Uma das conseqüências por exemplo é que as derivadas das funções analíticas também são analíticas como mostraremos adiante A reformulação do teorema teorema de CauchyGoursat pode ser enunciada como segue Teorema Se uma função f é analítica em todos os pontos interiores e sobre um caminho fechado C então intC fz dz 0 A demonstração será apresentada nas duas secções subseqüentes Será uma tarefa simples estender o resultado a curvas mais gerais inclusive por exemplo a toda fronteira da região entre dois polígonos um interior ao outro 47 Um Teorema Preliminar A derivada fz0 existe quando fz é analítica no ponto z0 isto é dado um número positivo ε existe um número positivo δ0 dependendo de z0 e ε tal que 1 fracfz fz0z z0 fz0 ε sempre que 0 z z0 δ0 Para a prova do teorema de CauchyGoursat mostremos primeiro que é possível dividir a região delimitada pelo caminho fechado C de modo que a primeira desigualdade acima resulte verdadeira para todo z em cada subdivisão quando z0 é convenientemente escolhido nessa subdivisão Assim vemos que há certa uniformidade na aproximação de fz por ΔfΔz Lema Seja fz analítica em todos os pontos de uma região fechada R consistindo do interior de um caminho fechado C e do próprio C Dado um número positivo ε é possível dividir R num número finito n de quadrados e de quadrados parciais cujas fronteiras serão indicadas por Cj de modo que existe um ponto zj no interior de Cj ou sobre Cj para o qual a desigualdade 2 fracfz fzjz zj fzj ε j 1 2 n será satisfeita por todo ponto z z zj no interior de Cj ou sobre Cj Dividamos a região R por meio de retas paralelas aos eixos de coordenadas de modo a cobrir a região por um número finito de quadrados iguais A parte de cada quadrado que fica fora de R é removida assim R fica dividida em quadrados e quadrados parciais Fig 32 Seja dado um número positivo ε Para simplificar a linguagem diremos que uma dessas subregiões quadrado ou quadrado parcial tem a propriedade 2 se existe um ponto zj nessa subregião tal que a desigualdade 2 é satisfeita para ε acima dado por todo ponto z z zj da subregião Se todas as subregiões têm a propriedade 2 não há o que provar Suponhamos agora que algumas das subregiões não tenham a propriedade 2 Vamos dividir cada uma das subregões sem a propriedade 2 do seguinte modo se a subregião é um quadrado dividimola em quatro quadrados iguais e se a subregião é um quadrado parcial dividimos o quadrado que a contém em quatro quadrados iguais e a seguir descartamos as partes que ficam fora de R Se algumas das regiões menores assim obtidas ainda não tiverem a propriedade 2 continuaremos dividindo cada uma dessas do mesmo modo etc Após um número finito de tais operações divisões pode ocorrer que cheguemos a uma divisão de R tal que todas as subregiões presentes tenham a propriedade 2 Nesse caso o lema está verificado Suponhamos então que pelo menos uma das subregiões originais não possa ser dividida por um número finito de tais operações em regiões do tipo mencionado todas com a propriedade 2 Indicamos essa subregião por σ0 se ela é um quadrado se a subregião é um quadrado parcial σ0 designa o quadrado que a contém Então após a divisão de σ0 um dos quatro quadrados menores denotado por σ1 contém pontos de R mas não tem a propriedade 2 Dividindo σ1 obteremos σ2 que contém pontos de R e não tem a propriedade 2 etc Se em qualquer estágio k existirem mais de um quadrado nas condições acima σk indicará aquele que ocupa a posição inferior e mais à esquerda a fim de tornar a escolha específica Cada quadrado σk da sequência infinita σ0 σ1 σ2 σk1 σk está contido no precedente σk1 e tem o lado que é a metade do de σk1 também σk contém pontos de R Existe um ponto z0 comum a todos os quadrados desta sequência infinita encaixada de quadrados