Atividade 5

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA DISCIPLINA UFSM0035 Álgebra Linear e Geometria Analítica CURSO Engenharia Química HORASAULA 90 hrs ANOPERÍODO 202501 TURMA 10305 PROFESSOR Paulo F C Tilles EXAME DISPOSIÇÕES GERAIS SOBRE O EXAME O exame tem duração de 24 horas Importante o prazo não será prorrogado A divulgação das notas será acompanhada do gabarito e correção É direito do aluno um pedido de revisão do exame que deve ser solicitado no período de 48 horas após a divulgação das notas conforme manual do estudante Neste caso o chefe de departamento elege um comitê que será responsável pela nova correção cabendo ao professor da disciplina fornecer os gabaritos e o critério de correção adotado DIRETRIZES 1 Todos os passos intermediários necessários para se obter a resposta final devem ser mostrados O critério de ava liação adotado é baseado na quantidade de passos corretos realizados 2 A solução deve ser enviada por email na forma de um único arquivo no formato pdf com páginas ordenadas e numeradas 3 Caso a sua resolução seja manuscrita tire fotos das páginas e convertaas em um único arquivo pdf Este procedimento pode ser realizado gratuitamente no seguinte site wwwilovepdfcom 4 Cada aluno deve nomear o seu arquivo conforme descrito na TABELA I 5 Caso a solução apresentada não esteja em conformidade com alguma destas diretrizes a nota será nula TABELA I ANA CLARA SEVERO RIGHI ANGELO PADOIN DEL FABBRO BIANCA DAVILA DA SILVA UFSM0035ENGQUIEXAMEAL01ACSRpdf UFSM0035ENGQUIEXAMEAL02APFpdf UFSM0035ENGQUIEXAMEAL03BDSpdf EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN ELIZ DRUSIAO JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION UFSM0035ENGQUIEXAMEAL04EVGTpdf UFSM0035ENGQUIEXAMEAL05EDpdf UFSM0035ENGQUIEXAMEAL06JAVMpdf JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO KAUESLER SCHUSTER KELLY APARECIDA WINK UFSM0035ENGQUIEXAMEAL07JASMpdf UFSM0035ENGQUIEXAMEAL08KSpdf UFSM0035ENGQUIEXAMEAL09KAWpdf LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES UFSM0035ENGQUIEXAMEAL10LACGpdf UFSM0035ENGQUIEXAMEAL11LOBJpdf UFSM0035ENGQUIEXAMEAL12MJRpdf NATHALIA WALKER GALLI PEDRO SEVERO PRESTES RICARDO ZIMMERMANN MARTINS UFSM0035ENGQUIEXAMEAL13NWGpdf UFSM0035ENGQUIEXAMEAL14PSPpdf UFSM0035ENGQUIEXAMEAL15RZMpdf STHEFANY SABRINY DE MORAES THAISSA SOUZA CALVANO UFSM0035ENGQUIEXAMEAL16SSMpdf UFSM0035ENGQUIEXAMEAL17TSCpdf 