Lista de Retas e Planos

Cópia Digital MATRIZES VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA Reginaldo J Santos Departamento de MatemáticaICEx Universidade Federal de Minas Gerais httpsregijsgithubio Imprensa Universitária da UFMG Belo Horizonte Julho 2013 Cópia Digital Matrizes Vetores e Geometria Analítica Copyright 2023 by Reginaldo J Santos 20231015 Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização por escrito do autor Editor Coordenador de Revisão Supervisor de Produção Capa e Ilustrações Reginaldo J Santos ISBN 8574700142 Ficha Catalográfica Santos Reginaldo J S237m Matrizes Vetores e Geometria Analítica Reginaldo J Santos Belo Horizonte Imprensa Universitária da UFMG 2023 1 Geometria Analítica I Título CDD 5163 Cópia Digital SUMÁRIO APRESENTAÇÃO vii 1 MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 1 11 Matrizes 1 111 Operações com Matrizes 3 112 Propriedades da Álgebra Matricial 9 113 Aplicação Cadeias de Markov 14 Exercícios 17 Apêndice I Notação de Somatório 28 12 Sistemas de Equações Lineares 29 121 Método de GaussJordan 33 122 Matrizes Equivalentes por Linhas 44 123 Sistemas Lineares Homogêneos 47 124 Matrizes Elementares opcional 53 Exercícios 58 Apêndice II Unicidade da Forma Escalonada Reduzida 68 2 INVERSÃO DE MATRIZES E DETERMINANTES 72 21 Matriz Inversa 72 211 Propriedades da Inversa 74 Cópia Digital iv Sumário 212 Matrizes Elementares e Inversão opcional 77 213 Método para Inversão de Matrizes 81 214 Aplicação Interpolação Polinomial 90 215 Aplicação Criptografia 92 Exercícios 95 22 Determinantes 98 221 Propriedades do Determinante 104 222 Matrizes Elementares e o Determinante opcional 119 223 Matriz Adjunta e Inversão opcional 121 Exercícios 129 Apêndice III Demonstração do Teorema 211 134 3 VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO 139 31 Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar 141 Exercícios 163 32 Produtos de Vetores 168 321 Norma e Produto Escalar 168 322 Projeção Ortogonal 180 323 Produto Vetorial 183 324 Produto Misto 194 Exercícios 203 Apêndice IV Demonstração do item e do Teorema 35 210 4 RETAS E PLANOS 213 41 Equações de Retas e Planos 213 411 Equações do Plano 213 412 Equações da Reta 230 Exercícios 254 42 Ângulos e Distâncias 259 421 Ângulos 259 422 Distâncias 266 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Sumário v Exercícios 282 43 Posições Relativas de Retas e Planos 287 Exercícios 296 5 SEÇÕES CÔNICAS 298 51 Cônicas Não Degeneradas 298 511 Elipse 299 512 Hipérbole 307 513 Parábola 315 514 Caracterização das Cônicas 323 Exercícios 327 52 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas 332 521 Cônicas em Coordenadas Polares 339 522 Circunferência em Coordenadas Polares 346 523 Equações Paramétricas 349 Exercícios 362 6 SUPERFÍCIES E CURVAS NO ESPAÇO 373 61 Quádricas 373 611 Elipsoide 373 612 Hiperboloide 379 613 Paraboloide 390 614 Cone Elíptico 401 615 Cilindro Quádrico 404 Exercícios 413 62 Superfícies Cilíndricas Cônicas e de Revolução 414 621 Superfícies Cilíndricas 414 622 Superfícies Cônicas 422 623 Superfícies de Revolução 430 Exercícios 436 63 Coordenadas Cilíndricas Esféricas e Equações Paramétricas 438 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital vi Sumário 631 Coordenadas Cilíndricas 438 632 Coordenadas Esféricas 441 633 Equações Paramétricas de Superfícies 459 634 Equações Paramétricas de Curvas no Espaço 466 Exercícios 470 7 MUDANÇA DE COORDENADAS 472 71 Rotação e Translação 472 711 Rotação 478 712 Translação 479 Exercícios 481 72 Identificação de Cônicas 483 Exercícios 499 73 Identificação de Quádricas 502 Exercícios 517 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 529 BIBLIOGRAFIA 672 ÍNDICE ALFABÉTICO 674 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital APRESENTAÇÃO Esse texto cobre o material para um curso de Geometria Analítica usando Matrizes e Vetores ministrado para estudantes da área de Ciências Exatas O texto pode mas não é necessário ser acompanhado um programa como o MATLAB SciLab ou o Maxima O conteúdo é dividido em sete capítulos O Capítulo 1 trata das matrizes e sistemas lineares Aqui todas as propriedades da álgebra matricial são demonstradas A resolução de sistemas lineares é feita usando somente o método de GaussJordan transformando a matriz até que ela esteja na forma escalonada reduzida Este método requer mais trabalho do que o método de Gauss transformando a matriz apenas até que ela esteja na forma escalonada Ele foi o escolhido por que também é usado no estudo da inversão de matrizes no Capítulo 2 Neste Capítulo é também estudado o determinante que é definido usando cofatores As subseções 222 e 223 são independentes entre si As demonstrações dos resultados deste capítulo podem ser a critério do leitor feitas somente para matrizes 3 3 O Capítulo 3 trata de vetores no plano e no espaço Os vetores são definidos de forma geométrica assim como a soma e a multiplicação por escalar São provadas algumas propriedades geometricamente Depois são introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural sem a necessidade da definição de base Os produtos escalar e vetorial são definidos geometricamente O Capítulo 4 trata de retas e planos no espaço São estudados ângulos distâncias e posições relativas de retas e planos O Capítulo 5 traz um estudo das seções cônicas São também estudadas as coordenadas polares e para metrizações das cônicas As superfícies são estudadas no Capítulo 6 incluindo aí as quádricas superfícies MATLAB é marca registrada de The Mathworks Inc Cópia Digital viii Sumário cilíndricas cônicas e de revolução Neste Capítulo são também estudadas as coordenadas cilíndricas esféri cas e parametrização de superfícies e curvas no espaço O Capítulo 7 traz mudança de coordenadas rotação e translação Dada uma equação geral de 2o grau em duas ou três variáveis neste Capítulo através de mudanças de coordenadas é feita a identificação da cônica ou da quádrica correspondente a equação Os exercícios estão agrupados em três classes Os Exercícios Numéricos que contém exercícios que são resolvidos fazendo cálculos que podem ser realizados sem a ajuda de um computador ou de uma máquina de calcular Os Exercícios Teóricos que contém exercícios que requerem demonstrações Alguns são simples outros são mais complexos Os mais difíceis complementam a teoria e geralmente são acompanhados de suges tões Os Exercícios usando o MATLAB que contém exercícios para serem resolvidos usando o MATLAB ou outro software Os comandos necessários a resolução destes exercícios são também fornecidos juntamente com uma explicação rápida do uso Os exercícios numéricos são imprescindíveis enquanto a resolução dos outros depende do nível e dos objetivos pretendidos para o curso O MATLAB é um software destinado a fazer cálculos com matrizes MATLAB MATrix LABoratory Os comandos do MATLAB são muito próximos da forma como escrevemos expressões algébricas tornando mais simples o seu uso Podem ser incorporados às rotinas prédefinidas pacotes para cálculos específicos Um pacote chamado gaal com funções que são direcionadas para o estudo de Geometria Analítica e Álge bra Linear pode ser obtido através da internet no endereço httpwwwmatufmgbrregi assim como um texto com uma introdução ao MATLAB e instruções de como instalar o pacote gaal O MATLAB não é um software gratuito embora antes a versão estudante vinha grátis ao se comprar o guia do usuário Atualmente o SciLab é uma alternativa gratuita mas que não faz cálculo simbólico O Maxima é um programa de compu tação algébrica gratuito Ambos podem ser usados como ferramenta auxiliar na aprendizagem de Geometria Analítica e Álgebra Linear Na página do autor na web podem ser encontrados pacotes de funções para es tes programas além de links para as páginas do SciLab e do Maxima e várias páginas interativas que podem auxiliar na aprendizagem No fim de cada capítulo temos um Teste do Capítulo onde o aluno pode avaliar os seus conhecimentos Os Exercícios Numéricos e os Exercícios usando o MATLAB estão resolvidos após o último capítulo utili zando o MATLAB Desta forma o leitor que não estiver interessado em usar o software pode obter apenas as respostas dos exercícios enquanto aquele que tiver algum interesse pode ficar sabendo como os exercícios poderiam ser resolvidos fazendo uso do MATLAB e do pacote gaal Gostaria de agradecer aos professores que colaboraram apresentando correções críticas e sugestões entre Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Apresentação ix eles Joana Darc A S da Cruz Rinaldo Vieira da Silva Junior e Sérgio Guilherme de Assis Vasconcelos Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital x Apresentação Histórico Julho 2013 Algumas correções O Exercício 5112 sobre a propriedade refletora da parábola foi alterado Março 2012 Mudança na formatação do texto Algumas correções Várias figuras foram refeitas Foram acres centados o exercício 5212 sobre a propriedade refletora da elipse e o exercício 5213 sobre a propriedade refletora da hipérbole Março 2010 Foram acrescentados dois exercícios e dois itens em um exercício na Seção 52 e dois itens em um exercício na Seção 63 Foram escritas as respostas dos exercícios das Seções 52 e 63 Julho 2009 Algumas correções Várias figuras foram refeitas Março 2008 Algumas correções Foram acrescentados dois exercícios à Seção 43 As respostas de alguns exercícios foram reescritas Março 2007 Várias figuras foram refeitas e outras acrescentadas Foi acrescentado um item ao Teorema 213 na página 109 Foram reescritos o Exemplo 312 e o Corolário 310 Março 2006 Os Capítulos 1 e 2 foram reescritos Foi acrescentada uma aplicação às Cadeias de Markov Foram acrescentados vários exercícios aos Capítulos 3 e 4 O Capítulo 5 foi reescrito Foram escritas as respostas dos exercícios das Seções 43 e 61 Foram acrescentados exercícios numéricos às Seções 43 e 51 e exercícios teóricos às Seções 31 42 51 e 73 Julho 2004 Foi acrescentada uma aplicação à criptografia Exemplo 2 na página 92 Foi acrescentado um exercício na Seção 11 Foi incluída a demonstração de que toda matriz é equivalente por linhas a uma única matriz escalonada reduzida Este resultado era o Teorema 14 na página 26 que passou para o Apêndice II da Seção 12 O Teorema 14 agora contém as propriedades da relação ser equivalente por linhas com a demonstração No Capítulo 3 foram acrescentados 2 exercícios na seção 31 1 exercício na Seção 32 No Capítulo 4 a Seção 41 foi reescrita e foram acrescentados 2 exercícios Março 2002 Criado a partir do texto Geometria Analítica e Álgebra Linear para ser usado numa disciplina de Geometria Analítica Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Apresentação xi Sugestão de Cronograma Capítulo 1 Seções 11 e 12 8 aulas Capítulo 2 Seções 21 e 22 8 aulas Capítulo 3 Seções 31 e 32 8 aulas Capítulo 4 Seções 41 e 42 8 aulas Capítulo 5 Seções 51 e 52 8 aulas Capítulo 6 Seções 61 a 63 12 aulas Capítulo 7 Seções 71 a 73 12 aulas Total 64 aulas Julho 2013 Reginaldo J Santos 1 MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 11 Matrizes Uma matriz A m n m por n é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas A a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn A iésima linha de A é ai1 ai2 ain para i 1 m e a jésima coluna de A é a1j a2j amj para j 1 n Usamos também a notação A aijmn Dizemos que aij ou Aij é o elemento ou a entrada de posição i j da matriz A Se m n dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem n e os elementos a11 a22 ann formam a diagonal principal de A Exemplo 11 Considere as seguintes matrizes A 1 2 3 4 B 2 1 0 3 C 1 3 0 2 4 2 D 1 3 2 E 1 4 3 e F 3 As matrizes A e B são 2 2 A matriz C é 2 3 D é 1 3 E é 3 1 e F é 1 1 De acordo com a notação que introduzimos exemplos de elementos de algumas das matrizes dadas acima são a12 2 c23 2 e21 4 A22 4 D12 3 Uma matriz que só possui uma linha é chamada matriz linha e uma matriz que só possui uma coluna é chamada matriz coluna No Exemplo 11 a matriz D é uma matriz linha e a matriz E é uma matriz coluna Dizemos que duas matrizes são iguais se elas têm o mesmo tamanho e os elementos correspondentes são iguais ou seja A aijmn e B bijpq são iguais se m p n q e aij bij para i 1 m e j 1 n Vamos definir operações matriciais análogas às operações com números e provar propriedades que são válidas para essas operações Veremos mais tarde que um sistema de equações lineares pode ser escrito em termos de uma única equação matricial Vamos agora introduzir as operações matriciais 111 Operações com Matrizes Definição 11 A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A aijm imes n e B bijm imes n é definida como sendo a matriz m imes n C A B obtida somandose os elementos correspondentes de A e B ou seja cij aij bij para i 1m e j 1n Escrevemos também A Bij aij bij Exemplo 12 Considere as matrizes A left beginarrayrrr 1 2 3 3 4 0 endarray right quad B left beginarrayrrr 2 1 5 0 3 4 endarray right Julho 2013 Reginaldo J Santos Se chamamos de C a soma das duas matrizes A e B então C A B left beginarrayccc 1 2 2 1 3 5 3 0 4 3 0 4 endarray right left beginarrayrrr 1 3 2 3 7 4 endarray right Definição 12 A multiplicação de uma matriz A aijm imes n por um escalar número alpha é definida pela matriz m imes n B alpha A obtida multiplicandose cada elemento da matriz A pelo escalar alpha ou seja bij alpha aij para i 1m e j 1n Escrevemos também alpha Aij alpha aij Dizemos que a matriz B é um múltiplo escalar da matriz A Exemplo 13 O produto da matriz A left beginarrayrr 2 1 0 3 5 4 endarray right pelo escalar 3 é dado por 3 A left beginarrayrr 32 3 1 3 0 3 3 3 5 34 endarray right left beginarrayrr 6 3 0 9 15 12 endarray right Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 11 Matrizes 5 Definição 13 O produto de duas matrizes tais que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda A aijmp e B bijpn é definido pela matriz m n C AB obtida da seguinte forma cij ai1b1j ai2b2j aipbpj 11 para i 1 m e j 1 n Escrevemos também ABij ai1b1j ai2b2j aipbpj A equação 11 está dizendo que o elemento i j do produto é igual à soma dos pro dutos dos elementos da iésima linha de A pelos elementos correspondentes da j ésima coluna de B c11 c1n cij cm1 cmn a11 a12 a1p ai1 ai2 aip am1 am2 amp b11 b21 bp1 b1j b2j bpj b1n b2n bpn Julho 2013 Reginaldo J Santos A equação 11 pode ser escrita de forma compacta usando a notação de somatório ABij ai1b1j ai2b2j ldots aipbpj sumk1p aikbkj e dizemos somatório de k variando de 1 a p de aikbkj O símbolo sumk1p significa que estamos fazendo uma soma em que o índice k está variando de k 1 até k p Algumas propriedades da notação de somatório estão explicadas no Apêndice I na página 28 Exemplo 14 Considere as matrizes A left beginarrayrrr 1 2 3 3 4 0 endarray right quad B left beginarrayrrr 2 1 0 0 3 0 5 4 0 endarray right Se chamamos de C o produto das duas matrizes A e B então C AB left beginarrayccc 12 2 cdot 0 3 5 1cdot 1 2 cdot 3 3 4 0 3 2 4 cdot 0 0 cdot 5 3 cdot 1 4 cdot 3 0 4 0 endarray right left beginarrayrrr 17 19 0 6 15 0 endarray right Observação No exemplo anterior o produto BA não está definido por quê Entretanto mesmo quando ele está definido BA pode não ser igual a AB ou seja o produto de matrizes não é comutativo como mostra o exemplo seguinte Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Exemplo 15 Sejam A 1 2 3 4 e B 2 1 0 3 Então AB 2 7 6 15 e BA 1 0 9 12 Vamos ver no próximo exemplo como as matrizes podem ser usadas para descrever quantitativamente um processo de produção Exemplo 16 Uma indústria produz três produtos X Y e Z utilizando dois tipos de insumo A e B Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B para cada kg de Y 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e para cada kg de Z 1 grama de A e 4 gramas de B Usando matrizes podemos determinar quantos gramas dos insumos A e B são necessários na produção de x kg do produto X y kg do produto Y e z kg do produto Z X Y Z gramas de Akg 1 1 1 gramas de Bkg 2 1 4 A X x y z kg de X produzidos kg de Y produzidos kg de Z produzidos AX x y z 2x y 4z gramas de A usados gramas de B usados Julho 2013 Reginaldo J Santos Definição 14 A transposta de uma matriz A aijmn é definida pela matriz n m B At obtida trocandose as linhas com as colunas ou seja bij aji para i 1 n e j 1 m Escrevemos também Atij aji Exemplo 17 As transpostas das matrizes A 1 2 3 4 B 2 1 0 3 e C 1 3 0 2 4 2 são At 1 3 2 4 Bt 2 0 1 3 e Ct 1 2 3 4 0 2 A seguir mostraremos as propriedades que são válidas para a álgebra matricial Várias propriedades são semelhantes àquelas que são válidas para os números reais mas devese tomar cuidado com as diferenças Uma propriedade importante que é válida para os números reais mas não é válida para as matrizes é a comutatividade do produto como foi mostrado no Exemplo 15 Por ser compacta usaremos a notação de somatório na demonstração de várias propriedades Algumas propriedades desta notação estão explicadas no Apêndice I na página 28 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 11 Matrizes 9 112 Propriedades da Álgebra Matricial Teorema 11 Sejam A B e C matrizes com tamanhos apropriados α e β escalares São válidas as seguintes propriedades para as operações matriciais a comutatividade A B B A b associatividade A B C A B C c elemento neutro A matriz 0 m n definida por 0ij 0 para i 1 m j 1 n é tal que A 0 A para toda matriz A m n A matriz 0 é chamada matriz nula m n d elemento simétrico Para cada matriz A existe uma única matriz A definida por Aij aij tal que A A 0 e associatividade αβA αβA f distributividade α βA αA βA g distributividade αA B αA αB h associatividade ABC ABC Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 10 Matrizes e Sistemas Lineares i elemento neutro Para cada inteiro positivo p a matriz p p Ip 1 0 0 0 1 0 0 0 1 chamada matriz identidade é tal que A In ImA A para toda matriz A aijmn j distributividade AB C AB AC e B CA BA CA k αAB αAB AαB l Att A m A Bt At Bt n αAt α At o ABt BtAt Demonstração Para provar as igualdades acima devemos mostrar que os elemen tos da matriz do lado esquerdo são iguais aos elementos correspondentes da matriz do lado direito Serão usadas várias propriedades dos números sem citálas explici tamente a A Bij aij bij bij aij B Aij Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 11 Matrizes 11 b A B Cij aij B Cij aij bij cij aij bij cij A Bij cij A B Cij c Seja X uma matriz m n tal que A X A 12 para qualquer matriz A m n Comparando os elementos correspondentes temos que aij xij aij ou seja xij 0 para i 1 m e j 1 n Portanto a única matriz que satisfaz 12 é a matriz em que todos os seus elementos são iguais a zero De notamos a matriz X por 0 d Dada uma matriz A m n seja X uma matriz m n tal que A X 0 13 Comparando os elementos correspondentes temos que aij xij 0 ou seja xij aij para i 1 m e j 1 n Portanto a única matriz que satisfaz 13 é a matriz em que todos os seus elementos são iguais aos simétricos dos elementos de A Denotamos a matriz X por A e αβAij αβAij αβaij αβaij αβAij f α βAij α βaij αaij βaij αAij βAij αA βAij g αA Bij αA Bij αaij bij αaij αbij αAij αBij αA αBij h A demonstração deste item é a mais trabalhosa Sejam A B e C matrizes m p p q e q n respectivamente A notação de somatório aqui pode ser muito útil Julho 2013 Reginaldo J Santos pelo fato de ser compacta ABCij Σ k1 to p aikBCkj Σ k1 to p aikΣ l1 to q bkl clj Σ k1 to p Σ l1 to q aikbkl clj Σ k1 to p Σ l1 to q aik bkl clj Σ l1 to q Σ k1 to p aik bkl clj Σ l1 to q ABil clj ABCij i Podemos escrever a matriz identidade em termos do delta de Kronecker que é definido por δij 1 se ij 0 se ij como Inij δij Assim AInij Σ k1 to n aikInkj Σ k1 to n aik δkj aij A outra igualdade é análoga j AB Cij Σ k1 to p aikB Ckj Σ k1 to p aik bkj ckj Σ k1 to p aik bkj aik ckj Σ k1 to p aik bkj Σ k1 to p aik ckj ABij ACij AB ACij A outra igualdade é inteiramente análoga a anterior e deixamos como exercício k αABij α Σ k1 to p aik bkj Σ k1 to p α aik bkj α A Bij e αABij α Σ k1 to p aik bkj Σ k1 to p aik α bkj Aα Bij Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 l Atij Atji aij m A Btij A Bji aji bji Atij Btij n αAtij αAji αaji αAtij αAtij o ABtij ABji k1p ajkbki k1p AtkjBtik k1p BtikAtkj Bt Atij A diferença entre duas matrizes de mesmo tamanho A e B é definida por A B A B ou seja é a soma da matriz A com a simétrica da matriz B Sejam A uma matriz n n e p um inteiro positivo Definimos a potência p de A por Ap A A p vezes E para p 0 definimos A0 In Exemplo 18 Vamos verificar se para matrizes A e B quadradas vale a igualdade A BA B A2 B2 14 Usando a propriedade j do teorema anterior obtemos A BA B A BA A BB AA BA AB BB A2 BA AB B2 Assim A BA B A2 B2 se e somente se BA AB 0 ou seja se e somente se AB BA Como o produto de matrizes não é comutativo a conclusão é Julho 2013 Reginaldo J Santos que a igualdade 14 não vale para matrizes em geral Como contraexemplo basta tomarmos duas matrizes que não comutem entre si Sejam A 0 0 1 1 e B 1 0 1 0 Para estas matrizes A B 1 0 2 1 A B 1 0 0 1 A2 A 0 0 1 1 B2 B 1 0 1 0 Assim A BA B 1 0 2 1 1 0 0 1 A2 B2 113 Aplicação Cadeias de Markov Vamos supor que uma população é dividida em três estados por exemplo ricos classe média e pobres e que em cada unidade de tempo a probabilidade de mudança de um estado para outro seja constante no tempo só dependa dos estados Este processo é chamado cadeia de Markov Seja tij a probabilidade de mudança do estado j para o estado i em uma unidade de tempo geração Tome cuidado com a ordem dos índices A matriz T t11 t12 t13 t21 t22 t23 t31 t32 t33 é chamada matriz de transição A distribuição da população inicial entre os três estados pode ser descrita pela seguinte matriz P0 p1 p2 p3 está no estado 1 está no estado 2 está no estado 3 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 11 Matrizes 15 A matriz P0 caracteriza a distribuição inicial da população entre os três estados e é chamada vetor de estado Após uma unidade de tempo a população estará dividida entre os três estados da seguinte forma P1 t11p1 t12p2 t13p3 t21p1 t22p2 t23p3 t31p1 t32p2 t33p3 estará no estado 1 estará no estado 2 estará no estado 3 Lembrese que tij é a probabilidade de mudança do estado j para o estado i Assim o vetor de estado após uma unidade de tempo é dada pelo produto de matrizes P1 TP0 Exemplo 19 Vamos considerar a matriz de transição T 1 2 3 1 2 1 4 0 1 2 1 2 1 2 0 1 4 1 2 1 2 3 15 e o vetor de estados inicial P0 1 31 31 3 está no estado 1 está no estado 2 está no estado 3 16 que representa uma população dividida de forma que 13 da população está em cada estado Após uma unidade de tempo a matriz de estado será dada por P1 TP0 1 2 1 4 0 1 2 1 2 1 2 0 1 4 1 2 1 3 1 3 1 3 1 4 1 2 1 4 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 16 Matrizes e Sistemas Lineares Como estamos assumindo que em cada unidade de tempo a matriz de transição é a mesma então após k unidades de tempo a população estará dividida entre os três estados segundo a matriz de estado Pk TPk1 T2Pk2 TkP0 Assim a matriz Tk dá a transição entre k unidades de tempo Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Exercícios Numéricos respostas na página 529 111 Considere as seguintes matrizes A 2 0 6 7 B 0 4 2 8 C 6 9 7 7 3 2 D 6 4 0 1 1 4 6 0 6 E 6 9 9 1 0 4 6 0 1 Se for possível calcule a AB BA b 2C D c 2Dt 3Ett d D2 DE 112 Conhecendose somente os produtos AB e AC como podemos calcular AB C Bt At Ct At e ABAC 113 Considere as seguintes matrizes A 3 2 1 1 2 1 B 2 1 2 0 0 3 C 2 1 1 0 1 1 1 0 1 D d1 0 0 0 d2 0 0 0 d3 E1 1 0 0 E2 0 1 0 E3 0 0 1 Verifique que Julho 2013 Reginaldo J Santos a AB é diferente de BA b AEj é a jésima coluna de A para j123 e Eit B é a iésima linha de B para i123 o caso geral está no Exercício 1115 na página 22 c CDd1C1 d2C2 d3C3 em que C12 0 1t C21 1 0t e C31 1 1t são as colunas de C o caso geral está no Exercício 1116 a na página 23 d DCd1C1 d2C2 d3C3t em que C12 1 1 C20 1 1 e C31 0 1 são as linhas de C o caso geral está no Exercício 1116 b na página 23 e Escrevendo B em termos das suas colunas BB1 B2 em que B12 2 0t e B21 0 3t o produto AB pode ser escrito como ABAB1 B2AB1 AB2 o caso geral está no Exercício 1117 a na página 24 f escrevendo A em termos das suas linhas A13 2 1 e A21 2 1 o produto AB pode ser escrito como ABA1 A2t BA1 B A2 Bt o caso geral está no Exercício 1117 b na página 24 114 Sejam A1 3 0 0 4 2 e Xx y z Verifique que xA1 yA2 zA3 AX em que Aj é a jésima coluna de A para j123 o caso geral está no Exercício 1118 na página 25 115 Encontre um valor de x tal que ABt0 em que Ax 4 2 e B2 3 5 116 Mostre que as matrizes A1 1y y 1 em que y é um número real não nulo verificam a equação X22X 117 Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M0 1 1 0 então ABBA 118 a Determine todas as matrizes A 2x2 diagonais os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero que comutam com toda matriz B 2x2 ou seja tais que ABBA para toda matriz B 2x2 b Determine todas as matrizes A 2x2 que comutam com toda matriz B 2x2 ou seja tais que ABBA para toda matriz B 2x2 Exercícios usando o MATLAB Uma vez inicializado o MATLAB aparecerá na janela de comandos um prompt ou EDU O prompt significa que o MATLAB está esperando um comando Todo comando deve ser finalizado teclandose Enter Comandos que foram dados anteriormente podem ser obtidos novamente usando as teclas e Enquanto se estiver escrevendo um comando este pode ser corrigido usando as teclas Delete e Backspace O MATLAB faz diferença entre letras maiúsculas e minúsculas No MATLAB podese obter ajuda sobre qualquer comando ou função O comando help sem o prompt mostra uma listagem de todos os pacotes disponíveis Ajuda sobre um pacote específico ou sobre um comando ou função específica pode ser obtida com o comando help nome sem a vírgula e sem o prompt em que nome pode ser o nome de um pacote ou o nome de um comando ou função Além dos comandos e funções prédefinidas escrevemos um pacote chamado gaal com funções específicas para a aprendizagem de Geometria Analítica e Álgebra Linear Este pacote pode ser obtido gratuitamente através da internet no endereço httpwwwmatufmgbrregi assim como um texto com uma introdução ao MATLAB e instruções de como instalar o pacote gaal Depois deste pacote ser devidamente instalado o comando help gaal no prompt do MATLAB dá informações sobre este pacote Mais informações sobre as capacidades do MATLAB podem ser obtidas em 4 17 Vamos descrever aqui alguns comandos que podem ser usados para a manipulação de matrizes Outros comandos serão introduzidos a medida que forem necessários syms x y z diz ao MATLAB que as variáveis x y e z são simbólicas Aa11a12a1na21a22 amn cria uma matriz m por n usando os elementos a11 a12 amn e a armazena numa variável de nome A Por exemplo A123456 cria a matriz A1 2 3 4 5 6 Ieyen cria a matriz identidade n por n e a armazena numa variável I 0zerosn ou 0zerosmn cria a matriz nula n por n ou m por n respectivamente e a armazena numa variável 0 AB é a soma de A e B AB é a diferença A menos B AB é o produto de A por B numA é o produto do escalar num por A A é a transposta de A Ak é a potência A elevado a k Aj é a coluna j da matriz A Ai é a linha i da matriz A diagd1dn cria uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal são iguais aos elementos da matriz d1dn ou seja são d1 dn AsymA converte a matriz A numa matriz em que os elementos são armazenados no formato simbólico A função numeric faz o processo inverso solveexpr determina a solução da equação expr0 Por exemplo solvex24 determina as soluções da equação x240 Comando do pacote GAAL Arandin ou Arandimn cria uma matriz n por n ou m por n respectivamente com elementos inteiros aleatórios entre 5 e 5 119 Use o MATLAB para calcular alguns membros da sequência A A² Aᵏ para a A 1 12 0 13 b A 12 13 0 15 A sequência parece estar convergindo para alguma matriz Se estiver para qual 1110 Calcule as potências das matrizes dadas a seguir e encontre experimentalmente por tentativa o menor inteiro k 1 tal que use o comando AsymA depois de armazenar a matriz na variável A a Aᵏ I₃ em que A 0 0 1 1 0 0 0 1 0 b Aᵏ I₄ em que A 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 c Aᵏ 0 em que A 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1111 Vamos fazer um experimento no MATLAB para tentar ter uma idéia do quão comum é encontrar matrizes cujo produto comuta No prompt do MATLAB digite a seguinte linha c0 for n11000Arandi3Brandi3ifABBAcc1endendc não esqueça das vírgulas e pontos e vírgulas O que esta linha está mandando o MATLAB fazer é o seguinte Cópia Digital 22 Matrizes e Sistemas Lineares Criar um contador c e atribuir a ele o valor zero Atribuir às variáveis A e B 1000 matrizes 3 3 com entradas inteiras e aleatórias entre 5 e 5 Se ABBA ou seja A e B comutarem então o contador c é acrescido de 1 No final o valor existente na variável c é escrito Qual a conclusão que você tira do valor obtido na variável c 1112 Faça um experimento semelhante ao anterior mas para o caso em que cada uma das matrizes é diagonal isto é os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero Use a seta para cima para obter novamente a linha digitada e edite a linha no prompt do MATLAB de forma a obter algo semelhante à linha c0 for n11000Adiagrandi13Bdiagrandi13if Qual a conclusão que você tira do valor obtido na variável c 1113 Faça um experimento semelhante ao anterior mas para o caso em que uma das matrizes é diagonal Use a seta para cima para obter novamente a linha digitada e edite a linha no prompt do MATLAB de forma a obter a seguinte linha c0 for n11000Adiagrandi13Brandi3ifABBAcc1ABendendc Aqui são impressas as matrizes A e B quando elas comutarem Qual a conclusão que você tira deste experimento Qual a probabilidade de um tal par de matrizes comutarem 1114 Use o MATLAB para resolver os Exercícios Numéricos Exercícios Teóricos 1115 Sejam E1 1 0 0 0 E2 0 1 0 0 En 0 0 0 1 matrizes n 1 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 11 Matrizes 23 a Mostre que se A a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn é uma matriz m n então AEj é igual à coluna j da matriz A b Mostre que se B b11 b12 b1m b21 b22 b2m bn1 bn2 bnm é uma matriz n m então Et i B é igual à linha i da matriz B 1116 Seja D λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λn uma matriz diagonal n n isto é os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero Seja A a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 24 Matrizes e Sistemas Lineares a Mostre que o produto AD é obtido da matriz A multiplicandose cada coluna j por λj ou seja se A A1 A2 An em que Aj a1j anj é a coluna j de A então AD λ1A1 λ2A2 λnAn b Mostre que o produto DA é obtido da matriz A multiplicandose cada linha i por λi ou seja se A A1 A2 An em que Ai ai1 ain é a linha i de A então DA λ1A1 λ2A2 λnAn 1117 Sejam A e B matrizes m p e p n respectivamente a Mostre que a jésima coluna do produto AB é igual ao produto ABj em que Bj b1j bpj é a jésima coluna de B ou seja se B B1 Bn então AB A B1 Bn AB1 ABn b Mostre que a iésima linha do produto AB é igual ao produto AiB em que Ai ai1 aip é a Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 11 Matrizes 25 iésima linha de A ou seja se A A1 A2 Am então AB A1 A2 Am B A1B A2B AmB 1118 Seja A uma matriz m n e X x1 xn uma matriz n 1 Prove que AX n j1 xjAj em que Aj é a jésima coluna de A Sugestão Desenvolva o lado direito e che gue ao lado esquerdo 1119 a Mostre que se A é uma matriz m n tal que AX 0 para toda matriz X n 1 então A 0 Sugestão use o Exercício 15 na página 22 b Sejam B e C matrizes m n tais BX CX para todo X n 1 Mostre que B C Sugestão use o item anterior 1120 Mostre que a matriz identidade In é a única matriz tal que A In InA A para qualquer matriz A n n Sugestão Seja Jn uma matriz tal que A Jn Jn A A Mostre que Jn In 1121 Se AB BA e p é um inteiro positivo mostre que ABp ApBp 1122 Sejam A B e C matrizes n n a A B2 A2 2AB B2 E se AB BA Justifique Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 26 Matrizes e Sistemas Lineares b ABC CAB E se AC CA e BC CB Justifique Sugestão Veja o Exemplo 18 na página 13 1123 a Se A e B são duas matrizes tais que AB 0 então A 0 ou B 0 Justifique b Se AB 0 então BA 0 Justifique c Se A é uma matriz tal que A2 0 então A 0 Justifique 1124 Dizemos que uma matriz A n n é simétrica se At A e é antisimétrica se At A a Mostre que se A é simétrica então aij aji para i j 1 n e que se A é antisimétrica então aij aji para i j 1 n Portanto os elementos da diagonal principal de uma matriz anti simétrica são iguais a zero b Mostre que se A e B são simétricas então A B e αA são simétricas para todo escalar α c Mostre que se A e B são simétricas então AB é simétrica se e somente se AB BA d Mostre que se A e B são antisimétricas então A B e αA são antisimétricas para todo escalar α e Mostre que para toda matriz A n n A At é simétrica e A At é antisimétrica f Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma antisimétrica Sugestão Observe o resultado da soma de A At com A At 1125 Para matrizes quadradas A aijnn definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal principal de A ou seja trA n i1 aii a Mostre que trA B trA trB b Mostre que trαA αtrA c Mostre que trAt trA d Mostre que trAB trBA Sugestão Prove inicialmente para matrizes 2 2 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 11 Matrizes 27 1126 Seja A uma matriz n n Mostre que se AAt 0 então A 0 Sugestão use o traço E se a matriz A for m n com m n 1127 Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo Entretanto certos conjuntos de matrizes são comutativos Mostre que a Se D1 e D2 são matrizes diagonais n n então D1D2 D2D1 b Se A é uma matriz n n e B a0In a1A a2A2 akAk em que a0 ak são escalares então AB BA Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 28 Matrizes e Sistemas Lineares Apêndice I Notação de Somatório São válidas algumas propriedades para a notação de somatório a O índice do somatório é uma variável muda que pode ser substituída por qual quer letra n i1 fi n j1 fj b O somatório de uma soma pode ser escrito como uma soma de dois somatórios n i1 fi gi n i1 fi n i1 gi Pois n i1 fi gi f1 g1 fn gn f1 fn g1 gn n i1 fi n i1 gi Aqui foram aplicadas as propriedades associativa e comutativa da soma de números c Se no termo geral do somatório aparece um produto em que um fator não de pende do índice do somatório então este fator pode sair do somatório n i1 fi gk gk n i1 fi Pois n i1 fi gk f1gk fngk gk f1 fn gk n i1 fi Aqui foram apli cadas as propriedades distributiva e comutativa do produto em relação a soma de números Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 29 d Num somatório duplo a ordem dos somatórios pode ser trocada n i1 m j1 fij m j1 n i1 fij Pois n i1 m j1 fij n i1 fi1 fim f11 f1m fn1 fnm f11 fn1 f1m fnm m j1 f1j fnj m j1 n i1 fij Aqui foram aplicadas as propriedades comutativa e associativa da soma de números 12 Sistemas de Equações Lineares Muitos problemas em várias áreas da Ciência recaem na solução de sistemas lineares Vamos ver como a álgebra matricial pode simplificar o estudo dos sistemas lineares Uma equação linear em n variáveis x1 x2 xn é uma equação da forma a1x1 a2x2 anxn b em que a1 a2 an e b são constantes reais Um sistema de equações lineares ou simplesmente sistema linear é um conjunto de equações lineares ou seja é um conjunto de equações da forma a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm Julho 2013 Reginaldo J Santos em que aᵢⱼ e bₖ são constantes reais para ik 1m e j 1n Usando o produto de matrizes que definimos na seção anterior o sistema linear acima pode ser escrito como uma equação matricial A X B em que A a₁₁ a₁₂ a₁ₙ a₂₁ a₂₂ a₂ₙ aₘ₁ aₘ₂ aₘₙ X x₁ x₂ xₙ e B b₁ b₂ bₘ Uma solução de um sistema linear é uma matriz S s₁ s₂ sₙ tal que as equações do sistema são satisfeitas quando substituímos x₁ s₁ x₂ s₂ xₙ sₙ O conjunto de todas as soluções do sistema é chamado conjunto solução ou solução geral do sistema A matriz A é chamada matriz do sistema linear Exemplo 110 O sistema linear de duas equações e duas incógnitas x 2y 1 2x y 0 pode ser escrito como 1 2 2 1 x y 1 0 A solução geral do sistema acima é x 13 e y 23 verifique ou X 13 23 Uma forma de resolver um sistema linear é substituir o sistema inicial por outro que tenha o mesmo conjunto solução do primeiro mas que seja mais fácil de resolver O outro sistema é obtido depois de aplicar sucessivamente uma série de operações que não alteram a solução do sistema sobre as equações As operações que são usadas são Trocar a posição de duas equações do sistema Multiplicar uma equação por um escalar diferente de zero Somar a uma equação outra equação multiplicada por um escalar Estas operações são chamadas de operações elementares Quando aplicamos operações elementares sobre as equações de um sistema linear somente os coeficientes do sistema são alterados assim podemos aplicar as operações sobre a matriz de coeficientes do sistema que chamamos de matriz aumentada ou seja a matriz A B a₁₁ a₁₂ a₁ₙ b₁ a₂₁ a₂₂ a₂ₙ b₂ aₘ₁ aₘ₂ aₘₙ bₘ Cópia Digital 32 Matrizes e Sistemas Lineares Definição 15 Uma operação elementar sobre as linhas de uma matriz é uma das seguintes operações a Trocar a posição de duas linhas da matriz b Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero c Somar a uma linha da matriz um múltiplo escalar de outra linha O próximo teorema garante que ao aplicarmos operações elementares às equações de um sistema o conjunto solução não é alterado Teorema 12 Se dois sistemas lineares AX B e CX D são tais que a matriz aumentada C D é obtida de A B aplicandose uma operação elementar então os dois sistemas possuem as mesmas soluções Demonstração A demonstração deste teorema seguese de duas observações a Se X é solução de um sistema então X também é solução do sistema obtido aplicandose uma operação elementar sobre suas equações verifique Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 33 b Se o sistema CX D é obtido de AX B aplicandose uma operação elemen tar às suas equações ou equivalentemente às linhas da sua matriz aumentada então o sistema AX B também pode ser obtido de CX D aplicandose uma operação elementar às suas equações pois cada operação elementar pos sui uma operação elementar inversa do mesmo tipo que desfaz o que a anterior fez verifique Pela observação b AX B e CX D podem ser obtidos um do outro aplicando se uma operação elementar sobre as suas equações E pela observação a os dois possuem as mesmas soluções Dois sistemas que possuem o mesmo conjunto solução são chamados sistemas equi valentes Portanto seguese do Teorema 12 que aplicandose operações elementares às equações de um sistema linear obtemos sistemas equivalentes 121 Método de GaussJordan O método que vamos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplicação de operações elementares às linhas da matriz aumentada do sistema até que