Trabalho 4

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA DISCIPLINA UFSM0035 Álgebra Linear e Geometria Analítica CURSO Engenharia Química HORASAULA 90 hrs ANOPERÍODO 202501 TURMA 10305 PROFESSOR Paulo F C Tilles ATIVIDADE AVALIATIVA 04 QUESTÕES QUESTÃO 01 VALOR 35 Considere o espaço vetorial R3 e um dado vetor n R3 I Determine as matrizes de projeção 𝑃n e de reflexão 𝐻n sobre o eixo definido por n II Obtenha um conjunto linearmente independente de vetores perpendiculares à n III Utilize o método de GramSchmidt para construir uma base ortonormal 𝑈 ˆu ˆv ˆn IV Obtenha as matrizes de transição 𝑃𝐶𝑈 e 𝑃𝑈𝐶 que conectam os vetores de coordenadas da base 𝑈 com a base canônica 𝐶 V Utilizando as matrizes de transição determine a matriz 𝑅n 𝜃 que realiza uma rotação de ângulo 𝜃 sobre o eixo definido pelo vetor n VI Utilizando as matrizes de transição determine a matriz 𝑆n 𝛼 que realiza uma reescala de fator 𝛼 sobre o eixo definido pelo vetor n O vetor n a ser utilizado por cada aluno está definido na TABELA I QUESTÃO 02 VALOR 30 Considere o espaço vetorial 𝑃𝑛 de polinômios de ordem menor ou igual à 𝑛 e as seguintes transformações lineares definidas no espaço 𝑇1 𝑃𝑛 𝑃𝑛 𝑇1 𝑝 𝑥 𝑝 𝑎1𝑥 𝑏1 𝑇2 𝑃𝑛 𝑃𝑛1 𝑇2 𝑝 𝑥 𝑎2𝑥 𝑏2 𝑝 𝑥 Partindo de um polinômio 𝑝 𝑃2 determine as matrizes de transformação definidas a seguir I Matriz 𝑀1 associada a transformação 𝑇1 𝑝 𝑥 II Matriz 𝑀21 associada a transformação 𝑇2 𝑇1 𝑝 𝑥 III Matriz 𝑀2 associada a transformação 𝑇2 𝑝 𝑥 IV Matriz 𝑀12 associada a transformação 𝑇1 𝑇2 𝑝 𝑥 Os conjuntos de parâmetros 𝑎1 𝑏1 e 𝑎2 𝑏2 serem utilizados por cada aluno estão definidos na TABELA II QUESTÃO 03 VALOR 35 Considere a equação geral de segundo grau em 𝑅2 definida por 𝐴𝑥2 2𝐵𝑥𝑦 𝐶𝑦2 𝐷𝑥 𝐸𝑦 𝐹 0 I Realize as operações de rotação e translação apropriadas para obter a forma centrada reduzida da equação II Determine o valor dos coeficientes característicos para identificar a forma cônica descrita pela equação parâme tros 𝑎 𝑏 e 𝑐 conforme livro e esboce o gráfico da forma As equações específicas a serem consideradas por cada aluno estão definidas na TABELA III 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA DIRETRIZES 1 Todos os passos intermediários necessários para se obter a resposta final devem ser mostrados O critério de avaliação adotado é baseado na quantidade de passos corretos realizados 2 A solução deve ser enviada por email na forma de um único arquivo no formato pdf com páginas ordenadas e numeradas 3 Caso a sua resolução seja manuscrita tire fotos das páginas e convertaas em um único arquivo pdf Este procedimento pode ser realizado gratuitamente no seguinte site wwwilovepdfcom 4 Cada aluno deve nomear o seu