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA QUESTÕES QUESTÃO 01 VALOR 10 Calcule o determinante da matriz M A distribuição das matrizes para cada aluno está disposta na TABELA II TABELA II ANA CLARA SEVERO RIGHI ANGELO PADOIN DEL FABBRO BIANCA DAVILA DA SILVA M 0 3 6 0 1 0 3 2 1 1 2 0 6 2 1 0 1 5 3 3 1 1 4 0 5 M 6 6 0 3 4 2 0 2 6 5 0 5 1 5 0 1 0 0 3 1 4 3 4 5 0 M 1 0 5 2 1 4 0 3 2 2 6 2 0 1 5 5 0 6 6 3 0 3 5 5 EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN ELIZ DRUSIAO JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION M 3 1 0 2 4 0 2 1 5 5 0 3 3 4 5 0 4 2 3 3 3 0 2 5 6 M 0 5 3 2 4 2 2 0 2 6 0 1 2 6 1 5 0 4 4 3 3 6 2 0 1 M 6 1 4 0 3 5 0 4 5 5 5 3 4 5 0 1 5 3 0 4 0 0 2 1 4 JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO KAUESLER SCHUSTER KELLY APARECIDA WINK M 0 0 2 0 2 3 4 0 4 0 6 2 5 6 0 6 5 1 0 0 2 5 4 6 M 4 1 1 3 0 2 2 0 6 6 0 4 1 1 3 1 0 4 0 2 0 4 2 2 2 M 0 1 0 2 5 5 0 6 1 5 0 2 3 2 2 0 2 0 6 6 3 1 1 1 0 LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES M 2 1 6 5 0 5 4 1 0 1 3 0 6 3 3 2 0 6 5 5 6 2 4 0 1 M 6 0 5 4 2 4 2 1 0 5 4 3 0 6 0 0 1 1 5 3 4 0 1 0 5 M 3 6 0 2 2 1 2 4 0 5 3 6 5 0 1 3 0 2 5 3 0 2 3 1 0 NATHALIA WALKER GALLI PEDRO SEVERO PRESTES RICARDO ZIMMERMANN MARTINS M 1 0 4 4 1 4 6 4 4 0 0 6 6 2 4 2 5 1 1 1 0 0 6 1 2 M 5 3 3 0 1 0 5 2 0 3 2 0 0 1 1 1 3 0 5 1 0 2 3 5 0 M 2 2 0 2 1 1 2 6 5 0 3 2 0 4 3 6 0 6 6 4 0 5 0 1 4 STHEFANY SABRINY DE MORAES THAISSA SOUZA CALVANO M 6 3 0 3 1 4 0 1 4 1 3 4 4 6 0 0 6 3 3 3 0 3 5 6 0 M 0 1 0 1 5 1 1 0 0 5 1 4 3 2 0 2 5 1 4 0 1 6 2 0 2 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA QUESTÃO 02 VALOR 20 Dado o espaço vetorial R⁴ considere os conjuntos de vetores U u₁ u₂ u₃ e V v₁ v₂ v₃ contidos no espaço e um vetor genérico z R⁴ definido por z z₁ z₂ z₃ z₄ I Determine a decomposição de z sobre o subespaço R² gerado pelos vetores u₁ u₂ e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de z II Determine a decomposição de z sobre o subespaço R³ gerado pelos vetores u₁ u₂ u₃ e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de z III Determine a condição que um vetor u₄ a b c d deve satisfazer para que quando adicionado a U ele forme um conjunto linearmente independente IV Determine quais vetores de V podem ser adicionados a U para formar uma base de R⁴ Os conjuntos U e V atribuídos a cada aluno estão dispostos na TABELA III TABELA III ANA CLARA SEVERO RIGHI ANGELO PADOIN DEL FABBRO BIANCA