obtenha mos uma matriz numa forma em que o sistema associado a esta matriz seja de fácil resolução Vamos procurar obter uma matriz numa forma em que todas as linhas não nulas possuam como primeiro elemento não nulo chamado pivô o número 1 Além disso se uma coluna contém um pivô então todos os seus outros elementos terão que ser iguais a zero Vamos ver no exemplo seguinte como conseguimos isso Neste exemplo veremos como a partir do faturamento e do gasto com insumos podemos determinar quanto foi produzido de cada produto manufaturado em uma indústria Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 34 Matrizes e Sistemas Lineares Exemplo 111 Uma indústria produz três produtos X Y e Z utilizando dois tipos de insumo A e B Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B para cada kg de Y 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e para cada kg de Z 1 grama de A e 4 gramas de B O preço de venda do kg de cada um dos produtos X Y e Z é R 200 R 300 e R 500 respectivamente Com a venda de toda a produção de X Y e Z manufaturada com 1 kg de A e 2 kg de B essa indústria arrecadou R 250000 Vamos determinar quantos kg de cada um dos produtos X Y e Z foram vendidos Como vimos no Exemplo 16 na página 7 usando matrizes o esquema de produção pode ser descrito da seguinte forma X Y Z gramas de Akg gramas de Bkg preçokg 1 1 1 2 1 4 2 3 5 A X x y z kg de X produzidos kg de Y produzidos kg de Z produzidos AX x y z 2x y 4z 2x 3y 5z 1000 2000 2500 gramas de A usados gramas de B usados arrecadação Assim precisamos resolver o sistema linear x y z 1000 2x y 4z 2000 2x 3y 5z 2500 cuja matriz aumentada é 1 1 1 1000 2 1 4 2000 2 3 5 2500 1a eliminação Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 35 Vamos procurar para pivô da 1a linha um elemento não nulo da primeira coluna não nula se for o caso podemos usar a troca de linhas para trazêlo para a primeira linha Como o primeiro elemento da primeira coluna é igual a 1 ele será o primeiro pivô Agora precisamos zerar os outros elementos da 1a coluna que é a coluna do pivô para isto adicionamos à 2a linha 2 vezes a 1a linha e adicionamos à 3a linha também 2 vezes a 1a linha 21a linha 2a linha 2a linha 21a linha 3a linha 3a linha 1 1 1 1000 0 1 2 0 0 1 3 500 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 36 Matrizes e Sistemas Lineares 2a eliminação Olhamos para a submatriz obtida eliminandose a 1a linha Escolhemos para pivô um elemento diferente de zero na 1a coluna não nula desta submatriz Vamos esco lher o elemento de posição 22 Como temos que fazer o pivô igual a um vamos multiplicar a 2a linha por 1 12a linha 2a linha 1 1 1 1000 0 1 2 0 0 1 3 500 Agora precisamos zerar os outros elementos da 2a coluna que é a coluna do pivô para isto somamos à 1a linha 1 vezes a 2a e somamos à 3a linha também 1 vezes a 2a 12a linha 1a linha 1a linha 12a linha 3a linha 3a linha 1 0 3 1000 0 1 2 0 0 0 5 500 3a eliminação Olhamos para a submatriz obtida eliminandose a 1a e a 2a linha Escolhemos para pivô um elemento diferente de zero na 1a coluna não nula desta submatriz Temos de escolher o elemento de posição 33 e como temos de fazer o pivô igual a 1 vamos multiplicar a 3a linha por 15 1 53a linha 3a linha 1 0 3 1000 0 1 2 0 0 0 1 100 Agora precisamos zerar os outros elementos da 3a coluna que é a coluna do pivô para isto somamos à 1a linha 3 vezes a 3a e somamos à 2a linha 2 vezes a 2a 33a linha 1a linha 1a linha 23a linha 2a linha 2a linha 1 0 0 700 0 1 0 200 0 0 1 100 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 37 Portanto o sistema dado é equivalente ao sistema x 700 y 200 z 100 que possui solução geral dada por X x y z 700 200 100 Portanto foram vendidos 700 kg do produto X 200 kg do produto Y e 100 kg do produto Z A última matriz que obtivemos no exemplo anterior está na forma que chamamos de escalonada reduzida Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 38 Matrizes e Sistemas Lineares Definição 16 Uma matriz A aijmn está na forma escalonada reduzida quando satisfaz as seguintes condições a Todas as linhas nulas formadas inteiramente por zeros ocorrem abaixo das linhas não nulas b O pivô 1o elemento não nulo de uma linha de cada linha não nula é igual a 1 c O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha anterior d Se uma coluna contém um pivô então todos os seus outros elementos são iguais a zero Se uma matriz satisfaz as propriedades a e c mas não necessariamente b e d dizemos que ela está na forma escalonada Exemplo 112 As matrizes 1 0 0 0 1 0 0 0 1 e 1 3 0 2 0 0 1 3 0 0 0 0 são escalonadas reduzidas enquanto 1 1 1 0 1 2 0 0 5 e 1 3 1 5 0 0 5 15 0 0 0 0 são escalonadas mas não são escalonadas reduzidas Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 39 Este método de resolução de sistemas que consiste em aplicar operações elemen tares às linhas da matriz aumentada até que a matriz do sistema esteja na forma escalonada reduzida é conhecido como método de GaussJordan Exemplo 113 Considere o seguinte sistema x 3y 13z 9 y 5z 2 2y 10z 8 A sua matriz aumentada é 1 3 13 9 0 1 5 2 0 2 10 8 1a eliminação Como o pivô da 1a linha é igual a 1 e os outros elementos da 1a coluna são iguais a zero não há nada o que fazer na 1a eliminação 1 3 13 9 0 1 5 2 0 2 10 8 2a eliminação Olhamos para submatriz obtida eliminandose a 1a linha Escolhemos para pivô um elemento não nulo da 1a coluna não nula da submatriz Escolhemos o elemento de posição 22 Como ele é igual a 1 precisamos agora zerar os outros elementos da coluna do pivô Para isto somamos à 1a linha 3 vezes a 2a e somamos à 3a linha 2 vezes a 2a Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 40 Matrizes e Sistemas Lineares 32a linha 1a linha 1a linha 22a linha 3a linha 3a linha 1 0 2 3 0 1 5 2 0 0 0 4 Portanto o sistema dado é equivalente ao sistema x 2z 3 y 5z 2 0 4 que não possui solução Em geral um sistema linear não tem solução se e somente se a última linha não nula da forma escalonada reduzida da sua matriz aumentada for da forma 0 0 b m com b m 0 Exemplo 114 Considere o seguinte sistema 3z 9w 6 5x 15y 10z 40w 45 x 3y z 5w 7 A sua matriz aumentada é 0 0 3 9 6 5 15 10 40 45 1 3 1 5 7 1a eliminação Como temos que fazer o pivô igual a um escolhemos para pivô o elemento de Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 41 posição 31 Precisamos colocálo na primeira linha para isto trocamos a 3a linha com a 1a 1a linha 3a linha 1 3 1 5 7 5 15 10 40 45 0 0 3 9 6 Agora precisamos zerar os outros elementos da 1a coluna que é a coluna do pivô para isto adicionamos à 2a linha 5 vezes a 1a 51a linha 2a linha 2a linha 1 3 1 5 7 0 0 5 15 10 0 0 3 9 6 2a eliminação Olhamos para a submatriz obtida eliminandose a 1a linha Escolhemos para pivô um elemento diferente de zero na 1a coluna não nula desta submatriz Escolhemos o elemento de posição 23 Como temos que fazer o pivô igual a 1 multiplicamos a 2a linha por 15 152a linha 2a linha 1 3 1 5 7 0 0 1 3 2 0 0 3 9 6 Agora precisamos zerar os outros elementos da 2a coluna que é a coluna do pivô para isto adicionamos à 1a linha a 2a e à 3a linha 3 vezes a 2a 2a linha 1a linha 1a linha 32a linha 3a linha 3a linha 1 3 0 2 5 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 Esta matriz é escalonada reduzida Portanto o sistema dado é equivalente ao sistema seguinte Julho 2013 Reginaldo J Santos 1ª eliminação 2 1ª linha 2ª linha 12 1ª linha 2ª linha 2ª linha 2ª eliminação 4 2ª linha 2ª linha 12 2ª linha 1ª linha 1ª linha 14 2ª linha 3ª linha 3ª linha Portanto o sistema dado é equivalente ao sistema seguinte x z 0 y 2z 0 Seja z α Então y 2α e x α Assim a solução geral do sistema é X x y z α 1 2 1 para todo α ℝ Tomando a solução tal que x y z 1 obtemos que se a população inicial for distribuída de forma que p1 14 da população esteja no estado 1 p2 12 da população esteja no estado 2 e p3 14 esteja no estado 3 então esta distribuição permanecerá constante geração após geração Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 43 mais simples possível Um outro método de resolver sistemas lineares consiste em através da aplicação de operações elementares à matriz aumentada do sistema se chegar a uma matriz que é somente escalonada isto é uma matriz que satisfaz as condições a e c mas não necessariamente b e d da Definição 16 Este método é conhecido como método de Gauss O próximo resultado mostra que um sistema linear que tenha mais de uma solução não pode ter um número finito de soluções Proposição 13 Sejam A uma matriz m n e B uma matriz m 1 Se o sistema linear A X B possui duas soluções distintas X0 X1 então ele tem infinitas soluções Demonstração Seja Xλ 1 λX0 λX1 para λ R Vamos mostrar que Xλ é solução do sistema A X B para qualquer λ R Para isto vamos mostrar que A Xλ B Aplicando as propriedades i j das operações matriciais Teorema 11 na página 9 obtemos A Xλ A1 λX0 λX1 A1 λX0 AλX1 1 λA X0 λA X1 Como X0 e X1 são soluções de A X B então A X0 B e A X1 B portanto A Xλ 1 λB λB 1 λ λB B Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 44 Matrizes e Sistemas Lineares pela propriedade f do Teorema 11 Assim o sistema A X B tem infinitas soluções pois para todo valor de λ R Xλ é solução e Xλ Xλ λ λX1 X0 ou seja Xλ Xλ para λ λ Observe que na demonstração para λ 0 então Xλ X0 para λ 1 então Xλ X1 para λ 12 então Xλ 1 2X0 1 2X1 para λ 3 então Xλ 2X0 3X1 e para λ 2 então Xλ 3X0 2X1 No Exemplo 34 na página 160 temos uma interpretação geométrica desta demonstração Para resolver sistemas lineares vimos aplicando operações elementares à matriz au mentada do sistema linear Isto pode ser feito com quaisquer matrizes 122 Matrizes Equivalentes por Linhas Definição 17 Uma matriz A aijmn é equivalente por linhas a uma matriz B bijmn se B pode ser obtida de A aplicandose uma sequencia de operações elementares sobre as suas linhas Exemplo 115 Observando os Exemplos 111 114 e 113 vemos que as matrizes 1 1 1 2 1 4 2 3 5 0 0 3 9 5 15 10 40 1 3 1 5 1 3 13 0 1 5 0 2 10 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 45 são equivalentes por linhas às matrizes 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 0 2 0 0 1 3 0 0 0 0 1 0 2 0 1 5 0 0 0 respectivamente Matrizes estas que são escalonadas reduzidas Cuidado elas são equivalentes por linhas não são iguais Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 46 Matrizes e Sistemas Lineares A relação ser equivalente por linhas satisfaz as seguintes propriedades cuja veri ficação deixamos como exercício para o leitor Toda matriz é equivalente por linhas a ela mesma reflexividade Se A é equivalente por linhas a B então B é equivalente por linhas a A sime tria Se A é equivalente por linhas a B e B é equivalente por linhas a C então A é equivalente por linhas a C transitividade Toda matriz é equivalente por linhas a uma matriz na forma escalonada reduzida e a demonstração que omitiremos pode ser feita da mesma maneira que fizemos no caso particular das matrizes aumentadas dos Exemplos 111 114 e 113 No Teorema 110 na página 69 mostramos que essa matriz escalonada reduzida é a única matriz na forma escalonada reduzida equivalente a A Teorema 14 Toda matriz A aijmn é equivalente por linhas a uma única matriz escalonada reduzida R rijmn O próximo resultado será usado para provar alguns resultados no capítulo de inver são de matrizes Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 47 Proposição 15 Seja R uma matriz n n na forma escalonada reduzida Se R In então R tem uma linha nula Demonstração Observe que o pivô de uma linha i está sempre numa coluna j com j i Portanto ou a última linha de R é nula ou o pivô da linha n está na posição n n Mas neste caso todas as linhas anteriores são não nulas e os pivôs de cada linha i está na coluna i ou seja R In 123 Sistemas Lineares Homogêneos Um sistema linear da forma a11x1 a12x2 a1nxn 0 a21x1 a22x2 a2nxn 0 am1x1 am2x2 amnxn 0 17 é chamado sistema homogêneo O sistema acima pode ser escrito como A X 0 Todo sistema homogêneo admite pelo menos a solução X x1 x2 xn 0 0 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 48 Matrizes e Sistemas Lineares chamada de solução trivial Portanto todo sistema homogêneo tem solução Além disso ou tem somente a solução trivial ou tem infinitas soluções Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 49 Observação Para resolver um sistema linear homogêneo A X 0 basta escalonarmos a matriz A do sistema já que sob a ação de uma operação elementar a coluna de zeros não é alterada Mas é preciso ficar atento quando se escreve o sistema linear associado à matriz resultante das operações elementares para se levar em consideração esta coluna de zeros que não vimos escrevendo Teorema 16 Se a matriz A aijmn é tal que m n então o sistema homogêneo AX 0 tem solução diferente da solução trivial ou seja todo sistema homogêneo com menos equações do que incógnitas tem infinitas soluções Demonstração Como o sistema tem menos equações do que incógnitas m n o número de linhas não nulas r da forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema também é tal que r n Assim temos r pivôs e n r variáveis incógnitas livres que podem assumir todos os valores reais Logo o sistema admite solução não trivial e portanto infinitas soluções O conjunto solução de um sistema linear homogêneo satisfaz duas propriedades interessantes Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 50 Matrizes e Sistemas Lineares Proposição 17 Seja A uma matriz n n O sistema linear homogêneo AX 0 satisfaz as seguintes propriedades a Se X e Y são soluções do sistema homogêneo AX 0 então X Y também o é b Se X é solução do sistema homogêneo AX 0 então αX também o é Demonstração a Se X e Y são soluções do sistema homogêneo AX 0 então AX 0 e AY 0 e portanto X Y também é solução pois AX Y AX AY 0 0 0 b Se X é solução do sistema homogêneo AX 0 então αX também o é pois AαX αAX α0 0 Estas propriedades não são válidas para sistemas lineares em geral Por exemplo considere o sistema linear A X B em que A 1 e B 1 A solução deste sistema é X 1 Mas X X 2 X 2 não é solução do sistema Exemplo 116 Vamos retomar a cadeia de Markov do Exemplo 19 na página 15 Vamos supor que uma população é dividida em três estados por exemplo ricos classe média e pobres e que em cada unidade de tempo a probabilidade de mudança de um estado para outro seja constante no tempo só dependa dos estados Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 51 Seja tij a probabilidade de mudança do estado j para o estado i em uma unidade de tempo geração A matriz de transição é dada por T 1 2 3 t11 t12 t13 t21 t22 t23 t31 t32 t33 1 2 3 Vamos considerar a matriz de transição T 1 2 3 1 2 1 4 0 1 2 1 2 1 2 0 1 4 1 2 1 2 3 Vamos descobrir qual distribuição inicial da população entre os três estados perma nece inalterada geração após geração Ou seja vamos determinar P tal que TP P ou TP I3P ou T I3P 0 Assim precisamos resolver o sistema linear homogêneo 1 2x 1 4y 0 1 2x 1 2y 1 2z 0 1 4y 1 2z 0 cuja matriz aumentada é 1 2 1 4 0 0 1 2 1 2 1 2 0 0 1 4 1 2 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos x 3y 2w 5 z 3w 2 A matriz deste sistema possui duas colunas sem pivôs As variáveis que não estão associadas a pivôs podem ser consideradas variáveis livres isto é podem assumir valores arbitrários Neste exemplo as variáveis y e w não estão associadas a pivôs e podem ser consideradas variáveis livres Sejam w α e y β As variáveis associadas aos pivôs terão os seus valores dependentes das variáveis livres z 2 3α x 5 2α 3β Assim a solução geral do sistema é X x y z w 5 2α 3β β 2 3α α para todos os valores de α e β reais Em geral se o sistema linear tiver solução e a forma escalonada reduzida da matriz aumentada possuir colunas sem pivôs as variáveis que não estão associadas a pivôs podem ser consideradas variáveis livres isto é podem assumir valores arbitrários As variáveis associadas aos pivôs terão os seus valores dependentes das variáveis livres Lembramos que o sistema linear não tem solução se a última linha não nula da forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema for da forma 0 0 bm com bm 0 como no Exemplo 113 na página 39 Observação Para se encontrar a solução de um sistema linear não é necessário transformar a matriz aumentada do sistema na sua forma escalonada reduzida mas se a matriz está nesta forma o sistema associado é o Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 53 124 Matrizes Elementares opcional Definição 18 Uma matriz elementar n n é uma matriz obtida da matriz identidade In aplicandose uma e somente uma operação elementar Vamos denotar por Eij a matriz elementar obtida trocandose a linha i com a linha j da matriz In Eiα a matriz elementar obtida multiplicandose a linha i da matriz In pelo escalar α 0 e Eijα a matriz elementar obtida da matriz In somandose à linha j α vezes a linha i Eij 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 i j Eiα 1 0 0 0 1 α 1 0 0 0 1 i Julho 2013 Reginaldo J Santos e Eijα 1 0 0 0 0 1 1 i α 1 j 0 0 0 1 Exemplo 117 As matrizes seguintes são as matrizes elementares 2 2 E12 E21 0 1 1 0 E1α α 0 0 1 E2α 1 0 0 α com α 0 E12α 1 0 α 1 e E21α 1 α 0 1 Sejam E1 1 0 0 E2 0 1 0 En 0 0 1 matrizes m 1 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 55 As matrizes elementares podem ser escritas em termos das matrizes Ei como Eij Et 1 Et j Et i Et m i j Eiα Et 1 αEt i Et m i e Eijα Et 1 Et i Et j αEt i Et m i j Aplicar uma operação elementar em uma matriz corresponde a multiplicar a matriz à esquerda por uma matriz elementar como mostra o resultado a seguir Teorema 18 Sejam E uma matriz elementar m m e A uma matriz qualquer m n Então EA é igual à matriz obtida aplicandose na matriz A a mesma operação elementar que originou E Demonstração Como a iésima linha de um produto de matrizes BA é igual a BiA em que Bi é a iésima linha da matriz B Exercício 1117 b na página 24 e Et i A Ai em que Ai é a linha i da matriz A Exercício 15 b na página 22 então Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 56 Matrizes e Sistemas Lineares EijA i j Et 1 Et j Et i Et m A Et 1A Et j A Et i A Et mA i j A1 Aj Ai Am i j EiαA i Et 1 αEt i Et m A Et 1A αEt i A Et mA i A1 αAi Am i EijαA i j Et 1 Et i Et j αEt i Et m A Et 1A Et i A Et j A αEt i A Et mA i j A1 Ai Aj αAi Am i j Assim aplicar uma sequencia de operações elementares em uma matriz corres ponde a multiplicar a matriz à esquerda por um produto de matrizes elementares Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 57 Exemplo 118 Quando usamos o método de GaussJordan para resolver o sistema do Exemplo 111 na página 34 aplicamos uma sequencia de operações elementares na matriz aumentada do sistema Isto corresponde a multiplicar a matriz aumentada A B 1 1 1 1000 2 1 4 2000 2 3 5 2500 à esquerda pelas matrizes elementares E122 1 0 0 2 1 0 0 0 1 E132 1 0 0 0 1 0 2 0 1 E21 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E211 1 1 0 0 1 0 0 0 1 E231 1 0 0 0 1 0 0 1 1 E3 1 5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 E313 1 0 3 0 1 0 0 0 1 E322 1 0 0 0 1 2 0 0 1 ou seja E322 E313 E3 1 5 E231 E211 E21 E132 E122 A B 1 0 0 700 0 1 0 200 0 0 1 100 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 58 Matrizes e Sistemas Lineares Exercícios Numéricos respostas na página 537 121 Quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada reduzida A 1 0 0 0 3 0 0 1 0 4 0 0 0 1 2 C 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 B 0 1 0 0 4 0 0 1 0 5 0 0 0 1 2 D 0 0 0 0 0 0 0 1 2 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 122 Em cada item suponha que a matriz aumentada de um sistema foi transformada usando operações ele mentares na matriz escalonada reduzida dada Resolva o sistema correspondente a 1 0 0 7 8 0 1 0 3 2 0 0 1 1 5 b 1 6 0 0 3 2 0 0 1 0 4 7 0 0 0 1 5 8 0 0 0 0 0 0 c 1 0 0 0 6 0 1 0 0 3 0 0 1 1 2 d 1 7 0 0 8 3 0 0 1 0 6 5 0 0 0 1 3 9 0 0 0 0 0 0 123 Resolva usando o método de GaussJordan os seguintes sistemas a x1 x2 2x3 8 x1 2x2 3x3 1 3x1 7x2 4x3 10 b 2x1 2x2 2x3 0 2x1 5x2 2x3 1 8x1 x2 4x3 1 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 59 c 2x2 3x3 1 3x1 6x2 3x3 2 6x1 6x2 3x3 5 124 Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz A Resolvaos usando o método de Gauss Jordan Observe que os dois sistemas podem ser resolvidos ao mesmo tempo escalonando a matriz aumentada A B1 B2 a x1 2x2 x3 1 2x1 5x2 x3 2 3x1 7x2 2x3 1 b x1 2x2 x3 2 2x1 5x2 x3 1 3x1 7x2 2x3 2 125 Seja A 1 0 5 1 1 1 0 1 4 a Encontre a solução geral do sistema A 4I3X 0 b Encontre a solução geral do sistema A 2I3X 0 126 Para cada sistema linear dado encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução tem solução única e tem infinitas soluções a x 2y 3z 4 3x y 5z 2 4x y a2 14z a 2 b x y z 2 2x 3y 2z 5 2x 3y a2 1z a 1 127 Uma indústria produz três produtos X Y e Z utilizando dois tipos de insumo A e B Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 2 gramas do insumo A e 1 grama do insumo B para cada kg de Y 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e para cada kg de Z 3 gramas de A e 5 gramas de B O preço de venda do kg de cada um dos produtos X Y e Z é R 300 R 200 e R 400 respectivamente Com a venda Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 60 Matrizes e Sistemas Lineares de toda a produção de X Y e Z manufaturada com 19 kg de A e 24 kg de B essa indústria arrecadou R 290000 Determine quantos kg de cada um dos produtos X Y e Z foram vendidos Sugestão veja o Exemplo 111 na página 34 128 Determine os coeficientes a b c e d da função polinomial px ax3 bx2 cx d cujo gráfico passa pelos pontos P1 0 10 P2 1 7 P3 3 11 e P4 4 14 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 61 2 1 0 1 2 3 4 5 30 20 10 0 10 20 30 x y Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 62 Matrizes e Sistemas Lineares 129 Determine coeficientes a b e c da equação do círculo x2 y2 ax by c 0 que passa pelos pontos P1 2 7 P2 4 5 e P3 4 3 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 63 6 4 2 0 2 4 6 8 4 2 0 2 4 6 8 x y Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 64 Matrizes e Sistemas Lineares 1210 Encontre condições sobre os bis para que cada um dos sistemas seja consistente isto é tenha solução a x1 2x2 5x3 b1 4x1 5x2 8x3 b2 3x1 3x2 3x3 b3 b x1 2x2 x3 b1 4x1 5x2 2x3 b2 4x1 7x2 4x3 b3 1211 Relativo à subseção 124 Considere a matriz A 0 1 7 8 1 3 3 8 2 5 1 8 Encontre matrizes elementares E F G e H tais que R EFGHA é uma matriz escalonada reduzida Sugestão veja o Exemplo 118 na página 57 1212 Resolva usando o método de GaussJordan os seguintes sistemas a x1 2x2 3x4 x5 2 x1 2x2 x3 3x4 x5 2x6 3 x1 2x2 3x4 2x5 x6 4 3x1 6x2 x3 9x4 4x5 3x6 9 b x1 3x2 2x3 2x5 0 2x1 6x2 5x3 2x4 4x5 3x6 1 5x3 10x4 15x6 5 2x1 6x2 8x4 4x5 18x6 6 1213 Considere a matriz A 1 1 1 1 1 3 2 a 2 2 a 2 a 2 3 a 1 3 a 2 3 2 a 1 Determine o conjunto solução do sistema AX B em que B 4 3 1 6 t para todos os valores de a 1214 Resolva os sistemas lineares cujas matrizes aumentadas são Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 65 a 1 2 3 1 8 1 3 0 1 7 1 0 2 1 3 b 1 1 3 3 0 0 2 1 3 3 1 0 2 1 1 c 1 2 3 0 1 1 1 0 1 1 2 0 1 3 3 0 Exercícios usando o MATLAB Comandos do MATLAB AA1An cria uma matriz A formada pelas matrizes definidas anteriormente A1 An co locadas uma ao lado da outra exprsubsexprxnum substitui na expressão expr a variável x por num ppoly2symana0x armazena na variável p o polinômio anxn a0 clf limpa a figura ativa Comandos do pacote GAAL BopelalphaiA ou oealphaiAfaz a operação elementar alphalinha i linha i da matriz A e armazena a matriz resultante em B BopelalphaijA ou oealphaijA faz a operação elementar alphalinha i linha j linha j da matriz A e armazena em B BopelAij ou oeAij faz a troca da linha i com a linha j da matriz A e armazena a matriz resultante em B BescalonaA calcula passo a passo a forma escalonada reduzida da matriz A e armazena a matriz resultante na variável B matvandPk obtém a matriz de Vandermonde de ordem k se Px1xn e a matriz de Vander monde generalizada no caso em que Px1y1xnyn Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 66 Matrizes e Sistemas Lineares pox1y1x2y2xkyk desenha os pontos x1y1xkyk plotf1fab desenha o gráfico da função dada pela expressão simbólica f no intervalo ab plotcifabcd desenha o gráfico da curva dada implicitamente pela expressão fxy0 na região do plano abxcd ppoly2sym2abcdefxy armazena na variável p o polinômio em duas variáveis ax2 bxy cy2 dx ey f eixos desenha os eixos coordenados 1215 a Use o comando Prandi42 para gerar 4 pontos com entradas inteiras e aleatórias entre 5 e 5 Os pontos estão armazenados nas linhas da matriz P b Use o MATLAB para tentar encontrar os coeficientes a b c e d da função polinomial px ax3 bx2 cx d cujo gráfico passa pelos pontos dados pelas linhas da matriz P A matriz AmatvandP13 pode ser útil na solução deste problema assim como a matriz BP2 Se não conseguiu repita o passo anterior Por que pode não ser possível c Desenhe os pontos e o gráfico do polinômio com os comandos clf poP syms x ppoly2symR5x plotf1p55 em que R é forma escalonada re duzida da matriz AB d Desenhe os eixos coordenados com o comando eixos 1216 a Use o comando Prandi52 para gerar 5 pontos com entradas inteiras e aleatórias entre 5 e 5 Os pontos estão armazenados nas linhas da matriz P b Use o MATLAB para tentar encontrar os coeficientes a b c d e e f da cônica curva de equação ax2 bxy cy2 dx ey f 0 cujo gráfico passa pelos pontos cujas coordenadas são dadas pelas linhas da matriz P A matriz AmatvandP2 pode ser útil na solução deste problema Se não conseguiu repita o passo anterior Por que pode não ser possível c Desenhe os pontos e a cônica com os comandos clf poP syms x y ppoly2sym2R61xy plotcip5555 em que R é a forma escalonada reduzida da matriz A Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 67 d Desenhe os eixos coordenados com o comando eixos 1217 Use o MATLAB e resolva os Exercícios Numéricos a partir do Exercício 123 Exercícios Teóricos 1218 Mostre que toda operação elementar possui inversa do mesmo tipo ou seja para cada operação elemen tar existe uma outra operação elementar do mesmo tipo que desfaz o que a operação anterior fez 1219 Prove que a Toda matriz é equivalente por linhas a ela mesma reflexividade b Se A é equivalente por linhas a B então B é equivalente por linhas a A simetria c Se A é equivalente por linhas a B e B é equivalente por linhas a C então A é equivalente por linhas a C transitividade 1220 a Sejam X1 e X2 soluções do sistema homogêneo A X 0 Mostre que αX1 βX2 é solução para quaisquer escalares α e β Sugestão veja o Exemplo 17 b Sejam X1 e X2 soluções do sistema A X B Mostre que se αX1 βX2 é solução para quaisquer escalares α e β então B 0 Sugestão faça α β 0 1221 Sejam A uma matriz m n e B 0 uma matriz m 1 a Mostre que se X1 é uma solução do sistema AX B e Y1 é uma solução do sistema homogêneo associado AX 0 então X1 Y1 é solução de AX B b Seja X0 solução particular do sistema AX B Mostre que toda solução X do sistema AX B pode ser escrita como X X0 Y em que Y é uma solução do sistema homogêneo associado AX 0 Assim a solução geral do sistema AX B é a soma de uma solução particular de AX B com a solução geral do sistema homogêneo associado AX 0 Sugestão Escreva X X0 X X0 e mostre que X X0 é solução do sistema homogêneo AX 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 68 Matrizes e Sistemas Lineares Apêndice II Unicidade da Forma Escalonada Reduzida Proposição 19 Sejam A e B matrizes m n equivalentes por linhas Sejam A1 An as colunas 1 n respec tivamente da matriz A e B1 Bn as colunas 1 n respectivamente da matriz B Se existem escalares αj1 αjk tais que Ak αj1 Aj1 αjk Ajk então Bk αj1Bj1 αjkBjk Demonstração Se B é equivalente por linhas a A então B pode ser obtida de A aplicandose uma sequencia de operações elementares Aplicar uma operação ele mentar a uma matriz corresponde a multiplicar a matriz à esquerda por uma matriz invertível Teorema 18 na página 55 Seja M o produto das matrizes invertíveis cor respondentes às operações elementares aplicadas na matriz A para se obter a matriz B Então M é invertível e B MA Sejam αj1 αjk escalares tais que Ak αj1 Aj1 αjk Ajk então multiplicandose à esquerda pela matriz M obtemos MAk αj1 MAj1 αjk MAjk Como MAj Bj para j 1 n Exercício 1117 a na página 24 então Bk αj1Bj1 αjkBjk Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 12 Sistemas de Equações Lineares 69 Teorema 110 Se R rijmn e S sijmn são matrizes escalonadas reduzidas equivalentes por linhas a uma matriz A aijmn então R S Demonstração Sejam S e R matrizes escalonadas reduzidas equivalentes a A Se jam R1 Rn as colunas de R e S1 Sn as colunas de S Seja r o número de linhas não nulas de R Sejam j1 jr as colunas onde ocorrem os pivôs das linhas 1 r respectivamente da matriz R Pelo Exercício 19 na página 67 R e S são equivalen tes por linha ou seja existe uma sequencia de operações elementares que podemos aplicar em R para chegar a S e uma outra sequencia de operações elementares que podemos aplicar a S e chegar a R Assim como as colunas 1 j1 1 de R são nulas o mesmo vale para as colunas 1 j1 1 de S Logo o pivô da 1a linha de S ocorre numa coluna maior ou igual a j1 Trocandose R por S e usando este argumento chegamos a conclusão que Rj1 Sj1 e assim R1 S1 Rj1 Sj1 Vamos supor que R1 S1 Rjk Sjk e vamos mostrar que Rjk1 Sjk1 Rjk1 Sjk1 se k r ou Rjr1 Sjr1 Rn Sn se k r Observe que para j jk 1 jk1 1 se k r ou para j jr 1 n se k r temos que Rj r1j rkj 0 0 r1jRj1 rkjRjk o que implica pela Proposição 19 que Sj r1jSj1 rkjSjk Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 70 Matrizes e Sistemas Lineares Mas por hipótese Rj1 Sj1 Rjk Sjk então Sj r1jRj1 rkjRjk Rj para j jk 1 jk1 1 se k r ou para j jr 1 n se k r Logo se k r o pivô da k 1ésima linha de S ocorre numa coluna maior ou igual a jk1 Trocandose R por S e usando o argumento anterior chegamos a conclusão que Rjk1 Sjk1 e assim R1 S1 Rjr Sjr E se k r então R1 S1 Rn Sn Portanto R S Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Teste do Capítulo 1 Para o sistema linear dado encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução tem solução única e tem infinitas soluções x 2y z 3 x y z 2 x y a² 5z a 2 Se possível encontre os valores de x y e z tais que 1 2 3 2 5 3 1 0 8 40 16 x 13 5 y 5 2 z 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 Sejam D 1 0 0 1 e P cos θ sen θ sen θ cos θ Sabendose que A PtDP calcule D² Pt e A² 4 Responda Verdadeiro ou Falso justificando a Se A² 2A⁴ então In A²In 2A² In b Se A PtDP onde D é uma matriz diagonal então At A c Se D é uma matriz diagonal então DA AD para toda matriz A n x n d Se B AAt então B Bt e Se B e A são tais que A At e B Bt então C AB é tal que Ct C Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 2 INVERSÃO DE MATRIZES E DETERMINANTES 21 Matriz Inversa Todo número real a não nulo possui um inverso multiplicativo ou seja existe um número b tal que a b b a 1 Este número é único e o denotamos por a1 Apesar da álgebra matricial ser semelhante à álgebra dos números reais nem todas as matrizes A não nulas possuem inversa ou seja nem sempre existe uma matriz B tal que A B B A In De início para que os produtos AB e BA estejam definidos e sejam iguais é preciso que as matrizes A e B sejam quadradas Portanto somente as matrizes quadradas podem ter inversa o que já diferencia do caso dos números reais pois todo número não nulo tem inverso Mesmo entre as matrizes quadradas muitas não possuem inversa apesar do conjunto das que não tem inversa ser bem menor do que o conjunto das que tem Exercício 229 na página 131 Definição 21 Uma matriz quadrada A aijnn é invertível ou não singular se existe uma matriz B bijnn tal que AB BA In 21 em que In é a matriz identidade A matriz B é chamada de inversa de A Se A não tem inversa dizemos que A é não invertível ou singular Exemplo 21 Considere as matrizes A 2 1 0 3 e B 12 16 0 13 A matriz B é a inversa da matriz A pois AB BA I₂ Teorema 21 Se uma matriz A aijnn possui inversa então a inversa é única Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 74 Inversão de Matrizes e Determinantes Demonstração Suponhamos que B e C sejam inversas de A Então AB BA In AC CA e assim B B In BAC BAC InC C Denotamos a inversa de A quando ela existe por A1 Devemos chamar atenção para o fato de que o índice superior 1 aqui não significa uma potência tão pouco uma divisão Assim como no caso da transposta em que At significa a transposta de A aqui A1 significa a inversa de A 211 Propriedades da Inversa Teorema 22 a Se A aijnn é invertível então a sua inversa A1 também o é e A11 A b Se A aijnn e B bijnn são matrizes invertíveis então AB é invertível e AB1 B1A1 c Se A aijnn é invertível então a sua transposta At também é invertível e At1 A1t Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 21 A Inversa de uma Matriz 75 Demonstração Se queremos mostrar que uma matriz é a inversa de uma outra te mos que mostrar que os produtos das duas matrizes são iguais à matriz identidade a Uma matriz B é a inversa de A1 se A1B BA1 In Mas como A1 é a inversa de A então AA1 A1A In Como a inversa é única então B A é a inversa de A1 ou seja A11 A b Temos que mostrar que a inversa de AB é B1A1 ou seja mostrar que os produtos ABB1A1 e B1A1AB são iguais à matriz identidade Mas pelas propriedades h e i do Teorema 11 na página 9 ABB1A1 ABB1A1 AInA1 AA1 In B1A1AB B1A1AB B1InB B1B In c Queremos mostrar que a inversa de At é A1t Pela propriedade o do Teo rema 11 na página 9 AtA1t A1At It n In A1tAt AA1t It n In Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 76 Inversão de Matrizes e Determinantes O teorema seguinte cuja demonstração será omitida no momento Subseção 212 garante que basta verificarmos uma das duas igualdades em 21 para sabermos se uma matriz é a inversa de outra Teorema 23 Sejam A e B matrizes n n a Se BA In então AB In b Se AB In então BA In Assim para verificar que uma matriz A é invertível quando temos uma matriz B que é candidata a inversa de A basta fazer um dos produtos AB ou BA e verificar se é igual a In O próximo exemplo ilustra este fato Exemplo 22 Seja A aijnn uma matriz tal que A3 0 A pode não ser a matriz nula Vamos mostrar que a inversa de In A é In A A2 Para provar isto devemos multiplicar a matriz In A pela matriz que possivelmente seja a inversa dela aqui I A A2 e verificar se o produto das duas é igual à matriz identidade In In AIn A A2 InIn A A2 AIn A A2 In A A2 A A2 A3 In Aqui foram usadas as propriedades i e j do Teorema 11 na página 9 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 21 A Inversa de uma Matriz 77 212 Matrizes Elementares e Inversão opcional As matrizes elementares têm um papel importante no estudo da inversão de matri zes e da solução de sistemas lineares Proposição 24 Toda matriz elementar é invertível e sua inversa é também uma matriz elementar Usando a notação introduzida na página 53 temos a E1 ij Eji Eij b Eiα1 Ei1α para α 0 c Eijα1 Eijα Demonstração Seja E uma matriz elementar Esta matriz é obtida de In aplicando se uma operação elementar Seja F a matriz elementar correspondente a operação que transforma E de volta em In Agora pelo Teorema 18 na página 55 temos que F E E F In Portanto F é a inversa de E Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 78 Inversão de Matrizes e Determinantes Teorema 25 Seja A uma matriz n n As seguintes afirmações são equivalentes a Existe uma matriz B n n tal que BA In b A matriz A é equivalente por linhas à matriz identidade In c A matriz A é invertível Demonstração ab Se BA In então o sistema A X 0 tem somente a so lução trivial pois X InX BAX B 0 0 Isto implica que a matriz A é equivalente por linhas à matriz identidade In pois caso contrário a forma escalonada reduzida de A teria uma linha nula Proposição 15 na página 47 bc A matriz A ser equivalente por linhas à In significa pelo Teorema 18 na página 55 que existem matrizes elementares E1 Ek tais que Ek E1A In 22 E1 1 E1 k Ek E1A E1 1 E1 k A E1 1 E1 k 23 Aqui usamos o fato de que as matrizes elementares são invertíveis Proposição 24 Portanto A é invertível como o produto de matrizes invertíveis ca Claramente Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 21 A Inversa de uma Matriz 79 Se A é invertível então multiplicandose ambos os membros de 22 à direita por A1 obtemos Ek E1In A1 Assim a mesma sequencia de operações elementares que transforma a matriz A na matriz identidade In transforma também In em A1 A demonstração do Teorema 23 na página 76 agora é uma simples consequência do Teorema anterior Demonstração do Teorema 23 a Vamos mostrar que se BA In então A é in vertível e B A1 Se BA In então pelo Teorema 25 A é invertível e B BIn BAA1 InA1 A1 Logo AB BA In b Se AB In então pelo item anterior B é invertível e B1 A Portanto BA AB In Segue da demonstração do Teorema 25 equação 23 o resultado seguinte Teorema 26 Uma matriz A é invertível se e somente se ela é um produto de matrizes elementares Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 80 Inversão de Matrizes e Determinantes Exemplo 23 Vamos escrever a matriz A do Exemplo 25 na página 84 como o pro duto de matrizes elementares Quando encontramos a inversa da matriz A apli camos uma sequencia de operações elementares em A I3 até que encontramos a matriz I3 A1 Como as operações são por linha esta mesma sequencia de operações elementares transforma A em In Isto corresponde a multiplicar a matriz A 1 1 1 2 1 4 2 3 5 à esquerda pelas matrizes elementares E122 1 0 0 2 1 0 0 0 1 E132 1 0 0 0 1 0 2 0 1 E21 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E211 1 1 0 0 1 0 0 0 1 E231 1 0 0 0 1 0 0 1 1 E3 1 5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 E313 1 0 3 0 1 0 0 0 1 E322 1 0 0 0 1 2 0 0 1 ou seja E322 E313 E3 1 5 E231 E211 E21 E132 E122 A I3 Multiplicando à esquerda pelas inversas das matrizes elementares correspondentes obtemos A E122 E132 E21 E211 E231 E35 E313 E322 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 213 Método para Inversão de Matrizes O exemplo seguinte mostra para matrizes 2 x 2 não somente uma forma de descobrir se uma matriz A tem inversa mas também como encontrar a inversa no caso em que ela exista Ou seja escalonamos a matriz A I₂ e encontramos a sua forma escalonada reduzida R S Se R I₂ então a matriz A é invertível e a inversa A¹ S Caso contrário a matriz A não é invertível Exemplo 24 Seja A a b c d Devemos procurar uma matriz B x y z w tal que AB I₂ ou seja ax bz 1 cx dz 0 ay bw 0 cy dw 1 Este sistema pode ser desacoplado em dois sistemas independentes que possuem a mesma matriz que é a matriz A Podemos resolvêlos simultaneamente Para isto basta escalonarmos a matriz aumentada a b 1 0 c d 0 1 A I₂ Os dois sistemas têm solução única se e somente se a forma escalonada reduzida da matriz A I₂ for da forma I₂ S 1 0 s t 0 1 u v verifique observando o que acontece se a forma escalonada reduzida da matriz A não for igual à I₂ Neste caso x s z u e y t w v ou seja a matriz A