Sinais e Sistemas - Resolução Questão 10.65 Oppenheim (Matlab)

Os gráficos devem ser plotados no software Matlab Questão 1065 do livro Sinais e Sistemas Alan V Oppenheim segunda edição Analisando as raízes do denominador segue a 1 a 1z1 0 z1 a 1a 1 z a 1a 1 como a 0 vemos que a 1 a 1 ou seja o polo está dentro do círculo unitário Analisando as raízes do numerador segue a 1 a 1z1 0 z1 a 1a 1 z a 1a 1 como a 0 vemos que a 1 a 1 ou seja o zero está fora do círculo unitário letra c Tomando z ejω e calculando o módulo Hdejω a 1 a 1ejωa 1 a 1ejω a 1 a 1ejωa 1 a 1ejω a 1 a 1cos ω j sen ωa 1 a 1cos ω j sen ω a 1 a 1 cos ω j a 1 sen ωa 1 a 1 cos ω j a 1 sen ω Calculando o módulo do numerador num Hdejω sqrta 1 a 1 cos ω2 a 1 sen ω2 sqrta 12 2a 1a 1 cos ω a 12 cos2 ω a 12 sen2 ω Mas lembrando que cos2 ω sen2 ω 1 temos num Hdejω sqrta 12 2a2 1 cos ω a 12 Calculando o módulo do denominador den Hdejω sqrta 1 a 1 cos ω2 a 1 sen ω2 sqrta 12 2a 1a 1 cos ω a 12 cos2 ω a 12 sen2 ω sqrta 12 2a2 1 cos ω a 12 Portanto Hdejω sqrta 12 2a2 1 cos ω a 12sqrta 12 2a2 1 cos ω a 12 1 1 Resolução passo a passo letra a Seja Hcs a ss a com a real e positivo Fazendo s jω temos Hcjω a jωjω a multiplicando encima e embaixo por a jω segue Hcjω a jω2a jωa jω a2 j2aω jω2a2 jω2 a2 ω2 j2aωa2 ω2 a2 ω2a2 ω2 j2aωa2 ω2 Calculando o módulo Hcjω sqrta2 ω2a2 ω22 2aωa2 ω22 sqrta2 ω22a2 ω22 4a2ω2a2 ω22 sqrta4 2a2ω2 ω4a2 ω22 4a2ω2a2 ω22 sqrta4 2a2ω2 ω4a2 ω22 1 letra b Seja Hcs a ss a com a real e positivo Fazendo s 1 z11 z1 temos Hdz Hcs s1z11z1 a 1 z11 z1a 1 z11 z1 a az1 1 z11 z1 a az1 1 z11 z1 a 1 a 1z1a 1 a 1z1 2 Plot dos sinais no domínio do tempo letra a Criando Hcs com a função zpk 1 a 125 exemplo 2 Hc zpkaa1 Agora podemos simular a resposta do sistema a uma entrada impulsiva ut δt com o comando impulse fazendo 1 impulseHc resposta ao impulso 2 titleResposta temporal para entrada degrau 3 xlabeltempo s ylabelSaída O resultado obtido é apresentado a seguir Agora podemos escolher um sinal de entrada não convencional tomemos por exem plo ut 1 e3t Criamos o sinal primeiramente e depois usamos o comando lsim para gerar a res posta do sistema a entrada degrau 1 t 00016 vetor tempo 2 u 1exp3t sinal de entrada 3 lsimHcut simula a resposta de Hc a entrada u 4 xlabeltempo ylabelsaída ylim111 5 titleResposta a entrada ut1e3tInterpreterlatex O resultado obtido é apresentado a seguir Saída Entrada letra b A transformação bilinear é na forma geral s 2 T 1 z1 1 z1 isto é T 2 para ser igual ao enunciado No MATLAB usamos c2d 1 T 2 2 Hd c2dHcTtustin tustin bilinear 3 impulseHd12 resposta ao impulso 4 titleResposta a entrada impulsiva 5 xlabeltempo s ylabelSaída O resultado obtido é Agora simulando para a entrada un 1 e3nT temos 1 n 05 vetor tempo 2 u 1 exp3nT sinal de entrada 3 lsimHdunT simula a resposta de Hc a entrada u 4 xlabeltempo ylabelsaída ylim1211 5 titleResposta a entrada un1e3nTInterpreterlatex E obtemos Saída Entrada 3 Plot dos sinais no domínio da frequência O plot do diagrama de módulo e fase é feito no MATLAB com o comando bode fazendo 1 letra a 2 a 125 exemplo 3 Hc zpkaa1 4 bodeHc magfase 5 letra b 6 figure2 7 T 2 8 Hd c2dHcTtustin 9 bodeHd magfase Os resultados são mostrados a seguir a Hcs b Hds Observe que o módulo no segundo caso oscila na escala 1014 ou seja são erros numéricos e o valor real deve ser nulo Como a magnitude está em dB temos que o módulo é de fato Hcs Hdz 0 dB 1