DAVILA DA SILVA u₁ 1 1 12 23 v₁ 2 14 12 52 u₁ 0 1 43 2 v₁ 52 32 2 4 u₁ 5 2 53 12 v₁ 1 52 74 2 u₂ 0 0 2 5 v₂ 5 4 52 2 u₂ 5 0 0 2 v₂ 0 32 2 3 u₂ 5 3 0 12 v₂ 1 0 13 12 u₃ 0 52 2 2 v₃ 2 3 53 6 u₃ 32 32 2 4 v₃ 52 0 2 34 u₃ 0 1 0 1 v₃ 32 1 1 2 EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN ELIZ DRUSIAO JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION u₁ 5 2 6 12 v₁ 0 3 5 4 u₁ 5 0 1 12 v₁ 5 0 5 6 u₁ 53 1 1 0 v₁ 53 0 53 2 u₂ 52 3 1 52 v₂ 0 5 1 6 u₂ 0 2 43 1 v₂ 23 34 13 1 u₂ 32 0 1 32 v₂ 0 1 13 2 u₃ 0 1 3 1 v₃ 1 5 2 12 u₃ 1 5 12 0 v₃ 6 4 3 3 u₃ 3 23 0 2 v₃ 53 23 53 73 JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO KAUESLER SCHUSTER KELLY APARECIDA WINK u₁ 3 0 0 13 v₁ 13 0 1 3 u₁ 2 3 12 34 v₁ 12 1 32 1 u₁ 53 1 4 3 v₁ 73 54 1 2 u₂ 0 1 5 12 v₂ 6 1 23 0 u₂ 2 0 1 0 v₂ 32 2 12 1 u₂ 1 0 1 0 v₂ 0 32 0 72 u₃ 3 3 2 53 v₃ 3 3 1 23 u₃ 32 2 5 1 v₃ 3 0 12 0 u₃ 12 53 3 3 v₃ 0 53 52 3 LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES u₁ 3 32 1 3 v₁ 6 2 5 3 u₁ 0 0 2 23 v₁ 1 2 23 2 u₁ 0 2 2 4 v₁ 43 43 2 1 u₂ 32 2 5 2 v₂ 3 2 4 12 u₂ 32 0 52 0 v₂ 2 43 5 1 u₂ 2 3 2 1 v₂ 2 0 52 2 u₃ 12 0 43 2 v₃ 1 6 34 4 u₃ 12 2 13 52 v₃ 6 23 53 2 u₃ 0 3 1 43 v₃ 52 13 3 3 NATHALIA WALKER GALLI PEDRO SEVERO PRESTES RICARDO ZIMMERMANN MARTINS u₁ 0 2 23 2 v₁ 0 3 53 5 u₁ 1 32 2 23 v₁ 12 14 0 1 u₁ 2 3 2 1 v₁ 2 12 4 1 u₂ 43 32 6 0 v₂ 0 43 0 0 u₂ 12 43 1 3 v₂ 3 45 73 7 u₂ 0 53 43 0 v₂ 1 5 12 1 u₃ 0 1 53 5 v₃ 1 74 232 32 u₃ 13 4 0 2 v₃ 2 5 3 2 u₃ 3 1 6 43 v₃ 32 0 32 434 STHEFANY SABRINY DE MORAES THAISSA SOUZA CALVANO u₁ 5 0 2 12 v₁ 32 2 12 54 u₁ 4 35 34 2 v₁ 1 13 1 2 u₂ 2 0 3 0 v₂ 5 2 5 2 u₂ 12 13 0 1 v₂ 3 12 2 3 u₃ 12 23 3 6 v₃ 2 0 23 13 u₃ 0 43 4 0 v₃ 2 23 2 4 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA QUESTÃO 03 VALOR 20 Dada a matriz A determine as matrizes P e P¹ responsáveis pela transformação D P¹AP onde D é a matriz diagonal similar à matriz A A distribuição das matrizes para cada aluno está disposta na TABELA IV TABELA IV ANA CLARA SEVERO RIGHI ANGELO PADOIN DEL FABBRO BIANCA DAVILA DA SILVA A 8 5 6 2 0 1 6 1 0 0 7 3 0 0 0 5 A 1 8 7 6 0 4 6 1 0 0 7 4 0 0 0 3 A 4 0 0 0 5 5 0 0 5 7 7 0 4 4 8 4 EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN ELIZ DRUSIAO JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION A 3 0 0 0 9 9 0 0 0 3 2 0 4 1 3 8 A 7 7 8 1 0 2 3 8 0 0 5 2 0 0 0 9 A 7 0 0 0 3 2 0 0 6 1 1 0 6 1 7 1 JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO KAUESLER SCHUSTER KELLY APARECIDA WINK A 4 0 0 0 5 6 0 0 5 9 0 0 5 3 1 1 A 2 2 9 2 0 4 4 3 0 0 3 2 0 0 0 5 A 5 0 0 0 4 4 0 0 0 5 7 0 6 6 4 1 LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES A 8 0 0 0 9 2 0 0 8 0 7 0 4 5 3 3 A 9 0 0 0 3 3 0 0 4 1 3 0 1 2 3 5 A 4 6 9 1 0 3 6 2 0 0 1 8 0 0 0 2 NATHALIA WALKER GALLI PEDRO SEVERO PRESTES RICARDO ZIMMERMANN MARTINS A 1 2 0 3 0 5 6 2 0 0 6 1 0 0 0 4 A 8 0 0 0 4 2 0 0 0 7 6 0 2 4 8 8 A 3 0 0 0 7 7 0 0 4 4 1 0 7 7 1 9 STHEFANY SABRINY DE MORAES THAISSA SOUZA CALVANO A 7 0 0 0 0 7 0 0 7 3 1 0 3 4 6 4 A 4 7 9 0 0 9 8 3 0 0 7 5 0 0 0 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA QUESTÃO 04 VALOR 25 Considere o conjunto de vetores linearmente independentes X x1 x2 x3 x4 I Utilize o método de GramSchmidt para obter uma base ortonormal U û1 û2 û3 û4 a partir de X II Determine o vetor de coordenadas zU de um dado vetor z em relação à base U O conjunto X e o vetor z a serem utilizados por cada aluno estão definidos na TABELA V TABELA V ANA CLARA SEVERO RIGHI z 4 3 2 3 x1 5 1 0 1 x2 23 12 43 13 x3 0 13 1 43 x4 1 0 2 1 ANGELO PADOIN DEL FABBRO z 4 3 4 2 x1 52 2 12 1 x2 43 12 1 0 x3 1 0 2 1 x4 4 1 5 1 BIANCA DAVILA DA SILVA z 3 4 2 3 x1 43 1 34 0 x2 1 14 2 0 x3 2 5 0 0 x4 4 1 1 1 EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN z 2 1 2 3 x1 1 1 0 3 x2 35 1 12 35 x3 1 1 32 3 x4 52 0 12 1 ELIZ DRUSIAO z 4 3 2 5 x1 5 1 1 1 x2 12 0 52 0 x3 2 1 0 23 x4 1 0 1 0 JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION z 4 4 0 5 x1 0 5 12 1 x2 1 2 52 43 x3 52 0 1 0 x4 0 54 12 1 JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO z 2 5 5 3 x1 1 52 34 13 x2 1 52 5 0 x3 0 1 1 0 x4 0 1 1 32 KAUESLER SCHUSTER z 5 4 0 3 x1 5 3 5 0 x2 0 1 43 32 x3 1 1 1 2 x4 1 0 0 2 KELLY APARECIDA WINK z 3 4 3 4 x1 0 5 2 0 x2 0 1 35 32 x3 0 32 1 4 x4 1 54 5 LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES z 1 2 4 4 x1 0 1 32 0 x2 2 12 1 0 x3 1 0 1 1 x4 1 52 0 53 LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR z 3 2 0 0 x1 0 3 0 1 x2 1 32 1 0 x3 1 5 1 0 x4 53 34 1 13 MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES z 2 2 4 1 x1 0 5 0 5 0 x2 52 1 4 0 x3 12 1 15 5 x4 0 5 5 0 NATHALIA WALKER GALLI z 3 3 5 0 x1 35 1 1 45 x2 0 2 1 12 x3 0 1 1 32 x4 1 1 1 0 PEDRO SEVERO PRESTES z 2 4 5 5 x1 23 1 1 0 x2 0 1 1 14 x3 0 5 1 0 x4 1 1 0 0 RICARDO ZIMMERMANN MARTINS z 2 5 5 3 x1 1 52 5 0 x2 1 52 5 0 x3 0 1 1 0 x4 0 