possuirá inversa A¹ B S s t u v Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 82 Inversão de Matrizes e Determinantes Para os leitores da Subseção 212 o próximo teorema é uma simples consequência do Teorema 25 na página 78 Entretanto a demonstração que daremos a seguir fornece um método para encontrar a inversa de uma matriz se ela existir Teorema 27 Uma matriz A n n é invertível se e somente se A é equivalente por linhas à matriz identidade In Demonstração Pelo Teorema 23 na página 76 para verificarmos se uma matriz A n n é invertível basta verificarmos se existe uma matriz B tal que A B In 24 Vamos denotar as colunas de B por X1 X2 Xn ou seja B X1 Xn em que X1 x11 x21 xn1 X2 x12 x22 xn2 Xn x1n x2n xnn e as colunas da matriz identidade In por E1 E2 En ou seja In E1 En em que E1 1 0 0 E2 0 1 0 En 0 0 1 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 21 A Inversa de uma Matriz 83 Assim a equação 24 pode ser escrita como A X1 Xn AX1 AXn E1 En pois a jésima coluna do produto AB é igual a A vezes a jésima coluna da matriz B Exercício 17 na página 24 Analisando coluna a coluna a equação anterior vemos que encontrar B é equivalente a resolver n sistemas lineares A Xj Ej para j 1 n Cada um dos sistemas pode ser resolvido usando o método de GaussJordan Para isso formaríamos as matrizes aumentadas A E1 A E2 A En Entre tanto como as matrizes dos sistemas são todas iguais à A podemos resolver todos os sistemas simultaneamente formando a matriz n 2n A E1 E2 En A In Transformando A In na sua forma escalonada reduzida que vamos denotar por R S vamos chegar a duas situações possíveis ou a matriz R é a matriz identi dade ou não é Se R In então a forma escalonada reduzida da matriz A In é da forma In S Se escrevemos a matriz S em termos das suas colunas S S1 S2 Sn então as soluções dos sistemas A Xj Ej são Xj Sj e assim B S é tal que A B In e pelo Teorema 23 na página 76 A é invertível Se R In então a matriz A não é equivalente por linhas à matriz identidade In Então pela Proposição 15 na página 47 a matriz R tem uma linha nula O que implica que cada um dos sistemas A Xj Ej ou não tem solução única ou não tem solução Isto implica que a matriz A não tem inversa pois as colunas da única inversa seriam Xj para j 1 n Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 84 Inversão de Matrizes e Determinantes Observação Da demonstração do Teorema 27 obtemos não somente uma forma de descobrir se uma matriz A tem inversa mas também como encontrar a inversa no caso em que ela exista Ou seja escalonamos a matriz A In e encontramos a sua forma escalonada reduzida R S Se R In então a matriz A é invertível e a inversa A1 S Caso contrário a matriz A não é invertível Vejamos os exemplos seguintes Exemplo 25 Vamos encontrar se existir a inversa de A 1 1 1 2 1 4 2 3 5 1a eliminação 21a linha 2a linha 2a linha 21a linha 3a linha 3a linha 1 1 1 1 0 0 0 1 2 2 1 0 0 1 3 2 0 1 2a eliminação 12a linha 2a linha 1 1 1 1 0 0 0 1 2 2 1 0 0 1 3 2 0 1 12a linha 1a linha 1a linha 12a linha 3a linha 3a linha 1 0 3 1 1 0 0 1 2 2 1 0 0 0 5 4 1 1 3a eliminação Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 21 A Inversa de uma Matriz 85 1 53a linha 3a linha 1 0 3 1 1 0 0 1 2 2 1 0 0 0 1 4 5 1 5 1 5 33a linha 1a linha 1a linha 23a linha 2a linha 2a linha 1 0 0 7 5 2 5 3 5 0 1 0 2 5 3 5 2 5 0 0 1 4 5 1 5 1 5 Assim a matriz A I3 é equivalente por linhas à matriz acima que é da forma I3 S portanto a matriz A é invertível e a sua inversa é a matriz S ou seja A1 7 5 2 5 3 5 2 5 3 5 2 5 4 5 1 5 1 5 Exemplo 26 Vamos determinar se existir a inversa da matriz A 1 2 3 1 1 2 0 1 1 Para isso devemos escalonar a matriz aumentada A I3 1 2 3 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1a eliminação Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 86 Inversão de Matrizes e Determinantes 11a linha 2a linha 2a linha 1 2 3 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 2a eliminação 12a linha 2a linha 1 2 3 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 22a linha 1a linha 1a linha 12a linha 3a linha 3a linha 1 0 1 1 2 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 Assim a matriz A I3 é equivalente por linhas à matriz acima que é da forma R S com R I3 Assim a matriz A não é equivalente por linhas à matriz identi dade e portanto não é invertível Se um sistema linear A X B tem o número de equações igual ao número de incógnitas então o conhecimento da inversa da matriz do sistema A1 reduz o problema de resolver o sistema a simplesmente fazer um produto de matrizes como está enunciado no próximo teorema Teorema 28 Seja A uma matriz n n a O sistema associado AX B tem solução única se e somente se A é invertível Neste caso a solução é X A1B b O sistema homogêneo A X 0 tem solução não trivial se e somente se A é singular não invertível Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 21 A Inversa de uma Matriz 87 Demonstração a Se a matriz A é invertível então multiplicando A X B por A1 à esquerda em ambos os membros obtemos A1A X A1B A1AX A1B InX A1B X A1B Aqui foram usadas as propriedades h e i do Teorema 11 na página 9 Por tanto X A1B é a única solução do sistema A X B Por outro lado se o sistema A X B possui solução única então a forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema A B é da forma R S em que R In Pois a matriz A é quadrada e caso R fosse diferente da identidade possuiria uma linha de zeros Proposição 15 na página 47 o que levaria a que o sistema A X B ou não tivesse solução ou tivesse infinitas soluções Logo a matriz A é equivalente por linhas à matriz identidade o que pelo Teorema 27 na página 82 implica que A é invertível b Todo sistema homogêneo possui pelo menos a solução trivial Pelo item ante rior esta será a única solução se e somente se A é invertível Vamos ver no próximo exemplo que se conhecemos a inversa de uma matriz então a produção de uma indústria em vários períodos pode ser obtida apenas multiplicandose a inversa por matrizes colunas que contenham a arrecadação e as quantidades dos insumos utilizados em cada período Exemplo 27 Uma indústria produz três produtos X Y e Z utilizando dois tipos de insumo A e B Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B para cada kg de Y 1 grama de insumo A e 1 grama de Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 88 Inversão de Matrizes e Determinantes insumo B e para cada kg de Z 1 grama de A e 4 gramas de B O preço de venda do kg de cada um dos produtos X Y e Z é R 200 R 300 e R 500 respectivamente Como vimos no Exemplo 16 na página 7 usando matrizes o esquema de produção pode ser descrito da seguinte forma X Y Z gramas de Akg gramas de Bkg preçokg 1 1 1 2 1 4 2 3 5 A X x y z kg de X produzidos kg de Y produzidos kg de Z produzidos AX x y z 2x y 4z 2x 3y 5z gramas de A usados gramas de B usados arrecadação No Exemplo 25 na página 84 determinamos a inversa da matriz A 1 1 1 2 1 4 2 3 5 que é A1 7 5 2 5 3 5 2 5 3 5 2 5 4 5 1 5 1 5 1 5 7 2 3 2 3 2 4 1 1 Sabendose a inversa da matriz A podemos saber a produção da indústria sempre que soubermos quanto foi gasto do insumo A do insumo B e a arrecadação a Se em um período com a venda de toda a produção de X Y e Z manufaturada com 1 kg de A e 2 kg de B essa indústria arrecadou R 2500 00 então para Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 21 A Inversa de uma Matriz 89 determinar quantos kg de cada um dos produtos X Y e Z foram vendidos sim plesmente multiplicamos A1 pela matriz B 1000 2000 2500 gramas de A usados gramas de B usados arrecadação ou seja kg de X produzidos kg de Y produzidos kg de Z produzidos x y z X A1B 1 5 7 2 3 2 3 2 4 1 1 1000 2000 2500 700 200 100 Portanto foram produzidos 700 kg do produto X 200 kg de Y e 100 kg de Z b Se em outro período com a venda de toda a produção de X Y e Z manufatu rada com 1 kg de A e 2 1 kg de B essa indústria arrecadou R 2900 00 então para determinar quantos kg de cada um dos produtos X Y e Z foram vendidos simplesmente multiplicamos A1 pela matriz B 1000 2100 2900 gramas de A usados gramas de B usados arrecadação ou seja kg de X produzidos kg de Y produzidos kg de Z produzidos x y z X A1B 1 5 7 2 3 2 3 2 4 1 1 1000 2100 2900 500 300 200 Portanto foram produzidos 500 kg do produto X 300 kg de Y e 200 kg de Z Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 90 Inversão de Matrizes e Determinantes Vamos mostrar a recíproca do item b do Teorema 22 na página 74 Este resultado será útil na demonstração de que o determinante do produto de matrizes é o produto dos determinantes Subseção 222 na página 119 Proposição 29 Se A e B são matrizes n n com AB invertível então A e B são invertíveis Demonstração Considere o sistema ABX 0 Se B não fosse invertível então existiria X 0 tal que B X 0 Teorema 28 na página 86 Multiplicandose por A teríamos AB X 0 o que novamente pelo Teorema 28 na página 86 contradiz o fato de AB ser invertível Portanto B é invertível Agora se B e AB são invertíveis então A também é invertível pois A ABB1 que é o produto de duas matrizes invertíveis 214 Aplicação Interpolação Polinomial Sejam P1 x1 y1 Pn xn yn com x1 xn números distintos Considere o problema de encontrar um polinômio de grau n 1 px an1xn1 an2xn2 a1x a0 que interpola os dados no sentido de que pxi yi para i 1 n Por exemplo se os pontos são P1 0 10 P2 1 7 P3 3 11 P4 4 14 então o problema consiste em encontrar um polinômio de grau 3 que interpola os pontos dados veja o Exercício 128 na página 60 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 21 A Inversa de uma Matriz 91 2 1 0 1 2 3 4 5 30 20 10 0 10 20 30 x y Vamos mostrar que existe um e somente um polinômio de grau no máximo igual a n 1 que interpola n pontos com abscissas distintas Substituindo os pontos no Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 92 Inversão de Matrizes e Determinantes polinômio px obtemos um sistema linear AX B em que X an1 an2 a0 B y1 y2 yn e A xn1 1 xn2 1 x1 1 xn1 2 xn2 2 x2 1 xn1 n xn2 n xn 1 A matriz A é chamada matriz de Vandermonde Vamos mostrar que AX B tem somente uma solução Pelo Teorema 28 na página 86 um sistema de n equações e n incógnitas AX B tem solução única se e somente se o sistema homogêneo associado AX 0 tem somente a solução trivial X an1 a0 é solução do sistema homogêneo se e somente se o polinômio de grau n 1 px an1xn1 a0 se anula em n pontos distintos O que implica que o polinômio px é o polinômio com todos os seus coeficientes iguais a zero Portanto o sistema homogêneo A X 0 tem somente a solução trivial Isto prova que existe um e somente um polinômio de grau no máximo igual a n 1 que interpola n pontos com abscissas distintas Assim a solução do sistema linear é X A1B Como a matriz A depende apenas das abscissas dos pontos tendo calculado a matriz A1 podemos determinar rapi damente os polinômios que interpolam vários conjuntos de pontos desde que os pontos de todos os conjuntos tenham as mesmas abscissas dos pontos do conjunto inicial 215 Aplicação Criptografia Vamos transformar uma mensagem em uma matriz da seguinte forma Vamos que brar a mensagem em pedaços de tamanho 3 e cada pedaço será convertido em uma matriz coluna usando a Tabela 21 de conversão entre caracteres e números Considere a seguinte mensagem criptografada 1ydobbr 25 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 21 A Inversa de uma Matriz 93 a b c d e f g h i j k l m n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 o p q r s t u v w x y z à á â 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 ã ç é ê í ó ô õ ú ü A B C D E 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 F G H I J K L M N O P Q R S T 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 U V W X Y Z À Á Â Ã Ç É Ê Í Ó 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 Ô Õ Ú Ü 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 Tabela 21 Tabela de conversão de caracteres em números Quebrando a mensagem criptografada em pedaços de tamanho 3 e convertendo cada pedaço para uma coluna de números usando a Tabela 21 obtemos a matriz Y 80 15 18 25 2 107 4 2 94 Sabendose que esta mensagem foi criptografada fazendo o produto da mensagem Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 94 Inversão de Matrizes e Determinantes inicial pela matriz M 1 1 0 0 1 1 0 0 1 então X M1Y será a mensagem inicial convertida para números ou seja X M1Y 1 1 1 0 1 1 0 0 1 80 15 18 25 2 107 4 2 94 59 15 5 21 0 13 4 2 94 Convertendo para texto usando novamente a Tabela 21 obtemos que a mensagem que foi criptografada é Tudo bem 26 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Exercícios Numéricos respostas na página 559 211 Seja A uma matriz 3 3 Suponha que X 1 2 3 é solução do sistema homogêneo A X 0 A matriz A é singular ou não Justifique 212 Se possível encontre as inversas das seguintes matrizes a 1 2 3 1 1 2 0 1 2 b 1 2 2 1 3 1 1 3 2 c 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 3 3 2 d 1 2 3 0 2 3 1 2 4 e 1 2 3 1 1 2 0 1 1 f 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 5 9 1 6 213 Encontre todos os valores de a para os quais a matriz A 1 1 0 1 0 0 1 2 a tem inversa 214 Se A 1 3 2 1 3 e B 1 2 5 3 2 encontre A B 1 215 Resolva o sistema A X B se A 1 2 3 4 1 e B 5 3 Julho 2013 Reginaldo J Santos y1 yn e α e β são escalares então detαX βY A2 An Σj1n 11jαxj βyj detÃ1j α Σj1n xj detÃ1j β Σj1n yj detÃ1j α detX A2 An β detY A2 An Exemplo 212 O cálculo do determinante da matriz a seguir pode ser feito da seguinte forma detcos t sen t 2 cos t 3 sen t 2 sen t 3 cos t 2 detcos t sen t cos t sen t 3 detcos t sen t sen t cos t 3 Pela definição de determinante o determinante deve ser calculado fazendose o desenvolvimento em cofactores segundo a 1ª linha O próximo resultado que não vamos provar neste momento Apêndice III na página 134 afirma que o determinante pode ser calculado fazendose o desenvolvimento em cofactores segundo qualquer linha ou qualquer coluna Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 96 Inversão de Matrizes e Determinantes 216 Relativo à Subseção 212 Encontre matrizes elementares E1 Ek tais que A E1 Ek para A 1 2 3 2 1 2 0 1 2 Exercícios usando o MATLAB Comandos do MATLAB MAB atribui à matriz M a matriz obtida colocando lado a lado as matrizes A e B AA1An cria uma matriz A formada pelas matrizes definidas anteriormente A1 An co locadas uma ao lado da outra MAkl atribui à matriz M a submatriz da matriz A obtida da coluna l à coluna k da matriz A Comando do pacote GAAL BescalonaA calcula passo a passo a forma escalonada reduzida da matriz A e armazena a matriz resultante na variável B 217 O pacote GAAL contém alguns arquivos com mensagens criptografadas e uma chave para decifrálas Use os comandos a seguir para ler dos arquivos e atribuir às variáveis correspondentes uma mensagem crip tografada e a uma chave para decifrála menclerarqcmatlabtoolboxgaalmenc1txt keylerarqcmatlabtoolboxgaalkeytxt Com estes comandos foram lidos os arquivos menc1txt e keytxt e atribuídos os resultados às variáveis menc e key respectivamente Para converter a mensagem criptografada e a chave para matrizes numéri cas use os comandos do pacote gaal ychar2nummenc Mchar2numkey Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Sabendose que a mensagem criptografada convertida para números y foi originalmente obtida multiplicandose a matriz M pela mensagem original convertida para números x determine x Descubra a mensagem usando o comando do pacote gaal num2char x que converte a matriz para texto Decifre as mensagens que estão nos arquivos menc2txt e menc3txt Como deve ser a matriz M para que ela possa ser uma matriz chave na criptografia Exercícios Teóricos 218 a Mostre que a matriz A a b c d é invertível se e somente se ad bc 0 e neste caso a inversa é dada por A 1 1 a d b c d b c a Sugestão encontre a forma escalonada reduzida da matriz A I 2 para a 0 e para a 0 b Mostre que se ad bc 0 então o sistema linear a x b y g c x d y h tem como solução x g d b h a d b c y a h g c a d b c Sugestão para os próximos 4 exercícios Para verificar que uma matriz B é a inversa de uma matriz A basta fazer um dos produtos A B ou B A e verificar que é igual a I n 219 Se A é uma matriz n n e A k 0 para k um inteiro positivo mostre que I n A 1 I n A A 2 A k 1 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 98 Inversão de Matrizes e Determinantes 2110 Seja A uma matriz diagonal isto é os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero aij 0 para i j Se aii 0 para i 1 n mostre que A é invertível e a sua inversa é também uma matriz diagonal com elementos na diagonal dados por 1a11 1a22 1ann 2111 Sejam A e B matrizes quadradas Mostre que se A B e A forem invertíveis então A B1 A1In BA11 2112 Seja Jn a matriz n n cujas entradas são iguais a 1 Mostre que se n 1 então In Jn1 In 1 n 1 Jn Sugestão observe que J2 n nJn 2113 Mostre que se B é uma matriz invertível então AB1 B1A se e somente se AB BA Sugestão multiplique a equação AB BA por B1 2114 Mostre que se A é uma matriz invertível então A B e In BA1 são ambas invertíveis ou ambas não invertíveis Sugestão multiplique A B por A1 2115 Sejam A e B matrizes n n Mostre que se B não é invertível então AB também não o é 2116 Mostre que se A e B são matrizes n n invertíveis então A e B são equivalentes por linhas 2117 Sejam A uma matriz m n e B uma matriz n m com n m Mostre que AB não é invertível Sugestão Mostre que o sistema ABX 0 tem solução não trivial 22 Determinantes Vamos inicialmente definir o determinante de matrizes 1 1 Para cada matriz A a definimos o determinante de A indicado por detA por detA a Vamos Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 agora definir o determinante de matrizes 2 2 e a partir daí definir para matrizes de ordem maior A cada matriz A 2 2 associamos um número real denominado determinante de A por det A det a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 22 a 12 a 21 Para definir o determinante de matrizes quadradas maiores precisamos definir o que são os menores de uma matriz Dada uma matriz A a i j n n o menor do elemento a i j denotado por A i j é a submatriz de A n 1 n 1 obtida eliminandose a i ésima linha e a j ésima coluna de A que tem o seguinte aspecto A i j a 11 a 1 n a n 1 a n n j i Exemplo 28 Para uma matriz A a i j 3 3 A 2 3 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 a 12 a 31 a 32 Julho 2013 Reginaldo J Santos Exemplo 211 Usando a definição de determinante vamos mostrar que o determinante de uma matriz triangular inferior isto é os elementos situados acima da diagonal principal são iguais a zero é o produto dos elementos da diagonal principal Vamos mostrar inicialmente para matrizes 3 x 3 Seja A a11 0 0 a21 a22 0 a31 a32 a33 Desenvolvendose o determinante de A em cofatores obtemos detA a11 det a22 0 a32 a33 a11 a22 a33 Vamos supor termos provado que para qualquer matriz n1 x n1 triangular inferior o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal Então vamos provar que isto também vale para matrizes n x n Seja A a11 0 0 a21 a22 0 0 an1 ann Desenvolvendose o determinante de A em cofatores obtemos detA a11 det a22 0 0 a32 a33 0 0 an2 ann a11 a22 ann Cópia Digital 22 Determinantes 101 Da mesma forma que definimos o determinante de matrizes 3 3 usando o determi nante de matrizes 2 2 podemos definir o determinante de matrizes n n supondo que sabemos como calcular o determinante de matrizes n 1 n 1 Para isso vamos estender a definição de cofatores para matrizes quadradas A aijnn O cofator do elemento aij denotado por aij é definido por aij 1ij det Aij ou seja o cofator aij do elemento aij é igual a mais ou menos o determinante do menor Aij sendo o mais e o menos determinados pela seguinte disposição Definição 22 Seja A aijnn O determinante de A denotado por detA é definido por detA a11 a11 a12 a12 a1n a1n n j1 a1j a1j 27 em que a1j 11j det A1j é o cofator do elemento a1j A expressão 28 é chamada desenvolvimento ou expansão em cofatores do determinante de A em termos da 1a linha Julho 2013 Reginaldo J Santos Agora vamos definir os cofatores de uma matriz quadrada A aij3x3 O cofator do elemento aij denotado por ãij é definido por ãij 1ij detÃij ou seja o cofator ãij do elemento aij é igual a mais ou menos o determinante do menor Ãij sendo o mais e o menos determinados pela seguinte disposição Exemplo 29 Para uma matriz A aij3x3 ã23 123 detÃ23 det a11 a12 a31 a32 a31 a12 a11 a32 Vamos agora definir o determinante de uma matriz 3 x 3 Se A a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 então o determinante de A é igual à soma dos produtos dos elementos da 1ª linha pelos seus cofatores detA a11 ã11 a12 ã12 a13 ã13 a11 det a22 a23 a32 a33 a12 det a21 a23 a31 a33 a13 det a21 a22 a31 a32 a11 a22 a33 a32 a23 a12 a21 a33 a31 a23 a13 a21 a32 a31 a22 Exemplo 210 Seja A 0 0 0 3 1 2 3 4 1 3 2 5 2 1 2 0 Desenvolvendose o determinante de A em cofatores obtemos detA 0ã11 0ã12 0ã13 3114 detB em que B 1 2 3 1 3 2 2 1 2 Mas o detB também pode ser calculado usando cofatores detB 1 b11 2 b12 3 b13 1111 detṼ11 2112 detṼ12 3113 detṼ13 det 3 2 1 2 2 det 1 2 2 2 3 det 1 3 2 1 8 22 37 25 Portanto detA 3 detB 75 Cópia Digital 104 Inversão de Matrizes e Determinantes pois o determinante acima é de uma matriz n 1 n 1 triangular inferior Em particular para a matriz identidade In detIn 1 221 Propriedades do Determinante Vamos provar uma propriedade importante do determinante Para isso vamos es crever a matriz A aijnn em termos das suas linhas A A1 Ak1 Ak Ak1 An em que Ai é a linha i da matriz A ou seja Ai ai1 ai2 ain Se a linha Ak é escrita na forma Ak αX βY em que X x1 xn Y y1 yn e α e β são escalares dizemos que a linha Ak é combinação linear de X e Y Se a linha Ak é combinação linear de X e Y então o determinante pode ser decomposto como no resultado seguinte Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 22 Determinantes 105 Teorema 210 Seja A aijnn escrita em termos das suas linhas denotadas por Ai ou seja Ai ai1 ai2 ain Se para algum k a linha Ak αX βY em que X x1 xn Y y1 yn e α e β são escalares então det A1 Ak1 αX βY Ak1 An α det A1 Ak1 X Ak1 An β det A1 Ak1 Y Ak1 An Aqui Ak αX βY αx1 βy1 αxn βyn Demonstração Vamos provar aqui somente para k 1 Para k 1 é demonstrado no Apêndice III na página 134 Se A1 αX βY em que X x1 xn Y Julho 2013 Reginaldo J Santos se e somente se λ2 ou λ3 Assim somente para λ2 e λ3 existem vetores X x y zT 0 tais que AXλX b Para λ2 A 2I3X0 0 2 2 0 0 0 0 1 1x y zT 0 0 0T 2y 2z 0 y z 0 que tem solução o conjunto dos X x y zT β α αT para todos os valores de α β ℝ Para λ3 A 3I3X0 1 2 2 0 1 0 0 1 0x y zT 0 0 0T x 2y 2z 0 y 0 y 0 que tem solução o conjunto dos X x y zT 2α 0 αT para todos os valores de α ℝ Exemplo 217 A matriz A a b c d é invertível se e somente se detA ad bc 0 Neste caso a inversa de A é dada por A1 1detAd b c a Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 22 Determinantes 107 Teorema 211 Seja A uma matriz n n O determinante de A pode ser calculado fazendose o desenvolvimento em cofatores segundo qualquer linha ou qualquer coluna detA ai1 ai1 ai2 ai2 ain ain n j1 aij aij para i 1 n 28 a1j a1j a2j a2j anj anj n i1 aij aij para j 1 n 29 em que aij 1ij det Aij é o cofator do elemento aij A expressão 28 é chamada desenvolvimento em co fatores do determinante de A em termos da iésima linha e 29 é chamada desenvolvimento em cofatores do determinante de A em termos da jésima coluna Temos a seguinte consequência deste resultado Corolário 212 Seja A uma matriz n n Se A possui duas linhas iguais então detA 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos como pode ser verificado multiplicandose a candidata a inversa pela matriz A Observe que este exemplo fornece uma regra para se encontrar a inversa de uma matriz 22 trocase a posição dos elementos da diagonal principal trocase o sinal dos outros elementos e dividese todos os elementos pelo determinante de A Exemplo 218 Considere o sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas ax by g cx dy h A matriz deste sistema é A a b c d Se detA 0 então a solução do sistema é X A1B 1detAd b c ag h 1detAdg bh cg ah 1detAdetg b h d deta g c h ou seja x detg b h ddeta b c d y deta g c hdeta b c d esta é a chamada Regra de Cramer para sistemas de 2 equações e 2 incógnitasA Regra de Cramer para sistemas de n equações e n incógnitas será apresentada na Subseção 223 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 108 Inversão de Matrizes e Determinantes Demonstração O resultado é claramente verdadeiro para matrizes 2 2 Supondo que o resultado seja verdadeiro para matrizes n 1 n 1 vamos provar que ele é verdadeiro para matrizes n n Suponhamos que as linhas k e l sejam iguais para k l Desenvolvendo o determinante de A em termos de uma linha i com i k l obtemos detA n j1 aij aij n j1 1ijaij det Aij Mas cada Aij é uma matriz n 1 n 1 com duas linhas iguais Como estamos supondo que o resultado seja verdadeiro para estas matrizes então det Aij 0 Isto implica que detA 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 22 Determinantes 109 No próximo resultado mostramos como varia o determinante de uma matriz quando aplicamos operações elementares sobre suas linhas Teorema 213 Sejam A e B matrizes n n a Se B é obtida de A multiplicandose uma linha por um escalar α então detB α detA b Se B resulta de A pela troca da posição de duas linhas k l então detB detA c Se B é obtida de A substituindo a linha l por ela somada a um múltiplo escalar de uma linha k k l então detB detA Demonstração a Segue diretamente do Teorema 210 na página 105 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 110 Inversão de Matrizes e Determinantes b Sejam A A1 Ak Al An e B A1 Al Ak An Agora pelo Teorema 210 na página 105 e o Corolário 212 temos que 0 det A1 Ak Al Ak Al An det A1 Ak Ak An det A1 Ak Al An det A1 Al Ak An det A1 Al Al An 0 detA detB 0 Portanto detA detB Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 22 Determinantes 111 c Novamente pelo Teorema 210 na página 105 temos que det A1 Ak Al αAk An det A1 Ak Al An α det A1 Ak Ak An det A1 Ak Al An Exemplo 213 Vamos calcular o determinante da matriz A 0 1 5 3 6 9 2 6 1 usando operações elementares para transformála numa matriz triangular superior Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 112 Inversão de Matrizes e Determinantes e aplicando o Teorema 213 detA det 3 6 9 0 1 5 2 6 1 1a linha 2a linha 3 det 1 2 3 0 1 5 2 6 1 131a linha 1a linha 3 det 1 2 3 0 1 5 0 10 5 21a linha3a linha 3a linha 3 det 1 2 3 0 1 5 0 0 55 102a linha3a linha 3a linha 355 165 Quando multiplicamos uma linha de uma matriz por um escalar α o determinante da nova matriz é igual a α multiplicado pelo determinante da matriz antiga Mas o que estamos calculando aqui é o determinante da matriz antiga por isso ele é igual a 1α multiplicado pelo determinante da matriz nova Para se calcular o determinante de uma matriz n n pela expansão em cofatores pre cisamos fazer n produtos e calcular n determinantes de matrizes n 1 n 1 que por sua vez vai precisar de n 1 produtos e assim por diante Portanto ao todo são necessários da ordem de n produtos Para se calcular o determinante de uma matriz 20 20 é necessário se realizar 20 1018 produtos Os computadores pes soais realizam da ordem de 108 produtos por segundo Portanto um computador pessoal precisaria de cerca de 1010 segundos ou 103 anos para calcular o determi nante de uma matriz 20 20 usando a expansão em cofatores Entretanto usando o método apresentado no exemplo anterior para o cálculo do determinante é necessá rio apenas da ordem de n3 produtos Ou seja para calcular o determinante de uma Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 22 Determinantes 113 matriz 20 20 usando o método apresentado no exemplo anterior um computador pessoal gasta muito menos de um segundo A seguir estabelecemos duas propriedades do determinante que serão demonstradas somente na Subseção 222 na página 119 Teorema 214 Sejam A e B matrizes n n a Os determinantes de A e de sua transposta At são iguais detA detAt b O determinante do produto de A por B é igual ao produto dos seus determinantes detAB detA detB Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 114 Inversão de Matrizes e Determinantes Observação Como o determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta Teorema 214 b seguese que todas as propriedades que se referem a linhas são válidas com relação às colunas Exemplo 214 Seja A aijnn Vamos mostrar que se A é invertível então detA1 1 detA Como A A1 In aplicandose o determinante a ambos os membros desta igual dade e usando o Teorema 214 obtemos detA detA1 detIn Mas detIn 1 Exemplo 211 na página 103 a matriz identidade também é trian gular inferior Logo detA1 1 detA Exemplo 215 Se uma matriz quadrada é tal que A2 A1 então vamos mostrar que detA 1 Aplicandose o determinante a ambos os membros da igualdade acima e usando novamente o Teorema 214 e o resultado do exemplo anterior obte mos detA2 1 detA Logo detA3 1 Portanto detA 1 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 22 Determinantes 115 O resultado seguinte caracteriza em termos do determinante as matrizes invertíveis e os sistemas lineares homogêneos que possuem solução não trivial Teorema 215 Seja A uma matriz n n a A matriz A é invertível se e somente se detA 0 b O sistema homogêneo AX 0 tem solução não trivial se e somente se detA 0 Demonstração a Seja R a forma escalonada reduzida da matriz A A demonstração deste item seguese de três observações Pelo Teorema 213 na página 109 detA 0 se e somente se detR 0 Pela Proposição 15 da página 47 ou R In ou a matriz R tem uma linha nula Assim detA 0 se e somente se R In Pelo Teorema 27 na página 82 R In se e somente se A é invertível b Pelo Teorema 28 na página 86 o sistema homogêneo AX 0 tem solução não trivial se e somente se a matriz A não é invertível E pelo item anterior a matriz A é não invertível se e somente se detA 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 116 Inversão de Matrizes e Determinantes Exemplo 216 Considere a matriz A 2 2 2 0 2 0 0 1 3 a Determinar os valores de λ R tais que existe X x y z 0 que satisfaz AX λX b Para cada um dos valores de λ encontrados no item anterior determinar todos X x y z 0 tais que AX λX Solução a Como a matriz identidade I3 é o elemento neutro do produto então AX λX AX λI3X Subtraindose λI3X obtemos AX λI3X 0 A λI3X 0 Agora este sistema homogêneo tem solução não trivial X 0 se e somente se detA λI3 0 Mas det 2 λ 2 2 0 2 λ 0 0 1 3 λ λ 22λ 3 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 22 Determinantes 119 222 Matrizes Elementares e o Determinante opcional Relembramos que uma matriz elementar é uma matriz que se obtém aplicandose uma operação elementar na matriz identidade Assim aplicandose o Teorema 213 na página 109 obtemos o resultado seguinte Proposição 216 a Se Eij é a matriz elementar obtida trocandose as linhas i e j da matriz identidade então detEij 1 b Se Eiα é a matriz elementar obtida da matriz identidade multiplicandose a linha i por α então detEiα α c Se Eijα é a matriz elementar obtida da matriz identidade somandose à linha j α vezes a linha i então detEijα 1 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 120 Inversão de Matrizes e Determinantes Lembramos também que uma matriz é invertível se e somente se ela é o produto de matrizes elementares Teorema 26 na página 79 Além disso o resultado da aplicação de uma operação elementar em uma matriz é o mesmo que multiplicar a matriz à esquerda pela matriz elementar correspondente Usando matrizes elementares podemos provar o Teorema 214 na página 113 Demonstração do Teorema 214 a Queremos provar que detAB detA detB Vamos dividir a demonstração deste item em três casos Caso 1 Se A E é uma matriz elementar Este caso seguese diretamente da propo sição anterior e do Teorema 213 na página 109 Caso 2 Se A é invertível então pelo Teorema 26 na página 79 ela é o produto de matrizes elementares A E1 Ek Aplicandose o caso anterior sucessivas vezes obtemos detAB detE1 detEk detB detE1 Ek detB detA detB Caso 3 Se A é singular pela Proposição 29 na página 90 AB também é singular Logo detAB 0 0 detB detA detB b Queremos provar que detA detAt Vamos dividir a demonstração deste item em dois casos Caso 1 Se A é uma matriz invertível pelo Teorema 26 na página 79 ela é o produto de matrizes elementares A E1 Ek É fácil ver que se E é uma matriz elementar então detE detEt verifique Assim detAt detEt k detEt 1 detEk detE1 detE1 Ek detA Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 22 Determinantes 121 Caso 2 Se A não é invertível então At também não o é pois caso contrário pelo Teorema 22 na página 74 também A Att seria invertível Assim neste caso detAt 0 detA 223 Matriz Adjunta e Inversão opcional Vamos definir a adjunta de uma matriz quadrada e em seguida enunciar e provar um teorema sobre a adjunta que permite provar vários resultados sobre matrizes entre eles um que fornece uma fórmula para a inversa de uma matriz e também a regra de Cramer Tanto a adjunta quanto os resultados que vem a seguir são de importância teórica Definição 23 Seja A uma matriz n n Definimos a matriz adjunta clássica de A denotada por adjA como a transposta da matriz formada pelos cofatores de A ou seja adjA a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann t a11 a21 an1 a12 a22 an2 a1n a2n ann em que aij 1ij det Aij é o cofator do elemento aij para i j 1 n Julho 2013 Reginaldo J Santos Exemplo 219 Seja B 1 2 3 0 3 2 0 0 2 Vamos calcular a adjunta de B b11 111 det 3 2 0 2 6 b12 112 det 0 2 0 2 0 b13 113 det 0 3 0 0 0 b21 121 det 2 3 0 2 4 b22 122 det 1 3 0 2 2 b23 123 det 1 2 0 0 0 b31 131 det 3 2 3 2 5 b32 132 det 0 0 1 3 2 b33 133 det 1 2 0 3 3 Assim a adjunta de B é adjB 6 0 0 4 2 0 5 2 3t 6 4 5 0 2 2 0 0 3 Na definição do determinante são multiplicados os elementos de uma linha pelos cofatores da mesma linha O teorema seguinte diz o que acontece se somamos os produtos dos elementos de uma linha com os cofatores de outra linha ou se somamos os produtos dos elementos de uma coluna com os cofatores de outra coluna Cópia Digital 22 Determinantes 123 Lema 217 Se A é uma matriz n n então ak1 ai1 ak2 ai2 akn ain 0 se k i 210 a1k a1j a2k a2j ank anj 0 se k j 211 em que aij 1ij det Aij é o cofator do elemento aij para i j 1 n Demonstração Para demonstrar a equação 210 definimos a matriz A como sendo a matriz obtida de A substituindo a iésima linha de A por sua késima linha ou seja A A1 Ai Ak An i k e A A1 Ak Ak An i k Assim A possui duas linhas iguais e pelo Corolário 212 na página 107 detA 0 Mas o determinante de A desenvolvido segundo a sua iésima linha é exata mente a equação 210 A demonstração de 211 é feita de forma análoga mas usando o item d do Teo rema 213 ou seja que detA detAt Julho 2013 Reginaldo J Santos Teorema 218 Se A é uma matriz n n então AadjA adjAA detA In Demonstração O produto da matriz A pela matriz adjunta de A é dada por a11 a12 a1n ai1 ai2 ain an1 an2 anp ã11 ãj1 ãn1 ã12 ãj2 ãn2 ã1n ãjp ãnn O elemento de posição i j de A adjA é A adjAij Σ k1n aik ãjk ai1 ãj1 ai2 ãj2 ain ãjn Pelo Lema 217 equação 210 e do Teorema 211 na página 107 seguese que A adjAij detA se i j 0 se i j Cópia Digital 22 Determinantes 125 Assim A adjA detA 0 0 0 detA 0 0 0 detA detAIn Analogamente usando Lema 217 equação 211 se prova que adjA A detAIn Exemplo 220 Vamos mostrar que se uma matriz A é singular então adjA tam bém é singular Vamos separar em dois casos a Se A 0 então adjA também é a matriz nula que é singular b Se A 0 então pelo Teorema 218 na página 124 adjA A 0 Mas então se adjA fosse invertível então A seria igual à matriz nula por que que estamos assumindo não ser este o caso Portanto adjA tem que ser singular Corolário 219 Seja A uma matriz n n Se detA 0 então A1 1 detAadjA Julho 2013 Reginaldo J Santos Demonstração Se detA 0 então definindo B 1 detA adjA pelo Teorema 218 temos que AB A1 detA adjA 1 detA A adjA 1 detA detA In In Aqui usamos a propriedade j do Teorema 11 na página 9 Portanto A é invertível e B é a inversa de A Exemplo 221 No Exemplo 217 na página 117 mostramos como obter rapidamente a inversa de ma matriz 2 2 Usando o Corolário 219 podemos também obter a inversa de uma matriz 2 2 A a b c d A1 1 detA adjA 1 detA d b c a se detA 0 Ou seja a inversa de uma matriz 2 2 é facilmente obtida trocandose a posição dos elementos da diagonal principal trocandose o sinal dos outros elementos e dividindose todos os elementos pelo determinante de A Exemplo 222 Vamos calcular a inversa da matriz B 1 2 3 0 3 2 0 0 2 Cópia Digital 22 Determinantes 127 A sua adjunta foi calculada no Exemplo 219 na página 122 Assim B1 1 detBadjB 1 6 6 4 5 0 2 2 0 0 3 1 2 3 5 6 0 1 3 1 3 0 0 1 2 Corolário 220 Regra de Cramer Se o sistema linear AX B é tal que a matriz A é n n e invertível então a solução do sistema é dada por x1 detA1 detA x2 detA2 detA xn detAn detA em que Aj é a matriz que se obtem de A substituindose a sua jésima coluna por B para j 1 n Demonstração Como A é invertível pelo Corolário 219 X A1 B 1 detAadjAB A entrada xj é dada por xj 1 detAa1jb1 anjbn detAj detA em que Aj é a matriz que se obtem de A substituindose a sua jésima coluna por B para j 1 n e detAj foi calculado fazendo o desenvolvimento em cofatores em relação a jésima coluna de Aj Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 128 Inversão de Matrizes e Determinantes Se a matriz A não é invertível então a regra de Cramer não pode ser aplicada Pode ocorrer que detA detAj 0 para j 1 n e o sistema não tenha solução verifique A regra de Cramer tem um valor teórico por fornecer uma fórmula para a solução de um sistema linear quando a matriz do sistema é quadrada e invertível Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Exercícios Numéricos respostas na página 560 221 Se detA 3 encontre a detA2 b detA3 c detA1 d detAt 222 Se A e B são matrizes n x n tais que detA 2 e detB 3 calcule detAt B1 223 Seja A aij3x3 tal que detA 3 Calcule o determinante das matrizes a seguir a a11 a12 a13 a12 a21 a22 a23 a22 a31 a32 a33 a32 b a11 a12 a11 a12 a13 a21 a22 a21 a22 a23 a31 a32 a31 a32 a33 224 Calcule o determinante das matrizes a seguir a ert t ert r ert 1 rt ert b cos βt sen βt α cos βt β sen βt α sen βt β cos βt 225 Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operações elementares para transformálas em matrizes triangulares superiores a 1 2 3 1 5 9 6 3 1 2 6 2 2 8 6 1 b 2 1 3 1 1 0 1 1 0 2 1 0 0 1 2 3 226 Determine todos os valores de λ para os quais detA λ In 0 em que a A 0 1 2 0 0 3 0 0 0 b A 1 0 0 1 3 0 3 2 2 c A 2 2 3 0 3 2 0 1 2 d A 2 2 3 1 2 1 2 2 1 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 130 Inversão de Matrizes e Determinantes 227 Determine os valores de λ R tais que existe X x1 xn 0 que satisfaz AX λX a A 2 0 0 3 1 0 0 4 3 b A 2 3 0 0 1 0 0 0 2 c A 1 2 3 4 0 1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 d A 2 2 3 4 0 2 3 2 0 0 1 1 0 0 0 1 228 Para as matrizes do