Exercício 13 Sec 50 Cada vizinhança de z0 z z0 δ contém um quadrado da seqüência quadrado cuja diagonal tenha o comprimento menor do que δ Assim cada vizinhança de z0 contém pontos de R e portanto z0 é um ponto de acumulação do conjunto R Como a região R é fechada o ponto de acumulação z0 pertence a R Deste modo fz é analítica em z0 e correspondendo a e inicialmente dado existe um número positivo δ0 tal que a condição 1 é satisfeita em z0 Mas a vizinhança z z0 δ0 que comparece na condição 1 contém um quadrado σK onde K é suficientemente grande de modo que o comprimento da diagonal de σK seja menor do que δ0 Conseqüentemente o ponto z0 serve como ponto zj na desigualdade 2 que neste caso é satisfeita na subregião consistindo do quadrado σK ou de uma parte de σK Em outras palavras σK ou uma parte de σK já tem a propriedade 2 Desta feita não é mais necessário dividir σK o que contradiz nossas hipóteses Assim chegamos a uma contradição e a demonstração do lema está completa 48 Demonstração do Teorema de CauchyGoursat Mostraremos que a desigualdade 1 c fz dz ε se verifica para qualquer número positivo ε Para o caminho fechado dado C e a função dada f a integral tem um valor constante definido A integral portanto deve ser igual a zero Para um número positivo dado ε sejam Cj j 1 2 n os contornos de quadrados e quadrados parciais em que a região é dividida de acordo com o lema precedente de modo que cada quadrado ou quadrado parcial tem a propriedade 2 Sec 47 Podemos enunciar a desigualdade 2 Sec 47 na seguinte forma Cada uma das funções 2 δjz fz fzjzzj fzj j 1 2 n satisfaz a desigualdade 3 δjz ε Observe que cada função δjz é contínua em particular seu limite quando z tende para zj é igual a zero e podemos definir δjzj como sendo igual a zero preservando assim a continuidade da função Façamos agora com que z percorra a fronteira Cj De acordo com a equação 2 o valor de fz em qualquer ponto de Cj pode ser escrito 4 fz fzj zj fzj fzjz z zj δjz Integrando ao longo de Cj e lembrandonos de que Sec 46 c f dz 0 c z dz 0 vemos que 5 cj fz dz C zzj δjz dz Seja a integração ao longo de cada Cj feita no sentido antihorário A soma de todas essas integrais é a integral ao longo do caminho fechado C no sentido antihorário isto é Σj1 n cj fz dz c fz dz visto que as integrais curvilíneas ao longo do segmentofronteira comum a duas subregiões adjacentes se cancelam mutuamente a integração é feita num sentido ao longo desse segmento numa região e no sentido oposto na outra Fig 33 Permanecem somente as integrais ao longo dos arcos que são partes de C Portanto em vista da equação 5 c fz dz Σj1 n cj z zj δjz dz e por conseguinte c fz dz Σj1 n cj z zj δjz dz Σj1 n cj z zj δjz dz Seguese da desigualdade 3 que 6 c fz dz ε Σj1 n cj z zj dz Cada fronteira Cj coincide total ou parcialmente com a fronteira de um quadrado Em quaisquer dos casos seja sj o comprimento de um lado desse quadrado Ora z está sobre Cj e zj no interior ou sobre Cj de modo que z zj sj 2 e 7 cj z zj dz sj 2 cj dz A última integral representa o comprimento de Cj Seu valor é 4 sj se Cj é um quadrado e não excede 4 sj Lj se Cj é um quadrado parcial onde Lj é o comprimento do arco de C que faz parte de Cj Quando Cj é um quadrado e Aj designa a área desse quadrado então de acordo com a desigualdade 7 8 cj z zj dz 4 2 s2j 4 2 Aj Quando Cj é um quadrado parcial 9 cj z zj dz sj 2 4 sj Lj 4 2 Aj 2 SLj onde S é o comprimento de um lado de algum quadrado que envolva todo o caminho C e todos os quadrados usados originalmente para cobrir C Fig 33 Assim a soma de todos os Aj não excede S2 Se L designa o comprimento de C seguese agora das desigualdades 6 8 e 9 que c fz dz ε 4 2 S2 2 SL Aqui para cada número positivo ε o segundo membro pode ser tornado igual a ε atribuindose um valor