1 1 32 STHEFANY SABRINY DE MORAES z 2 4 3 5 x1 47 1 35 1 x2 34 34 0 12 x3 1 15 0 1 x4 3 3 0 1 THAISSA SOUZA CALVANO z 1 2 5 1 x1 4 35 4 0 x2 0 35 1 52 x3 5 2 5 0 x4 25 5 15 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA QUESTÃO 05 VALOR 25 Considere a equação geral de segundo grau em 𝑅2 definida por 𝐴𝑥2 2𝐵𝑥𝑦 𝐶𝑦2 𝐷𝑥 𝐸𝑦 𝐹 0 I Determine os coeficientes 𝑥0 e 𝑦0 da operação de translação 𝑋𝑌 𝑥 𝑥0 𝑦 𝑦0 que permite reescrever a equação geral na forma 𝐴𝑋2 2𝐵𝑋𝑌 𝐶𝑌2 𝐹 0 Determine os coeficientes 𝐴 𝐵 𝐶 e 𝐹 II Determine a operação de rotação apropriada que reduz a equação à forma centrada reduzida III Determine o valor dos coeficientes característicos para identificar a forma cônica descrita pela equação parâme tros 𝑎 𝑏 e 𝑐 conforme livro e esboce o gráfico da forma As equações específicas a serem consideradas por cada aluno estão definidas na TABELA VI TABELA VI ANA CLARA SEVERO RIGHI ANGELO PADOIN DEL FABBRO 160𝑥2 896𝑥𝑦 1520𝑦2 2144𝑥 4616𝑦 6737 0 743𝑥2 1040𝑥𝑦 236𝑦2 4012𝑥 2552𝑦 5110 0 BIANCA DAVILA DA SILVA EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN 4700𝑥2 2400𝑥𝑦 5700𝑦2 2560𝑥 4740𝑦 3178 0 447𝑥2 210𝑥𝑦 335𝑦2 552𝑥 440𝑦 432 0 ELIZ DRUSIAO JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION 2128𝑥2 5280𝑥𝑦 4944𝑦2 10424𝑥 8760𝑦 12109 0 98𝑥2 216𝑥𝑦 188𝑦2 1128𝑥 1588𝑦 3547 0 JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO KAUESLER SCHUSTER 132𝑥2 252𝑥𝑦 732𝑦2 60𝑥 8580𝑦 21175 0 12𝑥2 168𝑥𝑦 37𝑦2 468𝑥 474𝑦 762 0 KELLY APARECIDA WINK LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES 5787𝑥2 12240𝑥𝑦 180𝑦2 4524𝑥 8520𝑦 7370 0 3152𝑥2 7168𝑥𝑦 1072𝑦2 5160𝑥 720𝑦 4375 0 LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES 3213𝑥2 1404𝑥𝑦 882𝑦2 10512𝑥 5748𝑦 5056 0 987𝑥2 576𝑥𝑦 327𝑦2 274𝑥 244𝑦 968 0 NATHALIA WALKER GALLI PEDRO SEVERO PRESTES 1035𝑥2 1260𝑥𝑦 2358𝑦2 6420𝑥 19704𝑦 40243 0 1050𝑥2 1200𝑥𝑦 550𝑦2 5640𝑥 3920𝑦 6087 0 RICARDO ZIMMERMANN MARTINS STHEFANY SABRINY DE MORAES 4752𝑥2 8208𝑥𝑦 1332𝑦2 216𝑥 924𝑦 1813 0 63𝑥2 54𝑥𝑦 63𝑦2 6𝑥 414𝑦 793 0 THAISSA SOUZA CALVANO 80𝑥2 96𝑥𝑦 48𝑦2 120𝑥 312𝑦 371 0 6 Questão 01 Calcule o determinante da matriz M M 0 1 0 1 5 1 1 0 0 5 1 4 3 2 0 2 5 1 4 0 1 6 2 0 2 Troca L1 L3 1 4 3 2 0 1 1 0 0 5 0 1 0 1 5 2 5 1 4 0 1 6 2 0 2 Eliminando abaixo do pivô a11 1 4 3 2 0 0 3 3 2 5 0 1 0 1 5 0 13 5 8 0 0 2 1 2 2 Zerando abaixo do pivô a22 3 1 4 3 2 0 0 3 3 2 5 0 0 1 53 203 0 0 83 653 0 0 3 103 283 Zerando abaixo do pivô a33 1 1 4 3 2 0 0 3 3 2 5 0 0 