Atividade 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA DISCIPLINA UFSM0035 Álgebra Linear e Geometria Analítica CURSO Engenharia Química HORASAULA 90 hrs ANOPERÍODO 202501 TURMA 10305 PROFESSOR Paulo F C Tilles ATIVIDADE AVALIATIVA 02 QUESTÕES QUESTÃO 01 VALOR 35 Dados os vetores x e a obtenha um conjunto ortonormal de vetores 𝑍 ˆz1 ˆz2 ˆz3 ˆz4 tal que o vetor ˆz1 apresente a mesma direção e sentido que a direção definida pelo vetor a Siga os passos definidos a seguir I Obtenha o vetor ˆz1 II Obtenha o vetor ˆz2 via decomposição ortogonal de x sobre ˆz1 III Obtenha a solução geral paramétrica que representa qualquer vetor perpendicular à ˆz1 ˆz2 IV Realize a decomposição ortogonal sobre os vetores solução para obter ˆz3 ˆz4 A distribuição dos vetores para cada aluno está disposta na TABELA I QUESTÃO 02 VALOR 35 Dado o espaço vetorial R4 considere os conjuntos de vetores 𝑈 u1 u2 u3 e 𝑉 v1 v2 v3 contidos no espaço e um vetor genérico z R4 definido por z 𝑧1 𝑧2 𝑧3 𝑧4 I Determine a decomposição de z sobre o subespaço R2 gerado pelos vetores u1 u2 e defina o subespaço em ter mos das restrições sobre as componentes de z II Determine a decomposição de z sobre o subespaço R3 gerado pelos vetores u1 u2 u3 e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de z III Determine a condição que um vetor u4 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 deve satisfazer para que quando adicionado a 𝑈 ele forme um conjunto linearmente independente IV Determine quais vetores de 𝑉 podem ser adicionados a 𝑈 para formar uma base de R4 Os conjuntos 𝑈 e 𝑉 atribuídos a cada aluno estão dispostos na TABELA II QUESTÃO 03 VALOR 30 Considere as bases 𝑋 x1 x2 x3 e 𝑌 y1 y2 y3 de R3 I Determine as matrizes de transição 𝑃𝑋𝑌 e 𝑃𝑌𝑋 responsáveis pelas mudanças de bases entre os vetores de coor denadas de 𝑋 e de 𝑌 II Dado o vetor r obtenha o vetor de coordenadas r𝑋 e utilize a matriz de transição apropriada para determinar o vetor de coordenadas r𝑌 A distribuição das bases 𝑋 e 𝑌 e do vetor r para cada aluno está disposta na TABELA III DIRETRIZES 1 Todos os passos intermediários necessários para se obter a resposta final devem ser mostrados O critério de ava liação adotado é baseado na quantidade de passos corretos realizados 2 A solução deve ser enviada por email na forma de um único arquivo no formato pdf com páginas ordenadas e numeradas 3 Caso a sua resolução seja manuscrita tire fotos das páginas e convertaas em um único arquivo pdf Este procedimento pode ser realizado gratuitamente no seguinte site wwwilovepdfcom 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA 4 Cada aluno deve nomear o seu arquivo conforme descrito na TABELA IV 5 Caso a solução apresentada não esteja em conformidade