conveniente ao número positivo ε Está assim estabelecida a desigualdade 1 e o teorema de CauchyGoursat está demonstrado 49 Domínios Simplesmente e Multiplamente Conexos Um domínio simplesmente conexo D é uma região aberta e conexa um domínio tal que todo caminho fechado contido em D envolve somente pontos de D O interior de um caminho fechado é um exemplo mas o exterior não é simplesmente conexo como também não o é a região anular entre dois círculos concêntricos Um domínio que não é simplesmente conexo dizse multiplamente conexo O teorema de CauchyGoursat pode ser enunciado na seguinte forma alternada Se fz é analítica sobre um domínio simplesmente conexo D então para todo caminho fechado C contido em D temse 1 c fz dz 0 O caminho fechado C aqui pode ser substituído por uma cadeia fechada de arcos suaves de Jordan que eventualmente se autointercepta uma vez que cada laço da cadeia é um caminho fechado contido em D Também C pode conter um arco que é duas vezes percorrido em sentidos opostos já que as integrais ao longo do arco nos dois sentidos se cancelam mutuamente Se o número de tais arcos ou autointersecções não é finito podem surgir problemas delicados O teorema pode ser estendido de modo a permitir que D represente certos domínios multiplamente conexos Teorema Seja C um caminho fechado e seja Cj um número finito j 1 2 n de caminhos fechados contidos no interior de C tais que os interiores de Cj não tenham pontos em comum Seja R a região fechada consistindo de todos os pontos de C e dos pontos interiores à C exceto os pontos interiores a cada Cj Fig 34 e seja B a fronteira orientada de R consistindo de C e de todos os Cj orientados de modo a deixarem os pontos de R à esquerda de B Então se fz é analítica em R 2 B fz dz 0 Para estabelecermos este resultado vamos introduzir um segmento reto L1 ou uma cadeia contínua de tais segmentos ligando o caminho C ao caminho C1 um outro L2 ligando C1 e C2 e assim por diante por último Ln1 ligando Cn e C Desta maneira tal como indicam as setas na Fig 34 podem ser formados dois caminhos fechados C e C cada um consistindo dos segmentos Lj e de partes de C e Cj Como f é analítica nos interiores de C e C e sobre os mesmos o teorema de CauchyGoursat se aplica a f sobre C e C e a soma das integrais de f ao longo de C e de C onde os dois caminhos são orientados de modo a deixarem os seus pontos interiores à esquerda é igual a zero Mas esta soma é exatamente a integral de f ao longo de B visto que as integrais de sentidos opostos ao longo de cada Lj se cancelam mutuamente permanecendo na soma somente a integral ao longo de B Segue assim a fórmula 2 Como ilustração deste teorema vemos que B dzz² z² 9 0 se a fronteira B consiste do círculo z 2 com orientação positiva e do círculo z 1 com orientação negativa Fig 35 O integrando é analítico exceto nos pontos z 0 e z 3i e esses três pontos ficam fora da região anular com fronteira B 50 Integrais Indefinidas Sejam z0 e z dois pontos num domínio simplesmente conexo D sobre o qual f é analítica Fig 36 Se C1 e C2 são dois caminhos contidos em D ligando z0 a z então C1 e C2 juntos formam uma curva fechada caminho fechado a menos de possíveis autointersecções ao longo do qual o teorema de CauchyGoursat é válido Assim se indicamos por z pontos de C1 e C2 c1 fz dz c2 fz dz 0 isto é a integral de z0 a z 1 Fz z0 z fz dz tem um mesmo valor para todos esses caminhos Mostraremos agora que a derivada de Fz existe e é igual a fz Seja z Δz um ponto em D Fig 37 Então Fz Δz Fz z0 z Δz fz dz z0 z fz dz z z Δz fz dz onde o caminho de integração de z a z Δz pode ser escolhido como um segmento reto Podemos escrever Exercício 13 Sec 45 fz fzΔz z z Δz dz 1Δz z z Δz fz dz e portanto Fz Δz FzΔz 1Δz z z Δz fz fz dz Mas f é contínua no ponto z0 Logo para cada