exercício anterior e os valores de λ encontrados encontre a solução geral do sistema AX λX ou equivalentemente do sistema homogêneo A λInX 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 22 Determinantes 131 Exercícios usando o MATLAB Comandos do MATLAB detA calcula o determinante da matriz A Comando do pacote GAAL detopelpA calcula o determinante de A aplicando operações elementares até que a matriz esteja na forma triangular superior 229 Vamos fazer um experimento no MATLAB para tentar ter uma idéia do quão comum é encontrar ma trizes invertíveis No prompt do MATLAB digite a seguinte linha c0 for n11000Arandi2ifdetA0cc1endendc não esqueça das vírgulas e pontos e vírgulas O que esta linha está mandando o MATLAB fazer é o seguinte Criar um contador c e atribuir a ele o valor zero Atribuir à variável A 1000 matrizes 2 2 com entradas inteiras aleatórias entre 5 e 5 Se detA 0 então o contador c é acrescido de 1 No final o valor existente na variável c é escrito Qual a conclusão que você tira do valor obtido na variável c 2210 Resolva com o MATLAB os Exercícios Numéricos a partir do Exercício 4 Exercícios Teóricos 2211 Mostre que se detAB 0 então ou A é singular ou B é singular 2212 O determinante de AB é igual ao determinante de BA Justifique 2213 Mostre que se A é uma matriz não singular tal que A2 A então detA 1 Julho 2013 Reginaldo J Santos 2214 Mostre que se Ak 0 para algum k inteiro positivo então A é singular 2215 Mostre que se At A1 então detA 1 2216 Mostre que se α é um escalar e A é uma matriz n x n então detα A αn detA 2217 Mostre que A n x n é invertível se e somente se At A é invertível 2218 Sejam A e P matrizes n x n sendo P invertível Mostre que detP1 A P detA 2219 Mostre que se uma matriz A aijn x n é triangular superior isto é os elementos situados abaixo da diagonal são iguais a zero então detA a11 a22 ann 2220 a Mostre que se A a b c d então detA 0 se e somente se uma linha é múltiplo escalar da outra E se A for uma matriz n x n b Mostre que se uma linha Ai de uma matriz A aijn x n é tal que Ai α Ak β Al para α e β escalares e i k l então detA 0 c Mostre que se uma linha Ai de uma matriz A aijn x n é tal que Ai Σk i αk Ak para α1 αk escalares então detA 0 2221 Mostre que o determinante de Vandermonde é dado por Vn det 1 x1 x12 x1n1 1 x2 x22 x2n1 1 xn xn2 xnn1 Πij xi xj A expressão à direita significa o produto de todos os termos xi xj tais que i j e ij 1n Sugestão Mostre primeiro que V3 x3 x2x2 x1x3 x1 Suponha que o resultado é verdadeiro para matrizes de Vandermonde de ordem n 1 mostre que o resultado é verdadeiro para matrizes de Vandermonde de ordem n Faça as seguintes operações nas colunas da matriz x1 Ci1 Ci Ci para i n 2 Obtenha Vn xn x1x2 x1 Vn1 Matriz Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 2222 Sejam A B e D matrizes p x p p x n p e n p x n p respectivamente Mostre que det A B 0 D detA detD Sugestão O resultado é claramente verdadeiro para n 2 Suponha que o resultado seja verdadeiro para matrizes de ordem n 1 Desenvolva o determinante da matriz em termos da 1ª coluna escreva o resultado em termos de determinantes de ordem n 1 e mostre que o resultado é verdadeiro para matrizes de ordem n 2223 Dê um exemplo de sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas A X B em que detA detA1 detA2 detA3 0 e o sistema não tenha solução em que Aj é a matriz que se obtém de A substituindose a sua jésima coluna por B para j 1 n Julho 2013 Reginaldo J Santos Apêndice III Demonstração do Teorema 211 na página 107 Demonstração do Teorema 210 na página 105 para k 1 Deixamos como exercício para o leitor a verificação de que para matrizes 2x2 o resultado é verdadeiro Supondo que o resultado seja verdadeiro para matrizes n 1 x n 1 vamos provar para matrizes n x n Sejam A A1 Ak1 αX βY Ak1 An B A1 Ak1 X Ak1 An e C A1 Ak1 Y Ak1 An Suponha que k 2 n As matrizes A1j B1j e C1j só diferem na k1ésima linha lembrese que a primeira linha é retirada Além disso a k1ésima linha de A1j é igual a α vezes a linha correspondente de B1j mais β vezes a linha correspondente de C1j esta é a relação que vale para a késima linha de A Como estamos supondo o resultado verdadeiro para matrizes n1 x n1 então detA1j α detB1j β detC1j Assim detA sum from j1 to n of 11j a1j detA1j sum from j1 to n of 11j a1j α detB1j β detC1j α sum from j1 to n of 11j b1j detB1j β sum from j1 to n of 11j c1j detC1j α detB β detC Cópia Digital 22 Determinantes 135 pois a1j b1j c1j para j 1 n Lema 221 Sejam E1 1 0 0 E2 0 1 0 0 En 0 0 1 Se A é uma matriz n n cuja iésima linha é igual a Ek para algum k 1 k n então detA 1ik det Aik Demonstração É fácil ver que para matrizes 2 2 o lema é verdadeiro Suponha que ele seja verdadeiro para matrizes n 1 n 1 e vamos provar que ele é verdadeiro para matrizes n n Podemos supor que 1 i n Seja Bj a matriz n 2 n 2 obtida de A eliminandose as linhas 1 e i e as colunas j e k para 1 j n Para j k a matriz A1j é uma matriz n 1 n 1 cuja i 1ésima linha é igual a Ek1 Para j k a matriz A1j é uma matriz n 1 n 1 cuja i 1ésima linha é igual a Ek Como estamos supondo o lema verdadeiro para estas matrizes e como pelo Teorema 210 na página 105 se uma matriz tem uma linha nula o seu determinante é igual a zero então det A1k 0 seguese que det A1j 1i1k1 detBj se j k 0 se j k 1i1k detBj se j k 212 Julho 2013 Reginaldo J Santos Usando 212 obtemos detA sum from j1 to n of 11j a1j detAij sum over jk of 11j a1j 1i1k1 detBj sum over jk of 11j a1j 1i1k detBj Por outro lado temos que 1ik detAik 1ik sum over jk of 11j a1j detBj sum over jk of 11j1 a1j detBj É simples a verificação de que as duas expressões acima são iguais Demonstracao do Teorema 211 na pagina 107 Pelo Teorema 214 na pagina 113 basta provarmos o resultado para o desenvolvimento em termos das linhas de A Sejam E1 1 0 0 E2 0 1 0 0 En 0 0 1 Observe que a linha i de A pode ser escrita como Ai sum from j1 to n of aij Ej Seja Bj a matriz obtida de A substituindose a linha i por Ej Pelo Teorema 210 na pagina 105 e o Lema 221 seguese que detA sum from j1 to n of aij detBj sum from j1 to n of 1ij aij detAij Cópia Digital 22 Determinantes 137 Teste do Capítulo 1 Calcule o determinante da matriz seguinte usando operações elementares para transformála em uma matriz triangular superior 1 3 9 7 2 3 2 5 0 3 4 1 4 6 9 1 2 Se possível encontre a inversa da seguinte matriz 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 2 3 Encontre todos os valores de λ para os quais a matriz A λI4 tem inversa onde A 2 0 0 0 2 0 0 0 1 2 1 0 3 2 1 2 4 Responda Verdadeiro ou Falso justificando Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 138 Inversão de Matrizes e Determinantes a Se A2 2A4 então I A21 I 2A2 b Se At A2 e A é não singular então determinante de A é 1 c Se B AAtA1 então detA detB d detA B det A det B Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 3 VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO Muitas grandezas físicas como velocidade força deslocamento e impulso para se rem completamente identificadas precisam além da magnitude da direção e do sentido Estas grandezas são chamadas grandezas vetoriais ou simplesmente veto res Geometricamente vetores são representados por segmentos de retas orientados segmentos de retas com um sentido de percurso no plano ou no espaço A ponta da seta do segmento orientado é chamada ponto final ou extremidade e o outro ponto extremo é chamado de ponto inicial ou origem do segmento orientado Segmentos orientados com mesma direção mesmo sentido e mesmo comprimento representam o mesmo vetor A direção o sentido e o comprimento do vetor são definidos como sendo a direção o sentido e o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam Este fato é análogo ao que ocorre com os números racionais e as frações Duas fra ções representam o mesmo número racional se o numerador e o denominador de cada uma delas estiverem na mesma proporção Por exemplo as frações 12 24 Cópia Digital 140 Vetores no Plano e no Espaço Figura 31 Segmentos orientados representando o mesmo vetor Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 e 36 representam o mesmo número racional A definição de igualdade de vetores também é análoga a igualdade de números racionais Dois números racionais ab e cd são iguais quando ad bc Dizemos que dois vetores são iguais se eles possuem o mesmo comprimento a mesma direção e o mesmo sentido Na Figura 31 temos 4 segmentos orientados com origens em pontos diferentes que representam o mesmo vetor ou seja são considerados como vetores iguais pois possuem a mesma direção mesmo sentido e o mesmo comprimento Se o ponto inicial de um representante de um vetor V é A e o ponto final é B então escrevemos V AB 31 Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar A soma V W de dois vetores V e W é definida pelo vetor obtido da seguinte forma a tome um segmento orientado que representa V b tome um segmento orientado que representa W com origem na extremidade de V c o vetor V W é representado pelo segmento orientado que vai da origem de V até a extremidade de W Cópia Digital 142 Vetores no Plano e no Espaço W V V W V W W V Figura 32 V W W V W V U W U V W V W U V W U Figura 33 V W U V W U Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 31 Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar 143 Da Figura 32 deduzimos que a soma de vetores é comutativa ou seja V W W V 31 para quaisquer vetores V e W Observamos também que a soma V W está na diagonal do paralelogramo determinado por V e W quando estão representados com a mesma origem Da Figura 33 deduzimos que a soma de vetores é associativa ou seja V W U V W U 32 para quaisquer vetores V W e U O vetor que tem a sua origem coincidindo com a sua extremidade é chamado vetor nulo e denotado por 0 Segue então que V 0 0 V V 33 para todo vetor V Para qualquer vetor V o simétrico de V denotado por V é o vetor que tem mesmo comprimento mesma direção e sentido contrário ao de V Segue então que V V 0 34 Definimos a diferença W menos V por W V W V Segue desta definição de 31 32 34 e de 33 que W V W V W W V W W V 0 V Assim a diferença V W é um vetor que somado a W dá V portanto ele vai da extremidade de W até a extremidade de V desde que V e W estejam representados por segmentos orientados com a mesma origem Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 144 Vetores no Plano e no Espaço W W V V W W V V W Figura 34 A diferença V W Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 31 Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar 145 A multiplicação de um vetor V por um escalar α α V se α 0 e V 0 é definida pelo vetor caracterizado por a tem comprimento α vezes o comprimento de V b a direção é a mesma de V neste caso dizemos que eles são paralelos c tem o mesmo sentido de V se α 0 e tem o sentido contrário ao de V se α 0 Se α 0 ou V 0 definimos a multiplicação do vetor V pelo escalar α como sendo o vetor nulo α V 0 As propriedades da multiplicação por escalar serão apresentadas mais a frente Se W α V dizemos que W é um múltiplo escalar de V É fácil ver que dois vetores não nulos são paralelos ou colineares se e somente se um é um múltiplo escalar do outro Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 146 Vetores no Plano e no Espaço V 2V 3V 1 2 V Figura 35 Multiplicação de vetor por escalar Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Quando um vetor V está representado por um segmento orientado com ponto inicial fora da origem Figura 313 digamos em P x1 y1 z1 e ponto final em Q x2 y2 z2 então as componentes do vetor V são dadas por V overrightarrowPQ overrightarrowOQ overrightarrowOP x2 x1 y2 y1 z2 z1 Portanto as componentes de V são obtidas subtraindose as coordenadas do ponto Q extremidade das do ponto P origem O mesmo se aplica a vetores no plano Exemplo 32 As componentes do vetor V que tem um representante com ponto inicial P 5212 e ponto final Q 05252 são dadas por V overrightarrowPQ 0 52 52 152 2 52 3212 Observação O vetor é livre ele não tem posição fixa ao contrário do ponto e do segmento orientado Por exemplo o vetor V 52 32 12 no exemplo acima estava representado por um segmento orientado com a origem no ponto P 52 1 2 Mas poderia ser representado por um segmento orientado cujo ponto inicial poderia estar em qualquer outro ponto Um vetor no espaço V v1 v2 v3 pode também ser escrito na notação matricial como uma matriz linha ou como uma matriz coluna V v1 v2 v3 ou V v1 v2 v3 Cópia Digital 31 Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar 147 As operações com vetores podem ser definidas utilizando um sistema de coordena das retangulares ou cartesianas Em primeiro lugar vamos considerar os vetores no plano Seja V um vetor no plano Definimos as componentes de V como sendo as coorde nadas v1 v2 do ponto final do representante de V que tem ponto inicial na origem Vamos identificar o vetor com as suas componentes e vamos escrever simplesmente V v1 v2 Julho 2013 Reginaldo J Santos Estas notações podem ser justificadas pelo fato de que as operações matriciais V W v1 v2 v3 w1 w2 w3 v1 w1 v2 w2 v3 w3 αV α v1 v2 v3 αv1 αv2 αv3 ou V W v1 v2 v3 w1 w2 w3 v1 w1 v2 w2 v3 w3 αV α v1 v2 v3 αv1 αv2 αv3 produzem os mesmos resultados que as operações vetoriais V W v1 v2 v3 w1 w2 w3 v1 w1 v2 w2 v3 w3 αV α v1 v2 v3 αv1 αv2 αv3 O mesmo vale naturalmente para vetores no plano No teorema seguinte enunciamos as propriedades mais importantes da soma de vetores e multiplicação de vetores por escalar Cópia Digital 148 Vetores no Plano e no Espaço x y V v1 v2 v2 O v1 Figura 36 As componentes do vetor V no plano x y P x y OP y O x Figura 37 As coordenadas de P são iguais as componentes de OP Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 31 Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar 149 Assim as coordenadas de um ponto P são iguais as componentes do vetor OP que vai da origem do sistema de coordenadas ao ponto P Em particular o vetor nulo 0 0 0 Em termos das componentes podemos realizar facilmente as operações soma de vetores e multiplicação de vetor por escalar Como ilustrado na Figura 38 a soma de dois vetores V v1 v2 e W w1 w2 é dada por V W v1 w1 v2 w2 Como ilustrado na Figura 39 a multiplicação de um vetor V v1 v2 por um escalar α é dada por α V α v1 α v2 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 150 Vetores no Plano e no Espaço x y v2 w2 v2w2 v1 w1 v1w1 V W VW Figura 38 A soma de dois vetores no plano x y v2 αv2 v1 αv1 V αV Figura 39 A multiplicação de vetor por escalar no plano Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 31 Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar 151 Definimos as componentes de um vetor no espaço de forma análoga a que fizemos com vetores no plano Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas retangulares no espaço Para isto escolhemos um ponto como origem O e como ei xos coordenados três retas orientadas com sentido de percurso definido passando pela origem perpendiculares entre si sendo uma delas vertical orientada para cima Estes serão os eixos x y e z O eixo z é o eixo vertical Os eixos x e y são horizontais e satisfazem a seguinte propriedade Suponha que giramos o eixo x pelo menor ân gulo até que coincida com o eixo y Se os dedos da mão direita apontam na direção do semieixo x positivo de forma que o semieixo y positivo esteja do lado da palma da mão então o polegar aponta no sentido do semieixo z positivo Cada par de ei xos determina um plano chamado de plano coordenado Portanto os três planos coordenados são xy yz e xz A cada ponto P no espaço associamos um terno de números x y z chamado de coordenadas do ponto P como segue Trace uma reta paralela ao eixo z passando por P A interseção da reta paralela ao eixo z passando por P com o plano xy é o ponto P As coordenadas de P x y no sistema de coordenadas xy são as duas primeiras coordenadas de P A terceira coordenada é igual ao comprimento do segmento PP se P estiver acima do plano xy e ao comprimento do segmento PP com o sinal negativo se P estiver abaixo do plano xy Julho 2013 Reginaldo J Santos Exemplo 35 Vamos mostrar usando vetores que o ponto médio de um segmento que une os pontos A x1 y1 z1 e B x2 y2 z2 é M x1 x22 y1 y22 z1 z22 O ponto M é o ponto médio de AB se e somente se overrightarrowAM 12 overrightarrowAB Então aplicando o exemplo anterior com o ponto C sendo a origem O overrightarrowOM 12 overrightarrowOA 12 overrightarrowOB Como as coordenadas de um ponto são iguais as componentes do vetor que vai da origem até aquele ponto seguese que overrightarrowOM 12 x1 y1 z1 12 x2 y2 z2 e M x1 x22 y1 y22 z1 z22 Cópia Digital 152 Vetores no Plano e no Espaço x y z P x y z z P y x x y z P x y z y x z Figura 310 As coordenadas de um ponto no espaço Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 31 Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar 153 As coordenadas de um ponto P são determinadas também da maneira dada a seguir Passe três planos por P paralelos aos planos coordenados A interseção do plano paralelo ao plano xy passando por P com o eixo z de termina a coordenada z A interseção do plano paralelo ao plano xz passando por P com o eixo y de termina a coordenada y A interseção do plano paralelo ao plano yz passando por P com o eixo x de termina a coordenada x Agora estamos prontos para utilizarmos um sistema de coordenadas cartesianas também nas operações de vetores no espaço Seja V um vetor no espaço Como no caso de vetores do plano definimos as componentes de V como sendo as coordena das v1 v2 v3 do ponto final do representante de V que tem ponto inicial na origem Também vamos identificar o vetor com as suas componentes e vamos escrever sim plesmente V v1 v2 v3 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 154 Vetores no Plano e no Espaço x y z V v1 v2 v3 v2 v1 v3 Figura 311 As componentes de um vetor no espaço x y z P x y z OP O y x z Figura 312 As coordenadas de P são iguais as componentes de OP Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 31 Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar 155 Assim as coordenadas de um ponto P são iguais as componentes do vetor OP que vai da origem do sistema de coordenadas ao ponto P Em particular o vetor nulo 0 0 0 0 Assim como fizemos para vetores no plano para vetores no espaço a soma de vetores e a multiplicação de vetor por escalar podem ser realizadas em termos das componentes Se V v1 v2 v3 e W w1 w2 w3 então a adição de V com W é dada por V W v1 w1 v2 w2 v3 w3 Se V v1 v2 v3 e α é um escalar então a multiplicação de V por α é dada por α V α v1 α v2 α v3 Exemplo 31 Se V 1 2 3 W 2 4 1 então V W 1 2 2 4 3 1 3 2 2 3V 3 1 3 2 3 3 3 6 9 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 156 Vetores no Plano e no Espaço x y z Q P O V Figura 313 V PQ OQ OP Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 31 Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar 159 Teorema 31 Sejam U V e W vetores e α e β escalares São válidas as seguintes propriedades a U V V U b U V W U V W c U 0 U d U U 0 e αβU αβU f αU V αU αV g α βU αU βU h 1U U Demonstração Segue diretamente das propriedades da álgebra matricial Teorema 11 na página 9 Exemplo 33 Seja um triângulo ABC e sejam M e N os pontos médios de AC e BC respectivamente Vamos provar que MN é paralelo a AB e tem comprimento igual à metade do comprimento de AB Devemos provar que MN 1 2 AB Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 160 Vetores no Plano e no Espaço A B C M N Agora a partir da figura acima temos que MN MC CN Como M é ponto médio de AC e N é ponto médio de BC então MC 1 2 AC e CN 1 2 CB Logo MN 1 2 AC 1 2 CB 1 2 AC CB 1 2 AB Exemplo 34 Dados quatro pontos A B C e X tais que AX λ AB vamos escre ver CX como combinação linear de CA e CB isto é como uma soma de múltiplos escalares de CA e CB Como AX λ AB então os vetores AX e AB são paralelos e portanto o ponto X só pode estar na reta definida por A e B Vamos desenhálo entre A e B mas isto não representará nenhuma restrição como veremos a seguir Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 31 Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar 161 O vetor que vai de C para X pode ser escrito como uma soma de um vetor que vai de C para A com um vetor que vai de A para X CX CA AX A B C X Agora por hipótese AX λ AB o que implica que CX CA λ AB Mas AB CB CA portanto CX CA λ CB CA Logo CX 1 λ CA λ CB Observe que Se λ 0 então CX CA Se λ 1 então CX CB Se λ 12 então CX 1 2 CA 1 2 CB Se λ 13 então CX 2 3 CA 1 3 CB Se 0 λ 1 então X pertence ao segmento AB enquanto que se λ 0 ou λ 1 então X pertence a um dos prolongamentos do segmento AB Julho 2013 Reginaldo J Santos Exercícios Numéricos respostas na página 568 311 Determine o ponto C tal que AC 2 AB sendo A 0 2 e B 10 312 Uma reta no plano tem equação y 2x 1 Determine um vetor paralelo a esta reta 313 Determine uma equação para a reta no plano que é paralela ao vetor V 23 e passa pelo ponto P₀ 12 314 Determine o vetor X tal que 3X 2V 15X U 315 Determine os vetores X e Y tais que 6X 2Y U 3X Y U V 316 Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor V 303 sabendose que sua origem está no ponto P 235 317 Quais são as coordenadas do ponto P simétrico do ponto P 103 em relação ao ponto M 121 Sugestão o ponto P é tal que o vetor MP MP 318 Verifique se os pontos dados a seguir são colineares isto é pertencem a uma mesma reta a A 513 B 034 e C 035 b A 113 B 423 e C 14415 319 Dados os pontos A 123 B 521 e C 401 Determine o ponto D tal que A B C e D sejam vértices consecutivos de um paralelogramo 3110 Verifique se o vetor U é combinação linear soma de múltiplos escalares de V e W a V 9126 W 171 e U 462 b V 543 W 211 e U 341 3111 Verifique se é um paralelogramo o quadrilátero de vértices não necessariamente consecutivos Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 164 Vetores no Plano e no Espaço a A 4 1 1 B 9 4 2 C 4 3 4 e D 4 21 14 b A 4 1 1 B 9 4 2 C 4 3 4 e D 9 0 5 3112 Quais dos seguintes vetores são paralelos U 6 4 2 V 9 6 3 W 15 10 5 Exercícios usando o MATLAB Vv1v2v3 cria um vetor V usando as componentes numéricas v1 v2 v3 Por exemplo V123 cria o vetor V 1 2 3 VW é a soma de V e W VW é a diferença V menos W numV é o produto do vetor V pelo escalar num subsexprxnum substitui x por num na expressão expr solveexpr determina a solução da equação expr0 Comandos gráficos do pacote GAAL desvetPV desenha o vetor V com origem no ponto P e desvetV desenha o vetor V com origem no ponto O 0 0 0 poP1P2Pn desenha os pontos P1 P2 Pn linesegP1P2cor desenha o segmento de reta P1P2 texPtexto coloca o texto no ponto P axiss reescala os eixos com a mesma escala eixos desenha os eixos coordenados box desenha uma caixa em volta da figura rota faz uma rotação em torno do eixo z zoom3fator amplifica a região pelo fator 3113 Coloque em duas variáveis V e W dois vetores do plano ou do espaço a seu critério a Use a função ilsvwVW para visualizar a soma dos dois vetores Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 31 Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar 165 b Coloque em uma variável a um número e use a função ilavaV para visualizar a multiplicação do vetor V pelo escalar a 3114 Use o MATLAB para resolver os Exercícios Numéricos a partir do Exercício 13 Exercícios Teóricos 3115 Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e sua medida é a média aritmética das medidas das bases Sugestão mostre que MN 1 2 AB DC e depois conclua que MN é um múltiplo escalar de AB Revise o Exemplo 33 na página 159 A B C M N D 3116 Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio Sugestão Sejam M e N os pontos médios das duas diagonais do paralelogramo Mostre que o vetor MN 0 então conclua que M N Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 166 Vetores no Plano e no Espaço A B C M N D 3117 Considere o triângulo ABC e sejam M o ponto médio de BC N o ponto médio de AC e P o ponto médio de AB Mostre que as medianas os segmentos AM BN e CP se cortam num mesmo ponto que divide as medianas na proporção 23 e 13 Sugestão Sejam G H e I os pontos definidos por AG 2 3 AM BH 2 3 BN e CI 2 3 CP Mostre que GH 0 GI 0 conclua que G H I A B C M P N G H I 3118 Sejam A B e C pontos quaisquer com A B Prove que a Um ponto X pertence a reta determinada por A e B AX λ AB se e somente se CX α CA β CB com α β 1 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 31 Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar 167 b Um ponto X pertence ao interior do segmento AB AX λ AB com 0 λ 1 se e somente se CX α CA β CB com α 0 β 0 e α β 1 c Um ponto X é um ponto interior ao triângulo ABC AX λ AB com 0 λ 1 em que A é um ponto interior ao segmento AC e B é interior ao segmento CB se e somente se CX α CA β CB com α 0 β 0 e α β 1 A B C 3119 Mostre que se αV 0 então α 0 ou V 0 3120 Se αU αV então U V E se α 0 3121 Se αV βV então α β E se V 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos 32 Produtos de Vetores 321 Norma e Produto Escalar Já vimos que o comprimento de um vetor V é definido como sendo o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam O comprimento do vetor V também é chamado de norma de V e é denotadoa por V Segue do Teorema de Pitágoras que a norma de um vetor pode ser calculada usando as suas componentes por V v₁²v₂² no caso em que V v₁v₂ é um vetor no plano e por V v₁²v₂²v₃² no caso em que V v₁v₂v₃ é um vetor no espaço verifique usando as Figuras 314 e 315 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 32 Produtos de Vetores 169 x y V V v1 v2 v2 v1 Figura 314 A norma de um vetor V no plano x y z V v1 v2 v3 v2 v1 v3 Figura 315 A norma de um vetor V no espaço Julho 2013 Reginaldo J Santos Um vetor de norma igual a 1 é chamado vetor unitário A distância entre dois pontos P x₁y₁z₁ e Q x₂y₂z₂ é igual à norma do vetor PQ Figura 313 na página 156 Como PQOQ OP x₂ x₁y₂ y₁z₂ z₁ então a distância de P a Q é dada por distPQ PQ x₂ x₁² y₂ y₁² z₂ z₁² Analogamente a distância entre dois pontos P x₁y₁ e Q x₂y₂ no plano é igual à norma do vetor PQ que é dada por distPQ PQ x₂ x₁² y₂ y₁² Exemplo 36 A norma do vetor V 123 é V 1² 2² 3² 14 A distância entre os pontos P 231 e Q 145 é distPQ PQ 124351 374 3² 7² 4² 74 Se V v₁v₂v₃ e α é um escalar então da definição da multiplicação de vetor por escalar e da norma de um vetor seguese que αV αv₁αv₂αv₃ αv₁² αv₂² αv₃² α²v₁² v₂² v₃² Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 ou seja αV α V Dado um vetor V não nulo o vetor U 1V V é um vetor unitário na direção de V pois por 35 temos que U 1V V 1 Exemplo 37 Um vetor unitário na direção do vetor V 1 2 3 é o vetor U 1V V 1141 2 3 114 214 314 O ângulo entre dois vetores não nulos V e W é definido pelo ângulo θ determinado por V e W que satisfaz 0 θ π quando eles estão representados com a mesma origem Figura 316 Quando o ângulo θ entre dois vetores V e W é reto θ 90 ou um deles é o vetor nulo dizemos que os vetores V e W são ortogonais ou perpendiculares entre si Cópia Digital 172 Vetores no Plano e no Espaço W V θ W V θ Figura 316 Ângulo entre dois vetores agudo à esquerda e obtuso à direita Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Vamos definir agora um produto entre dois vetores cujo resultado é um escalar Por isso ele é chamado produto escalar Este produto tem aplicação por exemplo em Física o trabalho realizado por uma força é o produto escalar do vetor força pelo vetor deslocamento quando a força aplicada é constante Definição 31 O produto escalar ou interno de dois vetores V e W é definido por V W 0 se V ou W é o vetor nulo V W cos θ caso contrário em que θ é o ângulo entre eles Cópia Digital 174 Vetores no Plano e no Espaço Quando os vetores são dados em termos das suas componentes não sabemos direta mente o ângulo entre eles Por isso precisamos de uma forma de calcular o produto escalar que não necessite do ângulo entre os vetores Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 32 Produtos de Vetores 175 W V V W θ W V θ V W Figura 317 Triângulo formado por representantes de V W e V W À esquerda o ângulo entre V e W é agudo e à direita é obtuso Julho 2013 Reginaldo J Santos Se V e W são dois vetores não nulos e θ é o ângulo entre eles então pela lei dos cossenos V W² V² W² 2V W cos θ Assim V W V W cos θ 12 V² W² V W² Já temos então uma fórmula para calcular o produto escalar que não depende diretamente do ângulo entre eles Substituindose as coordenadas dos vetores em 36 obtemos uma expressão mais simples para o cálculo do produto interno Por exemplo se V v₁ v₂ v₃ e W w₁ w₂ w₃ são vetores no espaço então substituindose V² v₁² v₂² v₃² W² w₁² w₂² w₃² e V W² v₁ w₁² v₂ w₂² v₃ w₃² em 36 os termos vᵢ² e wᵢ² são cancelados e obtemos V W v₁ w₁ v₂ w₂ v₃ w₃ Teorema 32 O produto escalar ou interno V W entre dois vetores é dado por V W v₁ w₁ v₂ w₂ se V v₁ v₂ e W w₁ w₂ são vetores no plano e por V W v₁ w₁ v₂ w₂ v₃ w₃ se V v₁ v₂ v₃ e W w₁ w₂ w₃ são vetores no espaço Cópia Digital 32 Produtos de Vetores 177 Exemplo 38 Sejam V 0 1 0 e W 2 2 3 O produto escalar de V por W é dado por V W v1w1 v2w2 v3w3 0 2 1 2 0 3 2 Podemos usar o Teorema 32 para determinar o ângulo entre dois vetores não nulos V e W O cosseno do ângulo entre V e W é então dado por cos θ V W V W Se V e W são vetores não nulos e θ é o ângulo entre eles então a θ é agudo 0 θ 90o se e somente se V W 0 b θ é reto θ 90o se e somente se V W 0 e c θ é obtuso 90o θ 180o se e somente se V W 0 Exemplo 39 Vamos determinar o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas Sejam V1 1 0 0 V2 0 1 0 e V3 0 0 1 Figura 318 Uma diagonal do cubo é representada pelo vetor D dado por D V1 V2 V3 1 1 1 Então o ângulo entre D e V1 satisfaz cos θ D V1 DV1 11 01 01 12 12 12 12 02 02 1 3 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 178 Vetores no Plano e no Espaço ou seja θ arccos 1 3 54o Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 32 Produtos de Vetores 179 x y z 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 θ Figura 318 Ângulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas arestas Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 180 Vetores no Plano e no Espaço Teorema 33 Sejam U V e W vetores e α um escalar São válidas as seguintes propriedades a U V V U b U V W U V U W c αU V αU V U αV d V V V2 0 para todo V e V V 0 se e somente se V 0 Demonstração Sejam U u1 u2 u3 V v1 v2 v3 e W w1 w2 w3 a U V u1v1 u2v2 u3v3 v1u1 v2u2 v3u3 V U b U V W u1 u2 u3 v1 w1 v2 w2 v3 w3 u1v1 w1 u2v2 w2 u3v3 w3 u1v1 u1w1 u2v2 u2w2 u3v3 u3w3 u1v1 u2v2 u3v3 u1w1 u2w2 u3w3 U V U W c αU V αu1v1 u2v2 u3v3 αu1v1 αu2v2 αu3v3 αU V d V V V2 é uma soma de quadrados por isso é sempre maior ou igual a zero e é zero se e somente se todas as parcelas são iguais a zero 322 Projeção Ortogonal Dados dois vetores V e W a projeção ortogonal de V sobre W denotada por projW V é o vetor que é paralelo a W tal que V projW V seja ortogonal a W Figura 319 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 32 Produtos de Vetores 181 W V V projW V projW V W V V projW V projW V Figura 319 Projeção ortogonal do vetor V sobre o vetor W Julho 2013 Reginaldo J Santos Proposição 34 Seja W um vetor não nulo Então a projeção ortogonal de um vetor V em W é dada por projW V V W W² W Demonstração Sejam V₁ projW V e V₂ V projW V Como V₁ é paralelo a W então V₁ αW Assim V₂ V αW Multiplicandose escalarmente V₂ por W e usando o Teorema 33 d obtemos V₂ W V αW W V W αW² Mas V₂ é ortogonal a W então V₂ W 0 Portanto de 38 obtemos α V W W² Substituindo este valor de α na equação 37 seguese o resultado Exemplo 310 Sejam V 2 1 3 e W 4 1 2 Vamos encontrar dois vetores V₁ e V₂ tais que V V₁ V₂ V₁ é paralelo a W e V₂ é perpendicular a W Figura 319 Temos que V W 2 4 11 3 2 15 W² 4² 1² 2² 21 V₁ projW V V W W² W 15214 1 2 207 57 107 V₂ V V₁ 2 1 3 207 57 107 67 27 117 323 Produto Vetorial Vamos agora definir um produto entre dois vetores cujo resultado é um vetor Por isso ele é chamado produto vetorial Este produto tem aplicação por exemplo em Física a força exercida sobre uma partícula com carga unitária mergulhada num campo magnético uniforme é o produto vetorial do vetor velocidade da partícula pelo vetor campo magnético Cópia Digital 184 Vetores no Plano e no Espaço V W W V h W sen θ θ Figura 320 Área de um paralelogramo determinado por dois vetores Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 32 Produtos de Vetores 185 Sejam V e W dois vetores no espaço Definimos o produto vetorial V W como sendo o vetor com as seguintes características a Tem comprimento dado numericamente por V W V W sen θ ou seja a norma de V W é numericamente igual à área do paralelogramo determinado por V e W b Tem direção perpendicular a V e a W c Tem o sentido dado pela regra da mão direita Figura 321 Se o ângulo entre V e W é θ giramos o vetor V de um ângulo θ até que coincida com W e acompanhamos este movimento com os dedos da mão direita então o polegar vai apontar no sentido de V W Se um dos vetores for o vetor nulo o produto vetorial V W é definido como sendo o vetor nulo Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 186 Vetores no Plano e no Espaço V x W W x V θ θ V W V W Figura 321 Regra da mão direita Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 32 Produtos de Vetores 187 Da forma como definimos o produto vetorial é difícil o seu cálculo mas as proprie dades que apresentaremos a seguir possibilitarão obter uma fórmula para o produto vetorial em termos das componentes dos vetores Teorema 35 Sejam U V e W vetores no espaço e α um escalar São válidas as seguintes propriedades a V W W V anticomutatividade b V W 0 se e somente se V αW ou W αV c V W V V W W 0 d αV W αV W V αW e V W U V W V U e V W U V U W U Distributividade em relação a soma de vetores Demonstração a Pela definição do produto vetorial V W e W V têm o mesmo comprimento e a mesma direção Além disso trocandose V por W trocase o sentido de V W Figura 321 b V W 0 se e somente se um deles é o vetor nulo ou sen θ 0 em que θ é o ângulo entre V e W ou seja V e W são paralelos Assim V W 0 se e somente se V αW ou W αV c Seguese imediatamente da definição do produto vetorial d Seguese facilmente da definição do produto vetorial por isso deixamos como exercício para o leitor Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 188 Vetores no Plano e no Espaço e Este item será demonstrado no Apêndice IV na página 210 Os vetores canônicos i 1 0 0 j 0 1 0 e k 0 0 1 são vetores unitários de norma igual a um paralelos aos eixos coordenados Todo vetor V v1 v2 v3 pode ser escrito como uma soma de múltiplos escalares deij ek combinação linear pois V v1 v2 v3 v1 0 0 0 v2 0 0 0 v3 v11 0 0 v20 1 0 v30 0 1 v1i v2j v3k 39 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 32 Produtos de Vetores 189 v2j v1i k i j v3k V v1 v2 v3 Julho 2013 Reginaldo J Santos Da definição de produto vetorial podemos obter facilmente as seguintes relações i i 0 j j 0 k k 0 i j k j k i k i j j i k k j i i k j Agora estamos prontos para obter uma fórmula que dê o produto vetorial de dois vetores em termos das suas componentes Teorema 36 Sejam V v₁ v₂ v₃ e W w₁ w₂ w₃ vetores no espaço Então o produto vetorial V W é dado por V W det v₂ v₃ v₂ v₃ det v₁ v₃ w₁ w₃ det v₁ v₂ w₁ w₂ Demonstração De 39 seguese que podemos escrever V v₁i v₂j v₃k e W w₁i w₂j w₃k Assim pela distributividade do produto vetorial em relação a soma temos que V W v1 i v2 j v3 k w1 i w2 j w3 k v1 w1 i i v1 w2 i j v1 w3 i k v2 w1 j i v2 w2 j j v2 w3 j k v3 w1 k i v3 w2 k j v3 w3 k k v2 w3 v3 w2 i v3 w1 v1 w3 j v1 w2 v2 w1 k det v2 v3 w2 w3 i det v1 v3 w1 w3 j det v1 v2 w1 w2 k det v2 v3 w2 w3 det v1 v3 w1 w3 det v1 v2 w1 w2 Para obter as componentes do produto vetorial V W procedemos como segue Escreva a matriz V W v1 v2 v3 w1 w2 w3 Para calcular a primeira componente de V W elimine a primeira coluna da matriz acima e calcule o determinante da submatriz resultante A segunda componente é obtida eliminandose a segunda coluna e calculandose o determinante da submatriz resultante com o sinal trocado A terceira é obtida como a primeira mas eliminandose a terceira coluna Exemplo 311 Sejam V i 2 j 2 k e W 3 i k Vamos determinar o produto vetorial V W Como V W 1 2 2 3 0 1 então V W det 2 2 0 1 det 1 2 3 1 det 1 2 3 0 2 7 6 Usando os vetores i j e k o produto vetorial V W pode ser escrito em termos do determinante V W det i j k v1 v2 v3 w1 w2 w3 det v2 v3 w2 w3 i det v1 v3 w1 w3 j det v1 v2 w1 w2 k Cópia Digital 32 Produtos de Vetores 193 P Q R Figura 322 Área do triângulo PQR Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 194 Vetores no Plano e no Espaço Exemplo 312 Vamos calcular a área do triângulo PQR em que Figura 322 P 3 2 0 Q 0 4 3 e R 1 0 2 Sejam V RP 3 1 2 0 0 2 2 2 2 W RQ 0 1 4 0 3 2 1 4 1 Então V W 10 0 10 101 0 1 A área do triângulo PQR é a metade da área do paralelogramo com lados determi nados por V e W Assim Área 1 2V W 5 2 324 Produto Misto O produto V W U é chamado produto misto de U V e W O resultado abaixo mostra como calcular o produto misto usando as componentes dos vetores Teorema 37 Sejam U u1i u2j u3k V v1i v2j v3k e W w1i w2j w3k Então V W U det v1 v2 v3 w1 w2 w3 u1 u2 u3 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Demonstração Segue do Teorema 32 na página 176 do Teorema 36 na página 190 e da definição de determinante de uma matriz que V W U u1 u2 u3 det v2 v3 w2 w3 det v1 v3 w1 w3 det v1 v2 w1 w2 u1 det v2 v3 w2 w3 u2 det v1 v3 w1 w3 u3 det v1 v2 w1 w2 det v1 v2 v3 w1 w2 w3 u1 u2 u3 Exemplo 313 O produto misto dos vetores U 2 i j 3 k V i 4 j k e W 5 i j 2 k é V W U det v1 v2 v3 w1 w2 w3 u1 u2 u3 det 1 4 1 5 1 2 2 1 3 84 Cópia Digital 196 Vetores no Plano e no Espaço θ W V U V W h U cos θ Figura 323 Volume do paralelepípedo determinado por V W e U Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 32 Produtos de Vetores 197 Teorema 38 Dados três vetores no espaço U V e W V W U é numericamente igual ao volume do paralelepípedo determinado por U V e W Demonstração O volume do paralelepípedo determinado por U V e W é igual ao produto da área da base pela altura ou seja pela definição do produto vetorial o volume é dado por Volume V W h Mas como vemos na Figura 323 a altura é h U cos θ o que implica que Volume V W U cos θ V W U Exemplo 314 Sejam V 4i W 2i 5j e U 3i 3j 4k O volume do para lelepípedo com um vértice na origem e arestas determinadas por U V e W é dado por volume V W U det 4 0 0 2 5 0 3 3 4 80 80 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 198 Vetores no Plano e no Espaço W V U Figura 324 Paralelepípedo determinado por U V e W do Exemplo 314 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 32 Produtos de Vetores 199 Segue imediatamente do Teorema 37 e do Teorema 38 um critério para saber se três vetores são paralelos a um mesmo plano Corolário 39 Sejam U u1i u2j u3k V v1i v2j v3k e W w1i w2j w3k Estes vetores são coplanares isto é são paralelos a um mesmo plano se e somente se V W U det v1 v2 v3 w1 w2 w3 u1 u2 u3 0 Exemplo 315 