com alguma destas diretrizes a nota será nula TABELAS QUESTÃO 01 TABELA I ANA CLARA SEVERO RIGHI ANDRE TEIXEIRA SCHMITZ ANGELO PADOIN DEL FABBRO x 2 0 4 2 a 3 4 4 2 x 1 2 4 0 a 4 0 1 3 x 0 1 3 3 a 3 3 0 1 ARIELLY BARROS DA COSTA AUGUSTO DE OLIVEIRA LIMA BIANCA DAVILA DA SILVA x 1 2 4 3 a 4 1 2 3 x 3 4 1 3 a 1 3 3 2 x 4 4 4 1 a 2 4 1 4 BRENDA GISELE DE SOUZA NUNES BRITNEY VITORIA DE SOUZA NUNES BRUNA PUNTEL x 3 3 2 4 a 3 3 4 4 x 0 1 0 1 a 1 3 4 2 x 1 2 0 1 a 2 4 0 4 CRISTIAN N DE AQUINO QUINTEIRO DANIELA MARTINS FLORES DIONATHAS SILVA DA CRUZ x 4 1 2 1 a 1 0 3 1 x 4 0 1 3 a 1 4 1 1 x 2 3 2 0 a 4 2 4 3 EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN ELIZ DRUSIAO ENZO LUIS CORAZZA x 1 4 4 4 a 3 3 4 3 x 3 3 1 3 a 1 4 3 4 x 0 2 3 0 a 4 2 3 4 GREISSY K KARSTEN DE AGUSTINHO INGRID SEVERO OTANHA ISADORA COELHO DE LIMA x 3 2 3 2 a 1 4 1 1 x 4 2 0 1 a 0 1 3 2 x 4 1 1 1 a 4 3 1 2 JENNIFER SOUZA VILARINO JONATHAN H DOS SANTOS DANTAS JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION x 3 4 1 2 a 1 1 3 2 x 4 2 1 3 a 2 4 4 4 x 1 2 4 3 a 4 3 2 1 JOSE VLAN DE CASTRO NETO JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO JULIA PALHANO VERARDO x 3 2 1 2 a 3 1 1 3 x 4 1 4 2 a 4 2 4 1 x 4 1 2 4 a 4 1 0 1 KAUESLER SCHUSTER KELLY APARECIDA WINK KHYARA V DE PAULA RODRIGUES x 3 4 3 4 a 3 2 3 2 x 4 4 1 0 a 3 4 4 2 x 1 1 0 3 a 3 4 4 3 LAURA BORCK WELTER LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR x 0 3 3 4 a 2 4 0 3 x 3 1 3 1 a 3 4 1 2 x 2 0 2 4 a 4 3 4 1 LUIZA HACKENHAAR HECK MARIA CLARA JULIANI SILVEIRA MARIA EDUARDA KLEIN MERLO x 2 2 2 2 a 1 0 1 4 x 3 0 2 1 a 1 2 2 1 x 3 4 4 0 a 1 2 3 3 MARIANA MANN DE SOUZA MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES MIGUEL BATISTA ALVES x 3 1 4 4 a 1 1 1 2 x 3 3 4 4 a 1 3 2 2 x 4 1 3 1 a 3 1 4 2 NATHALIA WALKER GALLI NICIVANIA DA CRUZ MENDES PAMELA VEZZOSI DE BARROS x 2 1 0 3 a 3 0 2 2 x 3 3 3 1 a 1 1 4 1 x 2 1 3 0 a 4 2 2 3 PEDRO SEVERO PRESTES RICARDO ZIMMERMANN MARTINS STEPHANY NATALY EHLE x 2 1 0 4 a 0 2 4 2 x 1 3 1 4 a 2 2 1 2 x 1 3 2 1 a 3 4 3 3 STHEFANY SABRINY DE MORAES THAISSA SOUZA CALVANO THIAGO ROGER ZAGO x 2 4 2 4 a 1 4 1 4 x 1 3 3 4 a 4 4 2 4 x 0 0 4 3 a 1 1 2 1 VINICIUS GONGO DE SOUZA VITORIA BORGES DA TRINDADE x 4 2 1 2 a 3 2 1 1 x 2 1 1 1 a 3 1 4 4 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA TABELAS QUESTÃO 02 TABELA II PARTE 0102 ANA CLARA SEVERO RIGHI u₁2322 v₁346122 u₂11320 v₂124743 u₃2151 v₃32131 ANDRE TEIXEIRA SCHMITZ u₁52653 v₁723741 u₂53001 v₂0761 u₃11303 v₃0650 ANGELO PADOIN DEL FABBRO u₁0130 v₁332341 u₂2026 v₂3030 u₃121520 v₃3232532 ARIELLY BARROS DA COSTA u₁52432 v₁13120 u₂2220 v₂3632 u₃42120 v₃052121 AUGUSTO DE OLIVEIRA LIMA u₁60152 v₁30243 u₂10433 v₂54143 u₃54132 v₃3232122 