número positivo ε existe um número positivo δ tal que fz fz ε quando z z δ ou em particular quando Δz δ Portanto quando Δz δ Fz Δz FzΔz fz εΔz z z Δz dz ε isto é lim Δz 0 Fz Δz FzΔz fz Assim a derivada da integral 1 existe em cada ponto z em D e 2 Fz fz A integral de uma função analítica é portanto uma função analítica do seu limite superior de integração desde que o caminho de integração seja confinado a um domínio simplesmente conexo em que o integrando é analítico Podemos ver da definição 1 que Fz varia de uma constante aditiva quando o limite inferior de integração z0 é substituído por uma outra constante A função F é uma integral indefinida ou antiderivada de f escrita Fz fz dz isto é ela é uma função analítica cuja derivada é fz Em vista da fórmula 1 a integral definida pode ser avaliada como diferença de valores da integral indefinida como no caso de integrais reais 3 α β fz dz z0 β fz dz z0 α fz dz Fβ Fα Aqui os caminhos de integração supõemse contidos num domínio simplesmente conexo onde f é analítica Devese notar que se G é uma função analítica diferente de F tal que Gz fz então a derivada da função w G F é zero Assim se w u iv então ux i vx 0 e portanto ux e vx se anulam em todo o domínio onde F e G são analíticas Em vista das condições de CauchyRiemann uy e vy também se anulam e portanto u e v são constantes Logo w é uma constante seguindose que as duas integrais indefinidas Fz e Gz diferem por uma constante Como consequência qualquer integral indefinida de f pode ser usada no lugar de F na fórmula 3 Uma integral indefinida da função fz z2 por exemplo é a função inteira Fz z33 Como a função z2 também é inteira podemos escrever 01i z2 dz 13z301i 131i3 para qualquer caminho entre os pontos z 0 e z 1 i Como outro exemplo vamos calcular 4 11 z12 dz ao longo de um caminho qualquer ligando os dois limites contido no semiplano superior do planoz onde 5 z12 r expiθ2 0 θ 2π Esta função não é analítica nos pontos do raio θ 0 em z 1 em particular Mas um outro ramo f1z r expiθ2 r 0 π2 θ 3π2 da função multivalente z12 é analítico em todos os pontos exceto no raio θ π2 Os valores de f1z no semiplano superior coincidem com os da nossa função 5 de modo que o nosso integrando pode ser substituído por f1z Uma integral indefinida de f1 é a função 23 z32 23 r32 exp3iθ2 r 0 π2 θ 3π2 analítica no domínio de definição de f1 assim 11 212 dz 23 r e3iθ211 23e0 e3iπ2 231i A integral 4 ao longo de um caminho abaixo do eixox tem outro valor Aí podemos substituir o integrando pelo ramo f2z r expiθ2 r 0 π2 θ 5π2 cujos valores coincidem com os da função 5 no semiplano inferior A função analítica 23 z32 23 r32 exp3iθ2 r 0 π2 θ 5π2 é uma integral indefinida de f2z assim ao longo de qualquer caminho contido no semiplano inferior 11 212 dz 23 r e3iθ211 23e3iπ e3iπ2 231i A integral da função 5 no sentido positivo ao longo de um caminho fechado consistindo de um caminho do primeiro grupo e de um do segundo tem portanto o valor 231i 231i 43 EXERCÍCIOS 1 Determine o domínio de analiticidade da função f e aplique o teorema de CauchyGoursat para mostrar que C fz dz 0 onde o caminho fechado C é o círculo z1 e quando a fz z2z3 b fz zez c fz 1z2 2z 2 d fz sech z e fz tg z f fz Log z 2 2 Se B é a fronteira da região entre o círculo z4 e o quadrado com lados sobre as retas x 1 e y 1 onde B é orientada de modo a deixar a região à sua esquerda diga porque B fz dz 0 Então log z1 log z2 2πi e z1 z2 1 A fórmula 4 é satisfeita quando escolhemos log 1 2nπi a mesma não é satisfeita quando escolhemos qualquer outro valor de log 1 o valor principal Log 1 0 por exemplo Sejam agora m e n dois inteiros positivos fixos e z r exp iθ r 0 π θ π Quando p e p tomam sucessivamente os valores 0 1 2 todos os números dos dois conjuntos m log z e log zm são dados