Prova de Algebra

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA DISCIPLINA UFSM0035 Álgebra Linear e Geometria Analítica CURSO Engenharia Química HORASAULA 90 hrs ANOPERÍODO 202501 TURMA 10305 PROFESSOR Paulo F C Tilles ATIVIDADE AVALIATIVA 02 QUESTÕES QUESTÃO 01 VALOR 35 Dados os vetores x e a obtenha um conjunto ortonormal de vetores 𝑍 ˆz1 ˆz2 ˆz3 ˆz4 tal que o vetor ˆz1 apresente a mesma direção e sentido que a direção definida pelo vetor a Siga os passos definidos a seguir I Obtenha o vetor ˆz1 II Obtenha o vetor ˆz2 via decomposição ortogonal de x sobre ˆz1 III Obtenha a solução geral paramétrica que representa qualquer vetor perpendicular à ˆz1 ˆz2 IV Realize a decomposição ortogonal sobre os vetores solução para obter ˆz3 ˆz4 A distribuição dos vetores para cada aluno está disposta na TABELA I QUESTÃO 02 VALOR 35 Dado o espaço vetorial R4 considere os conjuntos de vetores 𝑈 u1 u2 u3 e 𝑉 v1 v2 v3 contidos no espaço e um vetor genérico z R4 definido por z 𝑧1 𝑧2 𝑧3 𝑧4 I Determine a decomposição de z sobre o subespaço R2 gerado pelos vetores u1 u2 e defina o subespaço em ter mos das restrições sobre as componentes de z II Determine a decomposição de z sobre o subespaço R3 gerado pelos vetores u1 u2 u3 e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de z III Determine a condição que um vetor u4 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 deve satisfazer para que quando adicionado a 𝑈 ele forme um conjunto linearmente independente IV Determine quais vetores de 𝑉 podem ser adicionados a 𝑈 para formar uma base de R4 Os conjuntos 𝑈 e 𝑉 atribuídos a cada aluno estão dispostos na TABELA II QUESTÃO 03 VALOR 30 Considere as bases 𝑋 x1 x2 x3 e 𝑌 y1 y2 y3 de R3 I Determine as matrizes de transição 𝑃𝑋𝑌 e 𝑃𝑌𝑋 responsáveis pelas mudanças de bases entre os vetores de coor denadas de 𝑋 e de 𝑌 II Dado o vetor r obtenha o vetor de coordenadas r𝑋 e utilize a matriz de transição apropriada para determinar o vetor de coordenadas r𝑌 A distribuição das bases 𝑋 e 𝑌 e do vetor r para cada aluno está disposta na TABELA III DIRETRIZES 1 Todos os passos intermediários necessários para se obter a resposta final devem ser mostrados O critério de ava liação adotado é baseado na quantidade de passos corretos realizados 2 A solução deve ser enviada por email na forma de um único arquivo no formato pdf com páginas ordenadas e numeradas 3 Caso a sua resolução seja manuscrita tire fotos das páginas e convertaas em um único arquivo pdf Este procedimento pode ser realizado gratuitamente no seguinte site wwwilovepdfcom 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA 4 Cada aluno deve nomear o seu arquivo conforme descrito na TABELA IV 5 Caso a solução apresentada não esteja em conformidade