arquivo conforme descrito na TABELA IV 5 Caso a solução apresentada não esteja em conformidade com alguma destas diretrizes a nota será nula TABELAS QUESTÃO 01 TABELA I ANA CLARA SEVERO RIGHI n 98 13 59 ANDRE TEIXEIRA SCHMITZ n 138 2 ANGELO PADOIN DEL FABBRO n 16 1 13 ARIELLY BARROS DA COSTA n 5838 4 AUGUSTO DE OLIVEIRA LIMA n 71 72 1 BIANCA DAVILA DA SILVA n 1 54 4 BRENDA GISELE DE SOUZA NUNES n 45 2 15 BRITNEY VITORIA DE SOUZA NUNES n 3 1 23 BRUNA PUNTEL n 18 1 58 CRISTIAN N DE AQUINO QUINTEIRO n 1 1 73 DANIELA MARTINS FLORES n 23 1 1 DIONATHAS SILVA DA CRUZ n 3 2 54 EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN n 1 23 2 ELIZ DRUSIAO n 32 1 12 ENZO LUIS CORAZZA n 1 2 83 GREISSY K KARSTEN DE AGUSTINHO n 2 83 1 INGRID SEVERO OTANHA n 2 23 12 ISADORA COELHO DE LIMA n 25 65 3 JENNIFER SOUZA VILARINO n 8 2 2 JONATHAN H DOS SANTOS DANTAS n 43 1 1 JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION n 34 1 12 JOSE VLAN DE CASTRO NETO n 1 59 1 JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO n 54 1 12 JULIA PALHANO VERARDO n 2 52 2 KAUESLER SCHUSTER n 1 2 12 KELLY APARECIDA WINK n 1 13 1 KHYARA V DE PAULA RODRIGUES n 2 23 5 LAURA BORCK WELTER n 1 2 58 LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES n 23 16 53 LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR n 43 3 13 LUIZA HACKENHAAR HECK n 1 3 2 MARIA CLARA JULIANI SILVEIRA n 32 1 3 MARIA EDUARDA KLEIN MERLO n 1 1 43 MARIANA MANN DE SOUZA n 8 1 4 MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES n 1 7 1 MIGUEL BATISTA ALVES n 1 1 23 NATHALIA WALKER GALLI n 12 1 2 NICIVANIA DA CRUZ MENDES n 1 65 1 PAMELA VEZZOSI DE BARROS n 12 3 1 PEDRO SEVERO PRESTES n 1 13 83 RICARDO ZIMMERMANN MARTINS n 13 13 1 STEPHANY NATALY EHLE n 43 23 2 STHEFANY SABRINY DE MORAES n 1 12 14 THAISSA SOUZA CALVANO n 12 1 2 THIAGO ROGER ZAGO n 1 2 56 VINICIUS GONGO DE SOUZA n 1 32 3 VITORIA BORGES DA TRINDADE n 2 1 53 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA TABELAS QUESTÃO 02 TABELA II ANA CLARA SEVERO RIGHI a1 b1 12 32 a2 b2 83 2 ANDRE TEIXEIRA SCHMITZ a1 b1 5 83 a2 b2 72 2 ANGELO PADOIN DEL FABBRO a1 b1 54 3 a2 b2 2 34 ARIELLY BARROS DA COSTA a1 b1 53 2 a2 b2 1 12 AUGUSTO DE OLIVEIRA LIMA a1 b1 54 34 a2 b2 2 83 BIANCA DAVILA DA SILVA a1 b1 13 52 a2 b2 6 1 BRENDA GISELE DE SOUZA NUNES a1 b1 54 1 a2 b2 53 43 BRITNEY VITORIA DE SOUZA NUNES a1 b1 3 54 a2 b2 73 23 BRUNA PUNTEL a1 b1 13 73 a2 b2 3 52 CRISTIAN N DE AQUINO QUINTEIRO a1 b1 12 2 a2 b2 3 74 DANIELA MARTINS FLORES a1 b1 2 52 a2 b2 2 53 DIONATHAS SILVA DA CRUZ a1 b1 32 43 a2 b2 4 2 EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN a1 b1 7 2 a2 b2 23 12 ELIZ DRUSIAO a1 b1 1 34 a2 