pelas equações 6 m log z m Log r i θ 2nπ Log rm imθ 2nmp 7 log zm Log rm imθ 2np O segundo conjunto de números contém o primeiro de fato 8 log zm m log z quando p mp Por outro lado o conjunto 1n log z e o conjunto log z1n onde z1n por si já é um conjunto de n números são os mesmos Com efeito quando q 0 1 2 n1 n log z1n n log r1n exp i θ 2nqn Log r iθ 2n q pn e pn q representa o mesmo conjunto de inteiros que o conjunto p p 0 1 2 Logo n log z1n log z ou 9 log z1n 1n log z Como a função exponencial é periódica com período 2πi vemos das equações 6 e 7 que exp m log z exp log zm onde a escolha de valores dos logaritmos é arbitrária Quando log z toma seus valores sucessivos então de acordo com a fórmula 9 exp mn log z exp m log z1n exp log zmn Mas em vista da fórmula 1 cada um dos n números zmn pode ser escrito exp log zmn e portanto onde a integração é efetuada no sentido positivo ao longo de C A fórmula 1 é a fórmula integral de Cauchy Ela mostra que o valor de uma função analítica numa região é determinado em toda a região por seus valores sobre a fronteira Assim não há escolha quanto à maneira de definição da função nos pontos interiores quando a função está definida sobre a fronteira Toda alteração de valores da função nos pontos interiores deve ser acompanhada por uma mudança de seus valores na fronteira se se deseja preservar a analiticidade da função Veremos outras evidências deste caráter orgânico de funções analíticas no decorrer da teoria De acordo com a fórmula integral de Cauchy por exemplo se C é o círculo z 2 orientado no sentido positivo então tomando z0 i podemos escrever C z dz9 z2z i 2πi i9 i2 π5 uma vez que a função fz z9 z2 é analítica no interior de e sobre C Para demonstrar o teorema seja C0 um círculo em torno de z0 z z0r0 onde r0 é suficientemente pequeno para que C0 esteja contido no interior de C Fig 38 A função fzz z0 é analítica em todos os pontos interiores e sobre C exceto no ponto z0 Logo sua integral ao longo da fronteira da região anular entre C e C0 é zero em virtude do teorema de CauchyGoursat isto é C fz dzz z0 C0 fz dzz z0 0 onde ambas as integrais são calculadas no sentido antihorário Como as integrais ao longo de C e de C0 são iguais podemos escrever 2 C fz dzz z0 fz0 C0 dzz z0 C0 fz fz0z z0 dz Mas z z0 r0 eiθ sobre C0 e dz ir0 eiθ dθ de modo que 3 C0 dzz z0 i 02π dθ 2πi para todo número positivo r0 Como f é contínua no ponto z0 dado qualquer número positivo ε existe um número positivo δ tal que fz fz0 ε sempre que z z0 δ Tomamos r0 como sendo igual ao número δ Então C fz fz0z z0 dz C0 fz fz0z z0 dz εδ 2πδ 2πε O valor absoluto da última integral na equação 2 pode ser tornado arbitrariamente pequeno tomandose r0 suficientemente pequeno Mas as duas outras integrais na equação são independentes de r0 em virtude da fórmula 3 e assim a última também deve ser independente de r0 Logo seu valor deve ser igual a zero A equação 2 então reduzse à fórmula abaixo e o teorema está demonstrado C fz dzz z0 2πi fz0 52 Derivadas de Funções Analíticas Uma fórmula para a derivada fz0 pode ser escrita formalmente derivandose a integral na fórmula integral de Cauchy 1 fz0 12πi C fzz z0 dz em relação a z0 sob o sinal de integral Assim 2 fz0 12πi C fzz z02 dz Como antes suponhamos que f seja analítica no interior de e sobre o caminho fechado C e que z0 esteja no interior de C Para estabelecermos a fórmula 2 observemos primeiro que de acordo com 1 fz0 Δz0 fz0Δz0 12πi Δz0 C 1z z0 Δz0 1z z0 fz dz 12πi C fz dzz z0 Δz0z z0 A última integral tende para a integral C fz dzz z02 quando Δz0 tende para zero com efeito a diferença entre essas integrais reduzse a C fz dzz z02z z0 Δz0 Seja M o valor máximo de fz sobre C e seja L o comprimento de C Então se d₀ é a distância mínima de z₀ a C e se Δz₀ d₀ podemos