com alguma destas diretrizes a nota será nula TABELAS QUESTÃO 01 TABELA I ANA CLARA SEVERO RIGHI ANDRE TEIXEIRA SCHMITZ ANGELO PADOIN DEL FABBRO x 2 0 4 2 a 3 4 4 2 x 1 2 4 0 a 4 0 1 3 x 0 1 3 3 a 3 3 0 1 ARIELLY BARROS DA COSTA AUGUSTO DE OLIVEIRA LIMA BIANCA DAVILA DA SILVA x 1 2 4 3 a 4 1 2 3 x 3 4 1 3 a 1 3 3 2 x 4 4 4 1 a 2 4 1 4 BRENDA GISELE DE SOUZA NUNES BRITNEY VITORIA DE SOUZA NUNES BRUNA PUNTEL x 3 3 2 4 a 3 3 4 4 x 0 1 0 1 a 1 3 4 2 x 1 2 0 1 a 2 4 0 4 CRISTIAN N DE AQUINO QUINTEIRO DANIELA MARTINS FLORES DIONATHAS SILVA DA CRUZ x 4 1 2 1 a 1 0 3 1 x 4 0 1 3 a 1 4 1 1 x 2 3 2 0 a 4 2 4 3 EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN ELIZ DRUSIAO ENZO LUIS CORAZZA x 1 4 4 4 a 3 3 4 3 x 3 3 1 3 a 1 4 3 4 x 0 2 3 0 a 4 2 3 4 GREISSY K KARSTEN DE AGUSTINHO INGRID SEVERO OTANHA ISADORA COELHO DE LIMA x 3 2 3 2 a 1 4 1 1 x 4 2 0 1 a 0 1 3 2 x 4 1 1 1 a 4 3 1 2 JENNIFER SOUZA VILARINO JONATHAN H DOS SANTOS DANTAS JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION x 3 4 1 2 a 1 1 3 2 x 4 2 1 3 a 2 4 4 4 x 1 2 4 3 a 4 3 2 1 JOSE VLAN DE CASTRO NETO JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO JULIA PALHANO VERARDO x 3 2 1 2 a 3 1 1 3 x 4 1 4 2 a 4 2 4 1 x 4 1 2 4 a 4 1 0 1 KAUESLER SCHUSTER KELLY APARECIDA WINK KHYARA V DE PAULA RODRIGUES x 3 4 3 4 a 3 2 3 2 x 4 4 1 0 a 3 4 4 2 x 1 1 0 3 a 3 4 4 3 LAURA BORCK WELTER LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR x 0 3 3 4 a 2 4 0 3 x 3 1 3 1 a 3 4 1 2 x 2 0 2 4 a 4 3 4 1 LUIZA HACKENHAAR HECK MARIA CLARA JULIANI SILVEIRA MARIA EDUARDA KLEIN MERLO x 2 2 2 2 a 1 0 1 4 x 3 0 2 1 a 1 2 2 1 x 3 4 4 0 a 1 2 3 3 MARIANA MANN DE SOUZA MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES MIGUEL BATISTA ALVES x 3 1 4 4 a 1 1 1 2 x 3 3 4 4 a 1 3 2 2 x 4 1 3 1 a 3 1 4 2 NATHALIA WALKER GALLI NICIVANIA DA CRUZ MENDES PAMELA VEZZOSI DE BARROS x 2 1 0 3 a 3 0 2 2 x 3 3 3 1 a 1 1 4 1 x 2 1 3 0 a 4 2 2 3 PEDRO SEVERO PRESTES RICARDO ZIMMERMANN MARTINS STEPHANY NATALY EHLE x 2 1 0 4 a 0 2 4 2 x 1 3 1 4 a 2 2 1 2 x 1 3 2 1 a 3 4 3 3 STHEFANY SABRINY DE MORAES THAISSA SOUZA CALVANO THIAGO ROGER ZAGO x 2 4 2 4 a 1 4 1 4 x 1 3 3 4 a 4 4 2 4 x 0 0 4 3 a 1 1 2 1 VINICIUS GONGO DE SOUZA VITORIA BORGES DA TRINDADE x 4 2 1 2 a 3 2 1 1 x 2 1 1 1 a 3 1 4 4 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA TABELAS QUESTÃO 02 TABELA II PARTE 0102 ANA CLARA SEVERO RIGHI André TEIXEIRA SCHMITZ ANGELO PADOIN DEL FABBRO u12322 v1346122 u152653 v1723741 u10130 v1323341 u211320 v2124743 u253001 v207361 u22026 v23030 u32151 v332131 u311303 v30650 u3121520 v33232532 ARIELLY BARROS DA COSTA AUGUSTO DE OLIVEIRA LIMA BIANCA DAVILA DA SILVA u152423 v113120 u160152 v130243 u16400 v1430412 u22220 v23632 u210433 v254143 u25213243 