b2 34 4 ENZO LUIS CORAZZA a1 b1 4 72 a2 b2 32 1 GREISSY K KARSTEN DE AGUSTINHO a1 b1 74 53 a2 b2 2 2 INGRID SEVERO OTANHA a1 b1 52 3 a2 b2 32 2 ISADORA COELHO DE LIMA a1 b1 54 32 a2 b2 1 8 JENNIFER SOUZA VILARINO a1 b1 1 52 a2 b2 2 43 JONATHAN H DOS SANTOS DANTAS a1 b1 2 2 a2 b2 1 32 JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION a1 b1 54 17 a2 b2 4 23 JOSE VLAN DE CASTRO NETO a1 b1 52 8 a2 b2 7 12 JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO a1 b1 12 3 a2 b2 73 74 JULIA PALHANO VERARDO a1 b1 12 4 a2 b2 83 1 KAUESLER SCHUSTER a1 b1 34 32 a2 b2 2 8 KELLY APARECIDA WINK a1 b1 5 35 a2 b2 6 83 KHYARA V DE PAULA RODRIGUES a1 b1 32 5 a2 b2 23 2 LAURA BORCK WELTER a1 b1 12 3 a2 b2 5 13 LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES a1 b1 2 3 a2 b2 32 3 LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR a1 b1 2 12 a2 b2 3 54 LUIZA HACKENHAAR HECK a1 b1 4 34 a2 b2 52 1 MARIA CLARA JULIANI SILVEIRA a1 b1 2 34 a2 b2 2 74 MARIA EDUARDA KLEIN MERLO a1 b1 53 1 a2 b2 53 2 MARIANA MANN DE SOUZA a1 b1 6 83 a2 b2 13 72 MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES a1 b1 2 73 a2 b2 53 2 MIGUEL BATISTA ALVES a1 b1 4 56 a2 b2 8 32 NATHALIA WALKER GALLI a1 b1 34 1 a2 b2 53 3 NICIVANIA DA CRUZ MENDES a1 b1 8 12 a2 b2 2 54 PAMELA VEZZOSI DE BARROS a1 b1 4 74 a2 b2 12 1 PEDRO SEVERO PRESTES a1 b1 4 72 a2 b2 14 1 RICARDO ZIMMERMANN MARTINS a1 b1 52 23 a2 b2 53 4 STEPHANY NATALY EHLE a1 b1 83 1 a2 b2 34 83 STHEFANY SABRINY DE MORAES a1 b1 32 74 a2 b2 32 1 THAISSA SOUZA CALVANO a1 b1 83 13 a2 b2 1 3 THIAGO ROGER ZAGO a1 b1 1 53 a2 b2 7 23 VINICIUS GONGO DE SOUZA a1 b1 32 32 a2 b2 2 1 VITORIA BORGES DA TRINDADE a1 b1 6 3 a2 b2 35 54 5 Questão 01 35 pontos Seja o vetor n 12 1 2 R³ Denotaremos n² nᵀn n² 12² 1² 2² 14 1 4 214 Logo Pₙ n nᵀnᵀ n 421 1212 121 122 112 11 12 212 21 22 421 14 12 1 12 1 2 1 2 4 121 221 421 221 421 821 421 821 1621 A matriz de reflexão em relação a esse eixo é Hₙ 2Pₙ I 2 121 221 421 221 421 821 421 821 1621 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1921 421 821 421 1321 1621 821 1621 1121 Procuramos dois vetores em R³ tais que v n 0 v₁ 2 1 1 n v₁ 12 2 1 1 2 1 1 1 2 0 Para o segundo podemos tomar o produto vetorial v₂ n v₁ i j k 12 1 2 2 1 1 3 45 15 Multiplicando por 2 e simplificando usamos v₂ 2 3 1 que claramente satisfaz v₂ n 0 e é linearmente independente de v₁ Começamos com w₁ v₁ w₂ v₂ u₁ w₁w₁ 12² 1² 1² 2 1 1 16 2 1 1 Projetase w₂ em u₁ proju₁w₂ w₂ u₁ u₁ 2 2 3 1 1 1 6 16 2 1 1 0 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA TABELAS QUESTÃO 03 TABELA III ANA CLARA SEVERO RIGHI ANDRE TEIXEIRA SCHMITZ 86𝑥2 140𝑥𝑦 139𝑦2 796𝑥 136𝑦 740 0 46𝑥2 56𝑥𝑦 4𝑦2 212𝑥 116𝑦 