BIANCA DAVILA DA SILVA u₁6400 v₁430412 u₂5213243 v₂312736 u₃1011 v₃5311252 BRENDA GISELE DE SOUZA NUNES u₁6351 v₁232313 u₂30413 v₂22343 u₃432012 v₃273737 BRITNEY VITORIA DE SOUZA NUNES u₁53531 v₁1223352 u₂0303 v₂55053 u₃21304 v₃21220 BRUNA PUNTEL u₁1015 v₁11133 u₂521360 v₂7232773 u₃1221 v₃323332 CRISTIAN N DE AQUINO QUINTEIRO u₁1522 v₁5253643 u₂033243 v₂21223 u₃321053 v₃324143 DANIELA MARTINS FLORES u₁35332 v₁43321232 u₂35043 v₂252352 u₃30043 v₃737401 DIONATHAS SILVA DA CRUZ u₁01123 v₁5332032 u₂0323 v₂0332 u₃53324332 v₃733773 EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN u₁1042 v₁324272 u₂52043 v₂3212354 u₃132532 v₃01720 ELIZ DRUSIAO u₁3232 v₁74154 u₂05543 v₂3025 u₃102353 v₃7225412 ENZO LUIS CORAZZA u₁521522 v₁534343 u₂1250 v₂23660 u₃0032 v₃52347253 GREISSY K KARSTEN DE AGUSTINHO u₁00312 v₁127417 u₂43045 v₂32012 u₃134312 v₃126432 INGRID SEVERO OTANHA u₁3110 v₁5231252 u₂1243352 v₂756174 u₃253520 v₃32525472 ISADORA COELHO DE LIMA u₁04313 v₁53216 u₂1453 v₂12253 u₃21310 v₃0200 JENNIFER SOUZA VILARINO u₁0532 v₁712453 u₂0213 v₂01311 u₃31532 v₃0310 JONATHAN H DOS SANTOS DANTAS u₁30332 v₁520012 u₂430230 v₂513532 u₃012052 v₃230223 JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION u₁2011 v₁5313 u₂5323130 v₂014142 u₃534336 v₃123352 JOSE VLAN DE CASTRO NETO u₁30321 v₁56053 u₂032132 v₂42143 u₃132253 v₃2132 JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO u₁405223 v₁231411 u₂533053 v₂533052 u₃1306 v₃22542 JULIA PALHANO VERARDO u₁633232 v₁11072 u₂2010 v₂73113 u₃43230 v₃6330 KAUSELER SCHUSTER u₁5243043 v₁32160 u₂1050 v₂33210 u₃53110 v₃732072 KELLY APARECIDA WINK u₁2001 v₁7213774 u₂013522 v₂02230 u₃53203 v₃31523 KHYARA V DE PAULA RODRIGUES u₁1152 v₁513332 u₂52100 v₂053323 u₃45321 v₃531473 LAURA BORCK WELTER u₁524321 v₁054323 u₂023253 v₂45231 13 u₃06132 v₃4353753 LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES u₁32001 v₁1332 u₂23623 v₂5332 u₃132230 v₃3265213 LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR u₁52534 v₁56120 u₂2502 v₂5321332 u₃35360 v₃1464 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA TABELA II PARTE 0202 LUIZA HACKENHAAR HECK u₁10430 v₁213013 u₂04315 v₂26131 u₃32161 v₃3040 MARIA CLARA JULIANI SILVEIRA u₁10532 v₁522323 u₂1203 v₂30137 u₃2123 v₃05461 MARIA EDUARDA KLEIN MERLO u₁04252 v₁52120 u₂11023 v₂22743 u₃01053 v₃1304 MARIANA MANN DE SOUZA u₁2010 v₁72101 u₂3410 v₂72562 u₃4151 v₃3420 MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES u₁0306 v₁11312 u₂0115 v₂0115 u₃2030 v₃2304 MIGUEL BATISTA ALVES u₁552352 v₁323202 u₂1401 v₂4515 u₃1312 v₃4515 NATHALIA WALKER GALLI u₁21012 v₁15351 u₂522143 v₂3412 u₃2200 v₃21332 NICIVANIA DA CRUZ MENDES u₁0531 v₁35261 u₂2411 v₂320326 u₃1301 v₃731112 PAMELA VEZZOSI DE BARROS u₁63223 v₁720012 