v2312736 u342120 v3052121 u354132 v3323122 u31011 v35311252 BRENDA GISELE DE SOUZA NUNES BRITNEY VITORIA DE SOUZA NUNES BRUNA PUNTEL u16351 v1232313 u1535331 v11223352 u11015 v11133 u230413 v222343 u20303 v255053 u2521360 v27232772 u3342012 v3273737 u321304 v321220 u31221 v3323332 CRISTIAN N DE AQUINO QUINTEIRO DANIELA MARTINS FLORES DIONATHAS SILVA DA CRUZ u11522 v15253643 u135332 v143321232 u101123 v15332032 u2033243 v221223 u235043 v2252352 u20323 v20332 u3321053 v3324143 u3370043 v3737401 u35373433 v3373773 EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN ELIZ DRUSIAO ENZO LUIS CORAZZA u11042 v13422 u13232 v174154 u1521522 v1534343 u252043 v23212354 u20553 v23025 u21250 v223660 u3132532 v301720 u3102353 v37225412 u30032 v352347253 GREISSY K KARSTEN DE AGUSTINHO INGRID SEVERO OTANHA ISADORA COELHO DE LIMA u100312 v1127417 u13110 v15231252 u104123 v153216 u243045 v223012 u214353 v2753174 u21453 v212253 u3134312 v3126423 u3253520 v332525472 u321310 v30200 JENNIFER SOUZA VILARINO JONATHAN H DOS SANTOS DANTAS JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION u100532 v1712453 u130332 v1520012 u12011 v153132 u20213 v201311 u2430320 v2513532 u2532310 v2014142 u331532 v30310 u301205 v3230223 u3534336 v3123352 JOSE VLAN DE CASTRO NETO JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO JULIA PALHANO VERARDO u130321 v156053 u1405223 v123111 u1632323 v111072 u2032132 v242143 u2533053 v2533052 u22010 v273113 u3132253 v32132 u31306 v322542 u343230 v36330 KAUSELER SCHUSTER KELLY APARECIDA WINK KHYARA V DE PAULA RODRIGUES u1524043 v132160 u12001 v17213774 u11152 v1513323 u21050 v233210 u2013522 v202230 u252100 v205323 u353110 v3732072 u353203 v331523 u345321 v3531473 LAURA BORCK WELTER LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR u1524321 v1054323 u132001 v11332 u152534 v156120 u2023253 v245231313 u223623 v2532332 u22502 v25321332 u306132 v3457753 u3132520 v33265213 u335360 v31464 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA TABELA II PARTE 0202 LUIZA HACKENHAAR HECK MARIA CLARA JULIANI SILVEIRA MARIA EDUARDA KLEIN MERLO u110430 v1213013 u110532 v1522323 u104252 v152120 u204315 v226131 u21203 v230137 u211023 v222743 u332161 v33040 u32123 v305461 u301053 v31304 MARIANA MANN DE SOUZA MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES MIGUEL BATISTA ALVES u12010 v172101 u10306 v1111312 u1552352 v1322302 u23410 v275621 u20115 v20115 u24540 v2434515 u34151 v33420 u32030 v323304 u313105 v35155 NATHALIA WALKER GALLI NICIVANIA DA CRUZ MENDES PAMELA VEZZOSI DE BARROS u121012 v1153531 u10531 v135261 u163223 v1720012 u2522143 v234312 u22411 v2230326 u22323153 v233252 u32200 v3212332 u31301 v3731112 u3023323 v3073373 PEDRO SEVERO PRESTES RICARDO ZIMMERMANN MARTINS