251 0 ANGELO PADOIN DEL FABBRO ARIELLY BARROS DA COSTA 252𝑥2 792𝑥𝑦 252𝑦2 12𝑥 228𝑦 175 0 99𝑥2 432𝑥𝑦 711𝑦2 504𝑥 2676𝑦 37 0 AUGUSTO DE OLIVEIRA LIMA BIANCA DAVILA DA SILVA 1044𝑥2 1368𝑥𝑦 1044𝑦2 948𝑥 372𝑦 197 0 152𝑥2 400𝑥𝑦 268𝑦2 312𝑥 2004𝑦 687 0 BRENDA GISELE DE SOUZA NUNES BRITNEY VITORIA DE SOUZA NUNES 36𝑥2 144𝑥𝑦 72𝑦2 300𝑥 240𝑦 439 0 3200𝑥2 2100𝑥𝑦 2325𝑦2 460𝑥 3810𝑦 2878 0 BRUNA PUNTEL CRISTIAN NICOLLAS DE AQUINO QUINTEIRO 16𝑥2 136𝑥𝑦 86𝑦2 416𝑥 482𝑦 571 0 76𝑥2 208𝑥𝑦 314𝑦2 436𝑥 316𝑦 339 0 DANIELA MARTINS FLORES DIONATHAS SILVA DA CRUZ 964𝑥2 1320𝑥𝑦 260𝑦2 1572𝑥 1460𝑦 95 0 368𝑥2 2560𝑥𝑦 944𝑦2 1640𝑥 1312𝑦 3321 0 EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN ELIZ DRUSIAO 68𝑥2 1248𝑥𝑦 432𝑦2 2076𝑥 3168𝑦 3633 0 108𝑥2 11880𝑥𝑦 6228𝑦2 8028𝑥 2364𝑦 6115 0 ENZO LUIS CORAZZA GREISSY KALLEY KARSTEN DE AGUSTINHO 1551𝑥2 882𝑥𝑦 711𝑦2 1404𝑥 204𝑦 536 0 36𝑥2 144𝑥𝑦 72𝑦2 60𝑥 168𝑦 215 0 INGRID SEVERO OTANHA ISADORA COELHO DE LIMA 2450𝑥2 10800𝑥𝑦 1175𝑦2 11780𝑥 4510𝑦 6333 0 92𝑥2 112𝑥𝑦 292𝑦2 428𝑥 1696𝑦 1837 0 JENNIFER SOUZA VILARINO JONATHAN HENRIQUE DOS SANTOS DANTAS 80𝑥2 96𝑥𝑦 48𝑦2 552𝑥 216𝑦 1101 0 56𝑥2 144𝑥𝑦 4𝑦2 344𝑥 732𝑦 259 0 JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION JOSE VLAN DE CASTRO NETO 558𝑥2 432𝑥𝑦 1143𝑦2 1668𝑥 6714𝑦 8623 0 144𝑥2 2304𝑥𝑦 1584𝑦2 408𝑥 3936𝑦 1631 0 JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO JULIA PALHANO VERARDO 1452𝑥2 1344𝑥𝑦 172𝑦2 6480𝑥 2860𝑦 7891 0 8𝑥2 30𝑥𝑦 8𝑦2 51𝑥 204𝑦 34 0 KAUESLER SCHUSTER KELLY APARECIDA WINK 2925𝑥2 2700𝑥𝑦 675𝑦2 5190𝑥 720𝑦 692 0 575𝑥2 1050𝑥𝑦 825𝑦2 2610𝑥 4470𝑦 1877 0 KHYARA VALENTINE DE PAULA RODRIGUES LAURA BORCK WELTER 144𝑥2 288𝑥𝑦 72𝑦2 168𝑥 456𝑦 97 0 504𝑥2 1056𝑥𝑦 196𝑦2 576𝑥 468𝑦 789 0 LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR 72𝑥2 144𝑥𝑦 12𝑦2 264𝑥 36𝑦 47 0 396𝑥2 216𝑥𝑦 684𝑦2 372𝑥 756𝑦 71 0 LUIZA HACKENHAAR HECK MARIA CLARA JULIANI SILVEIRA 20𝑥2 40𝑥𝑦 50𝑦2 108𝑥 120𝑦 132 0 18𝑥2 756𝑥𝑦 333𝑦2 1404𝑥 4134𝑦 6643 0 MARIA EDUARDA KLEIN MERLO MARIANA MANN DE SOUZA 275𝑥2 400𝑥𝑦 25𝑦2 1420𝑥 760𝑦 974 0 496𝑥2 704𝑥𝑦 1024𝑦2 808𝑥 2896𝑦 1111 0 MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES MIGUEL BATISTA ALVES 3275𝑥2 2850𝑥𝑦 525𝑦2 9680𝑥 6960𝑦 4754 0 261𝑥2 432𝑥𝑦 441𝑦2 378𝑥 138𝑦 68 0 NATHALIA WALKER GALLI NICIVANIA DA CRUZ MENDES 364𝑥2 90𝑥𝑦 36𝑦2 1996𝑥 252𝑦 994 0 47𝑥2 42𝑥𝑦 97𝑦2 240𝑥 320𝑦 350 0 PAMELA VEZZOSI DE BARROS PEDRO SEVERO PRESTES 596𝑥2 280𝑥𝑦 146𝑦2 1508𝑥 128𝑦 537 0 36𝑥2 264𝑥𝑦 316𝑦2 708𝑥 604𝑦 161 0 RICARDO ZIMMERMANN MARTINS STEPHANY NATALY EHLE 59𝑥2 72𝑥𝑦 76𝑦2 308𝑥 8𝑦 36 0 69𝑥2 126𝑥𝑦 99𝑦2 498𝑥 246𝑦 649 0 STHEFANY SABRINY DE MORAES THAISSA SOUZA CALVANO 99𝑥2 50𝑥𝑦 21𝑦2 370𝑥 230𝑦 97 0 846𝑥2 3240𝑥𝑦 252𝑦2 2184𝑥 1332𝑦 2344 0 THIAGO ROGER ZAGO VINICIUS GONGO DE SOUZA 46𝑥2 