1 53 203 0 0 0 109 39 0 0 0 0 10 Determinante é o produto dos pivôs ajustado pela troca de linha detM 1 3 1 109 10 3009 1003 detM 1003 Questão 02 Vetores u1 4 53 43 2 u2 12 13 0 1 u3 0 43 4 0 v1 1 13 1 2 v2 3 12 2 3 v3 2 23 2 4 I Decomposição de z sobre subespaço gerado por u1u2 Seja z z1 z2 z3 z4 ℝ4 Queremos z α u1 β u2 α 4 53 43 2 β 12 13 0 1 z1 z2 z3 z4 4α 12β z1 53 α 13 β z2 43 α z3 2α β z4 Da terceira equação 43 α z3 α 34 z3 Substituindo na segunda equação 53 34 z3 13 β z2 1512 z3 13 β z2 54 z3 13 β z2 13 β z2 54 z3 β 3 z2 154 z3 Substituindo α e β na primeira equação 4 34 z3 12 3 z2 154 z3 z1 4 34 z3 12 3 z2 154 z3 z1 3 z3 32 z2 158 z3 z1 3 158 z3 32 z2 z1 248 z3 158 z3 32 z2 z1 98 z3 32 z2 z1 z1 98 z3 32 z2 II Decomposicao de z sobre subespaco gerado por u1 u2 u3 z α u1 β u2 γ u3 α 4 5 3 4 3 2 β 1 12 3 0 1 γ 0 4 3 4 0 z1 z2 z3 z4 4α 1 2β z1 5 3α 1 3β 4 3γ z2 4 3α 4γ z3 2α β z4 3ª equacao 4 3α 4γ z3 α 3 4z3 3γ 2ª equacao 5 33 4z3 3γ 1 3β 4 3γ z2 5 4z3 γ 1 3β z2 β 3z2 15 4 z3 3γ 1ª equacao 43 4z3 3γ 1 23z2 15 4 z3 3γ z1 3z3 12γ 3 2z2 15 8 z3 3 2γ z1 9 8z3 3 2z2 21 2 γ z1 z1 9 8z3 3 2z2 21 2 γ 3 III Condicao para que u4 a b c d torne u1 u2 u4 linearmente independente u4 α u1 β u2 α 4 5 3 4 3 2 β 1 12 3 0 1 a b c d 4α 1 2β a 5 3α 1 3β b 4 3α c 2α β d 3ª equacao 4 3α c α 3 4c 2ª equacao 5 33 4c 1 3β b 5 4c 1 3β b β 3b 15 4 c 1ª equacao 43 4c 1 23b 15 4 c a 3c 3 2b 15 8 c a 9 8c 3 2b a 4ª equacao 23 4c 3b 15 4 c d 3 2c 3b 15 4 c d 9 4c 3b d a 9 8c 3 2b d 9 4c 3b 4 IV Quais vetores de V v1 v2 v3 podem ser adicionados a U para formar base de R4 u1 4 5 3 4 3 2 u2 1 12 3 0 1 u3 0 4 3 4 0 v1 1 1 3 1 2 v2 3 1 2 2 3 v3 2 2 3 2 4 A1 4 1 2 0 1 5 3 1 3 4 3 1 3 4 3 0 4 1 2 1 0 2 detA1 40 3 0 A2 4 1 2 0 3 5 3 1 3 4 3 1 2 4 3 0 4 2 2 1 0 3 detA2 40 3 0 A3 4 1 2 0 2 5 3 1 3 4 3 2 3 4 3 0 4 2 2 1 0 4 detA3 0 v1 e v2 podem ser adicionados a U para formar base de R4 5 Questao 03 A 4 7 9 0 0 9 8 3 0 0 7 5 0 0 0 2 Autovalores Como A e triangular superior os autovalores sao os elementos da diagonal λ1 4 λ2 9 λ3 7 λ4 2 D 4 0 0 0 0 9 0 0 0 0 7 0 0 0 0 2 Para cada λi resolver A λiIvi 0 λ 4 A 4I 0 7 9 0 0 5 8 3 0 0 3 5 0 0 0 2 v1 1 0 0 0 λ 9 A 9I 5 7 9 0 0 0 8 3 0 0 2 5 0 0 0 7 v2 1 1 0 0 λ 7 A 7I 3 7 9 0 0 2 8 3 0 0 0 5 0 0 0 5 v3 1 1 1 0 λ 2 A 2I 2 7 9 0 0 7 8 3 0 0 5 5 0 0 0 0 v4 1 1 1 1 P 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 P 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 