STEPHANY NATALY EHLE u124012 v135235 u1012310 v17501 u121320 v115311 u22201 v204613 u20402 v2345223 u203222 v21300 u3233535 v35317 u3152432 v3341215 u31113 v332430 STHEFANY SABRINY DE MORAES THAISSA SOUZA CALVANO THIAGO ROGER ZAGO u1012043 v1112023 u1321223 v1322133 u113061 v112212 u24206 v24311 u243100 v224432 u215311 v27413252 u32323323 v354771 u335510 v33613 u3132023 v3353012 VINICIUS GONGO DE SOUZA VITORIA BORGES DA TRINDADE u10363 v13753 u101503 v1535322 u21111 v223115 u2015253 v2273132 u3241323 v332041 u353221 v35663 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA TABELAS QUESTÃO 03 TABELA III PARTE 0102 ANA CLARA SEVERO RIGHI ANDRE TEIXEIRA SCHMITZ ANGELO PADOIN DEL FABBRO r 0 3 1 r 1 1 3 r 1 0 1 x1 5 0 4 y1 2 5 5 x1 1 2 4 y1 5 3 2 x1 4 0 1 y1 5 5 2 x2 2 2 5 y2 0 4 4 x2 2 1 3 y2 0 5 0 x2 2 4 3 y2 2 1 3 x3 0 4 2 y3 4 1 3 x3 2 3 3 y3 1 2 4 x3 1 3 5 y3 5 0 3 ARIELLY BARROS DA COSTA AUGUSTO DE OLIVEIRA LIMA BIANCA DAVILA DA SILVA r 1 0 3 r 3 2 0 r 2 3 0 x1 3 0 3 y1 1 4 1 x1 2 1 4 y1 5 5 3 x1 5 5 4 y1 2 0 0 x2 4 5 1 y2 5 0 3 x2 1 3 5 y2 0 1 3 x2 1 2 3 y2 3 5 5 x3 2 2 3 y3 5 0 2 x3 5 3 3 y3 1 3 5 x3 3 3 3 y3 5 3 5 BRENDA GISELE DE SOUZA NUNES BRITNEY VITORIA DE SOUZA NUNES BRUNA PUNTEL r 3 1 2 r 1 2 3 r 1 2 0 x1 5 3 4 y1 1 0 3 x1 3 3 0 y1 5 4 3 x1 1 2 2 y1 5 4 5 x2 4 4 1 y2 5 2 0 x2 4 1 3 y2 1 1 1 x2 3 4 3 y2 0 1 4 x3 1 0 1 y3 5 1 0 x3 5 5 1 y3 4 2 4 x3 2 1 4 y3 3 3 5 CRISTIAN N DE AQUINO QUINTEIRO DANIELA MARTINS FLORES DIONATHAS SILVA DA CRUZ r 2 1 3 r 3 3 1 r 1 1 3 x1 5 0 5 y1 5 2 4 x1 4 4 1 y1 4 0 2 x1 4 3 3 y1 3 5 4 x2 2 5 0 y2 1 0 5 x2 4 4 1 y2 2 3 2 x2 5 3 1 y2 1 2 1 x3 2 2 2 y3 4 1 4 x3 5 2 1 y3 5 5 1 x3 4 3 5 y3 1 1 0 EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN ELIZ DRUSIAO ENZO LUIS CORAZZA r 3 0 3 r 2 1 2 r 3 3 0 x1 4 3 5 y1 3 2 5 x1 5 4 0 y1 2 4 4 x1 3 5 2 y1 4 3 3 x2 5 0 2 y2 3 4 2 x2 0 5 3 y2 0 4 4 x2 0 2 1 y2 5 1 2 x3 5 1 1 y3 4 4 5 x3 1 4 1 y3 4 2 1 x3 1 4 2 y3 4 5 5 GREISSY K KARSTEN DE AGUSTINHO INGRID SEVERO OTANHA ISADORA COELHO DE LIMA r 3 1 0 r 1 3 3 r 1 1 1 x1 3 4 3 y1 2 4 5 x1 4 5 3 y1 5 3 2 x1 2 2 3 y1 4 5 3 x2 0 1 3 y2 4 4 4 x2 0 2 4 y2 3 5 1 x2 5 1 1 y2 4 2 3 x3 4 2 2 y3 4 5 5 x3 1 3 3 y3 1 5 4 x3 4 2 4 y3 1 2 2 JENNIFER SOUZA VILARINO JONATHAN H DOS SANTOS DANTAS JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION r 1 2 3 r 1 2 3 r 3 3 2 x1 2 5 5 y1 4 3 2 x1 2 1 2 y1 5 3 2 x1 2 5 3 y1 5 1 4 x2 5 2 2 y2 4 1 2 x2 5 1 5 y2 3 1 3 x2 3 5 2 y2 0 1 4 x3 1 2 5 y3 5 5 5 x3 4 2 2 y3 5 1 5 x3 5 3 4 y3 5 4 4 JOSE VLAN DE CASTRO NETO JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO JULIA PALHANO VERARDO r 0 3 0 r 2 2 2 r 3 3 1 x1 5 2 5 y1 5 3 3 x1 5 1 1 y1 1 1 1 x1 2 4 3 y1 3 5 4 x2 4 3 0 y2 0 4 4 x2 4 2 0 y2 0 3 2 x2 1 4 1 y2 2 1 0 x3 4 