Vamos verificar que os pontos P 0 1 1 Q 1 0 2 R 1 2 0 e S 2 2 2 são coplanares isto é pertencem a um mesmo plano Com estes pontos podemos construir os vetores PQ 1 0 0 1 2 1 1 1 1 PR 1 0 2 1 0 1 1 3 1 e PS 2 0 2 1 2 1 2 1 3 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 200 Vetores no Plano e no Espaço Os pontos P Q R e S pertencem a um mesmo plano se e somente se os vetores PQ PR e PS são coplanares E isto acontece se e somente se o produto misto deles é igual zero PR PS PQ det 1 3 1 2 1 3 1 1 1 0 Assim P Q R e S são coplanares O resultado a seguir será usado no próximo capítulo para deduzir as equações para métricas do plano Corolário 310 Sejam U V e W vetores coplanares não nulos no espaço a Então a equação vetorial xU yV zW 0 tem solução não trivial em que x y e z são escalares b Então um dos vetores U V ou W é combinação linear soma de múltiplos escalares dos outros dois c Se V e W são não paralelos então U é combinação linear de V e W Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 32 Produtos de Vetores 201 Demonstração a Seja A a matriz cujas colunas são U V e W escritos como veto res colunas A equação xU yV zW 0 é equivalente ao sistema AX 0 Se U V e W são coplanares então detA detAt U V W 0 Logo a equação xU yV zW 0 tem solução não trivial b Pelo item anterior a equação xU yV zW 0 possui solução não trivial Mas se isto acontece então um dos escalares x ou y ou z pode ser diferente de zero Se x 0 então U yxV zxW ou seja o vetor U é combinação linear de V e W De forma semelhante se y 0 então V é combinação linear de U e W e se z 0 então W é combinação linear de U e V c Como U V e W são coplanares então a equação xU yV zW 0 possui solução não trivial com x 0 Pois caso contrário yV zW 0 com y ou z não simultaneamente nulos o que implicaria que V e W seriam paralelos por que Logo U yxV zxW Exemplo 316 Considere os vetores U PQ 1 1 1 V PR 1 3 1 e W PS 2 1 3 do Exemplo 315 na página 199 A equação xU yV zW 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos é equivalente ao sistema x y 2z 0 x 3y z 0 x y 3z 0 Escalonando a matriz do sistema obtemos 1 1 2 1 3 1 1 1 3 1 1 2 0 2 1 0 2 1 1 1 2 0 2 1 0 0 0 A última matriz corresponde ao sistema x y 2z 0 2y z 0 Assim 5α2 U α2 V αW 0 Logo W 52 U 12 V Verifique que realmente vale esta relação entre os vetores U V e W Cópia Digital 32 Produtos de Vetores 203 Exercícios Numéricos respostas na página 571 321 Determine a equação da reta no plano que é perpendicular ao vetor N 2 3 e passa pelo ponto P0 1 1 322 Seja O 0 0 0 Qual o lugar geométrico dos pontos P x y z tais que OP 2 4 Qual figura é representada pela equação x2 y2 4 323 Sejam V i 2j 3k e W 2i j 2k Determine vetores unitários paralelos aos vetores a V W b V W c 2V 3W 324 Determine o valor de x para o qual os vetores V xi 3j 4k e W 3i j 2k são perpendiculares 325 Demonstre que não existe x tal que os vetores V xi 2j 4k e W xi 2j 3k são perpendiculares 326 Ache o ângulo entre os seguintes pares de vetores a 2i j ej k bi j k e 2j 2k c 3i 3j e 2i j 2k 327 Decomponha W i 3j 2k como a soma de dois vetores W1 e W2 com W1 paralelo ao vetorj 3k e W2 ortogonal a este último Sugestão revise o Exemplo 310 na página 183 328 Ache o vetor unitário da bissetriz do ângulo entre os vetores V 2i 2j k e W 6i 2j 3k Suges tão observe que a soma de dois vetores está na direção da bissetriz se e somente se os dois tiverem o mesmo comprimento Portanto tome múltiplos escalares de V e W de forma que eles tenham o mesmo comprimento e tome o vetor unitário na direção da soma deles 329 Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo plano a A 2 2 1 B 3 1 2 C 2 3 0 e D 2 3 2 b A 2 0 2 B 3 2 0 C 0 2 1 e D 10 2 1 3210 Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A 2 1 6 e os três vértices adjacentes nos pontos B 4 1 3 C 1 3 2 e D 1 2 1 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 204 Vetores no Plano e no Espaço 3211 Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A 1 0 1 B 2 1 3 e C 3 2 4 3212 Calcule a área do triângulo com vértices A 1 2 1 B 3 0 4 e C 5 1 3 3213 Ache X tal que X i k 2i j k e X 6 3214 Sabese que o vetor X é ortogonal ai j e a i k tem norma 3 e sendo θ o ângulo entre X ej temse cos θ 0 Ache X 3215 Mostre que A 3 0 2 B 4 3 0 e C 8 1 1 são vértices de um triângulo retângulo Em qual dos vértices está o ângulo reto 3216 Considere dois vetores V e W tais que V 5 W 2 e o ângulo entre V e W é 60 Determine como combinação linear de V e W xV yW a Um vetor X tal que X V 20 e X W 5 b Um vetor X tal que X V 0 e X W 12 Exercícios usando o MATLAB Vv1v2v3 cria um vetor V usando as componentes numéricas v1 v2 v3 Por exemplo V123 cria o vetor V 1 2 3 subsexprxnum substitui x por num na expressão expr solveexpr determina a solução da equação expr0 Comandos numéricos do pacote GAAL Vrandi13 cria um vetor aleatório com componentes inteiras noV calcula a norma do vetor V Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 32 Produtos de Vetores 205 peVW calcula o produto escalar do vetor V pelo vetor W pvVW calcula o produto vetorial do vetor V pelo vetor W Comandos gráficos do pacote GAAL desvetPV desenha o vetor V com origem no ponto P e desvetV desenha o vetor V com origem no ponto O 0 0 0 poP1P2Pn desenha os pontos P1 P2 Pn linesegP1P2cor desenha o segmento de reta P1P2 eixos desenha os eixos coordenados box desenha uma caixa em volta da figura axiss reescala os eixos com a mesma escala rota faz uma rotação em torno do eixo z zoom3fator amplifica a região pelo fator texPtexto coloca o texto no ponto P 3217 Digite no prompt demog21 sem a vírgula Esta função demonstra as funções gráficas para vetores 3218 Coloque em duas variáveis V e W dois vetores bidimensionais ou tridimensionais a seu critério a Use a função ilvijkV para visualizar o vetor V como uma soma de múltiplos escalares combina ção linear dos vetoresij ek b Use a função ilpvVW para visualizar o produto vetorial V W c Use a função ilprojWV para visualizar a projeção de V em W Julho 2013 Reginaldo J Santos 3219 Use o MATLAB para resolver os Exercícios Numéricos Exercícios Teóricos 3220 Mostre que em um triângulo isósceles a mediana relativa à base é perpendicular à base 3221 Mostre que o ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto Sugestão para os próximos 2 exercícios Considere o paralelogramo ABCD Seja U AB e V AD Observe que as diagonais do paralelogramo são U V e U V 3222 Mostre que se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares então ele é um losango 3223 Mostre que se as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo comprimento então ele é um retângulo 3224 Se V W V U e V 0 então W U 3225 Mostre que se V é ortogonal a W₁ e W₂ então V é ortogonal a α₁W₁ α₂W₂ 3226 Demonstre que as diagonais de um losango são perpendiculares Sugestão mostre que AC BD 0 usando o fato de que AB DC e AB BC 3227 Sejam V um vetor não nulo no espaço e α β e γ os ângulos que V forma com os vetores î ĵ e k respectivamente Demonstre que cos² α cos² β cos² γ 1 Sugestão cos α Vî Vî cos β Vĵ Vĵ e cos γ Vk Vk 3228 Demonstre que se V e W são vetores quaisquer então a V W 14 V W² V W² b V² W² 12 V W² V W² Sugestão desenvolva os segundos membros das igualdades acima observando que V W² V W V W e V W² V W V W 3229 Demonstre que se V e W são vetores quaisquer então a V W VW b V W V W Sugestão mostre que V W² V W V W V W² usando o item anterior c V W V W Sugestão defina U V W e aplique o item anterior a U e W 3230 O produto vetorial é associativo Justifique a sua resposta Sugestão experimente com os vetores î ĵ k 3231 Se V W V U e V 0 então W U 3232 Demonstre que se V e W são vetores quaisquer no espaço então V W VW 3233 Se U V e W são vetores no espaço prove que U V W UVW Sugestão use o Teorema 32 na página 176 e o exercício anterior 3234 Mostre que U V W V W U W U V Sugestão use as propriedades do determinante 3235 Mostre que a αU₁ βU₂ V W αU₁ V W βU₂ V W b U αV₁ βV₂ W αU V₁ W βU V₂ W c U V αW₁ βW₂ αU V W₁ βU V W₂ Cópia Digital 208 Vetores no Plano e no Espaço d U V W U V αU βW W Sugestão use as propriedades dos produtos escalar e vetorial 3236 Prove a identidade de Lagrange V W2 V2W2 V W2 3237 Mostre que a área do triângulo com vértices xi yi para i 1 2 3 é igual a detA2 em que A x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1 Sugestão Marque os pontos P1 x1 y1 1 P2 x2 y2 1 P3 x3 y3 1 e P 1 x1 y1 0 O volume do paralelepípedo determinado por P1 P2 P3 e P 1 é dado por P1P 1 P1P2 P1P3 Mas a altura deste paralelepípedo é igual a 1 Assim o seu volume é igual à área da base que é o paralelogramo determinado por P1 P2 e P3 Observe que OP 1 P1P2 e P1P3 são paralelos ao plano xy 3238 Sejam U1 U2 e U3 três vetores unitários mutuamente ortogonais Se A U1 U2 U3 é uma matriz 3 3 cujas colunas são os vetores U1 U2 e U3 então A é invertível e A1 At Sugestão mostre que AtA I3 3239 Sejam U u1 u2 u3 V v1 v2 v3 e W w1 w2 w3 Prove a fórmula seguinte para o produto vetorial duplo U V W U WV U VW seguindo os seguintes passos a Prove que U i j U ji U ij U j k U kj U jk U k i U ik U ki Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 32 Produtos de Vetores 209 b Prove usando o item anterior e as propriedades do produto vetorial que U V i U iV U Vi U V j U jV U Vj U V k U kV U Vk c Prove agora o caso geral usando o item anterior e as propriedades do produto vetorial 3240 a Prove que A B C B C A C A B 0 Sugestão use o exercício anterior b Mostre que se A C B 0 então A B C A B C ou seja o produto vetorial é neste caso associativo Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 210 Vetores no Plano e no Espaço Apêndice IV Demonstração do item e do Teorema 35 na página 187 Vamos dividir a demonstração da distributividade do produto vetorial em relação a soma V W U V W V U e V W U V U W U da seguinte forma a V W U 0 se e somente se V W e U satisfazem a regra da mão direita isto é se o ângulo entre V e W é θ giramos o vetor V de um ângulo θ até que coincida com W e acompanhamos este movimento com os dedos da mão direita então o polegar vai apontar no sentido de U b V W U V W U ou seja podese trocar os sinais e em V W U c V W U V W V U e V W U V U W U Provemos agora os três ítens acima a Como vemos na Figura 323 na página 196 V W e U satisfazem a regra da mão direita se e somente se 0 θ π2 ou seja cos θ 0 em que θ é o ângulo entre V W e U Como V W U V WU cos θ então V W e U satisfazem a regra da mão direita se e somente se V W U 0 b Como o produto escalar é comutativo pelo Teorema 38 na página 197 V W U V W U Agora pelo item a temos que V W U e V W U têm o mesmo sinal pois V W e U satisfazem a regra da mão direita se e somente se W U e V também satisfazem c Vamos provar a primeira igualdade e deixamos como exercício para o leitor a demonstração da segunda Vamos mostrar que o vetor Y V W U V W V U é o vetor nulo Para isso vamos mostrar que para qualquer vetor X no espaço X Y 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 32 Produtos de Vetores 211 Pela distributividade do produto escalar Teorema 33 item b na página 180 temos que X Y X V W U X V W X V U Pelo item b temos que X Y X V W U X V W X V U X V W U X V W U 0 Assim X Y 0 para todo vetor X em particular para X Y temos que Y Y Y2 0 Portanto Y 0 ou seja V W U V W V U Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 212 Vetores no Plano e no Espaço Teste do Capítulo 1 Mostre que os pontos A 4 0 1 B 5 1 3 C 3 2 5 D 2 1 3 são vértices de um paralelo gramo Calcule a sua área 2 Dado o triângulo de vértices A 0 1 1 B 2 0 1 e C 1 2 0 determine a medida da altura relativa ao lado BC 3 Sejam U e V vetores no espaço com V 0 a Determine o número α tal que U αV seja ortogonal a V b Mostre que U V U V 2V U 4 Determine x para que A x 1 2 B 2 2 3 C 5 1 1 e D 3 2 2 sejam coplanares Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 4 RETAS E PLANOS 41 Equações de Retas e Planos 411 Equações do Plano Equação Geral No plano a equação geral de uma reta é ax by c 0 No espaço um plano é o conjunto dos pontos P x y z que satisfazem a equação ax by cz d 0 para a b c d R que é chamada equação geral do plano Existe uma analogia entre uma reta no plano e um plano no espaço No plano a equação de uma reta é determinada se forem dados sua inclinação e um de seus pontos No espaço a inclinação de um plano é caracterizada por um vetor perpendicular a ele chamado vetor normal ao plano e a equação de um plano é determinada se são dados um vetor normal e um de seus pontos Cópia Digital 214 Retas e Planos N a b c P0 x0 y0 z0 P x y z π Figura 41 Plano perpendicular a N a b c e que passa por P0 x0 y0 z0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 215 Proposição 41 A equação geral de um plano π que passa por um ponto P0 x0 y0 z0 e tem vetor normal N a b c é ax by cz d 0 41 em que d ax0 by0 cz0 Demonstração Um ponto P x y z pertence ao plano π se e somente se o vetor P0P for perpendicular ao vetor N ou seja N P0P 0 42 Como P0P x x0 y y0 z z0 a equação 42 pode ser reescrita como ax x0 by y0 cz z0 0 ou seja ax by cz ax0 by0 cz0 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 216 Retas e Planos x y z d a x y z d b x y z d c Figura 42 Planos ax d 0 by d 0 e cz d 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 217 x y z d c d b x y z d a d c x y z d b d a Figura 43 Planos by cz d 0 ax cz d 0 e ax by d 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 220 Retas e Planos Exemplo 41 Vamos encontrar a equação do plano π que passa pelo ponto P0 1 2 2 e é perpendicular ao vetor N 2 1 2 Da Proposição 41 a equação do plano é da forma ax by cz d 0 em que os coeficientes de x y e z são as componentes do vetor normal ou seja a 2 b 1 e c 2 Assim a equação de π é da forma 2x y 2z d 0 Para determinar o coeficiente d ao invés de usarmos a Proposição 41 vamos usar o fato de que P0 1 2 2 pertence a π Mas o ponto P0 pertence a π se e somente se as suas coordenadas satisfazem a equação de π ou seja 2 1 1 2 2 2 d 0 Logo d 2 2 4 0 Substituindose d 0 na equação anterior do plano obtemos que a equação do plano π é 2x y 2z 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 221 x y z 2 4 2 Figura 46 Plano 2x y 2z 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 222 Retas e Planos No plano a equação de uma reta é determinada se forem dados dois pontos da reta Analogamente no espaço a equação de um plano é determinada se são dados três pontos P1 P2 e P3 não colineares isto é não pertencentes a uma mesma reta Com os três pontos podemos formar os vetores P1P2 e P1P3 Figura 47 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 223 P1 x1 y1 z1 N P1P2 P1P3 P2 x2 y2 z2 P3 x3 y3 z3 P x y z π Figura 47 Plano que passa por três pontos Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 224 Retas e Planos x y z 12 12 14 Figura 48 Plano 2x 2y 4z 1 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 225 Exemplo 42 Vamos encontrar a equação do plano π que passa pelos pontos P1 1 2 0 0 P2 0 1 2 0 e P3 0 1 2 1 2 Com os três pontos podemos for mar os vetores P1P2 e P1P3 O vetor N P1P2 P1P3 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 2 é um vetor normal ao plano Assim a equação do plano é da forma 1 4x 1 4y 1 2z d 0 em que os coeficientes de x y e z são as componentes do vetor N Para determinar o coeficiente d vamos usar o fato de que o ponto P1 1 2 0 0 pertence ao plano π Mas o ponto P1 pertence a π se e somente se as suas coordenadas satisfazem a equação de π ou seja 1 4 1 2 1 4 0 1 2 0 d 0 Logo d 1 8 Finalmente uma equação do plano π é 1 4x 1 4y 1 2z 1 8 0 ou multiplicando por 8 obtemos 2x 2y 4z 1 0 Alternativamente podemos encontrar a equação do plano da seguinte forma Como vimos anteriormente Corolário 39 na página 199 três vetores P1P P1P2 e P1P3 são Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 226 Retas e Planos coplanares se e somente se o produto misto entre eles é zero Assim um ponto P x y z pertence a π se e somente se P1P P1P2 P1P3 0 Mas P1P x 1 2 y z P1P2 1 2 1 2 0 P1P3 1 2 1 2 1 2 Então det x 1 2 y z 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 4x 1 2 1 4y 1 2z e assim a equação do plano é dada por 1 4x 1 4y 1 2z 1 8 0 ou multiplicando por 8 2x 2y 4z 1 0 A equação do plano também é determinada se ao invés de serem dados três pontos forem dados um ponto P1 do plano e dois vetores paralelos ao plano V v1 v2 v3 e W w1 w2 w3 desde que eles sejam não paralelos Ou ainda se forem dados dois pontos P1 e P2 do plano e um vetor paralelo ao plano V v1 v2 v3 não paralelo a P1P2 já que neste caso podemos formar o vetor W P1P2 w1 w2 w3 que é também paralelo ao plano Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 227 Nestes casos temos novamente pelo menos duas maneiras de encontrarmos a equa ção do plano Uma delas é observando que o vetor N V W é um vetor normal ao plano Desta forma temos um ponto do plano e um vetor normal ao plano A outra é observando que temos três vetores paralelos ao plano P1P x x1 y y1 z z1 V e W Como vimos anteriormente Corolário 39 na página 199 os três vetores são coplanares se e somente se o produto misto entre eles é zero ou seja P1P V W det x x1 y y1 z z1 v1 v2 v3 w1 w2 w3 0 43 Assim um ponto P x y z pertence a um plano π que passa pelo ponto P1 x1 y1 z1 e é paralelo aos vetores V v1 v2 v3 e W w1 w2 w3 não paralelos se e somente se a equação 43 é verdadeira Observação Não faz sentido dizer que um vetor pertence a um plano Pois por um lado um plano é um conjunto de pontos e por outro os vetores são livres podem ser colocados em qualquer ponto O correto é dizer que um vetor é paralelo a um plano Equações Paramétricas Além da equação geral do plano podemos também caracterizar os pontos de um plano da seguinte forma Considere um plano π um ponto P0 x0 y0 z0 pertencente a π e dois vetores V v1 v2 v3 e W w1 w2 w3 não colinea res paralelos a π Um ponto P x y z pertence a π se e somente se o vetor Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 228 Retas e Planos P0P x x0 y y0 z z0 é uma combinação linear de V e W Corolário 310 na página 200 ou seja se existem escalares t e s tais que P0P tV sW 44 Escrevendo em termos de componentes 44 pode ser escrito como x x0 y y0 z z0 tv1 sw1 tv2 sw2 tv3 sw3 Logo um ponto P x y z pertence a π se e somente se satisfaz as equações x x0 v1 t w1 s y y0 v2 t w2 s z z0 v3 t w3 s para t s R Estas equações são chamadas equações paramétricas do plano Exemplo 43 Podemos obter equações paramétricas do plano do Exemplo 42 na página 225 usando o fato de que ele passa pelo ponto P1 12 0 0 e é paralelo aos vetores P1P2 12 12 0 P1P3 12 12 12 Assim x 1 2 1 2t 1 2s y 1 2t 1 2s z 1 2s para t s R Exemplo 44 Para encontrarmos as equações paramétricas do plano do Exemplo 41 na página 220 podemos resolver a equação geral do plano 2x 2y 4z 1 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 229 Podemos proceder como no caso de sistemas lineares e considerar as variáveis y e z livres z t e y s Assim x 1 2 2 t s e portanto x 1 2 2 t s y s z t para t s R são equações paramétricas do plano Destas equações obtemos que os vetores V1 2 0 1 e V2 1 1 0 são paralelos ao plano Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 230 Retas e Planos 412 Equações da Reta Equações Paramétricas e Equação Vetorial Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 231 V OP0 OP P0P r V OP0 OP P0P r Figura 49 Reta paralela ao vetor V a b c que passa pelo ponto P0 x0 y0 z0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 232 Retas e Planos Vamos supor que uma reta r seja paralela a um vetor V a b c não nulo e que passe por um ponto P0 x0 y0 z0 Um ponto P x y z pertence a reta r se e somente se o vetor P0P é paralelo ao vetor V isto é se o vetor P0P é um múltiplo escalar de V ou seja P0P t V 45 Em termos de componentes a equação 45 pode ser escrita como x x0 y y0 z z0 ta tb tc Logo x x0 t a y y0 t b e z z0 t c Ou seja a reta r pode ser descrita como sendo o conjunto dos pontos P x y z tais que x x0 t a y y0 t b z z0 t c para t R 46 As equações 46 chamadas equações paramétricas da reta são de uma reta r que passa por um ponto P0 x0 y0 z0 e é paralela ao vetor V a b c chamado vetor diretor da reta r O parâmetro t nas equações 46 pode ser interpretado como o instante de tempo se o ponto P x y z descreve o movimento de uma partícula em movimento retilíneo uniforme com vetor velocidade V a b c Observe que para t 1 P x y z x0 a y0 b z0 c para t 2 P x y z x0 2a y0 2b z0 2c e assim por diante As equações 46 podem ser reescritas como x y z x0 at y0 bt z0 ct que é chamada equação vetorial da reta r Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 233 y z x a y0 z0 Figura 410 Reta x y z x0 at y0 z0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 234 Retas e Planos y z x x0 b z0 Figura 411 Reta x y z x0 y0 bt z0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 235 y z x x0 y0 c Figura 412 Reta x y z x0 y0 z0 ct Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 236 Retas e Planos y z x z0 Figura 413 Reta x y z x0 at y0 bt z0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 237 y z x x0 Figura 414 Reta x y z x0 y0 bt z0 ct Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 238 Retas e Planos y z x y0 Figura 415 Reta x y z x0 at y0 z0 ct Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 239 y z x a b c Figura 416 Reta x y z at bt ct Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 240 Retas e Planos y z x Figura 417 Reta x y zx0at y0bt z0ct Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 241 Observação Não faz sentido dizer que o vetor está contido na reta Por um lado a reta é um conjunto de pontos e por outro um vetor não tem posição fixa Exemplo 45 A reta que passa por P0 3 32 4 e é paralela ao vetor V 6 1 4 tem equações paramétricas r x 3 6 t y 3 2 t z 4 4t para t R Podemos encontrar a interseção da reta r com os planos coordenados xy yz e xz A equação do plano xy é z 0 do plano yz é x 0 e do plano xz é y 0 Substituindo z 0 nas equações de r obtemos t 1 x 3 e y 12 ou seja o ponto de interseção de r com o plano xy é x y z 3 1 2 0 De forma análoga obtemos o ponto de interseção de r com o plano yz é x y z 0 1 2 o ponto de interseção de r com o plano xz x y z 6 0 2 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 242 Retas e Planos Figura 418 Reta que passa pelo ponto P0 3 32 4 paralela ao vetor V 6 1 4 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 243 Equações na Forma Simétrica Se todas componentes do vetor diretor da reta r são não nulos podemos resolver cada equação em 46 para t e igualar os resultados obtendo o que chamamos de equações na forma simétrica de r x x0 a y y0 b z z0 c No Exemplo 45 as equações de r na forma simétrica são x 3 6 y 32 1 z 4 4 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 244 Retas e Planos P2 P1 r Figura 419 Reta que passa pelos pontos P1 3 0 2 e P2 0 3 3 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 246 Retas e Planos x y z 2 4 1 Figura 420 π1 2x y 4z 4 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 247 x y z 52 5 52 Figura 421 π2 2x y 2z 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 248 Retas e Planos x y z 2 4 1 52 5 52 Figura 422 π1 π2 e π1 π2 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 250 Retas e Planos A variável z é uma variável livre Podemos dar a ela um valor arbitrário digamos t para t R qualquer Assim a solução geral do sistema dado é x 1 3 2t y 2 t z t para todo t R 49 Estas equações são diferentes das equações 48 mas representam a mesma reta pois os vetores diretores obtidos das duas equações são paralelos e o ponto P0 1 2 0 satisfaz também as equações 49 Poderíamos dizer também que 48 e 49 representam retas coincidentes O próximo exemplo mostra como encontrar a equação da reta que é perpendicular a duas retas Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 251 x y z 32 3 3 x y z 3 3 6 x y z 32 1 2 3 3 3 3 6 Figura 423 Retas r1 r2 e r3 do Exemplo 48 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 253 Por exemplo se a reta r2 fosse dada por r2 x 2 y 4 2 e z 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 254 Retas e Planos Exercícios Numéricos respostas na página 576 411 Faça um esboço dos seguintes planos a 2x 3y 5z 1 0 b x 2y 4z 0 c 3y 2z 1 0 d 2x 3z 1 0 e 3x 2y 1 0 f 5y 2 0 g 3z 2 0 h 2x 1 0 412 Faça um esboço das retas dadas a seguir a x y z 3 3t 3 2 1 2t 4 2t b x y z 2t t 3 2t c x y z 1 t 2 3 2t d x y z 1 2 2t 5 2 3 2t e x y z 2 2t 3 t 3 f x y z 1 2 2 2t g x y z 1 2 2t 3 h x y z 2 2t 2 3 413 Ache a equação do plano paralelo ao plano 2x y 5z 3 0 e que passa por P 1 2 1 414 Encontre a equação do plano que passa pelo ponto P 2 1 0 e é perpendicular aos planos x 2y 3z 2 0 e 2x y 4z 1 0 415 Encontrar a equação do plano que passa pelos pontos P 1 0 0 e Q 1 0 1 e é perpendicular ao plano y z 416 Determine a interseção da reta que passa pela origem e tem vetor diretor V i 2j k com o plano 2x y z 5 417 Verifique se as retas r x y z 9t 1 6t 2 3t e s x y z 1 2t 3 t 1 se interceptam e em caso afirmativo determine a interseção Sugestão a questão é se as trajetórias se cortam e não se as partículas se chocam ou seja elas não precisam estar num ponto no mesmo instante 418 Dadas as retas r x 2 2 y 2 z e s x 2 y z Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 255 obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s 419 Sejam P 4 1 1 e r x y z 2 t 4 t 1 2t a Mostre que P r b Obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P 4110 Dados os planos π1 x y z 1 0 e π2 x y z 1 0 determine o plano que contém π1 π2 e é ortogonal ao vetor 1 1 1 4111 Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma reta a x 2y 3z 4 0 e x 4y 2z 1 0 b 2x y 4z 3 0 e 4x 2y 8z 0 c x y 0 e x z 0 4112 Encontre as equações da reta que passa pelo ponto Q 1 2 1 e é perpendicular ao plano x y 2z 1 0 4113 Ache equações da reta que passa pelo ponto P 1 0 1 e é paralela aos planos 2x 3y z 1 0 e x y z 0 4114 Seja r a reta determinada pela interseção dos planos x y z 0 e 2x y 3z 1 0 Ache a equação do plano que passa por A 1 0 1 e contém a reta r 4115 Sejam r e s retas reversas passando por A 0 1 0 e B 1 1 0 e por C 3 1 4 e D 1 2 7 respectivamente Obtenha uma equação da reta concorrente com r e s e paralela ao vetor V 1 5 1 4116 a Mostre que os planos 2x y z 0 e x 2y z 1 se interceptam segundo uma reta r b Ache equações da reta que passa pelo ponto A 1 0 1 e intercepta a reta r ortogonalmente 4117 Considere as retas x y z t1 2 3 e x y z 0 1 2 s2 4 6 Encontre a equação geral do plano que contém estas duas retas Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 256 Retas e Planos 4118 Determine as equações paramétricas da reta interseção dos planos a x 2y 3z 4 0 e x 4y 2z 1 0 b x y 0 e x z 0 4119 Considere o plano π 2x 2y z 0 a Determine as retas r interseção do plano π com o plano yz s interseção do plano π com o plano xz e t interseção do plano π com o plano z 2 Desenhe um esboço do plano π mostrando as retas r s e t b Determine o volume do tetraedro determinado pelo plano π os planos coordenados xz e yz e o plano z 2 Sugestão este volume é igual a 16 do volume do paralelepípedo determinado por OA OB e OC em que O 0 0 0 A é o ponto interseção do eixo z com o plano z 2 B é a interseção das retas r e t e C é a interseção das retas s e t c Determine a área da face do tetraedro contida no plano π d Determine a altura do tetraedro relativa a face contida no plano π Sugestão a reta ortogonal ao plano π que passa pelo ponto A intercepta o plano π num ponto P de forma que a altura procurada é igual a AP 4120 Achar as equações da reta que intercepta as retas r1 e r2 e é perpendicular a ambas a r1 x 1 t y 2 3t z 4t para t R e r2 x 1 y 1 2 z 2 3 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 41 Equações de Retas e Planos 257 b r1 x 1 t y 2 3t z 4t para t R e r2 x y 4 2 z 3 3 Exercícios usando o MATLAB Vv1v2v3 cria um vetor V usando as componentes numéricas v1 v2 v3 Por exemplo V123 cria o vetor V 1 2 3 VW é a soma de V e W VW é a diferença V menos W numV é o produto do vetor V pelo escalar num subsexprxnum substitui x por num na expressão expr solveexpr determina a solução da equação expr0 Comandos numéricos do pacote GAAL noV calcula a norma do vetor V peVW calcula o produto escalar do vetor V pelo vetor W pvVW calcula o produto vetorial do vetor V pelo vetor W substexprxyzabc substitui na expressão expr as variáveis xyz por abc respectiva mente Comandos gráficos do pacote GAAL linPV desenha a reta que passa por P com direção V Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 258 Retas e Planos linP1V1P2V2 desenha retas que passam por P1 P2 direções V1 V2 planPN desenha o plano que passa por P com normal N planP1N1P2N2 desenha planos que passam por P1 P2 normais N1 N2 planP1N1P2N2P3N3 desenha planos que passam por P1 P2 e P3 com normais N1 N2 e N3 poplanP1P2N2 desenha ponto P1 e plano passando por P2 com normal N2 polineP1P2V2 desenha ponto P2 e reta passando por P2 com direção V2 lineplanP1V1P2N2 desenha reta passando por P1 com direção V1 e plano passando por P2 com normal N2 axiss reescala os eixos com a mesma escala rota faz uma rotação em torno do eixo z 4121 Digite no prompt demog22 sem a vírgula Esta função demonstra as funções gráficas para visualização de retas e planos 4122 Use o MATLAB para resolver os Exercícios Numéricos Exercício Teórico 4123 Seja ax by cz d 0 a equação de um plano π com abcd 0 a Determine a interseção de π com os eixos b Se P1 p1 0 0 P2 0 p2 0 e P3 0 0 p3 são as interseções de π com os eixos a equação de π pode ser posta sob a forma x p1 y p2 z p3 1 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 42 Ângulos e Distâncias 259 42 Ângulos e Distâncias 421 Ângulos Ângulo entre Retas Com duas retas no espaço pode ocorrer um dos seguintes casos a As retas se interceptam em um ponto ou seja são concorrentes b As retas são paralelas ou coincidentes c As retas são reversas isto é não são paralelas mas também não se interceptam Se as retas se interceptam então elas determinam quatro ângulos dois a dois opostos pelo vértice O ângulo entre elas é definido como sendo o menor destes ângulos Se as retas r1 e r2 são reversas então por um ponto P de r1 passa um reta r 2 que é paralela a r2 O ângulo entre r1 e r2 é definido como sendo o ângulo entre r1 e r 2 Figura 424 Se as retas são paralelas o ângulo entre elas é igual a zero Em qualquer dos casos se V1 e V2 são vetores paralelos a r1 e r2 respectivamente então o cosseno do ângulo entre elas é cosr1 r2 cos θ em que θ é o ângulo entre V1 e V2 Lembrando que da definição de produto escalar Definição 31 na página 173 pode mos encontrar o cosseno do ângulo entre dois vetores ou seja cos θ V1 V2 V1 V2 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 260 Retas e Planos Isto prova o resultado seguinte Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 42 Ângulos e Distâncias 263 Proposição 43 Sejam dois planos π1 a1x b1y c1z d1 0 π2 a2x b2y c2z d2 0 O cosseno do ângulo entre π1 e π2 é cosπ1 π2 N1 N2 N1 N2 em que N1 a1 b1 c1 e N2 a2 b2 c2 são os vetores normais de π1 e π2 respectivamente Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 264 Retas e Planos y z x r2 r 2 V2 V1 r1 θ P Figura 424 O Ângulo entre duas retas reversas r1 e r2 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 42 Ângulos e Distâncias 265 N1 N2 θ π2 π1 θ Figura 425 Ângulo entre dois planos Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 266 Retas e Planos Dois planos π1 e π2 ou são paralelos ou se cortam segundo um reta Eles são parale los se e somente se os vetores normais de π1 e π2 são paralelos ou seja um vetor é um múltiplo escalar do outro Assim π e π2 são paralelos se e somente se o ângulo entre eles é igual a zero Exemplo 410 Determinar o ângulo entre os planos cujas equações são π1 x y z 0 π2 x y z 0 Os vetores normais a estes planos são os vetores cujas componentes são os coeficien tes de x y e z nas equações dos planos ou seja N1 1 1 1 e N2 1 1 1 Assim o cosseno do ângulo entre π1 e π2 é cosπ1 π2 N1 N2 N1 N2 1 3 3 1 3 Portanto o ângulo entre eles é arccos 1 3 70o 422 Distâncias Distância de Um Ponto a Um Plano Sejam P0 x0 y0 z0 um ponto qualquer e π ax by cz d 0 um plano A distância de P0 a π é definida como sendo a distância de P0 até o ponto de π mais próximo de P0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 268 Retas e Planos π N a b c P0 x0 y0 z0 P1 x1 y1 z1 distP0 π projN P1P0 Figura 426 Distância de um ponto P0 x0 y0 z0 a um plano π Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 42 Ângulos e Distâncias 269 Proposição 44 Sejam P0 x0 y0 z0 um ponto qualquer e π ax by cz d 0 um plano A distância de P0 a π é dada por distP0 π projN P1P0 P1P0 N N em que N a b c e P1 x1 y1 z1 é um ponto de π isto é um ponto que satisfaz a equação de π Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 42 Ângulos e Distâncias 271 r P0 x0 y0 z0 P1 x1 y1 z1 V a b c projV P1P0 distP0 r Figura 427 Distância de um ponto P0 x0 y0 z0 a uma reta r Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 274 Retas e Planos N1 P1 P2 distπ1 π2 projN1 P1P2 π1 π2 Figura 428 Distância entre dois planos Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 276 Retas e Planos r1 r2 P2 P1 projV1 P1P2 V1 distr1 r2 Figura 429 Distância entre duas retas paralelas Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 42 Ângulos e Distâncias 277 Para calcular a distância entre duas retas vamos dividir em dois casos a Se os vetores diretores são paralelos então as retas r1 e r2 são paralelas ou coincidentes Neste caso a distância entre elas é igual à distância entre um ponto de r2 e a reta r1 ou viceversa entre um ponto de r1 e a reta r2 Figura 429 Assim pela Proposição 45 na página 272 temos que distr1 r2 distP1 r2 P1P2 V2 V2 411 em que P1 e P2 são pontos de r1 e r2 e V1 e V2 são vetores diretores de r1 e r2 respectivamente Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 278 Retas e Planos r2 r1 V2 V1 V1 V2 P2 P1 distr1 r2 Figura 430 Distância entre duas retas reversas Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 42 Ângulos e Distâncias 279 b Se os vetores diretores não são paralelos então elas são reversas ou concorren tes Os dois casos podem ser resolvidos da mesma forma Estas retas definem dois planos paralelos que podem ser coincidentes no caso em que elas são con correntes Um é o plano que contém r1 e é paralelo a r2 vamos chamálo de π1 O outro contém r2 e é paralelo a r1 π2 O vetor N V1 V2 é normal ou perpendicular a ambos os planos em que V1 e V2 são os vetores diretores de r1 e r2 respectivamente Assim a distância entre as retas é igual à distância entre estes dois planos Figura 430 ou seja distr1 r2 distπ1 π2 distπ1 P2 P1P2 N N P1P2 V1 V2 V1 V2 412 em que P1 e P2 são pontos de r1 e r2 e V1 e V2 são vetores diretores de r1 e r2 respectivamente Observe que se as retas são concorrentes a distância entre elas é zero pois os vetores P1P2 V1 e V2 são coplanares e P1P2 V1 V2 0 Corolário 39 na página 199 Exemplo 414 Vamos determinar a distância entre as retas r1 x 1 4 y 1 2 z 2 6 e r2 x 1 2 t y t z 2 3 t para todo t R As retas são paralelas pois seus vetores diretores V1 4 2 6 e V2 2 1 3 Exemplo 45 na página 241 são paralelos um é um múltiplo escalar do outro ou ainda as componentes correspondentes são proporcionais Além disso o ponto P1 1 1 2 pertence à reta r1 Como dissemos acima a distância de r1 a r2 é Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 282 Retas e Planos Exercícios Numéricos respostas na página 592 421 Considere os vetores V i 3j 2k W 2i j k e U i 2j Seja π um plano paralelo aos vetores W e U e r uma reta perpendicular ao plano π Ache a projeção ortogonal do vetor V sobre a reta r ou seja a projeção ortogonal de V sobre o vetor diretor da reta r 422 Encontrar o ângulo entre o plano 2x y z 0 e o plano que passa pelo ponto P 1 2 3 e é perpen dicular ao vetori 2j k 423 Seja π1 o plano que passa pelos pontos A 1 1 1 B 1 0 1 C 1 1 0 e π2 o plano que passa pelos pontos P 0 0 1 e Q 0 0 0 e é paralelo ao vetori j Ache o ângulo entre π1 e π2 424 Ache uma reta que passa pelo ponto 1 2 3 e que forma ângulos de 45o e 60o com os eixos x e y respectivamente 425 Obtenha os vértices B e C do triângulo equilátero ABC sendo A 1 1 0 e sabendo que o lado BC está contido na reta r x y z t 0 1 1 Sugestão Determine os pontos Pr da reta r tais que PrA faz ângulo de 60o e 120o com o vetor diretor da reta r 426 Seja π o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que une os pontos A 1 0 0 e B 0 1 0 Encontre a distância do ponto C 1 0 1 ao plano π 427 Seja r1 a reta que passa pelos pontos A 1 0 0 e B 0 2 0 e r2 a reta x 2 y 3 2 z 4 3 a Encontre as equações da reta perpendicular às retas r1 e r2 b Calcule a distância entre r1 e r2 428 Dados A 0 2 1 r X 0 2 2 t 1 1 2 ache os pontos de r que distam 3 de A A distância do ponto A à reta r é maior menor ou igual a 3 Por que 429 Dada a reta r X 1 0 0 t 1 1 1 e os pontos A 1 1 1 e B 0 0 1 ache o ponto de r equidistante de A e B Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 42 Ângulos e Distâncias 285 π r Figura 431 Reta e plano concorrentes π r Figura 432 Reta e plano paralelos Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 43 Posições Relativas de Retas e Planos 287 43 Posições Relativas de Retas e Planos Posições Relativas de Duas Retas Consideremos duas retas quaisquer r1 OP OP1 tV1 e r2 OP OP2 tV2 Para estudar a posição relativa destas retas vamos dividir em dois casos a Se os vetores diretores são paralelos então as retas são paralelas ou coinciden tes Figura 429 na página 276 Além de paralelas elas são coincidentes se e somente se um ponto de uma reta pertence a outra reta Portanto se e somente se P1P2 é paralelo a V1 e a V2 pois V1 e V2 são paralelos b Se os vetores diretores não são paralelos então as retas são reversas ou concor rentes Figura 430 na página 278 i Se os vetores P1P2 V1 e V2 são coplanares ou seja se P1P2 V1 V2 0 Corolário 39 na página 199 então as retas são concorrentes ii Se os vetores P1P2 V1 e V2 não são coplanares ou seja se P1P2 V1 V2 0 Corolário 39 na página 199 então as retas são reversas Posições Relativas de Dois Planos Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 288 Retas e Planos π1 π2 Figura 433 Dois planos que se interceptam π1 π2 Figura 434 Dois planos paralelos Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 43 Posições Relativas de Retas e Planos 289 Sejam dois planos π1 a1x b1y c1z d1 0 e π2 a2x b2y c2z d2 0 quaisquer a Se os seus vetores normais N1 a1 b1 c1 e N2 a2 b2 c2 não são parale los então os planos são concorrentes Figura 433 b Se os seus vetores normais são paralelos ou seja se N2 αN1 então os planos são paralelos distintos Figura 434 ou coincidentes Além de paralelos eles são coincidentes se e somente se todo ponto que satisfaz a equação de π1 satisfaz também a equação de π2 Assim a2x b2y c2z d2 αa1x αb1y αc1z d2 αa1x b1y c1z d2 αd1 d2 0 Portanto d2 αd1 e as equações de π1 e π2 são proporcionais Reciprocamente