40𝑥𝑦 29𝑦2 236𝑥 178𝑦 367 0 171𝑥2 120𝑥𝑦 198𝑦2 382𝑥 252𝑦 13 0 VITORIA BORGES DA TRINDADE 388𝑥2 1400𝑥𝑦 92𝑦2 3652𝑥 2524𝑦 5249 0 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA TABELAS NOMECLATURA DOS ARQUIVOS TABELA IV ANA CLARA SEVERO RIGHI ANDRE TEIXEIRA SCHMITZ ANGELO PADOIN DEL FABBRO UFSM0035ENGQUIAA04AL01ACSRpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL02ATSpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL03APFpdf ARIELLY BARROS DA COSTA AUGUSTO DE OLIVEIRA LIMA BIANCA DAVILA DA SILVA UFSM0035ENGQUIAA04AL04ABCpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL05AOLpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL06BDSpdf BRENDA GISELE DE SOUZA NUNES BRITNEY VITORIA DE SOUZA NUNES BRUNA PUNTEL UFSM0035ENGQUIAA04AL07BGSNpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL08BVSNpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL09BPpdf CRISTIAN NICOLLAS DE AQUINO QUINTEIRO DANIELA MARTINS FLORES DIONATHAS SILVA DA CRUZ UFSM0035ENGQUIAA04AL10CNAQpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL11DMFpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL12DSCpdf EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN ELIZ DRUSIAO ENZO LUIS CORAZZA UFSM0035ENGQUIAA04AL13EVGTpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL14EDpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL15ELCpdf GREISSY KALLEY KARSTEN DE AGUSTINHO INGRID SEVERO OTANHA ISADORA COELHO DE LIMA UFSM0035ENGQUIAA04AL16GKKApdf UFSM0035ENGQUIAA04AL17ISOpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL18ICLpdf JENNIFER SOUZA VILARINO JONATHAN HENRIQUE DOS SANTOS DANTAS JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION UFSM0035ENGQUIAA04AL19JSVpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL20JHSDpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL21JAVMpdf JOSE VLAN DE CASTRO NETO JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO JULIA PALHANO VERARDO UFSM0035ENGQUIAA04AL22JVCNpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL23JASMpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL24JPVpdf KAUESLER SCHUSTER KELLY APARECIDA WINK KHYARA VALENTINE DE PAULA RODRIGUES UFSM0035ENGQUIAA04AL25KSpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL26KAWpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL27KVPRpdf LAURA BORCK WELTER LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR UFSM0035ENGQUIAA04AL28LBWpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL29LACGpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL30LOBJpdf LUIZA HACKENHAAR HECK MARIA CLARA JULIANI SILVEIRA MARIA EDUARDA KLEIN MERLO