escrever Δz₀ c z z₀² MLIΔz₀d₀²d₀ Δz₀ e a última fração tende para zero com Δz₀ Conseqüentemente lim fz₀ Δz₀ fz₀Δz₀ 12πi c fzz z₀² e a fórmula 2 está estabelecida Se derivarmos de novo ambos os membros da fórmula 2 em relação a z₀ admitindo que a ordem de derivação e integração em relação a z possa ser invertida obteremos 3 fz₀ 22πi c fzz z₀³ Esta fórmula pode ser justificada pelo mesmo método usado para estabelecer a fórmula 2 Com efeito seguese da fórmula 2 que 2πi fz₀ Δz₀ fz₀Δz₀ c 1z z₀ Δz₀² 1z z₀² fzΔz₀ dz c 2z z₀ Δz₀z z₀ Δz₀²z z₀² fz dz Seguindo o mesmo processo que o usado acima podemos mostrar que o limite da última integral quando Δz₀ tende para zero é 2 c fzz z₀³ é a fórmula 3 decorre imediatamente Acabamos de estabelecer a existência da derivada da função f em cada ponto z₀ interior à região delimitada pelo caminho C De acordo com a definição uma função f é analítica num ponto z₁ se e somente se existe uma vizinhança de z₁ em cada ponto da qual fz existe Logo f é analítica em alguma vizinhança do ponto Se o caminho C acima usado é um círculo z z₁ r₁ nessa vizinhança então fz existe em cada ponto interior ao círculo e portanto f é analítica em z₁ Podemos aplicar o mesmo argumento à função f para concluirmos que sua derivada f também é analítica em z₁ etc Assim o seguinte resultado fundamental é uma conseqüência da fórmula 3 Mostramos em Sec 52 que a derivada de toda função analítica é analítica Como Fz fz seguese que f é analítica Estabelecemos assim o seguinte teorema devido a E Morera 18561909 Teorema Se uma função f é analítica em todo um domínio simplesmente conexo D e se para qualquer caminho fechado C em D c fz dz 0 então f é analítica em D O teorema de Morera serve como recíproca do teorema de CauchyGoursat 54 Módulos Máximos de Funções Seja f analítica num ponto z₀ Se C₀ é um círculo z z₀ r₀ em cujo interior e fronteira f é analítica então de acordo com a fórmula integral de Cauchy fz₀ 12πi c₀ fzz z₀ dz Seguese que 1 fz₀ 12πr₀ c₀ fz dz A₀ onde A₀ é o valor médio de fz sobre C₀ isto é 2 A₀ 12π ₀²π fz₀ r₀eiθ r₀ dθ 12π ₀²π fz₀ r₀eiθ dθ Assim o valor de f no centro não excede o valor médio sobre C₀ Seja M₀ o valor máximo da função real contínua f no disco fechado z z₀ r₀ Portanto fz₀ M₀ Também fz₀ r₀eiθ M₀ e em vista da fórmula 2 3 A₀ M₀ Suponhamos que fz₀ M₀ Então seguese da desigualdade 1 que M₀ A₀ Mas de 3 M₀ A₀ e portanto A₀ M₀ Assim o valor médio de f dado pela fórmula 2 coincide com o valor máximo M₀ de f Ora se fz₀ r₀eiθ M₀ para algum θ então essa função contínua de θ teria valores menores do que M₀ sobre algum intervalo e portanto seu valor médio seria menor do que M₀ Logo fz M₀ em todos os pontos de C₀ Supondo ainda que fz₀ M₀ seja A₁ o valor médio de f sobre um círculo qualquer C₁ com centro em z₀ contido no interior de C₀ Então fz M₀ sobre C₁ onde decorre como antes que M₀ A₁ e A₁ M₀ assim A₁ M₀ e portanto fz M₀ sobre C₁ Conseqüentemente fz M₀ em todos os pontos do disco z z₀ r₀ Mas se o módulo de uma função analítica é constante é porque ela própria é constante Exercício 15 Sec 20 Logo fz é uma constante se fz₀ M₀ isto é 4 fz₀ M₀ a menos que f seja constante Este princípio do módulo máximo também pode ser enunciado como segue Se uma função não constante f é analítica em z₀ então toda vizinhança de z₀ z z₀ r₀ contém pontos z tais que 5 fz fz₀ O teorema seguinte é uma consequência direta deste princípio Teorema do Módulo Máximo Se f é analítica num domínio limitado D e contínua no fecho 𝐷 e se M designa o valor máximo de fz em 𝐷 então a menos que f seja constante 6 fz M para todo ponto z em 𝐷 Assim fz assume seu valor máximo M em algum ponto da fronteira de D e jamais num ponto interior Observe que as hipóteses são satisfeitas quando f é analítica em 𝐷 Note também que f é contínua em 