se as equações de π1 e π2 são proporcionais então claramente os dois planos são coincidentes Portanto dois planos são coincidentes se e somente se além dos vetores normais serem paralelos as suas equações são proporcionais Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 290 Retas e Planos π r Figura 435 Reta e plano concorrentes π r Figura 436 Reta e plano paralelos Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 43 Posições Relativas de Retas e Planos 291 Posições Relativas de Reta e Plano Sejam a reta r x y z OP OP0 tV e o plano π ax by cz d 0 a Se o vetor diretor da reta r V e o vetor normal do plano π N a b c são ortogonais V N 0 então a reta e o plano são paralelos Se além dos vetores V e N serem ortogonais um ponto qualquer da reta per tence ao plano por exemplo se P0 pertence a π P0 satisfaz a equação de π então a reta está contida no plano b Se o vetor diretor da reta r V e o vetor normal do plano π N a b c não são ortogonais V N 0 então a reta é concorrente ao plano Posições Relativas de Três Planos Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 292 Retas e Planos π1 π2 π3 Figura 437 Três planos que se interceptam segundo um ponto Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 43 Posições Relativas de Retas e Planos 293 Consideremos três planos π1 π2 e π3 dados pelas equações π1 a1x b1y c1z d1 π2 a2x b2y c2z d2 π3 a3x b3y c3z d3 413 Os vetores Ni ai bi ci são normais aos planos πi para i 1 2 3 Os três vetores são coplanares ou não são coplanares a Se os vetores N1 N2 e N3 não são coplanares então vamos mostrar que os pla nos se interceptam dois a dois segundo retas que se interceptam em um ponto As retas r π1 π2 e s π1 π3 estão no plano π1 Vamos mostrar que elas são concorrentes Sejam A e B dois pontos distintos da reta r O vetor AB é perpendicular a N1 e a N2 Se as retas r e s fossem paralelas então AB se ria perpendicular também a N3 ou seja AB seria perpendicular a três vetores não coplanares o que implicaria que AB 0 Os vetores N1 N2 e N3 não são coplanares se e somente se detA 0 em que A a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 Neste caso o sistema tem solução única Figura 437 b Se os três vetores normais são coplanares então pode ocorrer uma das seguintes situações i Os vetores normais são paralelos ou seja N1 αN2 N1 βN3 e N2 γN3 Neste caso os planos são paralelos Se além disso exatamente duas das equações são proporcionais então exa tamente dois planos são coincidentes e o sistema não tem solução Se as três equações são proporcionais então os três planos são coincidentes e o Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 294 Retas e Planos π1 π2 π3 Figura 438 Três planos paralelos π3 π2 π1 Figura 439 Planos interceptandose 2 a 2 π1 π2 π3 Figura 440 Três planos sendo 2 paralelos π1 π2 π3 Figura 441 Reta interseção de 3 planos Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 43 Posições Relativas de Retas e Planos 295 sistema tem infinitas soluções Se não ocorre nenhuma destas situações os planos são paralelos e distintos e o sistema não tem solução Figura 438 ii Exatamente dois vetores normais são paralelos ou seja vale uma e so mente uma equação entre N1 αN2 N1 αN3 N2 αN3 Neste caso exatamente dois planos são paralelos Se além de exatamente dois vetores normais serem paralelos as equações correspondentes forem proporcionais então dois planos são coincidentes e o terceiro corta os dois segundo uma reta Neste caso o sistema tem infinitas soluções Se isto não acontece então os planos paralelos são distintos e o sistema não tem solução Figura 440 iii Os vetores normais são coplanares e quaisquer dois vetores normais não são paralelos ou seja detA 0 e quaisquer dois vetores normais não são múltiplos escalares Neste caso quaisquer dois planos se interceptam segundo retas que são paralelas Com estas condições podem ocorrer dois casos os três planos se interceptem segundo uma reta Figura 441 ou os planos se interceptem dois a dois segundo retas distintas Figura 439 No primeiro caso o sistema 413 tem infinitas soluções No segundo caso o sistema não tem solução Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 296 Retas e Planos Exercícios Numéricos respostas na página 599 431 a Determine as equações da reta r que é a interseção dos planos π1 x 2y 2z 0 π2 3x 5y 7z 0 b Qual a posição relativa da reta r e do plano y z 0 432 Determine a posição relativa das retas r e s r x y z 1 1 1 λ2 2 1 λ R s x y z t1 1 0 t R 433 Sejam r1 x y z 1 0 2 2t t 3t e r2 x y z 0 1 1 t mt 2mt duas retas a Determine m para que as retas sejam coplanares não sejam reversas b Para o valor de m encontrado determine a posição relativa entre r1 e r2 c Determine a equação do plano determinado por r1 e r2 434 Sejam a reta r x y z 1 1 1 2t mt t e o plano π 2x y 2z 0 Determine o valor de m para que a reta seja paralela ao plano Para o valor de m encontrado a reta está contida no plano 435 Dê a posição relativa dos seguintes ternos de planos a 2x y z 1 x 3y z 2 x y 4z 3 b x 2y z 0 2x 4y 2z 1 x y 0 c 2x y z 3 3x 2y z 1 2x y 3z 7 d 3x 2y z 8 2x 5y 2z 3 x y z 1 e 2x y 3z 2 3x y 2z 4 4x 2y 6z 3 f 4x 2y 4z 6 3x y 2z 2 2x y 2z 3 g 6x 3y 9z 3 4x 2y 6z 5 2x y 3z 2 h x 2y 3z 2 3x y 2z 1 5x 3y 4z 4 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 43 Posições Relativas de Retas e Planos 297 Teste do Capítulo 1 Ache os pontos do plano π y x que equidistam dos pontos A 1 1 0 e B 0 1 1 2 Quais são as coordenadas do ponto P simétrico do ponto P 1 0 0 em relação à reta r x y z t1 1 1 3 a Encontre a equação do plano π que passa pelos pontos A 0 0 1 B 0 1 0 e C 1 0 1 b Encontre a distância da origem ao plano π 4 a Mostre que os planos x y 0 e y z 1 se interceptam segundo uma reta r b Ache a equação do plano que passa pelo ponto A 1 0 1 e é perpendicular à reta r Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 5 SEÇÕES CÔNICAS Uma cônica no plano é definida como o conjunto dos pontos P x y que satisfa zem a equação ax2 bxy cy2 dx ey f 0 em que a b c d e e f são números reais com a b e c não simultaneamente nulos Vamos estudar a elipse a hipérbole e a parábola que são chamadas cônicas não de generadas As outras que incluem um único ponto e um par de retas são chamadas cônicas degeneradas Como veremos adiante as cônicas não degeneradas podem ser obtidas da interseção de um cone circular com um plano Vamos definir as cônicas como conjunto de pontos que satisfazem certas proprieda des e determinar as equações na forma mais simples possível 51 Cônicas Não Degeneradas Cópia Digital 51 Cônicas Não Degeneradas 299 511 Elipse Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 300 Seções Cônicas P F1 F2 Figura 51 Elipse que é o conjunto dos pontos P tais que distP F1 distP F2 2a Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 51 Cônicas Não Degeneradas 301 Definição 51 A elipse é o conjunto dos pontos P no plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 focos é constante ou seja se distF1 F2 2c então a elipse é o conjunto dos pontos P tais que distP F1 distP F2 2a em que a c Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 302 Seções Cônicas A elipse pode ser desenhada se fixarmos as extremidades de um barbante de com primento 2a nos focos e esticarmos o barbante com uma caneta Movimentandose a caneta mantendo o barbante esticado a elipse será traçada Figura 51 Proposição 51 a A equação da elipse cujos focos são F1 c 0 e F2 c 0 é x2 a2 y2 b2 1 51 b A equação da elipse cujos focos são F1 0 c e F2 0 c é x2 b2 y2 a2 1 52 Em ambos os casos b a2 c2 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 51 Cônicas Não Degeneradas 303 x y B2 B1 F2 F1 A2 A1 A1 a 0 B1 b 0 F1 c 0 A2 a 0 B2 b 0 F2 c 0 c b a Figura 52 Elipse com focos nos pontos F1 c 0 e F2 c 0 x y B2 B1 F1 F2 A1 A2 A1 0 a B1 b 0 F1 0 c A2 0 a B2 b 0 F2 0 c b c a Figura 53 Elipse com focos nos pontos F1 0 c e F2 0 c Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 51 Cônicas Não Degeneradas 305 Figura 54 Elipse obtida seccionandose um cone com um plano Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 306 Seções Cônicas A elipse é a curva que se obtém seccionandose um cone com um plano que não passa pelo vértice não é paralelo a uma reta geratriz reta que gira em torno do eixo do cone de forma a gerálo e que corta apenas uma das folhas da superfície a demonstração deste fato está no Exercício 7311 na página 525 A elipse tem a propriedade de refletir os raios vindos de um dos focos na direção do outro foco a demonstração deste fato está no Exercício 5212 na página 365 Este fato é usado na construção de espelhos para dentistas e para escaneres Os planetas possuem órbitas elípticas em torno do Sol assim como os satélites em torno dos planetas A excentricidade da órbita da Terra em torno do Sol é 0017 Da Lua em volta da Terra é 0055 Netuno é o planeta cuja órbita tem a menor excentri cidade do sistema solar que é 0005 Mercúrio tem a órbita de maior e é 0206 Triton que é a maior lua de Netuno é o corpo cuja órbita tem a menor excentricidade do sistema solar que é de 000002 O cometa Halley tem uma órbita elíptica em torno do sol com excentricidade 0967 O coliseu de Roma tem a base elíptica com eixo maior igual a 94 metros e eixo menor igual a 78 metros Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 51 Cônicas Não Degeneradas 307 512 Hipérbole Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 308 Seções Cônicas P F1 F2 Figura 55 Hipérbole que é o conjunto dos pontos P x y tais que distP F1 distP F2 2a Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 51 Cônicas Não Degeneradas 309 Definição 52 A hipérbole é o conjunto dos pontos P no plano tais que o módulo da diferença entre as distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 focos é constante ou seja se distF1 F2 2c então a hipérbole é o conjunto dos pontos P tais que distP F1 distP F2 2a em que a c Podemos desenhar uma parte de um ramo da hipérbole da seguinte forma Fixamos uma extremidade de uma régua em um dos focos fixamos uma extremidade de um barbante de comprimento igual ao comprimento da régua menos 2a na outra ponta da régua e a outra extremidade do barbante no outro foco Esticamos o barbante com uma caneta de forma que ela fique encostada na régua Girandose a régua em torno do foco no qual ela foi fixada mantendo o barbante esticado com a caneta encostada na régua uma parte de um ramo da hipérbole será traçada Figura 55 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 310 Seções Cônicas x y F2 F1 A2 A1 y b a x y b a x A1 a 0 F1 c 0 A2 a 0 F2 c 0 a b c Figura 56 Hipérbole com focos nos pontos F1 c 0 e F2 c 0 x y F2 F1 A2 A1 y a b x y a b x A1 0 a F1 0 c A2 0 a F2 0 c b a c Figura 57 Hipérbole com focos nos pontos F1 0 c e F2 0 c Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 51 Cônicas Não Degeneradas 311 Proposição 52 a A equação da hipérbole cujos focos são F1 c 0 e F2 c 0 é x2 a2 y2 b2 1 53 e das assíntotas retas para onde a curva se aproxima quando x são y b a x b A equação da hipérbole cujos focos são F1 0 c e F2 0 c é y2 a2 x2 b2 1 54 e das assíntotas são x a by Em ambos os casos b c2 a2 Demonstração Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor como exer cício a demonstração da segunda parte A hipérbole é o conjunto dos pontos P x y tais que distP F1 distP F2 2a ou seja F1P F2P 2a Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 51 Cônicas Não Degeneradas 313 A hipérbole é a curva que se obtém seccionandose um cone com um plano que não passa pelo vértice não é paralelo a uma reta geratriz e que corta as duas folhas da superfície a demonstração deste fato está no Exercício 7311 na página 525 A hipérbole tem a propriedade de refletir os raios vindos na direção de um dos focos na direção do outro foco a demonstração deste fato está no Exercício 5213 na página 369 Este fato é usado na construção de espelhos para telescópios e para máquinas fotográficas O cometa C1980 E1 tinha um período orbital aproximado de 71 milhões de anos antes da passagem pelo periélio em 1982 mas um encontro com Júpiter tornou a sua órbita a mais excêntrica observada até agora 1057 de todos os cometas É esperado que este cometa não volte mais ao sistema solar Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 314 Seções Cônicas Figura 58 Hipérbole obtida seccionandose um cone com um plano Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 51 Cônicas Não Degeneradas 315 513 Parábola Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 316 Seções Cônicas P F Figura 59 Parábola que é o conjunto dos pontos P x y tais que distP F distP r Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 51 Cônicas Não Degeneradas 317 Definição 53 Uma parábola é o conjunto dos pontos P no plano equidistantes de uma reta r diretriz e de um ponto F foco não pertencente a r ou seja a parábola é o conjunto dos pontos P tais que distP F distP r Podemos desenhar uma parte de uma parábola da seguinte forma Colocamos um esquadro com um lado cateto encostado na reta diretriz fixamos uma extremidade de um barbante de comprimento igual ao lado cateto do esquadro perpendicular à reta diretriz no foco a outra extremidade na ponta do esquadro oposta ao lado que está encostado na reta diretriz Esticamos o barbante com a caneta de forma que ela fique encostada no lado do esquadro perpendicular à reta diretriz Deslizandose o esquadro na direção da reta diretriz mantendo o lado encostado nela uma parte da parábola é traçada Figura 59 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 318 Seções Cônicas x y F r x p P0 F p 0 P0 0 0 Figura 510 Parábola com foco no ponto F p 0 e p 0 x y P0 0 0 F 0 p r y p Figura 511 Parábola com foco no ponto F 0 p e p 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 51 Cônicas Não Degeneradas 319 x y P0 r x p F F p 0 P0 0 0 Figura 512 Parábola com foco no ponto F p 0 e p 0 x y P0 F r y p F 0 p P0 0 0 Figura 513 Parábola com foco no ponto F 0 p e p 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 51 Cônicas Não Degeneradas 321 usado na construção de faróis e lanternas Também naturalmente reflete na direção do foco os raios que incidem paralelos ao eixo de simetria fato usado na construção de antenas receptoras Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 322 Seções Cônicas Figura 514 Parábola obtida seccionandose um cone com um plano Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 51 Cônicas Não Degeneradas 323 514 Caracterização das Cônicas Vamos mostrar a seguir que todas as cônicas não degeneradas com exceção da cir cunferência podem ser descritas de uma mesma maneira Proposição 54 Seja s uma reta fixa diretriz e F um ponto fixo foco não pertencente a s O conjunto dos pontos do plano P x y tais que distP F e distP s 57 em que e 0 é uma constante fixa é uma cônica a Se e 1 então a cônica é uma parábola b Se 0 e 1 então a cônica é uma elipse c Se e 1 então a cônica é uma hipérbole Reciprocamente toda cônica que não seja uma circunferência pode ser descrita por uma equação da forma 57 Demonstração Se e 1 a equação 57 é a própria definição da parábola Vamos considerar o caso em que e 0 com e 1 Seja d distF s Sem perda de generalidade podemos tomar o foco como sendo o ponto F p 0 e a diretriz como sendo a reta vertical s x p e2 em que p de2 1e2 se a reta s estiver à direita do foco F Figuras 515 e 516 e p de2 e21 se a reta s estiver à esquerda do foco F Figuras 517 e 518 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 51 Cônicas Não Degeneradas 325 x y F p 0 s x p e2 Figura 515 Elipse um de seus focos e a reta diretriz à direita x y F p 0 s x p e2 Figura 516 Hipérbole um de seus focos e a reta dire triz à direita Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 326 Seções Cônicas x y F p 0 s x p e2 Figura 517 Elipse um de seus focos e a reta diretriz à esquerda x y F p 0 s x p e2 Figura 518 Hipérbole um de seus focos e a reta dire triz à esquerda Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 51 Cônicas Não Degeneradas 327 Exercícios Numéricos respostas na página 603 511 Reduzir cada uma das equações de forma a identificar a cônica que ela representa e faça um esboço do seu gráfico a 4x2 2y2 1 b x2 y 0 c x2 9y2 9 512 Escreva as equações das seguintes elipses a Os focos são F1 1 2 e F2 3 2 e satisfaz distP F1 distP F2 6 b Os focos são F1 1 1 e F2 1 1 e satisfaz distP F1 distP F2 4 513 Escreva as equações das seguintes hipérboles a Os focos são F1 3 1 e F2 3 4 e satisfaz distP F1 distP F2 3 b Os focos são F1 1 1 e F2 1 1 e satisfaz distP F1 distP F2 2 514 Escreva as equações das seguintes parábolas a O foco é F 0 2 e diretriz y 2 b O foco é F 0 0 e diretriz x y 2 515 Determinar a equação e identificar a trajetória de um ponto que se move de maneira que sua distância ao ponto F 6 0 é sempre igual à duas vezes sua distância a reta 2x 3 0 516 Determinar a equação e identificar a trajetória de um ponto que se move de maneira que sua distância ao eixo y é sempre igual à duas vezes sua distância ao ponto F 3 2 Exercícios Teóricos Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 328 Seções Cônicas 517 Mostre que a equação da elipse com focos nos pontos F1 x0 c y0 e F2 x0 c y0 e satisfaz distP F1 distP F2 2a em que a c é x x02 a2 y y02 b2 1 em que b a2 c2 518 Mostre que a equação da hipérbole com focos nos pontos F1 x0 c y0 e F2 x0 c y0 e satisfaz distP F1 distP F2 2a em que a c é x x02 a2 y y02 b2 1 em que b c2 a2 519 Mostre que a equação da parábola com foco no ponto F x0 p y0 e reta diretriz r x x0 p é y y02 4px x0 5110 Seja uma elipse ou hipérbole com focos em F1 p 0 e F2 p 0 a Mostre que x2 p2 e2 y2 p21e2 e2 1 é a equação desta cônica em que e é a excentricidade b Definindo a reta r x p e2 Mostre que esta cônica pode ser descrita pelo conjunto de pontos P x y tais que distP F e distP r Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 51 Cônicas Não Degeneradas 329 5111 a Verifique que com o procedimento abaixo realmente desenhamos uma parte de um ramo de uma hipérbole Fixamos uma extremidade de uma régua em um dos focos fixamos uma extremidade de um barbante de comprimento igual ao comprimento da régua menos 2a na outra ponta da régua e a outra extremidade do barbante no outro foco Esticamos o barbante com uma caneta de forma que ela fique encostada na régua Girandose a régua em torno do foco no qual ela foi fixada mantendo o barbante esticado com a caneta encostada na régua uma parte de um ramo da hipérbole será traçada Figura 55 na página 308 b Verifique que com o procedimento abaixo realmente desenhamos uma parte de um ramo de uma parábola Colocamos um esquadro com um lado cateto encostado na reta diretriz fixamos uma ex tremidade de um barbante de comprimento igual ao lado cateto do esquadro perpendicular à reta diretriz no foco a outra extremidade na ponta do esquadro oposta ao lado que está encostado na reta diretriz Esticamos o barbante com a caneta de forma que ela fique encostada no lado do esqua dro perpendicular à reta diretriz Deslizandose o esquadro na direção da reta diretriz mantendo o lado encostado nela uma parte da parábola é traçada Figura 59 na página 316 5112 Mostre que um espelho parabólico reflete na mesma direção do seu eixo de simetria os raios que incidem vindos do foco seguindo os seguintes passos a Considere a parábola y2 4px Use o fato de que a inclinação da reta tangente à parabola no ponto P y2 0 4p y0 é tanα dy dx 2p y0 Mostre que a reta tangente à parabola no ponto P intercepta o eixo x no ponto Q x0 0 b Mostre que dQ F dF P em que F p 0 Logo o triângulo QFP é isósceles e assim o ângulo de incidência do raio que incide em P vindo do foco α2 é igual ao ângulo de reflexão do raio que parte de P na mesma direção do eixo de simetria α1 Portanto o raio que vem de F e se reflete em P necessariamente segue paralelo ao eixo de simetria da parábola veja a Figura 519 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 330 Seções Cônicas x y P α1 α2 α1 x0 F y0 Q Figura 519 Espelho parabólico refletindo na direção do seu eixo de simetria os raios vindos do foco Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 51 Cônicas Não Degeneradas 331 Figura 520 Espelho parabólico refletindo na direção do foco os raios que incidem paralelos ao seu eixo Figura 521 Espelho parabólico refletindo na direção do seu eixo os raios originários do foco Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 334 Seções Cônicas x y P r y O θ x Figura 522 Ponto P do plano em coordenadas polares r θ e cartesianas x y Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 52 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas 335 x y r θ r θ r θ π θ θ π Figura 523 Para r 0 r θ r θ π Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 336 Seções Cônicas 05 0 05 1 15 2 25 05 0 05 1 15 2 25 x y Figura 524 Circunferência com equação em coordenadas polares r 2 cos θ 2 sen θ 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 52 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas 337 1 05 0 05 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 x y Figura 525 Parábola com equação em coordenadas polares r 1 1 cos θ Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 52 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas 339 521 Cônicas em Coordenadas Polares A equação polar de uma cônica que não é uma circunferência assume uma forma simples quando um foco F está no polo e a reta diretriz s é paralela ou perpendicular ao eixo polar Seja d distF s Para deduzir a equação polar das cônicas vamos usar a caracterização dada na Proposição 54 na página 323 ou seja que uma cônica é o lugar geométrico dos pontos P que satisfazem distP F e distP s Como o foco F está no polo temos que distP F r em que r θ são as coordena das polares de P a Se a reta diretriz s é perpendicular ao eixo polar i Se a reta s está à direita do polo obtemos que distP s d r cos θ Assim a equação da cônica fica sendo r ed r cos θ Isolando r obtemos r de 1 e cos θ ii Se a reta s está à esquerda do polo obtemos que distP s d r cos θ Assim a equação da cônica fica sendo r ed r cos θ Isolando r obtemos r de 1 e cos θ b Se a reta diretriz s é paralela ao eixo polar Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 340 Seções Cônicas i Se a reta s está acima do polo obtemos que distP s d r sen θ Assim a equação da cônica fica sendo r ed r sen θ Isolando r obtemos r de 1 e sen θ ii Se a reta s está abaixo do polo obtemos que distP s d r sen θ Assim a equação da cônica fica sendo r ed r sen θ Isolando r obtemos r de 1 e sen θ Isto prova o seguinte resultado Proposição 56 Considere uma cônica com excentricidade e 0 que não é uma circunferência que tem um foco F no polo e a reta diretriz s é paralela ou perpendicular ou eixo polar com d dists F a Se a reta diretriz correspondente a F é perpendicular ao eixo polar e está à direita do polo então a equação polar da cônica é r de 1 e cos θ e se está à esquerda do polo então a equação polar da cônica é r de 1 e cos θ Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 52 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas 341 b Se a reta diretriz correspondente a F é paralela ao eixo polar e está acima do polo então a equação polar da cônica é r de 1 e sen θ e se está abaixo do polo então a equação polar da cônica é r de 1 e sen θ Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 342 Seções Cônicas x y P r θ s Figura 526 Parte de uma cônica com foco no polo e reta diretriz perpendicular ao eixo polar à direita x y P r r θ s Figura 527 Hipérbole com foco no polo e reta diretriz perpendicular ao eixo polar à direita Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 52 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas 343 x y P r θ s Figura 528 Parte de uma cônica com foco no polo e reta diretriz perpendicular ao eixo polar à esquerda x y P r r θ s Figura 529 Hipérbole com foco no polo e reta diretriz perpendicular ao eixo polar à esquerda Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 344 Seções Cônicas x y P r θ s Figura 530 Parte de uma cônica com foco no polo e reta diretriz paralela ao eixo polar acima x y P r r θ s Figura 531 Hipérbole com foco no polo e reta diretriz paralela ao eixo polar acima Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 52 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas 345 x y P r θ s Figura 532 Parte de uma cônica com foco no polo e reta diretriz paralela ao eixo polar abaixo x y P r r θ s Figura 533 Hipérbole com foco no polo e reta diretriz paralela ao eixo polar abaixo Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 346 Seções Cônicas Exemplo 53 Vamos identificar a cônica cuja equação em coordenadas polares é r 4 2 cos θ Dividindose o numerador e o denominador do segundo membro da equação por 2 obtemos r 2 1 1 2 cos θ que é a equação em coordenadas polares de uma elipse com excentricidade igual a 12 um dos focos no polo reta diretriz x 4 coordenadas cartesianas ou r cos θ 4 coordenadas polares Fazendo θ 0 e θ π na equação polar da elipse encontramos r 43 e r 2 respectivamente 43 0 e 2 π são coordena das polares de vértices da elipse 522 Circunferência em Coordenadas Polares A forma mais simples da equação de uma circunferência em coordenadas polares ocorre quando seu centro está no polo Neste caso a equação é simplesmente r a em que a é o raio da circunferência Além deste caso a equação polar de uma circunferência assume uma forma simples quando ela passa pelo polo e o seu centro está no eixo polar ou na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo a Se o centro está no eixo polar a Se o raio é igual a a e o centro em coordenadas polares é C a 0 Se P é um ponto qualquer da circunferência então a2 CP 2 OP OC 2 OP 2 OC 2 2 OP OC r2 a2 2ra cos θ Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 52 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas 347 Assim r2 2ra cos θ ou rr 2a cos θ 0 Logo a equação em coordenadas polares da circunferência é r 2a cos θ b Se o raio é igual a a e o centro em coordenadas polares é C a π Se P é um ponto qualquer da circunferência então a2 CP 2 OP OC 2 OP 2 OC 2 2 OP OC r2 a2 2ra cosπ θ Assim r2 2ra cos θ ou rr 2a cos θ 0 Logo a equação em coordenadas polares da circunferência é r 2a cos θ b Se o centro está na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo a Se o raio é igual a a e o centro em coordenadas polares é C a π2 Se P é um ponto qualquer da circunferência então a2 CP 2 OP OC 2 OP 2 OC 2 2 OP OC r2 a2 2ra cosπ2 θ Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 348 Seções Cônicas Assim r2 2ra sen θ ou rr 2a sen θ 0 Logo a equação em coordenadas polares da circunferência é r 2a sen θ b Se o raio é igual a a e o centro em coordenadas polares é C a π2 Se P é um ponto qualquer da circunferência então a2 CP 2 OP OC 2 OP 2 OC 2 2 OP OC r2 a2 2ra cosπ2 θ Assim r2 2ra sen θ ou rr 2a sen θ 0 Logo a equação em coordenadas polares da circunferência é r 2a sen θ Proposição 57 Considere uma circunferência de raio a que passa pelo polo cujo centro está no eixo polar ou na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 52 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas 349 a Se o centro está no eixo polar e à direita do polo então a equação polar da circunferência é dada por r 2a cos θ e se o centro está à esquerda do polo então a equação polar da circunferência é dada por r 2a cos θ b Se o centro está na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo e acima do polo então a equação polar é dada por r 2a sen θ e se está abaixo do polo então a equação polar da circunferência é dada por r 2a sen θ Exemplo 54 Uma circunferência cuja equação em coordenadas polares é r 3 cos θ passa pelo polo tem raio igual a 32 e as coordenadas polares do seu centro são 32 π 523 Equações Paramétricas Seja Fx y 0 59 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 52 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas 351 Exemplo 56 A elipse de equação x2 a2 y2 b2 1 515 pode ser representada parametricamente pelas equações x a cos t e y b sen t para todo t 0 2π 516 Pois elevandose ao quadrado e dividindose por a2 a primeira equação em 516 elevandose ao quadrado e dividindose por b2 a segunda equação em 516 e somandose os resultados obtemos x2 a2 y2 b2 cos2 t sen2 t 1 Exemplo 57 A hipérbole de equação x2 a2 y2 b2 1 517 pode ser representada parametricamente pelas equações x a sec t e y b tan t para todo t 0 2π t π2 3π2 518 Pois elevandose ao quadrado e dividindose por a2 a primeira equação em 518 elevandose ao quadrado e dividindose por b2 a segunda equação em 518 e subtraindose os resultados obtemos x2 a2 y2 b2 sec2 t tan2 t 1 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 354 Seções Cônicas x y C θ r P Figura 534 Circunferência que passa pelo polo com centro no eixo polar à direita x y C θ r P Figura 535 Circunferência que passa pelo polo com centro no eixo polar à esquerda Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 52 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas 355 x y C θ r P Figura 536 Circunferência que passa pelo polo com centro acima do polo na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo x y C θ r P Figura 537 Circunferência que passa pelo polo com centro abaixo do polo na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 356 Seções Cônicas x y t cos t sen t Figura 538 Circunferência parametrizada Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 52 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas 357 x y t a cos t b sen t b cos t b sen t a cos t a sen t Figura 539 Elipse parametrizada Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 358 Seções Cônicas x y 0 12 0 1 Figura 540 Cosseno hiperbólico Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 52 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas 359 x y 0 12 0 12 Figura 541 Seno hiperbólico Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 360 Seções Cônicas x y t b b tan t a sec t b tan t a cos t a sen t Figura 542 Hipérbole parametrizada usando secante e tangente x y a cosh t b senh t a cosh t b senh t Figura 543 Hipérbole parametrizada usando as fun ções hiperbólicas Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 52 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas 361 x y t e cos t 1e cos t e sen t 1e cos t Figura 544 Elipse com foco na origem parametrizada usando a sua fórmula em coordenadas polares x y e cos t 1e cos t e sen t 1e cos t t e cos t 1e cos t e sen t 1e cos t t Figura 545 Hipérbole com foco na origem parametri zada usando a sua fórmula em coordenadas polares Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 362 Seções Cônicas Exercícios Numéricos respostas na página 610 521 Transformar a equação em coordenadas retangulares em uma equação em coordenadas polares a x2 y2 4 b x2 y2 4 c x2 y2 2y 0 d x2 4y 4 0 522 Transformar a equação em coordenadas polares em uma equação em coordenadas retangulares a r 2 1 3 cos θ b r 4 sen θ c r 9 cos θ d r 3 2 sen θ e r tan θ f ra cos θ b sen θ c 0 523 Identificar a cônica cuja equação em coordenadas polares é dada Determine a excentricidade a equação da diretriz a distância da diretriz ao foco e as coordenadas polares de dois vértices a r 5 2 2 cos θ b r 6 3 sen θ c r 3 2 4 cos θ d r 4 2 3 cos θ 524 Determine o raio e e as coordenadas polares do centro da circunferência cuja equação em coordenadas polares é dada a r 4 cos θ b r 3 sen θ c r 3 2 cos θ d r 4 3 sen θ 525 Descreva as regiões a seguir usando coordenadas polares Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 52 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas 363 a 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x y x2y2 25 b 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 x y x2y2 18 c 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x y x2y2 4 y x y x2 d 3 2 1 1 2 3 1 2 3 4 5 6 x y x22y2 4 y x2 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 364 Seções Cônicas Exercícios Teóricos 526 A equação da trajetória de uma partícula lançada do ponto P0 0 0 com velocidade v0 fazendo um ângulo α com o eixo x e sujeita apenas a ação da aceleração da gravidade g é dada por y tan α x g 2v2 0 cos2 α x2 Mostre que x v0 cos α t e y v0 sen α t g 2 t2 são equações paramétricas da trajetória da partícula 527 Se o centro de uma circunferência que passa pelo polo é a α mostre que sua equação em coordenadas polares é r 2a cosθ α 528 Se a cônica de equação r de 1 e cos θ representa uma parábola determine as coordenadas polares do seu vértice e a equação em coordenadas polares da reta diretriz 529 Se a cônica de equação r de 1 e cos θ representa uma elipse mostre que o comprimento do seu eixo menor é 2de 1 e2 5210 Mostre que a equação em coordenadas polares de uma elipse com um dos focos no polo que tem eixo maior igual a 2a e excentricidade e é r a1 e2 1 e cos θ 5211 Considere uma cônica com excentricidade e 0 que não é uma circunferência que tem um foco F no polo e a reta diretriz s é paralela ou perpendicular ou eixo polar com d dists F Seja p de2 1e2 se a reta s estiver à direita do foco F e p de2 e21 se a reta s estiver à esquerda do foco F Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 366 Seções Cônicas c Mostre que distP F2 distP1 F2 a c cos t Logo o triângulo PF2P1 é isósceles e assim o ângulo de reflexão do raio que passa por F1 depois de ser refletido em P α1 e o ângulo de incidência do raio que se reflete em P vindo de F2 α2 são iguais Portanto o raio que vem de F2 e se reflete em P necessariamente passa por F1 veja a Figura 546 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 52 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas 367 x y P a cost b sent α1 α2 α1 F1 c 0 F2 c 0 P1 Figura 546 Elipse refletindo na direção de um foco os raios que incidem na elipse vindo do outro foco Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 368 Seções Cônicas Figura 547 Espelho elíptico refletindo na direção de um foco os raios que incidem vindo do outro foco Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 370 Seções Cônicas x y P a sec t b tan t α1 α2 α1 F1 c 0 F2 c 0 P1 Figura 548 Hipérbole refletindo na direção de um foco os raios que incidem na hipérbole na direção do outro foco Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 52 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas 371 x y P a sec t b tan t α1 α2 α2 α1 α1 F1 c 0 F2 c 0 P1 Figura 549 Hipérbole refletindo na direção de um foco os raios que incidem na hipérbole na direção do outro foco Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 372 Seções Cônicas Figura 550 Espelho maior parabólico refletindo na direção do foco em seguida os raios são refletidos por um espelho hiperbólico na direção do outro foco da hipérbole Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 6 SUPERFÍCIES E CURVAS NO ESPAÇO 61 Quádricas Nesta seção estudaremos as superfícies que podem ser representadas pelas equações quadráticas nas variáveis x y e z ou seja da forma ax2 by2 cz2 dxy exz f yz gx hy iz j 0 em que a b c d e f g h i j R com a b c d e f não simultaneamente nulos Va mos nos limitar neste capítulo ao estudo de casos especiais da equação acima 611 Elipsoide Um elipsoide é um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satis faz a equação Cópia Digital 374 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 61 Elipsoide de equação x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 61 Quádricas 375 y z x Figura 62 Elipsoide e interseções com os planos z k Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 61 Quádricas 377 y z x Figura 63 Elipsoide e interseções com os planos y k Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 378 Superfícies e Curvas no Espaço y z x Figura 64 Elipsoide e interseções com os planos x k Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 380 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 65 Hiperboloide de uma folha de equação x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 61 Quádricas 381 y z x Figura 66 Hiperboloide de uma folha e interseções com os planos z k Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 61 Quádricas 383 y z x Figura 67 Hiperboloide de uma folha e interseções com os planos y k Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 384 Superfícies e Curvas no Espaço y z x Figura 68 Hiperboloide de uma folha e interseções com os planos x k Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 61 Quádricas 385 x y z Figura 69 Hiperboloide de duas folhas Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 386 Superfícies e Curvas no Espaço y z x Figura 610 Hiperboloide de duas folhas e interseções com os planos z k Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 61 Quádricas 387 e x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 também representam hiperboloides de duas folhas Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 388 Superfícies e Curvas no Espaço y z x Figura 611 Hiperboloide de duas folhas e interseções com os planos y k Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 61 Quádricas 389 y z x Figura 612 Hiperboloide de duas folhas e interseções com os planos x k Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 390 Superfícies e Curvas no Espaço 613 Paraboloide Paraboloide Elíptico Um paraboloide elíptico é um conjunto de pontos que em algum sistema de coor denadas satisfaz a equação cz x2 a2 y2 b2 64 em que a b e c são números reais sendo a e b positivos O paraboloide elíptico 64 é simétrico em relação aos planos xz e yz Pois se x y z satisfaz 64 então x y z e x y z também satisfazem Ele também é simétrico em relação ao eixo z pois se x y z satisfaz 64 então x y z também satisfaz A interseção do paraboloide elíptico 64 com o plano z k para k tal que ck 0 é a elipse x2 cka2 y2 ckb2 1 z k A interseção do paraboloide elíptico 64 com plano x k é a parábola z k2 ca2 y2 cb2 x k A interseção do paraboloide elíptico 64 com plano y k também é uma parábola As equações ax y2 b2 z2 c2 e by x2 a2 z2 c2 também representam paraboloides elípticos Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 61 Quádricas 391 x y z Figura 613 Paraboloide elíptico de equação cz x2 a2 y2 b2 para c 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 392 Superfícies e Curvas no Espaço y z x Figura 614 Paraboloide elíptico e interseções com os planos z k Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 61 Quádricas 393 y z x Figura 615 Paraboloide elíptico e interseções com os planos y k Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 394 Superfícies e Curvas no Espaço y z x Figura 616 Paraboloide elíptico e interseções com os planos x k Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 61 Quádricas 395 x y z Figura 617 Paraboloide hiperbólico de equação cz x2 a2 y2 b2 para c 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 396 Superfícies e Curvas no Espaço y z x Figura 618 Paraboloide hiperbólico e interseções com os planos z k Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 61 Quádricas 397 Paraboloide Hiperbólico Um paraboloide hiperbólico é um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satisfaz a equação cz x2 a2 y2 b2 65 em que a b e c são números reais sendo a e b positivos O paraboloide hiperbólico 65 é simétrico em relação aos planos xz e yz Pois se x y z satisfaz 65 então x y z e x y z também satisfazem Ele também é simétrico em relação ao eixo z pois se x y z satisfaz 65 então x y z tam bém satisfaz A interseção do plano z k com o paraboloide hiperbólico 65 é dada por x2 ca2 y2 cb2 k z k que representa uma hipérbole se k 0 e um par de retas se k 0 A interseção do paraboloide hiperbólico 65 com plano y k é a parábola z x2 ca2 k2 cb2 y k que tem concavidade para cima se c 0 e concavidade para baixo se c 0 A interseção do paraboloide hiperbólico com plano x k é a parábola z y2 cb2 k2 ca2 x k que tem concavidade para baixo se c 0 e concavidade para cima se c 0 O paraboloide hiperbólico é também chamado sela As equações ax y2 b2 z2 c2 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 398 Superfícies e Curvas no Espaço e by x2 a2 z2 c2 também representam paraboloides hiperbólicos Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 61 Quádricas 399 y z x Figura 619 Paraboloide hiperbólico e interseções com os planos y k Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 400 Superfícies e Curvas no Espaço y z x Figura 620 Paraboloide hiperbólico e interseções com os planos x k Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 61 Quádricas 401 614 Cone Elíptico Um cone elíptico é um conjunto de pontos que satisfaz a equação z2 x2 a2 y2 b2 66 em que a e b são números reais positivos em algum sistema de coordenadas Se a b o cone é chamado cone circular Observe que o cone elíptico 66 é simétrico em relação aos planos coordenados aos eixos coordenados e à origem Pois se x y z satisfaz 66 então x y z x y z x y z x y z x y z x y z e x y z também sa tisfazem A interseção do cone elíptico 66 com o plano z k para k 0 é a elipse x2 a2k2 y2 b2k2 1 z k Observe que os eixos da elipse crescem à medida que k aumenta Os planos xz e yz cortam o cone elíptico 66 segundo as retas x az y 0 e y bz x 0 respectivamente A interseção do cone elíptico 66 com o plano y k para k 0 é a hipérbole z2 k2b2 x2 a2k2b2 1 y k A interseção do cone elíptico 66 com o plano x k para k 0 é a hipérbole z2 k2a2 y2 b2k2a2 1 x k Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 402 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 621 Cone elíptico de equação z2 x2 a2 y2 b2 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 61 Quádricas 403 y z x Figura 622 Cone elíptico e interseções com os planos z k Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 404 Superfícies e Curvas no Espaço As equações x2 y2 b2 z2 c2 e y2 x2 a2 z2 c2 também representam cones elípticos 615 Cilindro Quádrico Um cilindro quádrico é um conjunto de pontos do espaço que em algum sistema de coordenadas satisfaz a equação f x y 0 67 em que f x y 0 é a equação de uma cônica no plano xy Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 61 Quádricas 405 y z x Figura 623 Cone elíptico e interseções com os planos y k Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 406 Superfícies e Curvas no Espaço y z x Figura 624 Cone elíptico e interseções com os planos x k Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 61 Quádricas 407 x y z Figura 625 Cilindro elíptico de equação x2 a2 y2 b2 1 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 408 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 626 Cilindro hiperbólico de equação x2 a2 y2 b2 1 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 61 Quádricas 409 x y z Figura 627 Cilindro hiperbólico de equação y2 a2 x2 b2 1 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 410 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 628 Cilindro parabólico de equação y2 4px p 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 61 Quádricas 411 x y z Figura 629 Cilindro parabólico de equação x2 4py p 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 412 Superfícies e Curvas no Espaço Chamamos o cilindro quádrico de cilindro elíptico se a cônica de equação f x y 0 é uma elipse Por exemplo a equação x2 2y2 1 representa uma elipse no plano enquanto representa um cilindro elíptico no espaço Chamamos o cilindro quádrico de cilindro hiperbólico se a cônica de equação f x y 0 é uma hipérbole Por exemplo a equação x2 2y2 1 representa uma hipérbole no plano enquanto representa um cilindro hiperbólico no espaço Chamamos o cilindro quádrico de cilindro parabólico se a cônica de equação f x y 0 é uma parábola Por exem plo a equação x2 4y representa uma parábola no plano enquanto representa um cilindro parabólico no espaço A interseção do plano z k com o cilindro é a cônica que o originou chamada diretriz do cilindro f x y 0 z k Se a equação f x k 0 tem m soluções m 0 1 ou 2 então o plano y k intercepta a superfície segundo m retas f x y 0 y k Considerações semelhantes são válidas para a interseção com o plano x k As equações gx z 0 e hy z 0 também representam cilindros quádricos desde que gx z 0 e hy z 0 sejam equações de cônicas nos planos xz e yz respectivamente Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 61 Quádricas 413 Exercícios Numéricos respostas na página 612 611 Reduzir cada uma das equações de forma a identificar a quádrica que ela representa e faça um esboço do seu gráfico a 4x2 2y2 z2 1 b x2 y z2 0 c x2 9y2 9 d 4x2 9y2 36z 0 612 Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do plano π x 2 e do ponto P 2 0 0 Que conjunto é este 613 Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos que eqüidistam das retas r x y z 0 1 0 t1 0 0 e s x y z 0 1 0 t0 0 1 Que lugar geométrico é este 614 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P x y z tais que a soma das distâncias de P aos dois pontos 2 0 0 e 2 0 0 é igual a 6 Que lugar geométrico é este 615 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P x y z tais que o módulo da diferença entre as as distâncias de P x y z aos dois pontos 2 0 0 e 2 0 0 é igual a 3 Que lugar geométrico é este Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 414 Superfícies e Curvas no Espaço 62 Superfícies Cilíndricas Cônicas e de Revolução 621 Superfícies Cilíndricas Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 62 Superfícies Cilíndricas Cônicas e de Revolução 415 x y z V P P Figura 630 Superfície cilíndrica Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 416 Superfícies e Curvas no Espaço Uma superfície cilíndrica é uma superfície que pode ser obtida quando uma reta chamada geratriz se move paralelamente passando por uma curva fixa chamada diretriz Suponhamos que a curva diretriz da superfície cilíndrica S esteja no plano xy e tenha equação neste plano dada por f x y 0 68 e que as retas geratrizes sejam paralelas a um vetor que não é paralelo ao plano xy digamos V a b 1 Seja P x y z um ponto qualquer sobre S e P x y 0 um ponto do plano xy que está na reta geratriz que passa por P O ponto x y z pertence a S se e somente se o vetor PP é paralelo a V e P é um ponto da curva diretriz ou seja PP λV e f x y 0 que é equivalente a x x y y z λa b 1 e f x y 0 Destas equações obtemos que λ z x x az e y y bz Assim a equação da superfície cilíndrica S que tem curva diretriz no plano xy com equação 68 e retas geratrizes paralelas ao vetor V a b 1 é f x az y bz 0 Resultados análogos são obtidos se a curva diretriz está situada nos planos coorde nados yz e xz Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 62 Superfícies Cilíndricas Cônicas e de Revolução 417 Proposição 61 Considere uma superfície cilíndrica a Se a sua curva diretriz está no plano xy com equação neste plano dada por f x y 0 e as retas geratrizes são paralelas ao vetor V a b 1 então a sua equação é f x az y bz 0 b Se a sua curva diretriz está no plano yz com equação neste plano dada por f y z 0 e as retas geratrizes são paralelas ao vetor V 1 b c então a sua equação é f y bx z cx 0 c Se a sua curva diretriz está no plano xz com equação neste plano dada por f x z 0 e as retas geratrizes são paralelas ao vetor V a 1 c então a sua equação é f x ay z cy 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 418 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 631 Superfície cilíndrica com diretrizes paralelas ao vetor W 1 2 3 e curva geratriz x2 4y 0 z 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 62 Superfícies Cilíndricas Cônicas e de Revolução 419 Exemplo 61 Vamos determinar a equação da superfície cilíndrica que tem como curva diretriz no plano xy a parábola de equação x2 4y 0 e retas diretrizes pa ralelas ao vetor W 1 2 3 Para obtermos um vetor que tem a 3a componente igual a 1 multiplicamos o vetor W por 13 obtendo o vetor V 13 23 1 que também é paralelo às retas geratrizes A equação da superfície é então x z32 4y 2z3 0 Consideremos o problema inverso ou seja uma superfície de equação Fx y z 0 é uma superfície cilíndrica se puder ser escrita na forma f x az y bz 0 ou f y bx z cx 0 ou f x ay z cy 0 Exemplo 62 Vamos mostrar que a superfície de equação 3x2 3y2 2xz 4yz z2 27 é uma superfície cilíndrica Fazendo z 0 obtemos a curva candidata a diretriz no plano xy 3x2 3y2 27 Agora substituindose x por x αz e y por y βz na equação da candidata a curva diretriz obtemos 3x αz2 3y βz2 3x2 3y2 6αxz 6βyz 3α2 3β2z2 27 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 420 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 632 Superfície cilíndrica de equação 3x2 3y2 2xz 4yz z2 27 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 62 Superfícies Cilíndricas Cônicas e de Revolução 421 Comparandose com a equação da superfície obtemos que α 13 e β 23 Portanto a superfície é cilíndrica com retas geratrizes paralelas ao vetor V 13 23 1 e com curva diretriz 3x2 3y2 27 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 422 Superfícies e Curvas no Espaço 622 Superfícies Cônicas Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 62 Superfícies Cilíndricas Cônicas e de Revolução 423 x y z P P Figura 633 Superfície cônica Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 424 Superfícies e Curvas no Espaço Uma superfície cônica é uma superfície que pode ser obtida quando uma reta se move de maneira que sempre passa por uma curva fixa chamada diretriz e por um ponto fixo chamado vértice não situado no plano da geratriz Suponhamos que a curva diretriz da superfície cônica S esteja no plano z c e tenha equação neste plano dada por f x y 0 69 e que o vértice esteja na origem O 0 0 0 Seja P x y z uma ponto qualquer de S e P x y c o ponto da curva diretriz situado na reta que une P à origem O ponto P pertence a S se e somente se o vetor OP é paralelo a OP e P é um ponto da curva diretriz ou seja OP λ OP e f x y 0 que é equivalente a x y z λx y c e f x y 0 Destas equações obtemos que λ zc x cxz e y cyz Assim a equação da superfície cônica S que tem curva diretriz no plano z c com equação 69 e vértice na origem é f cx z cy z 0 Resultados análogos são obtidos se a curva diretriz está situada nos planos y b e x a Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 62 Superfícies Cilíndricas Cônicas e de Revolução 425 Proposição 62 Considere uma superfície cônica a Se a sua curva diretriz está no plano z c com equação neste plano dada por f x y 0 e o vértice está na origem então a sua equação é f cx z cy z 0 b Se a sua curva diretriz está no plano x a com equação neste plano dada por f y z 0 e o vértice está na origem então a sua equação é f ay x az x 0 c Se a sua curva diretriz está no plano y b com equação neste plano dada por f x z 0 e o vértice está na origem então a sua equação é f bx y bz y 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 426 Superfícies e Curvas no Espaço Exemplo 63 Considere a parábola situada no plano z 1 de equação x2 2y A equação da superfície cônica cuja curva diretriz é esta parábola e com vértice na origem O 0 0 0 é obtida trocandose x por xz e y por yz na equação acima Ou seja xz2 2yz ou x2 2yz Consideremos o problema inverso ou seja uma superfície de equação Fx y z 0 é uma superfície cônica com vértice na origem O 0 0 0 se sempre que um ponto P x y z 0 0 0 pertence a ela então a reta que passa pela origem e por P está contida na superfície Ou seja se um ponto P x y z 0 0 0 satisfaz a equação da superfície então o ponto P λx λy λz também satisfaz para todo λ R Exemplo 64 A superfície de equação 4x2 y2 4z2 0 é uma superfície cônica com vértice na origem O 0 0 0 pois se x y z satisfaz a equação acima então também λx λy λz para todo λ R Fazendo z 1 obtemos a curva diretriz no plano z 1 de equação 4x2 y2 4 0 que é uma hipérbole Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 62 Superfícies Cilíndricas Cônicas e de Revolução 427 x y z Figura 634 Superfície cônica cuja curva diretriz é x2 2y 0 z 1 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 428 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 635 Superfície cônica de equação 4x2 y2 4z2 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 62 Superfícies Cilíndricas Cônicas e de Revolução 429 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 434 Superfícies e Curvas no Espaço Consideremos o problema inverso ou seja uma superfície de equação Fx y z 0 é uma superfície de revolução em torno de um dos eixos coordenados se as interces sões da superfície com planos perpendiculares ao referido eixo são circunferências com centros no referido eixo Exemplo 66 A superfície de equação x2 y2 cosπz 322 é de uma superfície de revolução pois fazendo z k obtemos a equação de uma circunferência neste plano x2 y2 cosπk 322 Exemplo 67 a Um elipsoide que tem dois dos seus parâmetros iguais é um elip soide de revolução Por exemplo x2 a2 y2 a2 z2 c2 1 x2 a2 y2 b2 z2 b2 1 x2 a2 y2 b2 z2 a2 1 são equações de elipsoides de revolução O primeiro em torno do eixo z o segundo em torno do eixo x e o terceiro em torno do eixo y Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 62 Superfícies Cilíndricas Cônicas e de Revolução 435 b O hiperboloide de uma folha que tem os parâmetros iguais associados aos ter mos de sinal positivo é um hiperboloide uma folha de revolução Por exemplo x2 a2 y2 a2 z2 c2 1 x2 a2 y2 b2 z2 b2 1 x2 a2 y2 b2 z2 a2 1 são equações de hiperboloides de uma folha de revolução O primeiro em torno do eixo z o segundo em torno do eixo x e o terceiro em torno do eixo y c O hiperboloide de duas folhas que tem os parâmetros iguais associados aos ter mos de sinal negativo é um hiperboloide duas folhas de revolução Por exem plo x2 a2 y2 a2 z2 c2 1 x2 a2 y2 b2 z2 b2 1 x2 a2 y2 b2 z2 a2 1 são equações de hiperboloides de duas folhas de revolução O primeiro em torno do eixo z o segundo em torno do eixo x e o terceiro em torno do eixo y d O cone circular de equação z2 x2 a2 y2 a2 pode ser obtido pela rotação da reta situada no plano xz de equação z x a em torno do eixo z Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 436 Superfícies e Curvas no Espaço Exercícios Numéricos 621 Dadas as equações da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes determine a equação da superfície cilíndrica a y2 4x z 0 e V 1 1 1 b x2 z2 1 y 0 e V 2 1 1 c x2 y2 1 z 0 e V 0 2 1 d 4x2 z2 4z 0 y 0 e V 4 1 0 622 Mostre que cada uma das equações representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes a x2 y2 2z2 2xz 2yz 1 b x2 y 5z2 2xz 4yz 4 0 c 17x2 2y2 z2 8xy 6xz 2 0 d xz 2yz 1 0 623 Dadas as equações da curva diretriz determine a equação da superfície cônica que tem vértice na origem O 0 0 0 a x2 y2 4 e z 2 b xz 1 e y 1 c y x2 e z 2 d x2 4z2 4 e y 3 624 Mostre que cada uma das equações representa uma superfície cônica com vértice na origem O 0 0 0 e determine a equação de uma curva diretriz a x2 2y2 4z2 0 b 4z3 x2y 0 c 8y4 yz3 0 d xy xz yz 0 625 Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo especificado a 9x2 4y2 36 e z 0 em torno do eixo y b x2 2z2 4z 6 e y 0 em torno do eixo x c yz 1 e x 0 em torno do eixo z d z ex e y 0 em torno do eixo z 626 Mostre que cada uma das equações representa uma superfície de revolução e determine o seu eixo de revolução e a equação de uma curva geratriz a x2 y2 z3 0 b x2 z2 4 c y6 x2 z2 0 d x2y2 x2z2 1 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 440 Superfícies e Curvas no Espaço Exemplo 68 Vamos determinar a equação em coordenadas cilíndricas do parabo loide elíptico de equação x2 y2 a2z Substituindo x por r cos θ e y por sen θ obtemos r2 a2z Exemplo 69 Vamos determinar a equação em coordenadas cilíndricas do parabo loide hiperbólico de equação y2 x2 a2z Substituindo x por r cos θ e y por r sen θ obtemos r2 cos 2θ a2z Exemplo 610 Vamos determinar a equação em coordenadas cartesianas da super fície cuja equação em coordenadas cilíndricas é r a sen θ Multiplicandose ambos os membros da equação por r obtemos r2 ar sen θ Como r2 x2 y2 e r sen θ y então obtemos x2 y2 ay que é a equação de um cilindro gerado pela circunferência no plano xy de equação em coordenadas polares é r a sen θ ou seja uma circunferência com raio a2 e centro no ponto cujas coordenadas cartesianas são 0 a2 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 442 Superfícies e Curvas no Espaço Exemplo 611 Vamos determinar a equação em coordenadas esféricas do parabo loide elíptico de equação x2 y2 a2z Substituindo x por r sen φ cos θ y por r sen φ sen θ e z por r cos φ e dividindo por r obtemos r sen2 φ a2 cos φ Exemplo 612 Vamos determinar a equação em coordenadas esféricas do parabo loide hiperbólico de equação x2 y2 a2z Substituindo x por r sen φ cos θ y por r sen φ sen θ e z por r cos φ e dividindo por r obtemos r sen2 φ cos 2θ a2 cos φ Exemplo 613 Vamos determinar a equação em coordenadas cartesianas da super fície cuja equação em coordenadas esféricas é r sen φ a Elevandose ao quadrado a equação acima obtemos r2 sen2 φ a2 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 63 Coordenadas Cilíndricas Esféricas e Equações Paramétricas 443 Substituindose sen2 φ por 1 cos2 φ obtemos r2 r2 cos2 φ a2 Como r2 x2 y2 z2 e r cos φ z então obtemos x2 y2 a2 que é a equação de um cilindro circular Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 444 Superfícies e Curvas no Espaço x y z P P Figura 636 Superfície de revolução em torno do eixo z Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 63 Coordenadas Cilíndricas Esféricas e Equações Paramétricas 445 x y z Figura 637 Elipsoide de revolução em torno do eixo z Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 446 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 638 Hiperboloide de uma folha de revolução em torno do eixo z Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 63 Coordenadas Cilíndricas Esféricas e Equações Paramétricas 447 x y z Figura 639 Hiperboloide de duas folhas de revolução em torno do eixo y Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 448 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 640 Paraboloide elíptico de revolução em torno do eixo z Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 63 Coordenadas Cilíndricas Esféricas e Equações Paramétricas 449 x y z Figura 641 Cone elíptico de revolução em torno do eixo z Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 450 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 642 Superfície de revolução em torno do eixo z de equação x2 y2 cosπz 322 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 63 Coordenadas Cilíndricas Esféricas e Equações Paramétricas 451 y z x P P θ r z x y z Figura 643 Coordenadas cilíndricas e cartesianas de um ponto P no espaço Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 452 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 644 Paraboloide elíptico de equação em coordenadas cilíndricas r2 a2z Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 63 Coordenadas Cilíndricas Esféricas e Equações Paramétricas 453 x y z Figura 645 Paraboloide hiperbólico de equação em coordenadas cilíndricas r2 cos 2θ a2z Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 454 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 646 Cilindro circular de equação em coordenadas cilíndricas r a sen θ Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 63 Coordenadas Cilíndricas Esféricas e Equações Paramétricas 455 y z x P P θ r x y z φ Figura 647 Coordenadas esféricas e cartesianas de um ponto P no espaço Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 456 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 648 Paraboloide elíptico de equação em coordenadas esféricas r sen2 φ a2 cos φ Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 63 Coordenadas Cilíndricas Esféricas e Equações Paramétricas 457 x y z Figura 649 Paraboloide hiperbólico de equação em coordenadas esféricas r sen2 φ cos 2θ a2 cos φ Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 458 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 650 Cilindro circular de equação em coordenadas esféricas r sen φ a Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 460 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 651 Esfera de equação x2 y2 z2 a2 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 462 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 652 Elipsoide Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 63 Coordenadas Cilíndricas Esféricas e Equações Paramétricas 463 x y z Figura 653 Hiperboloide de uma folha Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 464 Superfícies e Curvas no Espaço pode ser representado parametricamente pelas equações x a sec s cos t y b sec s sen t e z c tan s 623 para todo s 0 2π s π2 3π2 e para todo t 0 2π Pois elevando ao quadrado e dividindo por a2 a primeira equação em 623 elevando ao quadrado e dividindo por b2 a segunda equação em 623 somando os resultados e subtraindo do quadrado da terceira equação em 623 dividida por c2 obtemos x2 a2 y2 b2 z2 c2 sec2 s cos2 t sec2 s sen2 t tan2 s sec2 s cos2 t sen2 t tan2 s 1 Usando as funções hiperbólicas o hiperboloide de uma folha definido por 622 pode também ser representado parametricamente por x a cosh s cos t y b cosh s sen t e z c senh s 624 para todo s R e para todo t 0 2π Pois elevando ao quadrado e dividindo por a2 a primeira equação em 624 elevando ao quadrado e dividindo por b2 a segunda equação em 624 somando os resultados e subtraindo do quadrado da terceira equação em 624 dividida por c2 obtemos x2 a2 y2 b2 z2 c2 cosh2 s cos2 t cosh2 s sen2 t senh2 s cosh2 s cos2 t sen2 t senh2 s 1 Exemplo 617 O paraboloide elíptico de equação z x2 a2 y2 b2 625 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 63 Coordenadas Cilíndricas Esféricas e Equações Paramétricas 465 x y z Figura 654 Paraboloide elíptico Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 466 Superfícies e Curvas no Espaço pode ser representado parametricamente pelas equações x as cos t y bs sen t e z s2 626 para todo s 0 e para todo t 0 2π Pois elevando ao quadrado e dividindo por a2 a primeira equação em 626 elevando ao quadrado e dividindo por b2 a segunda equação em 626 somando os resultados e subtraindo da terceira equação em 626 obtemos x2 a2 y2 b2 z s2 cos2 t s2 sen2 t s2 s2cos2 t sen2 t s2 0 634 Equações Paramétricas de Curvas no Espaço Já estudamos a representação paramétrica de uma curva no plano Este conceito pode ser estendido a curvas no espaço Sejam x y e z funções de uma variável t em um subconjunto I do conjunto dos números reais R ou seja x f t y gt e z ht para todo t I 627 Quando t assume todos os valores em I o ponto Pt f t gt gt f ti gtj htk descreve uma curva C no espaço As equações 627 são chama das equações paramétricas de C A representação paramétrica de curvas no espaço também tem um papel importante no traçado de curvas pelo computador Já vimos um exemplo de representação paramétrica de curvas no espaço quando estudamos a reta no espaço Exemplo 618 Considere a curva parametrizada por x a cos t y b sen t e z c t para todo t R Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 63 Coordenadas Cilíndricas Esféricas e Equações Paramétricas 467 Vamos eliminar t nas duas primeiras equações Para isso elevamos ao quadrado as duas primeiras equações dividimos a primeira por a2 a segunda por b2 e somamos obtendo x2 a2 y2 a2 1 Portanto a curva está contida em um cilindro elíptico Esta curva é chamada hélice Exemplo 619 Vamos determinar uma parametrização para a curva obtida da inter seção do cone de equação x2 y2 z2 com o plano y z 2 Uma parametrização para o cone é x s cos t y s sen t e z s Vamos usar a equação do plano para eliminar s na parametrização do cone Substituindose a parametrização do cone na equação do plano obtemos s sen t s 2 Assim s 2 sen t 1 Portanto x 2 cos t sen t 1 y 2 sen t sen t 1 e z 2 sen t 1 para t π2 3π2 é uma parametrização para a curva Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 468 Superfícies e Curvas no Espaço x y z Figura 655 Hélice Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 63 Coordenadas Cilíndricas Esféricas e Equações Paramétricas 469 x y z Figura 656 Curva obtida pelo corte do cone x2 y2 z2 pelo plano y z 2 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 63 Coordenadas Cilíndricas Esféricas e Equações Paramétricas 471 637 Mostre que a hélice cônica x t cos t y t sen t e z t está contida no cone de equação z2 x2 y2 638 Determine uma parametrização para a curva obtida da interseção do cilindro de equação x2 y2 1 com o plano y z 2 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 7 MUDANÇA DE COORDENADAS 71 Rotação e Translação Se as coordenadas de um ponto P no espaço são x y z então as componentes do vetor OP também são x y z e então podemos escrever OP x y z x 0 0 0 y 0 0 0 z x1 0 0 y0 y 0 z0 0 1 xi yj zk em quei 1 0 0j 0 1 0 ek 0 0 1 Ou seja as coordenadas de um ponto P são iguais aos escalares que aparecem ao escrevermos OP como uma combinação linear dos vetores canônicos Assim o ponto O 0 0 0 e os vetoresi j ek de terminam um sistema de coordenadas ortogonal Oijk Para resolver alguns problemas geométricos é necessário usarmos um segundo sistema de coordenadas Cópia Digital 71 Rotação e Translação 473 ortogonal determinado por uma origem O e por vetores U1 U2 e U3 unitários e mutuamente ortogonais Por exemplo se O 2 32 32 U1 32 12 0 U2 12 32 0 e U3 0 0 1 k então O U1 U2 U3 determina um novo sistema de coordenadas aquele com origem no ponto O cujos eixos x y e z são retas que passam por O orientadas com os sentidos e direções de U1 U2 e U3 respectivamente As coordenadas de um ponto P no sistema de coordenadas O U1 U2 U3 é defi nido como sendo os escalares que aparecem ao escrevermos OP como combinação linear dos vetores U1 U2 e U3 ou seja se OP xU1 yU2 zU3 então as coordenadas de P no sistema O U1 U2 U3 são dadas por POU1U2U3 x y z Vamos considerar inicialmente o caso em que O O Assim se OP x y z então xU1 yU2 zU3 OP pode ser escrito como U1 U2 U3 x y z x y z Multiplicandose à esquerda pela transposta da matriz Q U1 U2 U3 obtemos Ut 1 Ut 2 Ut 3 U1 U2 U3 x y z Ut 1 Ut 2 Ut 3 x y z Em geral um sistema de coordenadas não necessariamente ortogonal é definido por um ponto O e três vetores V1 V2 e V3 não coplanares não necessariamente ortogonais e unitários veja o Exercício 716 na página 482 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 482 Mudança de coordenadas Exercícios Teóricos 715 Mostre que Rθ1Rθ2 Rθ1θ2 716 Definimos coordenadas de pontos no espaço em relação a um sistema de coordenadas por um ponto O e três vetores não coplanares V1 V2 e V3 da mesma forma como fizemos quando os vetores são unitários e mutuamente ortogonais As coordenadas de um ponto P no sistema de coordenadas O V1 V2 V3 é definido como sendo os escalares que aparecem ao escrevermos OP como combinação linear dos vetores V1 V2 e V3 ou seja se OP xV1 yV2 zV3 então as coordenadas de P no sistema O V1 V2 V3 são dadas por POV1V2V3 x y z Assim se OP x y z então xV1 yV2 zV3 OP pode ser escrito como V1 V2 V3 x y z x y z a Mostre que a matriz Q V1 V2 V3 é invertível b Mostre que as coordenadas de um ponto P no espaço em relação ao sistema O V1 V2 V3 estão bem definidas ou seja x y e z estão unicamente determinados e são dados por POV1V2V3 x y z Q1 x y z Q1POijk Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 490 Mudança de coordenadas a O produto ac ac b24 b Se ac 0 então C é uma elipse um ponto ou o conjunto vazio c Se ac 0 então C é uma hipérbole ou um par de retas concorrentes d Se ac 0 então C é uma parábola um par de retas paralelas uma reta ou o conjunto vazio Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 72 Identificação de Cônicas 491 x y z yj xi xk P x y z Figura 71 OP xi yj zk x y z x y z U3 O U2 U1 Figura 72 Dois sistemas de coordenadas orto gonais Oijk e O U1 U2 U3 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 492 Mudança de coordenadas x y x y P x y E1 E2 x U1 U2 y Figura 73 Coordenadas de um ponto P em dois sistemas Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 72 Identificação de Cônicas 493 x y x y E1 E2 U1 U2 θ θ cos θ sen θ cos θ sen θ Figura 74 Rotação de um ângulo θ Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 494 Mudança de coordenadas x y x y x P O O x y y Figura 75 Coordenadas de um ponto P em dois sistemas translação Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 72 Identificação de Cônicas 495 4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 x y x y U1 U2 Figura 76 Elipse do Exemplo 74 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 496 Mudança de coordenadas 4 3 2 1 0 1 2 3 4 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x y x y x y U1 U2 Figura 77 Elipse do Exemplo 75 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 72 Identificação de Cônicas 497 x2 a2 y2 b2 1 a b Elipse y2 a2 x2 b2 1 a b x y b 0 b 0 a 0 a 0 x y b 0 b 0 0 a 0 a x2 a2 y2 b2 1 Hipérbole y2 a2 x2 b2 1 x y a 0 a0 y b a x y b a x x y 0 a 0 a y a b x y a b x Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 498 Mudança de coordenadas y2 4px p 0 Parábola x2 4py p 0 x y r x p x y r y p y2 4px p 0 x2 4py p 0 x y r x p x y r y p Figura 78 Cônicas não degeneradas com equações na forma padrão Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 72 Identificação de Cônicas 499 Exercícios Numéricos respostas na página 626 Identifique a cônica ache a equação no último sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico 721 9x2 4xy 6y2 30 722 3x2 8xy 12y2 81 0 723 2x2 4xy y2 24 724 21x2 6xy 13y2 132 0 725 4x2 20xy 25y2 15x 6y 0 726 9x2 y2 6xy 10 10x 10 10y 90 0 727 5x2 5y2 6xy 30 2x 18 2y 82 0 728 5x2 12xy 12 13x 36 729 6x2 9y2 4xy 4 5x 18 5y 5 7210 x2 y2 2 3xy 6x 0 7211 8x2 8y2 16xy 33 2x 31 2y 70 0 Exercícios usando o MATLAB Comandos do pacote GAAL substexprxyab substitui na expressão expr as variáveis xy por ab respectivamente elipseab desenha a elipse x2 a2 y2 b2 1 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 500 Mudança de coordenadas elipseabU1 U2 desenha a elipse x2 a2 y2 b2 1 em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2 elipseabU1 U2X0 desenha a elipse x2 a2 y2 b2 1 em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0 hiperbxab desenha a hipérbole x2 a2 y2 b2 1 hiperbxabU1 U2 desenha a hipérbole x2 a2 y2 b2 1 em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2 hiperbxabU1 U2X0 desenha a hipérbole x2 a2 y2 b2 1 em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0 hiperbyab desenha a hipérbole y2 a2 x2 b2 1 hiperbyabU1 U2 desenha a hipérbole y2 a2 x2 b2 1 em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2 hiperbyabU1 U2X0 desenha a hipérbole y2 a2 x2 b2 1 em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0 parabxp desenha a parábola y2 4px parabxpU1 U2 desenha a parábola y2 4px em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2 parabxpU1 U2X0 desenha a parábola y2 4px em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e por X0 parabyp desenha a parábola x2 4py parabypU1 U2 desenha a parábola x2 4py em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2 parabypU1 U2X0 desenha a parábola x2 4py em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e por X0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 73 Identificação de Quádricas 505 Portanto com a mudança de coordenadas dada por X QX para Q U1 U2 U3 a equação 714 se transforma na equação 715 Os vetores U1 U2 e U3 dão a direção e o sentido dos novos eixos x y e z Vamos resumir no próximo resultado o que acabamos de provar Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 73 Identificação de Quádricas 507 Exemplo 76 Considere a quádrica de equação x2 2yz 720 Esta equação pode ser escrita como XtAX 0 em que A 1 0 0 0 0 1 0 1 0 As raízes de pλ detA λI3 det 1 λ 0 0 0 λ 1 0 1 λ 1 λλ2 1 λ 1 λλ2 1 são a b 1 e c 1 A forma escalonada reduzida de A I3 0 0 0 0 1 1 0 1 1 é 0 1 1 0 0 0 0 0 0 Portanto a solução geral de A I3X 0 é W1 β α α α β R Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 508 Mudança de coordenadas xx y z y z Figura 79 Cone circular do Exemplo 76 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 510 Mudança de coordenadas em que A 7 2 1 2 10 2 1 2 7 As raízes de pλ detA λI3 det 7 λ 2 1 2 10 λ 2 1 2 7 λ 7 λ210 λ 8 10 λ 87 λ 10 λ7 λ2 1 86 λ 10 λ6 λ8 λ 86 λ 6 λ212 λ são a b 6 e c 12 A forma escalonada reduzida de A 6I3 1 2 1 2 4 2 1 2 1 é 1 2 1 0 0 0 0 0 0 Portanto a solução geral de A 6I3X 0 é W1 α 2β β α α β R Agora α 2β β α α1 0 1 β2 1 0 Assim toda solução do sistema é combinação linear de V1 1 0 1 e V2 2 1 0 Como a b teremos que encontrar dois vetores U1 e U2 unitários e ortogonais que são solução de A 6I3X 0 O vetor W2 V2 projV1V2 1 1 1 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 512 Mudança de coordenadas x y z x y z x y z Figura 710 Elipsoide de revolução do Exemplo 77 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 73 Identificação de Quádricas 513 y z x U2 U3 U1 Figura 711 Novo sistema de coordenadas do Exemplo 77 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 514 Mudança de coordenadas Teorema 74 Seja S o conjunto dos pontos do espaço que satisfazem a equação ax2 by2 cz2 dxy exz f yz gx hy iz j 0 com a b c d e f g h i j R sendo a b c d e e f não simultaneamente nulos Sejam a b e c raízes de pλ det a λ d2 e2 d2 b λ f 2 e2 f 2 c λ a Se a b e c tiverem mesmo sinal então S é um elipsoide um ponto ou o conjunto vazio b Se a b e c forem não nulos e não tiverem mesmo sinal então S é uma hiperboloide de uma folha de duas folhas ou um cone elíptico c Se apenas um entre a b e c for nulo então S é um paraboloide elíptico hiperbólico um cilindro elíptico hiperbó lico dois planos concorrentes uma reta ou o conjunto vazio d Se exatamente dois entre a b e c forem nulos então S é um cilindro parabólico um par de planos paralelos ou um plano Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 73 Identificação de Quádricas 515 Elipsoide x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 x y z Hiperboloide de Uma Folha Hiperboloide de Duas Folhas x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 x y z x y z Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 516 Mudança de coordenadas Paraboloide Elíptico Paraboloide Hiperbólico cz x2 a2 y2 b2 c 0 cz x2 a2 y2 b2 c 0 x y z x y z Cone Elíptico z2 x2 a2 y2 b2 x y z Figura 712 Algumas Quádricas não degeneradas com equações na forma padrão Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 73 Identificação de Quádricas 517 Exercícios Numéricos respostas na página 656 Identifique a quádrica ache a equação no último sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico 731 2x2 30y2 23z2 72xz 150 0 732 144x2 100y2 81z2 216xz 540x 720z 0 733 2xy z 0 734 2xy 2xz 2yz 6x 6y 4z 9 735 7x2 7y2 10z2 2xy 4xz 4yz 12x 12y 60z 24 Exercícios usando o MATLAB Comandos do pacote GAAL substexprxyzabc substitui na expressão expr as variáveis xyz por abc respectiva mente elipsoabc desenha o elipsoide x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 elipsoabcU1 U2 U3 desenha o elipsoide x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2 elipsoabcU1 U2 U3X0 desenha o elipsoide x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 em que x e y são as coor denadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0 hiperbo1xabc desenha o hiperboloide de uma folha x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 hiperbo1xabcU1 U2 U3 desenha o hiperboloide de uma folha x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 518 Mudança de coordenadas hiperbo1xabU1 U2 U3X0 desenha o hiperboloide de uma folha x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0 hiperbo1yabc desenha o hiperboloide de uma folha x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 hiperbo1yabcU1 U2 U3 desenha o hiperboloide de uma folha x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2 hiperbo1yabcU1 U2 U3X0 desenha o hiperboloide de uma folha x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0 hiperbo1zabc desenha o hiperboloide de uma folha x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 hiperbo1zabcU1 U2 U3 desenha o hiperboloide de uma folha x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1U2 e U3 hiperbo1zabcU1 U2 U3X0 desenha o hiperboloide de uma folha x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1U2 e U3 e pelo ponto X0 hiperbo2xabc desenha o hiperboloide de duas folhas x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 hiperbo2xabcU1 U2 U3 desenha o hiperboloide de duas folhas x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1U2 e U3 hiperbo2xabU1 U2 U3X0 desenha o hiperboloide de duas folhas x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1U2 e U3 e pelo ponto X0 hiperbo2yabc desenha o hiperboloide de duas folhas x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 73 Identificação de Quádricas 519 hiperbo2yabcU1 U2 U3 desenha o hiperboloide de duas folhas x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1U2 e U3 hiperbo2yabcU1 U2 U3X0 desenha o hiperboloide de duas folhas x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1U2 e U3 e pelo ponto X0 hiperbo2zabc desenha o hiperboloide de duas folhas x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 hiperbo2zabcU1 U2 U3 desenha o hiperboloide de duas folhas x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1U2 e U3 hiperbo2zabcU1 U2 U3X0 desenha o hiperboloide de duas folhas x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1U2 e U3 e pelo ponto X0 parabo1xabc desenha o paraboloide elíptico ax y2 b2 z2 c2 parabo1xabcU1 U2 U3 desenha o paraboloide elíptico ax y2 b2 z2 c2 em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2 parabo1xabU1 U2 U3X0 desenha o paraboloide elíptico ax y2 b2 z2 c2 em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0 parabo1yabc desenha o paraboloide elíptico by x2 a2 z2 c2 1 parabo1yabcU1 U2 U3 desenha o paraboloide elíptico by x2 