UFSM0035ENGQUIAA04AL31LHHpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL32MCJSpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL33MEKMpdf MARIANA MANN DE SOUZA MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES MIGUEL BATISTA ALVES UFSM0035ENGQUIAA04AL34MMSpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL35MJRpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL36MBApdf NATHALIA WALKER GALLI NICIVANIA DA CRUZ MENDES PAMELA VEZZOSI DE BARROS UFSM0035ENGQUIAA04AL37NWGpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL38NCMpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL39PVBpdf PEDRO SEVERO PRESTES RICARDO ZIMMERMANN MARTINS STEPHANY NATALY EHLE UFSM0035ENGQUIAA04AL40PSPpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL41RZMpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL42SNEpdf STHEFANY SABRINY DE MORAES THAISSA SOUZA CALVANO THIAGO ROGER ZAGO UFSM0035ENGQUIAA04AL43SSMpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL44TSCpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL45TRZpdf VINICIUS GONGO DE SOUZA VITORIA BORGES DA TRINDADE UFSM0035ENGQUIAA04AL46VGSpdf UFSM0035ENGQUIAA04AL47VBTpdf 5 pois 4 3 1 0 Logo u2 w2 w2 1 22 32 12 2 3 1 1 14 2 3 1 Por fim normalizamos n u3 n n 1 214 12 1 2 2 21 12 1 2 1 21 1 2 4 Portanto uma base ortonormal U û v n é û 1 6 2 1 1 v 1 14 2 3 1 n 1 21 1 2 4 Seja Q a matriz cujas colunas são os vetores de U Q 26 214 121 16 314 221 16 114 421 A matriz que leva coordenadas em U para coordenadas canônicas C é PUC Q A matriz que leva coordenadas canônicas para coordenadas em U é PCU QT pois Q é ortonormal Na base U a rotação em torno do eixo u3 terceira coordenada é Rzθ cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 Voltando à base canônica Rnθ PUC Rzθ PCU Q cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 QT Na base U a matriz de escala que multiplica a componente em u3 por α e deixa as demais inalteradas é Dα 1 0 0 0 1 0 0 0 α Transformando de volta à base canônica Snα PUC Dα PCU Q 1 0 0 0 1 0 0 0 α QT Observação os produtos Q Rzθ QT e Q Dα QT podem ser multiplicados explicitamente para obter matrizes 3x3 em termos de cosθ sinθ e α mas a forma fatorada em termos de Q é mais limpa e mostra diretamente a relação com a base ortonormal construída Questão 02 30 pontos Seja o espaço P2 com base canônica 1 x x2 e seja px c0 c1 x c2 x2 Os parâmetros fornecidos são a1 b1 89 13 a2 b2 1 3 Substituindo pa1 x b1 c0 c1 a1 x b1 c2 a1 x b12 e calculando a1 89 b1 13 a12 6481 2 a1 b1 1627 b12 19 obtemos em coordenadas na base 1 x x2 constante c0 c1 b1 c2 b12 1c0 13 c1 19 c2 coef de x c1 a1 c2 2 a1 b1 0c0 89 c1 1627 c2 coef de x2 c2 a12 0c0 0 c1 6481 c2 Logo M1 1 13 19 0 89 1627 0 0 6481 