𝐷 e portanto assume um valor máximo M em 𝐷 mas nunca em D em vista da condição 5 Se f u iv então como conseqüência do teorema do módulo máximo a função harmônica uxy em 𝐷 contínua em 𝐷 assume seu valor máximo na fronteira B de D mas nunca no interior de D a menos que u seja constante Com efeito a função exp f é analítica em D e contínua em 𝐷 e portanto seu módulo eu assume seu valor máximo somente em B logo uxy atinge ela própria seu máximo só em B Recomendase ao leitor como exercício o exame de propriedades correspondentes de valores mínimos de f e u Quando f é analítica no interior de e sobre o círculo C₀ z z₀ r₀ então fnz₀ n2πi c₀ fzz z₀n1 n 1 2 de acordo com a fórmula integral para derivadas Se M é o máximo de fz sobre C₀ segue a desigualdade de Cauchy a saber 7 fnz₀ n Mr₀n 8 fz₀ Mr₀ o que nos diz que nenhuma função inteira exceto uma constante é limitada para todo z Esta conclusão pode ser enunciada como segue Teorema de Liouville Se f é inteira e se fz é limitado para todos os valores de z no plano complexo então f é uma constante Nas hipóteses acima existe uma constante M tal que fz M para todos os z Portanto em cada ponto z₀ a desigualdade 8 é verdadeira para qualquer número positivo r₀ Podemos tomar r₀ arbitrariamente grande Como fz₀ é um número fixo seguese que fz₀ 0 para todo z₀ e portanto f é uma constante 55 O Teorema Fundamental da Álgebra Este teorema afirma que se Pz é um polinômio em z de grau maior do que um Pz a₀ a₁z a₂z² am zm m 1 2 am 0 então a equação Pz 0 tem pelo menos uma raiz A demonstração do teorema por métodos puramente algébricos não é fácil mas a mesma decorre facilmente do teorema de Liouville Com efeito suponhamos que Pz não se anulasse para qualquer valor de z Então a função fz 1Pz seria analítica em todos os pontos do plano complexo Também fz tende para zero quando z tende para o infinito de modo que fz na hipótese acima seria limitada para todos os z Conseqüentemente fz seria uma constante Mas isto é uma contradição visto que Pz não pode ser constante quando m 1 2 e am 0 Logo Pz é zero pelo menos para um valor de z Nos cursos de álgebra elementar o teorema fundamental é geralmente enunciado sem demonstração assim como conseqüência mostrase que uma equação algébrica de grau m não pode ter mais que m raízes EXERCÍCIOS 1 Se C é o círculo z 3 descrito no sentido positivo e se gz₀ c 2z² z 2 z z₀ dz z₀ 3 mostre que g2 8πi Qual é o valor de gz₀ quando z₀ 3 2 Se C é um caminho fechado orientado no sentido positivo e se gz₀ c z² 2zz z₀³ dz mostre que gz₀ 6πi z₀ quando z₀ está no interior de C e gz₀ 0 quando z₀ está no exterior de C 3 Seja C a fronteira do quadrado cujos lados estão sobre as retas x 2 e y 2 orientada no sentido positivo Dê o valor de cada uma das seguintes integrais a c ez dzz πi2 b c cos zz² 8 dz c c z dzz² 1 d c tgz2z z₀² dz z₀ 2 e c cosh zz4 dz Resp a 2π b π4 c π2 d iπ sec²x₀2 e 0 4 Dê o valor da integral de gz ao longo do caminho fechado z i 2 no sentido positivo quando a gz 1z² 4 b gz 1z² 4² Resp a π2 b π16 5 Sendo f analítico no interior de e sobre um caminho fechado orientado C mostre porque c fz dzz z₀ c fz dzz z₀² onde z₀ é um ponto não pertencente a C 6 Seja f uma função que é continua sobre um caminho fechado C Procedendo como na Sec 52 mostre que a função gs 12πi c fzz s dz é analítica em todos os pontos s interiores a C e que de fato para cada tal s gs 12πi c fzz s² dz 7 Sendo C o círculo unitário z expiθ orientado de θ π a θ π e k uma constante real qualquer mostre primeiro que c ekzz dz 2πi e a seguir escreva a integral em termos de θ para deduzir a fórmula ₀π ek cos θ cosk sen θ dθ π 8 Seja f analítica num domínio limitado 𝐷 e contínua no fecho 𝐷 Suponha fz 0 para todo z em 𝐷 Sendo N o valor mínimo de fz em D considere a função 1f para mostrar que