0 2 y3 3 3 5 x3 2 2 3 y3 1 5 2 x3 3 2 1 y3 5 1 0 KAUESLER SCHUSTER KELLY APARECIDA WINK KHYARA V DE PAULA RODRIGUES r 1 1 2 r 2 1 1 r 3 3 3 x1 5 4 2 y1 3 3 1 x1 5 4 5 y1 5 3 3 x1 3 5 4 y1 5 4 1 x2 1 1 3 y2 3 5 4 x2 5 1 1 y2 0 3 4 x2 4 3 5 y2 3 4 0 x3 0 3 4 y3 2 4 5 x3 4 1 3 y3 3 1 2 x3 4 3 1 y3 1 4 2 LAURA BORCK WELTER LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR r 0 1 3 r 1 1 3 r 3 2 2 x1 5 3 1 y1 3 1 3 x1 5 2 3 y1 1 0 4 x1 3 2 1 y1 3 5 3 x2 1 3 3 y2 1 1 4 x2 3 5 3 y2 5 4 1 x2 5 2 4 y2 0 1 4 x3 2 2 1 y3 2 3 4 x3 0 2 4 y3 2 0 5 x3 2 2 2 y3 5 4 0 5 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA TABELA III PARTE 0202 LUIZA HACKENHAAR HECK MARIA CLARA JULIANI SILVEIRA MARIA EDUARDA KLEIN MERLO r 2 1 3 r 3 2 3 r 3 1 1 x1 4 3 4 y1 3 4 5 x1 3 0 3 y1 4 3 3 x1 1 2 4 y1 4 0 5 x2 1 1 5 y2 4 2 4 x2 3 3 5 y2 2 4 2 x2 1 3 3 y2 5 4 0 x3 5 5 1 y3 5 5 5 x3 3 5 2 y3 3 5 3 x3 4 4 2 y3 4 1 3 MARIANA MANN DE SOUZA MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES MIGUEL BATISTA ALVES r 1 1 3 r 0 3 3 r 3 2 1 x1 2 2 2 y1 4 5 5 x1 1 1 2 y1 5 4 4 x1 5 1 1 y1 4 3 4 x2 2 5 0 y2 2 5 3 x2 2 0 2 y2 3 3 5 x2 4 0 4 y2 2 5 3 x3 0 0 4 y3 5 0 3 x3 5 2 5 y3 2 1 1 x3 0 1 0 y3 0 5 3 NATHALIA WALKER GALLI NICIVANIA DA CRUZ MENDES PAMELA VEZZOSI DE BARROS r 3 1 2 r 1 2 2 r 1 2 2 x1 5 1 1 y1 1 1 3 x1 5 2 3 y1 4 4 2 x1 2 3 1 y1 3 3 2 x2 5 5 2 y2 1 5 0 x2 1 1 2 y2 1 5 0 x2 4 1 4 y2 4 2 4 x3 0 3 3 y3 1 4 3 x3 1 5 2 y3 3 1 0 x3 3 3 2 y3 1 1 2 PEDRO SEVERO PRESTES RICARDO ZIMMERMANN MARTINS STEPHANY NATALY EHLE r 2 0 3 r 3 2 1 r 3 0 2 x1 4 3 5 y1 2 4 4 x1 4 2 2 y1 2 2 1 x1 5 2 3 y1 5 0 2 x2 0 3 5 y2 2 1 5 x2 3 0 4 y2 0 3 1 x2 0 2 3 y2 1 1 2 x3 3 3 4 y3 1 5 1 x3 2 5 1 y3 2 5 2 x3 5 1 3 y3 2 2 5 STHEFANY SABRINY DE MORAES THAISSA SOUZA CALVANO THIAGO ROGER ZAGO r 3 3 1 r 3 3 1 r 2 1 3 x1 4 4 1 y1 1 0 3 x1 3 1 2 y1 4 5 4 x1 2 2 4 y1 3 1 4 x2 4 5 2 y2 2 3 2 x2 2 4 5 y2 5 1 1 x2 1 4 5 y2 3 2 1 x3 2 5 1 y3 2 3 4 x3 5 1 4 y3 4 5 1 x3 1 3 4 y3 2 4 1 VINICIUS GONGO DE SOUZA VITORIA BORGES DA TRINDADE r 0 1 3 r 3 1 2 x1 5 4 2 y1 5 2 2 x1 4 3 5 y1 5 1 5 x2 1 2 3 y2 4 4 1 x2 1 1 1 y2 4 4 1 x3 1 2 2 y3 5 4 5 x3 5 5 1 y3 2 2 2 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICA TABELAS NOMECLATURA DOS ARQUIVOS TABELA IV ANA CLARA SEVERO RIGHI ANDRE TEIXEIRA SCHMITZ ANGELO PADOIN DEL FABBRO UFSM0035ENGQUIAA02AL01ACSRpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL02ATSpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL03APFpdf ARIELLY BARROS DA COSTA AUGUSTO DE OLIVEIRA LIMA BIANCA DAVILA DA SILVA UFSM0035ENGQUIAA02AL04ABCpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL05AOLpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL06BDSpdf BRENDA GISELE DE SOUZA NUNES BRITNEY VITORIA DE SOUZA NUNES