u₂2323153 v₂33252 u₃213053 v₃023323 PEDRO SEVERO PRESTES u₁24012 v₁35235 u₂2201 v₂04613 u₃23352 v₃53172 RICARDO ZIMMERMANN MARTINS u₁01230 v₁7501 u₂0402 v₂435223 u₃152432 v₃34145 STEPHANY NATALY EHLE u₁21320 v₁1531 u₂0322 v₂1300 u₃1113 v₃32430 STHEFANY SABRINY DE MORAES u₁012043 v₁112023 u₂4206 v₂433113 u₃2323323 v₃5771 THAISSA SOUZA CALVANO u₁321232 v₁32213 u₂43100 v₂24432 u₃3510 v₃3613 THIAGO ROGER ZAGO u₁13061 v₁12212 u₂15311 v₂7413252 u₃132023 v₃353012 VINICIUS GONGO DE SOUZA u₁0363 v₁3753 u₂1111 v₂73115 u₃241323 v₃32041 VITORIA BORGES DA TRINDADE u₁01303 v₁535322 u₂015253 v₂273132 u₃53221 v₃5663 7 QUESTÃO 1 THAISSA SOUZA CALVANO x1334 a4424 QUESTÃO 01 VALOR 35 Dados os vetores x e a obtenha um conjunto ortonormal de vetores Z ẑ₁ ẑ₂ ẑ₃ ẑ₄ tal que o vetor ẑ₁ apresente a mesma direção e sentido que a direção definida pelo vetor a Siga os passos definidos a seguir I Obtenha o vetor ẑ₁ II Obtenha o vetor ẑ₂ via decomposição ortogonal de x sobre ẑ₁ III Obtenha a solução geral paramétrica que representa qualquer vetor perpendicular à ẑ₁ ẑ₂ IV Realize a decomposição ortogonal sobre os vetores solução para obter ẑ₃ ẑ₄ A distribuição dos vetores para cada aluno está disposta na TABELA I I O comprimento de ā é dado por ā 4² 4² 2² 4² 16 16 4 16 52 213 Dessa forma o primeiro vetor ortonormal que aponta na mesma direção e sentido de ā fica ẑ₁ ā ā 4424213 221213 II A projeção de 𝑥 em ẑ₁ surge do produto escalar 𝑥 ā 14 34 32 44 26 logo 𝑥 ẑ₁ 26 213 13 e projẑ₁𝑥 𝑥 ẑ₁ ẑ₁ 13 221213 2212 Subtraindo essa projeção de 𝑥 obtémse um vetor ortogonal a ẑ₁ 𝑦₂ 𝑥 projẑ₁𝑥 1334 2212 1142 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA TABELAS QUESTÃO 03 TABELA III PARTE 0102 ANA CLARA SEVERO RIGHI ANDRE TEIXEIRA SCHMITZ ANGELO PADOIN DEL FABBRO r 0 3 1 r 1 1 3 r 1 0 1 x1 5 0 4 y1 2 5 5 x1 1 2 4 y1 5 3 2 x1 4 0 1 y1 5 5 2 x2 2 2 5 y2 0 4 4 x2 2 1 3 y2 0 5 0 x2 2 4 3 y2 2 1 3 x3 0 4 2 y3 4 1 3 x3 2 3 3 y3 1 2 4 x3 1 3 5 y3 5 0 3 ARIELLY BARROS DA COSTA AUGUSTO DE OLIVEIRA LIMA BIANCA DAVILA DA SILVA r 1 0 3 r 3 2 0 r 2 3 0 x1 3 0 3 y1 1 4 1 x1 2 1 4 y1 5 5 3 x1 5 5 4 y1 2 0 0 x2 4 5 1 y2 5 0 3 x2 1 3 5 y2 0 1 3 x2 1 2 3 y2 3 5 5 x3 2 2 3 y3 5 0 2 x3 5 3 3 y3 1 3 5 x3 3 3 3 y3 5 3 5 BRENDA GISELE DE SOUZA NUNES BRITNEY VITORIA DE SOUZA NUNES BRUNA PUNTEL r 3 1 2 r 1 2 3 r 1 2 0 x1 5 3 4 y1 1 0 3 x1 3 3 0 y1 5 4 3 x1 1 2 2 y1 5 4 5 x2 4 4 1 y2 5 2 0 x2 4 1 3 y2 1 1 1 x2 3 4 3 y2 0 1 4 x3 1 0 1 y3 5 1 0 x3 5 5 1 y3 4 2 4 x3 2 1 4 y3 3 3 5 CRISTIAN N DE AQUINO QUINTEIRO DANIELA MARTINS FLORES DIONATHAS SILVA DA CRUZ r 2 1 3 r 3 3 1 r 1 1 3 x1 5 0 5 y1 5 2 4 x1 4 4 1 y1 4 0 2 x1 4 3 3 y1 3 5 4 x2 2 5 0 y2 1 0 5 x2 4 4 1 y2 2 3 2 x2 5 3 1 y2 1 2 1 x3 2 2 2 y3 4 1 4 x3 5 2 1 y3 5 5 1 x3 4 3 5 y3 1 