D P 1AP 4 0 0 0 0 9 0 0 0 0 7 0 0 0 0 2 6 Questão 04 x₁ 4 35 4 0 x₂ 0 45 1 52 x₃ 5 2 5 0 x₄ 23 5 13 1 z 1 2 5 1 u₁ x₁ u₁² 4² 35² 4² 16 925 16 80925 û₁ u₁ u₁ 180925 4 35 4 0 07032 01055 07032 0 x₂ u₁ 04 4535 14 520 1225 4 11225 projᵤ₁x₂ x₂ u₁ u₁² u₁ 11225 80925 u₁ 112809 u₁ u₂ x₂ projᵤ₁x₂ x₂ 112809 u₁ u₂² 235253236 û₂ u₂ u₂ 02054 02659 01143 09335 projᵤ₁x₃ x₃ u₁ u₁² u₁ projᵤ₂x₃ x₃ u₂ u₂² u₂ u₃ x₃ projᵤ₁x₃ projᵤ₂x₃ u₃² 1350941 û₃ u₃ u₃ 00204 09582 02829 00380 projᵤ₁x₄ projᵤ₂x₄ projᵤ₃x₄ u₄ x₄ projᵤ₁x₄ projᵤ₂x₄ projᵤ₃x₄ u₄² 121486 û₄ u₄ u₄ 06804 0 06804 02722 U û₁ û₂ û₃ û₄ zU z ˆu1 z ˆu2 z ˆu3 z ˆu4 630 809 1978 23525 866 675 6 44299 02267 15367 29938 8 Questão 05 Item I 80x² 96xy 48y² 120x 312y 371 0 A 80 2B 96 B 48 C 48 D 120 E 312 F 371 x₀ 2CE BD 4AC B² 2 48 312 48120 4 8048 48² 29952 5760 15360 2304 24192 17664 6346 y₀ 2AD BE 4AC B² 2 80120 48312 15360 2304 19200 14976 17664 34176 17664 8946 x₀ 6346 y₀ 8946 x X 6346 y Y 8946 x² X² 2X 6346 6346² X² 12646 X 39692116 y² Y² 2Y 8946 8946² Y² 17846 Y 79212116 xy X 6346Y 8946 XY 8946 X 6346 Y 56132116 80x² 80X² 1008046 X 3175202116 96xy 96XY 854446 X 604846 Y 5388482116 48y² 48Y² 854446 Y 3802082116 120x 120X 756046 312y 312Y 2776846 F 371 Somando os termos X² 80X² XY 96XY Y 2 48Y 2 X 10080 46 8544 46 120 18624 46 120 cancela Y 6048 46 8544 46 312 cancela constante 317520 2116 538848 2116 380208 2116 7560 27768 46 371 476160 2116 20208 46 371 20208 46 4393 476160 2116 2249 2249 4393 371 2932 A 80 B 48 C 48 F 22222 80X2 96XY 48Y 2 22222 0 10 Questão 05 Item II 80X² 96XY 48Y² 22222 0 A 80 B 48 C 48 tan2θ 2B A C 2 48 80 48 96 128 34 2θ arctan34 θ 12 arctan34 A C 80 48 128 A C² 16384 4B2 4 48² 4 2304 9216 cos2θ A C A C² 4B2 128 16384 9216 128 25600 128160 08 cosθ 1 cos2θ2 1 082 01 03162 sinθ 1 cos2θ2 1 082 09 09487 cos²θ 03162² 01 sin²θ 09487² 09 sinθ cosθ 03162 09487 03 A A cos²θ C sin²θ 2B sinθ cosθ 80 01 48 09 2 48 03 A 8 432 288 64 C A sin²θ C cos²θ 2B sinθ cosθ 80 09 48 01 2 48 03 C 72 48 288 384 A 64 C 384 64x² 384y² 22222 0 x² 22222 64 y² 22222 384 1 22222 64 3472 22222 384 579 x² 3472 y² 579 1 Questao 05 Item III 80x2 96xy 48y2 120x 312y 371 0 a 80 b 48 c 48 b2 482 2304 ac 8048 3840 b2 ac 2304 3840 6144 6144 0 Cˆonica Hiperbole 64x2 384y2 22222 0 x2 22222 64 y2 22222 384 1 22222 64 34722 22222 384 5786 x2 3472 y2 579 1 Hiperbole com centro na origem e eixo transversal horizontal x y x2 3472 y2 579 1 12