BRUNA PUNTEL UFSM0035ENGQUIAA02AL07BGSNpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL08BVSNpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL09BPpdf CRISTIAN NICOLLAS DE AQUINO QUINTEIRO DANIELA MARTINS FLORES DIONATHAS SILVA DA CRUZ UFSM0035ENGQUIAA02AL10CNAQpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL11DMFpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL12DSCpdf EDUARDA VITORIA GOETTERT THEISEN ELIZ DRUSIAO ENZO LUIS CORAZZA UFSM0035ENGQUIAA02AL13EVGTpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL14EDpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL15ELCpdf GREISSY KALLEY KARSTEN DE AGUSTINHO INGRID SEVERO OTANHA ISADORA COELHO DE LIMA UFSM0035ENGQUIAA02AL16GKKApdf UFSM0035ENGQUIAA02AL17ISOpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL18ICLpdf JENNIFER SOUZA VILARINO JONATHAN HENRIQUE DOS SANTOS DANTAS JORGE ARTHUR DA VEIGA MARION UFSM0035ENGQUIAA02AL19JSVpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL20JHSDpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL21JAVMpdf JOSE VLAN DE CASTRO NETO JOSUE ARTUR DA SILVA MACHADO JULIA PALHANO VERARDO UFSM0035ENGQUIAA02AL22JVCNpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL23JASMpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL24JPVpdf KAUESLER SCHUSTER KELLY APARECIDA WINK KHYARA VALENTINE DE PAULA RODRIGUES UFSM0035ENGQUIAA02AL25KSpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL26KAWpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL27KVPRpdf LAURA BORCK WELTER LUIZ ANTONIO CRUZ GONCALVES LUIZ OSMAR BOLZAN JUNIOR UFSM0035ENGQUIAA02AL28LBWpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL29LACGpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL30LOBJpdf LUIZA HACKENHAAR HECK MARIA CLARA JULIANI SILVEIRA MARIA EDUARDA KLEIN MERLO UFSM0035ENGQUIAA02AL31LHHpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL32MCJSpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL33MEKMpdf MARIANA MANN DE SOUZA MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES MIGUEL BATISTA ALVES UFSM0035ENGQUIAA02AL34MMSpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL35MJRpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL36MBApdf NATHALIA WALKER GALLI NICIVANIA DA CRUZ MENDES PAMELA VEZZOSI DE BARROS UFSM0035ENGQUIAA02AL37NWGpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL38NCMpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL39PVBpdf PEDRO SEVERO PRESTES RICARDO ZIMMERMANN MARTINS STEPHANY NATALY EHLE UFSM0035ENGQUIAA02AL40PSPpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL41RZMpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL42SNEpdf STHEFANY SABRINY DE MORAES THAISSA SOUZA CALVANO THIAGO ROGER ZAGO