1 0 EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN ELIZ DRUSIAO ENZO LUIS CORAZZA r 3 0 3 r 2 1 2 r 3 3 0 x1 4 3 5 y1 3 2 5 x1 5 4 0 y1 2 4 4 x1 3 5 2 y1 4 3 3 x2 5 0 2 y2 3 4 2 x2 0 5 3 y2 0 4 4 x2 0 2 1 y2 5 1 2 x3 5 1 1 y3 4 4 5 x3 1 4 1 y3 4 2 1 x3 1 4 2 y3 4 5 5 GREISSY K KARSTEN DE AGUSTINHO INGRID SEVERO OTANHA ISADORA COELHO DE LIMA r 3 1 0 r 1 3 3 r 1 1 1 x1 3 4 3 y1 2 4 5 x1 4 5 3 y1 5 3 2 x1 2 2 3 y1 4 5 3 x2 0 1 3 y2 4 4 4 x2 0 2 4 y2 3 5 1 x2 5 1 1 y2 4 2 3 x3 4 2 2 y3 4 5 5 x3 1 3 3 y3 1 5 4 x3 4 2 4 y3 1 2 2 JENNIFER SOUZA VILARINO JONATHAN H DOS SANTOS DANTAS JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION r 1 2 3 r 1 2 3 r 3 3 2 x1 2 5 5 y1 4 3 2 x1 2 1 2 y1 5 3 2 x1 2 5 3 y1 5 1 4 x2 5 2 2 y2 4 1 2 x2 5 1 5 y2 3 1 3 x2 3 5 2 y2 0 1 4 x3 1 2 5 y3 5 5 5 x3 4 2 2 y3 5 1 5 x3 5 3 4 y3 5 4 4 JOSE VLAN DE CASTRO NETO JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO JULIA PALHANO VERARDO r 0 3 0 r 2 2 2 r 3 3 1 x1 5 2 5 y1 5 3 3 x1 5 1 1 y1 1 1 1 x1 2 4 3 y1 3 5 4 x2 4 3 0 y2 0 4 4 x2 4 2 0 y2 0 3 2 x2 1 4 1 y2 2 1 0 x3 4 0 2 y3 3 3 5 x3 2 2 3 y3 1 5 2 x3 3 2 1 y3 5 1 0 KAUESLER SCHUSTER KELLY APARECIDA WINK KHYARA V DE PAULA RODRIGUES r 1 1 2 r 2 1 1 r 3 3 3 x1 5 4 2 y1 3 3 1 x1 5 4 5 y1 5 3 3 x1 3 5 4 y1 5 4 1 x2 1 1 3 y2 3 5 4 x2 5 1 1 y2 0 3 4 x2 4 3 5 y2 3 4 0 x3 0 3 4 y3 2 4 5 x3 4 1 3 y3 3 1 2 x3 4 3 1 y3 1 4 2 LAURA BORCK WELTER LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR r 0 1 3 r 1 1 3 r 3 2 2 x1 5 3 1 y1 3 1 3 x1 5 2 3 y1 1 0 4 x1 3 2 1 y1 3 5 3 x2 1 3 3 y2 1 1 4 x2 3 5 3 y2 5 4 1 x2 5 2 4 y2 0 1 4 x3 2 2 1 y3 2 3 4 x3 0 2 4 y3 2 0 5 x3 2 2 2 y3 5 4 0 5 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA TABELA III PARTE 0202 LUIZA HACKENHAAR HECK MARIA CLARA JULIANI SILVEIRA MARIA EDUARDA KLEIN MERLO r 2 1 3 r 3 2 3 r 3 1 1 x1 4 3 4 y1 3 4 5 x1 3 0 3 y1 4 3 3 x1 1 2 4 y1 4 0 5 x2 1 1 5 y2 4 2 4 x2 3 3 5 y2 2 4 2 x2 1 3 3 y2 5 4 0 x3 5 5 1 y3 5 5 5 x3 3 5 2 y3 3 5 3 x3 4 4 2 y3 4 1 3 MARIANA MANN DE SOUZA MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES MIGUEL BATISTA ALVES r 1 1 3 r 0 3 3 r 3 2 1 x1 2 2 2 y1 4 5 5 x1 1 1 2 y1 5 4 4 x1 5 1 1 y1 4 3 4 x2 2 5 0 y2 2 5 3 x2 2 0 2 y2 3 3 5 x2 4 0 4 y2 2 5 3 x3 0 0 4 y3 5 0 3 x3 5 2 5 y3 2 1 1 x3 0 1 0 y3 0 5 3 NATHALIA WALKER GALLI NICIVANIA DA CRUZ MENDES PAMELA VEZZOSI DE BARROS r 3 1 2 r 1 2 2 r 1 2 2 x1 5 1 1 y1 1 1 3 x1 5 2 3 y1 4 4 2 x1 2 3 1 y1 3 3 2 x2 5 5 2 y2 1 5 0 x2 1 1 2 y2 1 5 0 x2 4 1 4 y2 4 2 4 x3 0 3 3 y3 1 4 3 x3 1 5 2 y3 3 1 0 x3 3 3 2 y3 1 1 2 PEDRO SEVERO PRESTES RICARDO ZIMMERMANN MARTINS STEPHANY NATALY EHLE r 2 0 3 r 3 2 1 r 3 0 2 x1 4 3 5 y1 2 4 4 x1 4 2 2 y1 2 2 1 x1 5 2 3 y1 5 0 2 x2 0 3 5 y2 2 1 5 x2 3 0 4 y2 0 3 1 x2 0 2 3 y2 1 