Primeiro T2qx a2 x b2 qx x 3 qx mapeia P2 P3 Em seguida aplicamos T1 sobre o resultado de grau 3 mas na composição T2 o T1 basta fazer M21 M2 M1 onde M2 é a matriz de multiplicar por x 3 i Matriz M2 de T2px x 3 px Para px c0 c1 x c2 x2 x 3 px 3 c0 c0 3 c1 x c1 3 c2 x2 c2 x3 isto é em base 1 x x2 x3 M2 3 0 0 0 1 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 4x3 ii Cálculo de M21 M2 M1 M21 3 0 0 0 1 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 1 13 19 0 89 1627 0 0 6481 3 0 0 0 0 83 0 0 0 89 6427 0 19 1627 6481 4x3 Repetindo para clareza M2 3 0 0 0 1 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 Agora aplicamos primeiro T2p q P3 e depois T1qx qa1 x b1 Em dim 4 para qx d0 d1 x d2 x2 d3 x3 a substituição x a1 x b1 dá constante d0 d1 b1 d2 b12 d3 b13 coef de x d1 a1 2 d2 a1 b1 3 d3 a1 b12 coef de x2 d2 a12 3 d3 a12 b1 coef de x3 d3 a13 com a1 89 b1 13 a12 6481 a13 512729 b12 19 b13 127 a1 b1 827 a1 b12 881 a12 b1 64243 Chame de M1 a matriz 4 x 4 dessa transformação então M12 M1 M2 e após multiplicação de matrizes chegase a M12 83 89 827 89 5627 4027 0 6481 12881 0 0 512729 4x3 Questão 03 35 pontos Considere a cônica 846 x2 3240 x y 252 y2 2184 x 1332 y 2344 0 em R2 na forma geral A x2 2 B x y C y2 D x E y F 0 com A 846 2 B 3240 B 1620 C 252 D 2184 E 1332 F 2344 a Eliminação do termo x y por rotação O ângulo de rotação θ satisfaz tan2θ 2 B A C 3240 846 252 3240 594 540 99 60 11 Logo 2θ arctan 60 11 θ 12 arctan 60 11 Fazemos a mudança de variáveis x u cos θ v sin θ y u sin θ v cos θ de modo que usando as fórmulas A A C2 A C2 cos2θ B sin2θ C A C2 A C2 cos2θ B sin2θ obtémse após cálculo explícito A 109777 C 219577 e o termo misto em u v desaparece Os coeficientes lineares transformamse em D D cos θ E sin θ 252979 E D sin θ E cos θ 37398 mantendose F 2344 Assim a equação em u v fica A u2 C v2 D u E v F 0 b Translação para completar quadrados Escrevemos Au D2A2 Cv E2C2 D24A E24C F 0 Definindo o centro u0 D2A 1153 v0 E2C 00852 temos Au u02 Cv v02 D24A E24C F 3789 Logo a forma canônica é u u02RA v v02RC 1 onde RA 0 e RC 0 caracterizando hipérbole O discriminante da conica é Δ B2 A C 16202 846252 2411208 0 confirmando que se trata de uma hipérbole Asímptotas em coordenadas centradas u v Da forma A u2 C v2 R as assíntotas são u2RA v2RC 0 v CA u 219577109777 u 1414 u Esboço da hipérbole eixo rotacionado de θ 398 Figure 1 Resposta ao Degrau com Controlador PID Na figura o eixo u coincide com a direcao de rotacao θ e o eixo v e perpendicular a ele Conclusao apos rotacao de θ 398 e translacao ate u0 v0 1153 00852 a equacao reduzida e u 11532 3452 v 008522 1727 1 com hiperbole simetrica em relacao aos eixos u v 6