UFSM0035ENGQUIAA02AL43SSMpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL44TSCpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL45TRZpdf VINICIUS GONGO DE SOUZA VITORIA BORGES DA TRINDADE UFSM0035ENGQUIAA02AL46VGSpdf UFSM0035ENGQUIAA02AL47VBTpdf 7 Atividade Avaliativa 02 Disciplina UFSM0035 Aluna Nathalia Walker Galli x2103 u121012 v1153531 x1511 y1113 a3022 u2522143 v234312 x2552 y2150 r312 u32200 v3212332 x3033 y3143 1 Questões 1 Queremos obter um vetor Z z1 z2 z3 z4 cujas componentes são ortonormais entre si Além disso z1 tem a mesma direção e sentido de a I Primeiramente normalizamos o vetor a u13²0²2²2²904417 De modo que z1 será dado por z1 a a 3170217217 II Vamos projetar x em z1 projz1x x z1 z1 2317 10 0217 3217 3170217217 617 617 3170217217 0000 Sabendo que x já é ortogonal a z1 basta normalizálo Calculando primeiramente o módulo de x x2²1²0²3²410914 Obtemos z2 x x 2141140314 III Procuramos os vetores z z1 z2 z3 z4 tais que z z1 z2 z z1 317 z1 217 z3 217 z40 1 1 2 Queremos obter queremos a parte de z que está no plano gerado por u1 e u2 e também a parte que é ortogonal a esse plano I Vamos aplicar GramSchmidt para obter uma base ortonormal de spanu1 u2 u1 u1 u1 2 1 0 12 2 1 0 12 4 21 2 21 0 1 21 Agora vamos ortogonalizar u2 proju1 u2 52 4 21 2 2 21 1 21 43 4 21 2 21 0 1 21 76 321 4 21 2 21 0 1 21 7663 4 2 0 1 onde u2 u2 proju1 u2 u2 proju1 u2 52 2 1 43 7663 4 2 0 1 52 2 1 43 7663 4 2 0 1 146563 2663 1 863 146563 2663 1 863 II Desejamos saber se u3 spanu1 u2 Vamos montar o sistema αu1 βu2 u3 Componentes 2α 52 β 2 α 2β 1 1 β 0 β 0 α 1 Mas 12 α 43 β 12 2 u3 spanu1 u2 O conjunto u1 u2 u3 é linearmente independente e gera um subespaço de dimensão 3 Sabendo disso desejamos escrever z λ1u1 λ2u2 λ3u3 z λ1 2 1 0 12 λ2 52 2 1 43 λ3 2 1 0 2 z Resolvendo o sistema A λ z onde A u1 u2 u3 encontramos λ1 1 λ2 2 λ3 0 De modo que zR3 λ1u1 λ2u2 λ3u3 7 5 2 196 E a componente ortogonal é z z zR3 0 Assim z 1 u1 2 u2 0 u3 0 como esperado pois z R3 III Para que u1 u2 u3 u4 seja LI o vetor u4 a b c d spanu1 u2 u3 Ou seja o sistema αu1 βu2 γu3 u4 não deve admitir solução Multiplicando os vetores e organizando os termos obtemos o sistema 2α 52β 2γ a α 2β γ b β c 12α 43β 2γ d Da terceira equação temos β c Substituímos β c nas outras equações 2α 52c 2γ a 1 α 2c γ b 2 Resolvendo a segunda equação para α α b 2c γ z z2 214 z1 114 z2 314 z4 0 2 Resolvendo 1 z1 23 z3 z4 Substituindo em 2 214 23 z3 z4 114 z2 314 3z4 0 43 z3 z4 z2 3z4 0 z2 43 z3 133 z4 Assim o subespaço ortogonal é z 23 z3 z4 43 z3 133 z4 z3 z4 Ou seja podemos obter z tal que z z3 23 43 1 0 z4 23 133 0 1 Simplificando temos z z3 w1 z4 w2 onde w1 23 43 1 0 w2 23 133 0 1 IV Aplicando GramSchmidt Normalizando w1 w1 232 432 12 293 temos z3 ao normalizar w1 z3 w1 w1 