1 2 x3 3 3 4 y3 1 5 1 x3 2 5 1 y3 2 5 2 x3 5 1 3 y3 2 2 5 STHEFANY SABRINY DE MORAES THAISSA SOUZA CALVANO THIAGO ROGER ZAGO r 3 3 1 r 3 3 1 r 2 1 3 x1 4 4 1 y1 1 0 3 x1 3 1 2 y1 4 5 4 x1 2 2 4 y1 3 1 4 x2 4 5 2 y2 2 3 2 x2 2 4 5 y2 5 1 1 x2 1 4 5 y2 3 2 1 x3 2 5 1 y3 2 3 4 x3 5 1 4 y3 4 5 1 x3 1 3 4 y3 2 4 1 VINICIUS GONGO DE SOUZA VITORIA BORGES DA TRINDADE r 0 1 3 r 3 1 2 x1 5 4 2 y1 5 2 2 x1 4 3 5 y1 5 1 5 x2 1 2 3 y2 4 4 1 x2 1 1 1 y2 4 4 1 x3 1 2 2 y3 5 4 5 x3 5 5 1 y3 2 2 2 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA TABELAS NOMECLATURA DOS ARQUIVOS TABELA IV ANA CLARA SEVERO RIGHI ANDRE TEIXEIRA SCHMITZ ANGELO PADOIN DEL FABBRO UFSM0035ENGQUIAA02AL01ACSRpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL02ATSpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL03APFpdf ARIELLY BARROS DA COSTA AUGUSTO DE OLIVEIRA LIMA BIANCA DAVILA DA SILVA UFSM0035ENGQUIAA02AL04ABCpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL05AOLpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL06BDSpdf BRENDA GISELE DE SOUZA NUNES BRITNEY VITORIA DE SOUZA NUNES BRUNA PUNTEL UFSM0035ENGQUIAA02AL07BGSNpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL08BVSNpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL09BPpdf CRISTIAN NICOLLAS DE AQUINO QUINTEIRO DANIELA MARTINS FLORES DIONATHAS SILVA DA CRUZ UFSM0035ENGQUIAA02AL10CNAQpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL11DMFpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL12DSCpdf EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN ELIZ DRUSIAO ENZO LUIS CORAZZA UFSM0035ENGQUIAA02AL13EVGTpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL14EDpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL15ELCpdf GREISSY KALLEY KARSTEN DE AGUSTINHO INGRID SEVERO OTANHA ISADORA COELHO DE LIMA UFSM0035ENGQUIAA02AL16GKKApdf UFSM0035ENGQUIAA02AL17ISOpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL18ICLpdf JENNIFER SOUZA VILARINO JONATHAN HENRIQUE DOS SANTOS DANTAS JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION UFSM0035ENGQUIAA02AL19JSVpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL20JHSDpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL21JAVMpdf JOSE VLAN DE CASTRO NETO JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO JULIA PALHANO VERARDO UFSM0035ENGQUIAA02AL22JVCNpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL23JASMpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL24JPVpdf KAUESLER SCHUSTER KELLY APARECIDA WINK KHYARA VALENTINE DE PAULA RODRIGUES UFSM0035ENGQUIAA02AL25KSpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL26KAWpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL27KVPRpdf LAURA BORCK WELTER LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR UFSM0035ENGQUIAA02AL28LBWpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL29LACGpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL30LOBJpdf LUIZA HACKENHAAR HECK MARIA CLARA JULIANI SILVEIRA MARIA EDUARDA KLEIN MERLO UFSM0035ENGQUIAA02AL31LHHpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL32MCJSpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL33MEKMpdf MARIANA MANN DE SOUZA MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES MIGUEL BATISTA ALVES UFSM0035ENGQUIAA02AL34MMSpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL35MJRpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL36MBApdf NATHALIA WALKER GALLI NICIVANIA DA CRUZ MENDES PAMELA VEZZOSI DE BARROS UFSM0035ENGQUIAA02AL37NWGpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL38NCMpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL39PVBpdf PEDRO SEVERO PRESTES RICARDO ZIMMERMANN MARTINS STEPHANY NATALY EHLE UFSM0035ENGQUIAA02AL40PSPpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL41RZMpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL42SNEpdf STHEFANY SABRINY DE MORAES THAISSA SOUZA CALVANO THIAGO ROGER ZAGO UFSM0035ENGQUIAA02AL43SSMpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL44TSCpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL45TRZpdf VINICIUS GONGO DE SOUZA VITORIA BORGES DA TRINDADE UFSM0035ENGQUIAA02AL46VGSpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL47VBTpdf 7 O módulo de 𝑦₂ é 𝑦₂ 1² 1² 4² 2² 22 de onde 𝑧₂ 𝑦₂ 𝑦₂ 1 1 4 222 III Qualquer 𝑣 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑣₃ 𝑣₄ perpendicular a 𝑧₁ e 𝑧₂ deve satisfazer 4 𝑣₁ 4 𝑣₂ 2 𝑣₃ 4 𝑣₄ 0 𝑣₁ 𝑣₂ 4 𝑣₃ 2 𝑣₄ 0 Escolhendo parâmetros 𝑣₃ 𝑠 e 𝑣₄ 𝑡 resolvese o sistema e encontrase 𝑣₁ 9 𝑠 2 𝑡4 𝑣₂ 7 𝑠 6 𝑡4 de modo que a base do espaço ortogonal a 𝑧₁ 𝑧₂ pode ser escrita a partir dos vetores 𝑏₃ 9 7 4 0 𝑏₄ 2 6 0 4 IV Para completar o conjunto ortonormal primeiro note que 𝑏₃ 9² 7² 4² 0² 146 o que leva a 𝑧₃ 𝑏₃ 𝑏₃ 9 7 4 0146 Analogamente 𝑏₄ 2² 6² 0² 4² 56 e 𝑧₄ 𝑏₄ 𝑏₄ 2 6 0 456 Assim o conjunto Z 𝑧₁ 𝑧₂ 𝑧₃ 𝑧₄ é ortonormal com 𝑧₁ alinhado a 𝑎 𝑢₁ 23 1 2 32 𝑣₁ 32 2 13 3 𝑢₂ 43 1 0 0 𝑣₂ 2 43 4 32 𝑢₃ 53 5 1 0 𝑣₃ 3 6 1 3 QUESTÃO 02 VALOR 35 Dado o espaço vetorial ℝ⁴ considere os conjuntos de vetores U 𝑢₁ 𝑢₂ 𝑢₃ e V 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑣₃ contidos no espaço e um vetor genérico 𝑧 ℝ⁴ definido por 𝑧 𝑧₁ 𝑧₂ 𝑧₃ 𝑧₄ I Determine a decomposição de 𝑧 sobre o subespaço ℝ² gerado pelos vetores 𝑢₁ 𝑢₂ e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de 𝑧 II Determine a decomposição de 𝑧 sobre o subespaço ℝ³ gerado pelos vetores 𝑢₁ 𝑢₂ 𝑢₃ e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de 𝑧 III Determine a condição que um vetor 