329 23 43 1 0 229 429 329 0 Ortogonalizando w2 w2 z3 23 229 133 429 56 329 projz3 w2 5687 2 4 3 0 Obtemos z4 fazendo z4 w2 projz3 w2 w2 projz3 w2 23 133 0 1 5687 2 4 3 0 23 133 0 1 5687 2 4 3 0 5487 15387 16887 1 5487 15387 16887 1 Substituímos na primeira equação 2b2cgamma 52c 2gamma a 2b 4c 2gamma 52c 2gamma a 2b 32c a Portanto a 2b 32c A partir da última equação obtemos d 12alpha 43beta 2gamma d Substituímos beta c e alpha b 2c gamma 12b2cgamma 43c 2gamma d 12b c 12gamma 43c 2gamma d 12b c 43c 12 2 gamma d 12b 13c 32gamma d Obteremos um vetor linearmente independente se uma dada componente d do vetor u4 abcd não puder ser escrita em termos de uma combinação linear de todas as outras Logo não deve satisfazer d 12b 13c 32gamma IV Sabemos que os vetores u1 21012 u2 522143 u3 2102 são linearmente independentes e geram um subespaço R3 de dimensão 3 Queremos descobrir quais dos vetores v1 1 53 53 1 v2 3 43 1 2 v3 2 12 3 32 não pertencem ao subespaço R3 ou seja quais vetores não estão no span de u1 u2 u3 Para cada vetor vi verificamos se o sistema lambda1 u1 lambda2 u2 lambda3 u3 vi possui solução Se não possuir então vi R3 e pode ser adicionado à base Vamos fazer os cálculos para v1 Substituindo no sistema 2lambda1 52lambda2 2lambda3 1 lambda1 2lambda2 lambda3 53 lambda2 53 lambda2 53 12lambda1 43lambda2 2lambda3 1 Substituímos lambda2 53 nas equações restantes lambda1 2 53 lambda3 53 lambda1 103 lambda3 53 lambda1 lambda3 53 lambda1 53 lambda3 Agora substituímos na equação da quarta componente 1253 lambda3 43 53 2lambda3 1 56 12lambda3 209 2lambda3 1 56 209 12 2 lambda3 1 5518 32lambda3 1 Isso leva a uma contradição pois lambda3 seria um valor que não satisfaz a equação Logo o sistema não tem solução v1 spanu1 u2 u3 De forma análoga podese verificar que os vetores v2 e v3 também não satisfazem os sistemas lineares correspondentes Assim v2 spanu1 u2 u3 v3 spanu1 u2 u3 Logo todos os vetores v1 v2 e v3 podem ser usados para completar a base de R4 adicionandose a u1 u2 u3 forall i in 123 u1 u2 u3 vi é base de R4 V Para determinar a matriz de transição PX Y expressamos os vetores da base X x1 x2 x3 como combinações lineares dos vetores da base Y y1 y2 y3 3 I Para encontrar a matriz de transição da base X para a base Y usamos PXY Y 1 X onde X 5 5 0 1 5 3 1 2 3 Y 1 1 1 1 5 4 3 0 3 Calculando PXY 14 24 04 18667 08667 02 17333 17333 06 A matriz de transição inversa é PY X PXY 1 02889 07111 00444 04889 05111 01556 05778 05778 10889 II Coordenadas do vetor r nas bases X e Y Para determinar as coordenadas de r na base X resolvemos o sistema X rX r Ou seja rX X1 r Calculando rX 03556 02444 06222 Agora usando a matriz de transição PXY encontramos as coordenadas de r na base Y rY PXY rX 13333 10 06667 7