𝑢₄ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 deve satisfazer para que quando adicionado a U ele forme um conjunto linearmente independente IV Determine quais vetores de V podem ser adicionados a U para formar uma base de ℝ⁴ Os conjuntos U e V atribuídos a cada aluno estão dispostos na TABELA II I Decomposição de 𝑧 sobre span𝑢₁ 𝑢₂ O vetor genérico 𝑧 ℝ⁴ pode ser escrito como 𝑧 𝑎 𝑢₁ 𝑏 𝑢₂ 𝑤 com 𝑤 ortogonal a 𝑢₁ e a 𝑢₂ As condições 𝑢ᵢ 𝑧 𝑎 𝑢₁ 𝑏 𝑢₂ 0 𝑖 1 2 geram o sistema normal 27736 𝑎 19 𝑏 23 𝑧₁ 𝑧₂ 2 𝑧₃ 32 𝑧₄ 19 𝑎 259 𝑏 43 𝑧₁ 𝑧₂ Multiplicando a primeira equação por 36 e a segunda por 9 obtémse 277 𝑎 4 𝑏 24 𝑧₁ 36 𝑧₂ 72 𝑧₃ 27 𝑧₄ 𝑎 25 𝑏 12 𝑧₁ 9 𝑧₂ Resolvendo chegase a 𝑎 72 𝑧₁ 96 𝑧₂ 200 𝑧₃ 75 𝑧₄769 𝑏 372 𝑧₁ 273 𝑧₂ 8 𝑧₃ 3 𝑧₄769 O componente paralelo é 𝑧 𝑎 𝑢₁ 𝑏 𝑢₂ A condição 𝑧 span𝑢₁ 𝑢₂ equivale a 𝑤 0 ou seja 3 𝑧₁ 4 𝑧₂ 3 𝑧₃ 0 3 𝑧₃ 4 𝑧₄ 0 Logo span𝑢₁ 𝑢₂ 𝑧₁ 𝑧₂ 𝑧₃ 𝑧₄ ℝ⁴ 3 𝑧₁ 4 𝑧₂ 3 𝑧₃ 0 3 𝑧₃ 4 𝑧₄ 0 II Como o subespaço gerado por 𝑢₁ 𝑢₂ 𝑢₃ tem dimensão 3 o seu complemento ortogonal é de dimensão 1 A busca de 𝑛 𝑛₁ 𝑛₂ 𝑛₃ 𝑛₄ tal que 𝑛 𝑢ᵢ 0 𝑖 1 2 3 leva às equações 23 𝑛₁ 𝑛₂ 2 𝑛₃ 32 𝑛₄ 0 43 𝑛₁ 𝑛₂ 0 53 𝑛₁ 5𝑛₂ 𝑛₃ 0 A partir de 𝑛₂ 43 𝑛₁ e 𝑛₃ 5 𝑛₁ resulta 𝑛₄ 163 𝑛₁ Multiplicando por 3 obtémse 𝑛 3 4 15 16 A decomposição de 𝑧 nesse subespaço pode ser feita por projeção idêntica à do item anterior resolvendo o sistema 𝑈ᵀ𝑈 𝑐₁ 𝑐₂ 𝑐₃ᵀ 𝑈ᵀ 𝑧 𝑈 𝑢₁ 𝑢₂ 𝑢₃ A condição 𝑛 𝑧 0 define o subespaço em termos das componentes de 𝑧 3 𝑧₁ 4 𝑧₂ 15 𝑧₃ 16 𝑧₄ 0 ou seja span𝑢₁ 𝑢₂ 𝑢₃ 𝑧₁ 𝑧₂ 𝑧₃ 𝑧₄ ℝ⁴ 3 𝑧₁ 4 𝑧₂ 15 𝑧₃ 16 𝑧₄ 0 III A independência linear de 𝑢₁ 𝑢₂ 𝑢₃ 𝑢₄ exige que 𝑢₄ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 não caia no subespaço anterior ou seja 3 𝑎 4 𝑏 15 𝑐 16 𝑑 0 IV r 3 3 1 x1 3 1 2 y1 4 5 4 x2 2 4 5 y2 5 1 1 x3 5 1 4 y3 4 5 1 QUESTÃO 03 VALOR 30 Considere as bases X x1 x2 x3 e Y y1 y2 y3 de R3 I Determine as matrizes de transição PXY e PYX responsáveis pelas mudanças de bases entre os vetores de coordenadas de X e de Y II Dado o vetor r obtenha o vetor de coordenadas rX e utilize a matriz de transição apropriada para determinar o vetor de coordenadas rY A distribuição das bases X e Y e do vetor r para cada aluno está disposta na TABELA III Para x1 3 1 2 obtémse a1 b1 c1 3173 773 1573 Para x2 2 4 5 vem a2 b2 c2 9373 19873 19173 Para x3 5 1 4 resulta a3 b3 c3 6573 2373 5573 Agrupando colunas PXY 3173 9373 6573 773 19873 2373 1573 19173 5573 Para PYX resolvese analogamente MX x1 x2 x3 3 2 5 1 4 1 2 5 4 pelos sistemas MX dj ej fjT yj cuja solução dá as colunas de PYX 892 50 1472 5 5 8 592 31 932 IV Vetores de V que completam U a uma base de R4 Cada vj V pode completar U a uma base se não for ortogonal a n Calculase n v1 992 0 n v2 2503 0 n v3 0 Portanto v1 e v2 podem ser adicionados a U para formar uma base de R4