a2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1U2 e U3 parabo1yabcU1 U2 U3X0 desenha o paraboloide elíptico by x2 a2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1U2 e U3 e pelo ponto X0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 520 Mudança de coordenadas parabo1zabc desenha o paraboloide elíptico cz x2 a2 y2 b2 parabo1zabcU1 U2 U3 desenha o paraboloide elíptico cz x2 a2 y2 b2 em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1U2 e U3 parabo1zabcU1 U2 U3X0 desenha o paraboloide elíptico cz x2 a2 y2 b2 em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1U2 e U3 e pelo ponto X0 parabo2xabc desenha o paraboloide hiperbólico ax y2 b2 z2 c2 1 parabo2xabcU1 U2 U3 desenha o paraboloide hiperbólico ax y2 b2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1U2 e U3 parabo2xabU1 U2 U3X0 desenha o paraboloide hiperbólico ax y2 b2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1U2 e U3 e pelo ponto X0 parabo2yabc desenha o paraboloide hiperbólico by x2 a2 z2 c2 1 parabo2yabcU1 U2 U3 desenha o paraboloide hiperbólico by x2 a2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1U2 e U3 parabo2yabcU1 U2 U3X0 desenha o paraboloide hiperbólico by x2 a2 z2 c2 1 em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1U2 e U3 e pelo ponto X0 parabo2zabc desenha o paraboloide hiperbólico cz x2 a2 y2 b2 parabo2zabcU1 U2 U3 desenha o paraboloide hiperbólico cz x2 a2 y2 b2 em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1U2 e U3 parabo2zabcU1 U2 U3X0 desenha o paraboloide hiperbólico cz x2 a2 y2 b2 em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1U2 e U3 e pelo ponto X0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 73 Identificação de Quádricas 521 736 Use o MATLAB para resolver os Exercícios Numéricos Exercícios Teóricos 737 Considere o polinômio pλ detA λI3 em que A a d2 e2 d2 b f 2 e2 f 2 c a Sejam α e β raízes reais distintas de pλ Mostre que se X1 é solução de A αI2X 0 e X2 é solução de A βI2X 0 então X1 e X2 são ortogonais Sugestão Mostre que αX1 X2 βX1 X2 b Mostre que se pλ tem raízes reais distintas então sempre existe uma matriz Q tal que QtAQ a 0 0 0 b 0 0 0 c e portanto tal que a mudança de coordenadas dada por X QX transforma 714 em 715 na página 502 738 Mostre que a superfície cônica cuja geratriz é uma parábola y2 4px em um plano z k é um cone elíptico 739 Mostre que a interseção de um plano by cz d 0 em que b2 c2 1 com o cone x2 y2 z2 é uma cônica que pode ser uma elipse uma hipérbole ou uma parábola Sugestão mude para um sistema de coordenadas O U1 U2 U3 tal que U1 i 1 0 0 U2 0 b c e U3 0 c b 7310 Seja S o conjunto dos pontos do espaço que satisfazem a equação ax2 by2 cz2 dxy exz f yz gx hy iz j 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 522 Mudança de coordenadas x y z Figura 713 Elipse obtida seccionandose o cone x2 y2 z2 com um plano by cz d 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 73 Identificação de Quádricas 523 x y z Figura 714 Hipérbole obtida seccionandose o cone x2 y2 z2 com um plano by cz d 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 524 Mudança de coordenadas x y z Figura 715 Parábola obtida seccionandose o cone x2 y2 z2 com um plano by cz d 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 73 Identificação de Quádricas 525 com a b c d e f g h i j R sendo a b c d e e f não simultaneamente nulos Sejam a b e c raízes de pλ det a λ d2 e2 d2 b λ f 2 e2 f 2 c λ Mostre que a Se a b e c tiverem mesmo sinal então S é um elipsoide um ponto ou o conjunto vazio b Se a b e c forem não nulos e não tiverem mesmo sinal então S é uma hiperboloide de uma folha de duas folhas ou um cone elíptico c Se apenas um entre a b e c for nulo então S é um paraboloide elíptico hiperbólico um cilindro elíptico hiperbólico dois planos concorrentes uma reta ou o conjunto vazio d Se exatamente dois entre a b e c forem nulos então S é um cilindro parabólico um par de planos paralelos ou um plano 7311 Mostre que a interseção de um cone circular com plano que não passa pelo seu vértice é uma cônica seguindo os seguintes passos a Considere dois sistemas de coordenadas R Oijk e S Oi U2 U3 em que U2 0 cos θ sen θ e U3 0 sen θ cos θ ou seja o sistema S é obtido do sistema R por uma ro tação do ângulo θ em torno do eixo x Mostre que é válida a seguinte relação entre as coordenadas x y z em relação ao sistema S e x y z em relação ao sistema R x y z 1 0 0 0 cos θ sen θ 0 sen θ cos θ x y z x cos θy sen θz sen θy cos θz b Mostre que o cone circular de equação x2 y2 z2 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 526 Mudança de coordenadas no sistema S tem equação x2 cos 2θy2 2 sen 2θyz cos 2θz2 0 no sistema R c Mostre que a interseção do cone com o plano z 1 é a cônica no plano de equação x2 cos 2θy2 2 sen 2θy cos 2θ d Mostre que se θ π 4 então a cônica é a parábola no plano de equação x2 2y 0 e Mostre que se θ π 4 então a cônica no plano tem equação x2 sec 2θ y tan 2θ2 sec2 2θ 1 que é uma elipse se θ π 4 e uma hipérbole se π 4 θ π 2 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 73 Identificação de Quádricas 527 y z U3 U2 U1 x Figura 716 Elipse interseção do cone circular com um plano y z U3 U2 U1 x Figura 717 Parábola interseção do cone circular com um plano Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 528 Mudança de coordenadas z y x Figura 718 Hipérbole interseção do cone circular com um plano Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 11 Matrizes página 17 111 A2067 B0428 C697732 D640114606 E699104601 ABBA 24 20 58 24 2CD Error using Matrix dimensions must agree 2D3E 30 19 27 5 2 20 6 0 15 DDE 80 34 22 10 4 45 72 30 12 No item c foram usadas as propriedades l m e n do Teorema 11 na página 9 e no item d foi usada a propriedade i 112 AB C AB AC BtAt ABt CtAt ACt ABAC ABAC Cópia Digital 530 Respostas dos Exercícios 113 a A321121B212003 C211011101 syms d1 d2 d3 Ddiagd1d2d3 E1100E2010E3001 BA 7 2 3 6 4 2 3 6 3 AB 2 6 6 4 b AE1A1AE2A2AE3A3 0 0 0 0 0 0 E1BB1 0 0 E2BB2 0 0 E3BB3 0 0 c C1C1C2C2C3C3 CDd1C1d2C2d3C3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d C1C1C2C2C3C3 DCd1C1d2C2d3C3 0 0 0 0 0 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 531 0 0 0 e B1B1B2B2 ABAB1B2 0 0 0 0 f A1A1A2A2 ABA1A2B 0 0 0 0 114 syms x y z A130042 Xxyz AX x3y 4y2z xA1yA2zA3 x3y 4y2z 115 syms x Ax42 B235 solveAB 11 116 syms y A11yy1 A22A 0 0 0 0 117 syms x y z w Xxyzw M0110 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 533 cxdz ycwd Comparando os elementos de posição 11 obtemos que cy bz para todos os valores de b e c Em particular para b 0 e c 1 obtemos que y 0 e para b 1 e c 0 obtemos que z 0 Ou seja a matriz A tem que ser diagonal Assim pelo item anterior temos que a matriz A tem que ser diagonal com os elementos da diagonal iguais 119 a A112013 A 10000 05000 0 03333 A2A3A4A5 ans 10000 06667 0 01111 ans 10000 07222 0 00370 ans 10000 07407 0 00123 ans 10000 07469 0 00041 A6A7A8A9 ans 10000 07490 0 00014 ans 10000 07497 0 00005 ans Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 536 Respostas dos Exercícios A2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 A3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 A4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Para k 4 Ak I4 c A0100001000010000 AsymA 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 A2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A3 0 0 0 1 0 0 0 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 537 0 0 0 0 0 0 0 0 A4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Para k 4 Ak 0 1111 Concluímos que é muito raro encontrar matrizes cujo produto comute 1112 Concluímos que matrizes diagonais em geral comutam Podese mostrar que elas sempre comutam Exercício 27 na página 27 1113 Se a matriz A for diagonal então o produto comuta se os elementos da diagonal de A são iguais ver Exercício 16 na página 23 A probabilidade de um tal par de matrizes comute é aproximadamente igual à probabilidade de que a primeira matriz tenha os elementos da sua diagonal iguais ou seja 11113 1112 1 12 Sistemas Lineares página 58 121 As matrizes que estão na forma reduzida escalonada são A e C 122 a X x y z w 8 7α 2 3α 5 α α α R b X x1 x2 x3 x4 x5 2 3α 6β β 7 4α 8 5α α α β R Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 538 Respostas dos Exercícios c X x y z w 6 3 2 α α α R d X x1 x2 x3 x4 x5 3 8α 7β β 5 6α 9 3α α α β R 123 a A1128123137410 escalonaA eliminação 1 1linha 1 linha 2 linha 2 3linha 1 linha 3 linha 3 1 1 2 8 0 1 5 9 0 10 2 14 eliminação 2 1linha 2 linha 2 1 1 2 8 0 1 5 9 0 10 2 14 1linha 2 linha 1 linha 1 10linha 2 linha 3 linha 3 1 0 7 17 0 1 5 9 0 0 52 104 eliminação 3 152linha 3 linha 3 1 0 7 17 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 539 0 1 5 9 0 0 1 2 7linha 3 linha 1 linha 1 5linha 3 linha 2 linha 2 1 0 0 3 0 1 0 1 0 0 1 2 X x1 x2 x3 3 1 2 b A222025218141 escalonaA eliminação 1 12linha 1 linha 1 1 1 1 0 2 5 2 1 8 1 4 1 2linha 1 linha 2 linha 2 8linha 1 linha 3 linha 3 1 1 1 0 0 7 4 1 0 7 4 1 eliminação 2 17linha 2 linha 2 1 1 1 0 0 1 47 17 0 7 4 1 1linha 2 linha 1 linha 1 7linha 2 linha 3 linha 3 1 0 37 17 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 540 Respostas dos Exercícios 0 1 47 17 0 0 0 0 X x1 x2 x3 1 7 3 7α 1 7 4 7α α α R c A023136326635 escalonaA eliminação 1 linha 2 linha 1 3 6 3 2 0 2 3 1 6 6 3 5 13linha 1 linha 1 1 2 1 23 0 2 3 1 6 6 3 5 6linha 1 linha 3 linha 3 1 2 1 23 0 2 3 1 0 6 9 9 eliminação 2 12linha 2 linha 2 1 2 1 23 0 1 32 12 0 6 9 9 2linha 2 linha 1 linha 1 6linha 2 linha 3 linha 3 1 0 2 13 0 1 32 12 0 0 0 6 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 541 O sistema não tem solução 124 A121251372 B1121B2212 escalonaAB1B2 eliminação 1 2linha 1 linha 2 linha 2 3linha 1 linha 3 linha 3 1 2 1 1 2 0 1 1 4 5 0 1 1 4 4 eliminação 2 1linha 2 linha 2 1 2 1 1 2 0 1 1 4 5 0 1 1 4 4 2linha 2 linha 1 linha 1 1linha 2 linha 3 linha 3 1 0 3 9 12 0 1 1 4 5 0 0 0 0 1 a X x1 x2 x3 9 3α 4 α α α R b O sistema não tem solução 125 a A105111014 BA4eye3 escalonaBzeros31 eliminação 1 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 542 Respostas dos Exercícios linha 2 linha 1 1 5 1 0 5 0 5 0 0 1 0 0 5linha 1 linha 2 linha 2 1 5 1 0 0 25 0 0 0 1 0 0 eliminação 2 linha 3 linha 2 1 5 1 0 0 1 0 0 0 25 0 0 5linha 2 linha 1 linha 1 25linha 2 linha 3 linha 3 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 X x y z α 0 α α R b BA2eye3 escalonaBzeros31 eliminação 1 1linha 1 linha 1 1 0 5 0 1 1 1 0 0 1 6 0 1linha 1 linha 2 linha 2 1 0 5 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 543 0 1 6 0 0 1 6 0 eliminação 2 1linha 2 linha 2 1 0 5 0 0 1 6 0 0 1 6 0 1linha 2 linha 3 linha 3 1 0 5 0 0 1 6 0 0 0 0 0 X x y z 5α 6α α α R 126 a syms a A1234315241a214a2 escalonaA eliminação 1 3linha 1 linha 2 linha 2 4linha 1 linha 3 linha 3 1 2 3 4 0 7 14 10 0 7 a22 a14 eliminação 2 17linha 2 linha 2 1 2 3 4 0 1 2 107 0 7 a22 a14 2linha 2 linha 1 linha 1 7linha 2 linha 3 linha 3 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 544 Respostas dos Exercícios 1 0 1 87 0 1 2 107 0 0 a2 16 a 4 i Se a2 16 0 e a 4 0 então o sistema tem infinitas soluções Neste caso a 4 ii Se a2 16 0 e a 4 0 então o sistema não tem solução Neste caso a 4 iii Se a2 16 0 então o sistema tem solução única Neste caso a 4 b A1112232523a21a1 escalonaA eliminação 1 2linha 1 linha 2 linha 2 2linha 1 linha 3 linha 3 1 1 1 2 0 1 0 1 0 1 a23 a3 eliminação 2 1linha 2 linha 1 linha 1 1linha 2 linha 3 linha 3 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 a2 3 a 4 i Se a2 3 0 e a 4 0 então o sistema tem infinitas soluções Este caso não pode ocorrer ii Se a2 3 0 e a 4 0 então o sistema não tem solução Neste caso a 3 iii Se a2 3 0 então o sistema tem solução única Neste caso a 3 127 X Y Z gramas de Akg gramas de Bkg preçokg 2 1 3 1 3 5 3 2 4 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 545 x y z kg de X kg de Y kg de Z 1900 2400 2900 gramas de A gramas de B arrecadação 2 1 3 1 3 5 3 2 4 x y z 1900 2400 2900 A213190013524003242900 escalonaA eliminação 1 linha 2 linha 1 1 3 5 2400 2 1 3 1900 3 2 4 2900 2linha 1 linha 2 linha 2 3linha 1 linha 3 linha 3 1 3 5 2400 0 5 7 2900 0 7 11 4300 eliminação 2 15linha 2 linha 2 1 3 5 2400 0 1 75 580 0 7 11 4300 3linha 2 linha 1 linha 1 7linha 2 linha 3 linha 3 1 0 45 660 0 1 75 580 0 0 65 240 eliminação 3 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 546 Respostas dos Exercícios 56linha 3 linha 3 1 0 45 660 0 1 75 580 0 0 1 200 45linha 3 linha 1 linha 1 75linha 3 linha 2 linha 2 1 0 0 500 0 1 0 300 0 0 1 200 Foram vendidos 500 kg do produto X 300 kg do produto Y e 200 kg do produto Z 128 Substituindo os pontos na função obtemos d 10 a b c d 7 27a 9b 3c d 11 64a 16b 4c d 14 Substituindo d 10 nas outras equações e escalonando a matriz aumentada do sistema correspondente escalona11132793216416424 eliminação 1 27linha 1 linha 2 linha 2 64linha 1 linha 3 linha 3 1 1 1 3 0 18 24 60 0 48 60 168 eliminação 2 118linha 2 linha 2 1 1 1 3 0 1 43 103 0 48 60 168 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 547 1linha 2 linha 1 linha 1 48linha 2 linha 3 linha 3 1 0 13 13 0 1 43 103 0 0 4 8 eliminação 3 14linha 3 linha 3 1 0 13 13 0 1 43 103 0 0 1 2 13linha 3 linha 1 linha 1 43linha 3 linha 2 linha 2 1 0 0 1 0 1 0 6 0 0 1 2 Assim os coeficientes são a 1 b 6 c 2 e d 10 e o polinômio px x3 6x2 2x 10 129 Substituindo os pontos na equação do círculo obtemos 2a 7b c 22 72 53 4a 5b c 42 52 41 4a 3b c 42 32 25 A271534514143125 escalonaA eliminação 1 12linha 1 linha 1 1 72 12 532 4 5 1 41 4 3 1 25 4linha 1 linha 2 linha 2 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 548 Respostas dos Exercícios 4linha 1 linha 3 linha 3 1 72 12 532 0 9 1 65 0 11 3 131 eliminação 2 19linha 2 linha 2 1 72 12 532 0 1 19 659 0 11 3 131 72linha 2 linha 1 linha 1 11linha 2 linha 3 linha 3 1 0 19 119 0 1 19 659 0 0 169 4649 eliminação 3 916linha 3 linha 3 1 0 19 119 0 1 19 659 0 0 1 29 19linha 3 linha 1 linha 1 19linha 3 linha 2 linha 2 1 0 0 2 0 1 0 4 0 0 1 29 Os coeficientes são a 2 b 4 e c 29 e a equação do círculo é x2 y2 2x 4y 29 0 1210 a syms b1 b2 b3 A125b1458b2333b3 escalonaA eliminação 1 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 549 4linha 1 linha 2 linha 2 3linha 1 linha 3 linha 3 1 2 5 b1 0 3 12 b24b1 0 3 12 b33b1 eliminação 2 13linha 2 linha 2 1 2 5 b1 0 1 4 13b243b1 0 3 12 b33b1 2linha 2 linha 1 linha 1 3linha 2 linha 3 linha 3 1 0 3 53b123b2 0 1 4 13b243b1 0 0 0 b3b1b2 O sistema é consistente se e somente se b3 b1 b2 0 b syms b1 b2 b3 A121b1452b2474b3 escalonaA eliminação 1 4linha 1 linha 2 linha 2 4linha 1 linha 3 linha 3 1 2 1 b1 0 3 2 b24b1 0 1 0 b34b1 eliminação 2 linha 3 linha 2 1 2 1 b1 0 1 0 b34b1 0 3 2 b24b1 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 550 Respostas dos Exercícios 1linha 2 linha 2 1 2 1 b1 0 1 0 b34b1 0 3 2 b24b1 2linha 2 linha 1 linha 1 3linha 2 linha 3 linha 3 1 0 1 7b12b3 0 1 0 b34b1 0 0 2 b28b13b3 O sistema é consistente para todos os valores reais de b1 b2 e b3 1211 A017813382518 escalonaA eliminação 1 linha 2 linha 1 1 3 3 8 0 1 7 8 2 5 1 8 2linha 1 linha 3 linha 3 1 3 3 8 0 1 7 8 0 1 7 8 eliminação 2 3linha 2 linha 1 linha 1 1linha 2 linha 3 linha 3 1 0 18 16 0 1 7 8 0 0 0 0 Ieye3Eoe123I Foe321IGoe213IHoeI12 E 1 0 0F 1 3 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 551 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 G 1 0 0H 0 1 0 0 1 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1 EFGHA 1 0 18 16 0 1 7 8 0 0 0 0 1212 a A12031021213123 12032143619439 escalonaA 1 2 0 3 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 x1 2x2 3x4 x6 0 x3 2x6 1 x5 x6 2 X α 3β 2γ γ 1 2α β 2 α αt α β γ R b A13202002652431 00510015526084186 escalonaA 1 3 0 4 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 13 0 0 0 0 0 0 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 552 Respostas dos Exercícios x1 3x2 4x4 2x5 0 x3 2x4 0 x6 1 3 X 2α 4β 3γ γ 2β β α 13t α β γ R 1213 syms a B4316 A1111132a 22a2a23a13a232a1 escalonaAB 1 0 0 0 4a11a5 0 1 0 0 4a5 0 0 1 0 4a5 0 0 0 1 1a5 solve32a5414a2a ans 1 5 Se a 1 e a 5 então X 4a11 a5 4 a5 4 a5 1 a5t CsubsAa1 escalonaCB 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 Se a 1 então X 2 α 1 1 αt α R DsubsAa5 escalonaDB 1 0 52 1 0 0 1 32 2 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 553 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Se a 5 então o sistema não tem solução 1214 a A123181301710213 escalonaA 1 0 0 1 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 1 1 α 2 1 α α R b A113300213310211 escalonaA 1 0 0 1 1 0 1 0 1 2 0 0 1 1 1 1 α 2 α 1 α α α R c A1230111011201330 escalonaA 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1215 Prandi42 P 5 4 3 3 1 0 0 5 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 554 Respostas dos Exercícios AmatvandP13BP2 A 125 25 5 1 27 9 3 1 1 1 1 1 0 0 0 1 B 4 3 0 5 RescalonaAB R 1 0 0 0 163480 0 1 0 0 9980 0 0 1 0 1969480 0 0 0 1 5 ppoly2symR5x p 163480x39980x21969480x5 clfpoPsyms xplotf1p55 eixos Pode não ser possível encontrar o polinômio se mais de um ponto tiver a mesma abscissa xi Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 555 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 10 0 10 20 30 40 50 x y Observação A sua resposta pode ser diferente da que está aqui 1216 Prandi52 P 3 2 1 3 1 1 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 556 Respostas dos Exercícios 3 4 4 4 AmatvandP2 A 9 6 4 3 2 1 1 3 9 1 3 1 1 1 1 1 1 1 9 12 16 3 4 1 16 16 16 4 4 1 RescalonaAzeros51 R 1 0 0 0 0 358 0 0 1 0 0 0 458 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 1 0 658 0 0 0 0 0 1 398 0 ppoly2sym2R61xy p 358x2458xy658x12y2398y clfpoPsyms x y plotcip5555 eixos Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 557 2 1 0 1 2 3 4 5 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x y Observação A sua resposta pode ser diferente da que está aqui 1217 a A inversa da operação elementar de trocar duas linhas é ela mesma b A inversa da operação elementar de multiplicar uma linha por um escalar α 0 é a operação de multiplicar a mesma linha pelo escalar 1α Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 558 Respostas dos Exercícios c A inversa de somar à linha k α vezes a linha l é somar à linha k α vezes a linha l 1218 a Basta multiplicar qualquer linha da matriz pelo escalar 1 b Pelo exercício anterior cada operação elementar e tem uma operação elementar inversa e1 do mesmo tipo que desfaz o que a operação e fez Se aplicando as operações elementares e1 ek na matriz A chegamos na matriz B então aplicandose as operações elementares e1 k e1 1 na matriz B chegamos na matriz A c Se aplicando as operações elementares e1 ek na matriz A chegamos na matriz B e aplicando as operações elementares ek1 el na matriz B chegamos na matriz C então aplicandose as opera ções elementares e1 el na matriz A chegamos na matriz C Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 559 21 Matriz Inversa página 95 211 A matriz é singular pois o sistema homogêneo tem solução não trivial Teorema 28 na página 86 212 a A123112012 BAeye3 escalonaB 1 0 0 0 11 0 1 0 221 0 0 11 1 1 b 1 0 0 3 24 0 1 01 0 1 0 0 1 01 1 c 1 0 0 0 73131323 0 1 0 0 491949 19 0 0 1 01929 19 29 0 0 0 153 23 23 13 d 1 0 0 1 1 0 0 1 0321232 0 0 1 1 0 1 e 1 0 1 1 0 2 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 Continua sn n f 1 0 014 5434 12 0 0 1 01212 12 0 0 0 0 114 14 1412 0 0 0 0 0 2 1 2 1 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 560 Respostas dos Exercícios Continua sn n 213 syms a A11010012a escalonaA 1 0 0 0 1 0 0 0 a Continua sn n Para valores de a diferentes de zero a matriz A tem inversa 214 invA3213 invB2532 invABinvBinvA invAB 11 19 7 0 215 invA2341 B53 XinvAB X 19 23 22 Determinantes página 129 221 detA2 9 detA3 27 detA1 13 detAt 3 222 detAtB1 detA detB 23 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 563 detA 3detA 108linha 3 linha 4 linha 4 1 2 3 1 0 1 9 2 0 0 1 13 0 0 0 13 ans 39 b A2131101102100123 detopelpA 2 1 3 1 1 0 1 1 0 2 1 0 0 1 2 3 eliminação 1 linha 2 linha 1 1 0 1 1 2 1 3 1 0 2 1 0 0 1 2 3 detA 1detA 2linha 1 linha 2 linha 2 1 0 1 1 0 1 1 1 0 2 1 0 0 1 2 3 eliminação 2 2linha 2 linha 3 linha 3 1linha 2 linha 4 linha 4 1 0 1 1 0 1 1 1 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 564 Respostas dos Exercícios 0 0 1 2 0 0 1 4 eliminação 3 1linha 3 linha 3 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 2 0 0 1 4 detA 11detA 1linha 3 linha 4 linha 4 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 2 0 0 0 6 ans 6 226 a A012003000 pdetAxeye3 p x3 solvep 000 b p 1x3x2x 1 32 c p 2x45xx2 241 d p 82x5x2x3 2 41 227 a A200310043 BAxeye3 pdetB p 2x1x3x solvep 21 3 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 565 b p 2x21x 221 c p 1x2x1x3x 1 21 3 d p 2x21x2 2211 228 a Bm1subsBx1 escalonaBm1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 W1 0 α α α R B2subsBx2 escalonaB2 1 0 14 0 1 14 0 0 0 W2 α α 4α α R B3subsBx3 escalonaB3 1 0 0 0 1 0 0 0 0 W3 0 0 α α R Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 568 Respostas dos Exercícios 31 Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar página 163 311 OA02OB10 ABOBOA AB 1 2 AC2AB AC 2 4 OCOAAC OC 2 2 C 2 2 312 Os pontos P1 0 1 e P2 1 3 são pontos da reta Assim o vetor V P1P2 1 2 é paralelo a reta 313 A inclinação da reta é a v2 v1 3 2 Assim uma equação da reta tem a forma y 3 2x b Substituindose x 1 e y 2 obtemos b 1 2 Uma equação para a reta é y 3 2x 1 2 314 A equação 3X 2V 15X U é equivalente a 3X 2V 15X 15U Somandose 15X 2V obtemos 15X 3X 2V 15U ou 12X 2V 15U multiplicandose por 1 12 obtemos X 5 4U 1 6V 315 Multiplicandose a segunda equação por 2 e somandose a primeira obtemos 12X 3U 2V ou X 1 4U 1 6V Substituindose X na primeira equação obtemos 3 2U V 2Y U ou 2Y 1 2U V ou Y 1 4U 1 2V 316 OP 2 3 5 V 3 0 3 OQOPV OQ 5 3 8 Q 5 3 8 317 OP103 OM121 MPOPOM OPlinhaOMMP Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 3 Vetores no Plano e no Espaço 569 OPlinha 1 4 5 P 1 4 5 318 a OA513OB034OC035 ABOBOA ACOCOA AB 5 2 7 AC 5 2 2 Os pontos não são colineares pois AC λ AB b OA113OB423OC14415 ABOBOA ACOCOA AB 5 1 6 AC 15 3 18 Os pontos são colineares pois AC 3 AB 319 OA123OB521OC401 DCOBOA ODOCDC DC 6 4 2 OD 10 4 3 O ponto é D 10 4 3 3110 a A equação xV yW U é equivalente ao sistema 9x y 4 12x 7y 6 6x y 2 cuja matriz aumen tada é a matriz que tem colunas V W e U V9126W171U462 escalonaVWU 1 0 23 0 1 2 0 0 0 Assim U 23V 2W b V543W211U341 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 570 Respostas dos Exercícios escalonaVWU 1 0 53 0 1 83 0 0 203 Assim U não é combinação linear de V e W 3111 Para ser um paralelogramo um dos vetores AB AC e AD tem que ser igual à soma dos outros dois a OA411OB942 OC434OD42114 ACOCOA AC 0 4 3 ABOBOA AB 5 3 1 ADODOA AD 0 20 15 Não é um paralelogramo b Somente o vértice D é diferente OD905 ADODOA AD 5 1 4 É um paralelogramo de vértices consecutivos A B D e C 3112 Resolvendo a equação vetorial U xV obtemos que U 6 4 2 2 39 6 3 2 3V Fazendo o mesmo para U xW obtemos que não existe solução logo somente os vetores U e V são paralelos 32 Produtos de Vetores página 203 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 3 Vetores no Plano e no Espaço 573 M 2 0 3 1 2 4 1 1 5 detM15 O volume do paralelepípedo é 15 unidades de vol 3211 A101B213C324 VpvABCB normanoV AD 1 1 0 norma 2 A área do paralelogramo é 2 unidades de área 3212 A121B304C513 VpvBACA normanoV AD 1 8 6 norma 101 A área do triângulo é 1012 unidades de área 3213 syms x y z Xxyz V101 W222 expr1pvXVW expr2peXX6 expr1 y2 zx2 y2 expr2 x2y2z26 Ssolveexpr11expr12expr13expr2 S x 2x1 sym y 2x1 sym z 2x1 sym Sx Sy Sz ans 1 1 ans 2 2 ans 1 1 Logo X 1 2 1 3214 Xxyz V110 W101 U010 expr1peXV expr2peXW expr3peXX3 expr4peXU expr1xyexpr2zxexpr3x2y2z23expr4y Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 574 Respostas dos Exercícios solveexpr1expr2expr3 S x 2x1 sym y 2x1 sym z 2x1 sym Sx Sy Sz ans 1 1 ans 1 1 ans 1 1 Como y tem que ser maior que zero X 1 1 1 3215 A302B430C811 peBACA peABCB peACBC 14021 Portanto o ângulo reto está no vértice B 3216 3217 3218 3219 3220 Seja AB a base do triângulo isosceles e M o seu ponto médio Vamos mostrar que CM AB 0 CM AB 1 2 CA CB AB 1 2 CA CB CB CA 1 2 CA CB CA 2 CB 2 CB CA 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 3 Vetores no Plano e no Espaço 575 3221 Seja AB o lado situado no diâmetro da circunferência e O seu centro Vamos mostrar que CA CB 0 CA CB CO OA CO OB CO 2 CO OB OA CO OB 2 0 3222 Se as diagonais são perpendiculares então U V U V 0 Mas U V U V U2 V2 Então os lados adjacentes têm o mesmo comprimento e como ele é um paralelogramos todos os lados têm o mesmo comprimento 3223 Vamos mostrar que U V 0 U V2 U2 2U V V2 U V2 U2 2U V V2 Assim U V U V implica que U V 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 576 Respostas dos Exercícios 41 Equações de Retas e Planos página 254 411 a 12 13 15 b Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 4 Retas e Planos 577 c 13 12 d 12 13 e 13 12 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 578 Respostas dos Exercícios f 25 g 23 h 12 412 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 4 Retas e Planos 579 a y z x V 1 32 3 b y z x V 1 32 3 c y z x V 1 0 2 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 580 Respostas dos Exercícios d y z x V 0 2 1 e y z x V 2 1 0 f y z x V 0 0 2 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 4 Retas e Planos 581 g y z x V 0 2 0 h y z x V 2 0 0 413 Como o novo plano é paralelo ao plano 2x y 5z 3 0 então o vetor N 2 1 5 é também vetor normal do plano procurado Assim a equação dele é 2x y 5z d 0 Para determinar d substituímos o ponto P 1 2 1 na equação do plano syms x y z d expr2xy5zd expr 2xy5zd substexprxyz121 ans 9d Assim a equação do plano é 2x y 5z 9 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 582 Respostas dos Exercícios 414 Os vetores normais dos outros planos N1 1 2 3 e N2 2 1 4 são paralelos a ao plano procu rado π Assim o produto vetorial N1 N2 é um vetor normal a π N1123N2214 NpvN1N2 N 5 10 5 Assim a equação de π é 5x 10y 5z d 0 Para determinar d substituímos o ponto P 2 1 0 na equação do plano expr5x10y5zd expr 5x10y5zd substexprxyz210 ans d Assim a equação do plano π é 5x 10y 5z 0 415 Como o plano procurado passa pelos pontos P 1 0 0 e Q 1 0 1 e é perpendicular ao plano y z 0 então os vetores PQ 0 0 1 e o vetor normal do plano y z 0 N1 0 1 1 são paralelos ao plano procurado π Assim o produto vetorial PQ N1 é um vetor normal a π PQ001N1011 NpvPQN1 N 1 0 0 Assim a equação de π é x d 0 Para determinar d substituímos o ponto P 1 0 0 na equação do plano obtendo que a equação de π é x 1 0 416 A equação da reta é x y z t 2t t Substituindose o ponto da reta na equação do plano obtemos o valor de t Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 4 Retas e Planos 583 V121 syms t tsolve2t2tt5 t 1 Substituindose este valor de t nas equações paramétricas da reta obtemos o ponto P 1 2 1 417 Um ponto da reta r é da forma Pr 9t 1 6t 2 3t e um ponto da reta s é da forma Ps 1 2s 3 s 1 As retas se cortam se existem t e s tais que Pr Ps ou seja se o sistema seguinte tem solução 9t 1 2s 1 6t 3 s 2 3t 1 escalona921612303 9 2 1 6 1 2 3 0 3 eliminação 1 19linha 1 linha 1 1 29 19 6 1 2 3 0 3 6linha 1 linha 2 linha 2 3linha 1 linha 3 linha 3 1 29 19 0 13 43 0 23 83 eliminação 2 3linha 2 linha 2 1 29 19 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 584 Respostas dos Exercícios 0 1 4 0 23 83 29linha 2 linha 1 linha 1 23linha 2 linha 3 linha 3 1 0 1 0 1 4 0 0 0 A solução do sistema é t 1 e s 4 Substituindose ou t 1 na equação da reta r ou s 4 na equação da reta s obtemos o ponto da interseção P 9 7 1 418 Os vetores diretores das retas V1 2 2 1 e V2 1 1 1 são paralelos ao plano procurado π Assim o produto vetorial V1 V2 é um vetor normal a π V1221 V2111 P1200 NpvV1V2 N 1 1 0 Assim a equação de π é x y d 0 Para determinar d substituímos o ponto P1 2 2 1 da reta r na equação do plano exprxyd expr xyd substexprxyzP1 ans 2d Assim a equação do plano π é x y 2 0 419 a Substituindose o ponto P 4 1 1 nas equações da reta r obtemos valores diferentes de t solve42t solve14t solve112t ans 2 ans 3 ans 1 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 4 Retas e Planos 585 Logo não existe um valor de t tal que P 2 t 4 t 1 2t b O ponto Q 2 4 1 é um ponto do plano π procurado Assim π é paralelo aos vetores PQ 2 3 2 e o vetor diretor da reta r V 1 1 2 Logo o produto vetorial PQ V é um vetor normal ao plano π P411 Q241 V112 PQQP PQ 2 3 2 NpvPQV N 8 6 1 expr 8x396yz Substituindose o ponto P ou o ponto Q na equação de π obtemos que a equação do plano π é 8x 6y z 39 0 4110 O vetor N 1 1 1 é normal ao plano A equação do plano é então x y z d 0 Fazendo z 0 nas equações dos planos π1 e π2 e resolvendo o sistema resultante obtemos x 0 e y 1 Portanto o ponto P 0 1 0 pertence a π1 e a π2 Substituindose o ponto P 0 1 0 na equação do plano x y z d 0 obtemos que a equação procurada é x y z 1 0 4111 a N1123 N2142 VpvN1N2 V 8 5 6 Os planos se interceptam segundo uma reta cujo vetor diretor é V 8 5 6 b N1214 N2428 VpvN1N2 V 0 0 0 Os planos são paralelos c N1110 N2101 VpvN1N2 V 1 1 1 Os planos se interceptam segundo uma reta cujo vetor diretor é V 1 1 1 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 586 Respostas dos Exercícios 4112 O vetor normal ao plano é um vetor diretor da reta procurada Assim as equações paramétricas de r são x y z 1 t 2 t 1 2t 4113 O vetor diretor da reta procurada é ortogonal ao mesmo tempo aos vetores normais dos dois planos portanto o produto vetorial deles é um vetor diretor da reta procurada pv231111 4 1 5 x y z 1 4t t 1 5t 4114 escalona11102131 1 0 23 13 0 1 53 13 A reta interseção dos planos é x y z 13 23t 13 53t t O vetor diretor V 23 53 1 desta reta é paralelo ao plano procurado O ponto P 13 13 0 é um ponto da reta e é também portanto um ponto do plano procurado π O vetor AP é também um vetor paralelo a π Assim o produto vetorial AP V é um vetor normal a π A101 P13130 V23531 APPA AP 23 13 1 NpvAPV N 2 0 43 Substituindose o ponto A ou o ponto P na equação 2x 43z d 0 obtemos a equação do plano 6x 4z 2 0 4115 syms t s A010B110C314D127 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 4 Retas e Planos 587 BABA CDDC BA 1 0 0 CD 2 1 3 Pr t 1 0 é um ponto qualquer da reta r e Ps 3 2s 1 s 4 3s é um ponto qualquer da reta s Precisamos encontrar pontos Pr e Ps tais que PsPr αV ou seja precisamos encontrar t e s tais que t 2s 3 s 3s 4 α 5α α escalona121301500314 1 2 1 3 0 1 5 0 0 3 1 4 eliminação 2 1linha 2 linha 2 1 2 1 3 0 1 5 0 0 3 1 4 2linha 2 linha 1 linha 1 3linha 2 linha 3 linha 3 1 0 11 3 0 1 5 0 0 0 16 4 eliminação 3 116linha 3 linha 3 1 0 11 3 0 1 5 0 0 0 1 14 11linha 3 linha 1 linha 1 5linha 3 linha 2 linha 2 1 0 0 234 0 1 0 54 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 588 Respostas dos Exercícios 0 0 1 14 Pr0 234 1 0 Ps0 112 14 14 V 14 54 14 Encontramos que t 234 s 54 e α 14 Substituindose ou t 234 em Pr t 1 0 obtemos que a equação da reta é x y z 234 t 1 5t t 4116 a N1211 N2121 VpvN1N2 V 1 3 5 Os planos se interceptam segundo uma reta que tem vetor diretor V 1 3 5 b escalona21101211 2 1 1 0 1 2 1 1 eliminação 1 linha 2 linha 1 1 2 1 1 2 1 1 0 2linha 1 linha 2 linha 2 1 2 1 1 0 5 3 2 eliminação 2 15linha 2 linha 2 1 2 1 1 0 1 35 25 2linha 2 linha 1 linha 1 1 0 15 15 0 1 35 25 Um ponto qualquer da reta r é Pr 15 t 25 3t 5t Vamos determinar o valor de t tal que APr seja perpendicular ao vetor diretor da reta r Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 4 Retas e Planos 589 syms t Pr15t253t5tA101 APrPrA APr 45t 253t 5t1 exprpeAPr135 expr 335t tsolveexpr t 335 Substituindose t 335 em APr 45 t 25 3t 5t 1 obtemos o vetor diretor da reta procurada e assim a equação da reta é x y z 1 3135t 2335t 1 47t 4117 V1123 P1000 V2246 P2012 pvV1V2 ans 0 0 0 syms x y z Xxyz MXP1V1P2P1 exprdetM M x y z 1 2 3 0 1 2 expr 7x2yz Como o produto vetorial de V1 e V2 os dois vetores diretores das retas é igual ao vetor nulo então as retas são paralelas Neste caso os vetores V1 e P1P2 são não colineares e paralelos ao plano procurado Assim 7x 2y z 0 é a equação do plano 4118 a N1123 N2142 VpvN1N2 V 8 5 6 Os planos se interceptam segundo uma reta cujo vetor diretor é V 8 5 6 Fazendo y 0 nas equações obtemos um sistema de duas equações e duas incógnitas cuja solução é x 1 z 1 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 590 Respostas dos Exercícios Assim P0 1 0 1 é um ponto da reta e as equações paramétricas da reta são x 1 8t y 5t z 1 6t para t R b N1110 N2101 VpvN1N2 V 1 1 1 Os planos se interceptam segundo uma reta cujo vetor diretor é V 1 1 1 Claramente P0 0 0 0 é um ponto da reta e as equações paramétricas da reta são x t y t z t para t R 4119 a r x y z t0 1 2 s x y z t1 0 2 t x y z 0 1 2 s1 1 0 y z x Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 4 Retas e Planos 593 acos56180pi ans 335573 O ângulo é arccos56 33 5o 423 A111B101C110 P001Q000V110 N1pvBACA N2pvQPV costhpeN1N2noN1noN2 N1 1 0 0 N2 1 1 0 costh 12212 O ângulo é arccos 22 45o 424 O vetor diretor da reta procurada V a b c faz ângulo de 45o com o vetor i e 60o com o vetor j Podemos fixar arbitrariamente a norma do vetor V Por exemplo podemos tomar o vetor V com norma igual à 2 V a b c V2 a2 b2 c2 4 V i V cos 45 2 2 a 1 V j V cos 60 1 2 b 1 Substituindose estes valores em a2 b2 c2 4 2 1 c2 4 c 1 Assim existem aparentemente oito retas que passam pelo ponto P 1 2 3 e fazem ângulo de 45o com o eixo x e 60o com o eixo y Elas são x y z 1 2 3 t 2 1 1 Na verdade existem Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 594 Respostas dos Exercícios quatro retas distintas pois um vetor diretor e o seu simétrico determinam a mesma reta Elas são x y z 1 2 3 t 2 1 1 Existem aparentemente oito retas que passam pelo ponto P 1 2 3 e fazem ângulo de 45o com o eixo x e 60o com o eixo y Elas são x y z 1 2 3 t 22 12 12 Na verdade existem quatro retas distintas pois um vetor diretor e o seu simétrico determinam a mesma reta Elas são x y z 1 2 3 t 22 12 12 425 syms t A110 V011 Pr0tt PrAAPr expr1pePrAV PrA 1 1t t expr1 12t expr2 21tt212 expr2noPrAnoV solveexpr1expr2214 01 BsubsPrt0 CsubsPrt1 B 0 0 0 C 0 1 1 426 A100 B010 C101 O000 NBA 1 2 0 distabspeNCOnoN dist 1212 A distância é igual à 1 2 427 a syms t s A100 B020 V2123 P2234 Pr1AtBA Pr2P2sV2 Pr1 1t 2t 0 Pr2 2s 32s 43s Pr2 1 t 2t 0 é um ponto qualquer da reta r1 e Pr2 2 s 3 2s 4 3s é um ponto qualquer da reta r2 Devemos determinar t e s tais que o vetor Pr1Pr2 seja perpendicular aos vetores diretores de r1 e de r2 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 4 Retas e Planos 595 Pr1Pr2Pr2Pr1 Pr1Pr2 1st 32s2t 43s expr1pePr1Pr2BA expr2pePr1Pr2V2 expr1 53s5t expr2 1914s3t Ssolve53s5t1914s3t St Ss t 1361 s 8061 Pr10subsPr1t1361 Pr10 4861 2661 0 Pr20subsPr2s8061 Pr20 4261 2361 461 VPr20Pr10 exprPr10tV V 661 361 461 expr 4861661t 2661361t 461t A equação da reta é x y z 4861 661t 2661 361t 461t b A distância entre r1 e r2 é igual à norma do vetor Pr1Pr2 661 361 461 que é igual à 1 61 428 A021 Prt2t22t APrPrA distnoAPr APr t t 32t dist 3122t234t12 solvedist23 11 PsubsPrt1 P 1 1 0 A distância de A até a reta r é igual à 3 429 syms t A111 B001 Pr1ttt APrPrA BPrPrB APr t 1t 1t BPr 1t t 1t Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 596 Respostas dos Exercícios dist1qpeAPrAPr dist2qpeBPrBPr dist1q 3t224t dist2q 23t2 solvedist1qdist2q t0 subsPrt0 1 0 0 O ponto P 1 0 0 é equidistante de A e B 4210 A112 B431 Xxyz AXXA BXXB AX x1 y1 z2 BX x4 y3 z1 dist1qpeAXAX dist2qpeBXBX dist1q x22x6y22yz24z dist2q x28x26y26yz22z exprdist1qdist2q expr 6x208y2z A equação do lugar geométrico é 6x 8y 2z 20 0 Este plano passa pelo ponto médio de AB pois o ponto médio de AB é M OM 12 OA OB Exercício 118 na página 166 satisfaz a equação do plano O plano é perpendicular ao segmento AB pois N 6 8 2 é paralelo a AB 3 4 1 4211 syms x y z d expr12x2y2zd P100d2 N222 P111 expr2abspePP1NnoN expr2 16 6 d 3 solveexpr2sqrt3d ans 0 12 Os planos 2x 2y 2z 0 e 2x 2y 2z 12 0 satisfazem as condições do exercício 4212 N2122N3357 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 4 Retas e Planos 597 VpvN2N3 V 4 1 1 N a b c N1 1 0 1 NN1 NN1 cosπ3 N2 2 N V 0 ac a2b2c2 1 2 a2 b2 c2 2 4a b c 0 Da 1a equação usando a 2a equação segue que a c 1 c 1 a Da 3a equação b c 4a 1 5a Substituindose os valores de b e c encontrados na 2a equação a2 1 5a2 1 a2 2 27a2 12a a 0 ou a 49 N 0 1 1 ou N 49 119 59 Os planos y z 0 e 4x 11y 5z 0 satisfazem as condições do exercício 4213 a N Vr 1 1 1 1 1 0 0 b Tomando Pπ 0 0 0 e Pr 1 0 1 dr π PrPπ N N 1 0 1 1 1 1 3 2 3 c Não Pois se s é uma reta reversa à r contida em π então dr s dr π 2 3 2 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital Capítulo 4 Retas e Planos 599 y z x e cosπ1 π2 N1N2 N1N2 8 7 5 f OP projN1 OA N1 OA N12 N1 6 493 2 6 g area AB AC 2 7712 7718 7762 77 723 2 6 539 72 43 Posições Relativas de Retas e Planos página 296 431 a A12203570 oe312A 3linha 1 linha 2 linha 2 1 2 2 0 0 1 1 0 A reta é x y z 4t t t b V411 N011 peVN ans 0 Como o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal ao plano e o ponto O 0 0 0 pertence aos dois então a reta está contida no plano Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 600 Respostas dos Exercícios 432 P1111V1221 P2000V2110 detP1P2V1V2 ans 0 As retas são concorrentes 433 a syms mP1102V1213 P2011V21m2m exprdetV1V2P2P1 expr 9m6 solveexpr ans 23 Para m 23 as retas são coplanares b Para m 23 os vetores diretores V1 2 1 3 e V2 1 23 43 não são paralelos pois um não é múltiplo escalar do outro Portanto as retas são concorrentes c syms x y z Pxyz V2subsV2m23 V2 1 23 43 NpvV1V2 N 23 13 13 Tomando como vetor normal 3N 2 1 1 a equação do plano é 2x y z d 0 Para determinar d substituímos o ponto P1 1 0 2 na equação do plano subst2xyzdxyz102 ans d Assim a equação do plano é 2x y z 0 434 Precisamos determinar m para que os vetores W 2 m 1 V1 1 2 0 e V2 1 0 1 sejam LD syms m Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 4 Retas e Planos 601 W2m1N212 exprpeWN expr 2m Para m 2 a reta é paralela ao plano A reta não está contida no plano pois o ponto da reta P0 1 1 1 não satisfaz a equação do plano 435 a N1211N2131N3114 detN1N2N3 ans 17 Os três planos se interceptam num único ponto b N1121N2242N3110 detN1N2N3 ans 0 Como N2 2N1 N3 não é paralelo a eles e as equações dos dois primeiros planos não são propor cionais o primeiro e o segundo plano são paralelos distintos e o terceiro corta os dois primeiros c N1211N2321N3213 detN1N2N3 ans 2 Os três planos se interceptam num único ponto d N1321N2252N3111 detN1N2N3 ans 12 Os três planos se interceptam num único ponto e N1213N2312N3426 detN1N2N3 ans 0 Como N3 2N1 N2 não é paralelo a eles e as equações do primeiro e do terceiro planos não são proporcionais o primeiro e o terceiro plano são paralelos distintos e o segundo corta os outros Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 602 Respostas dos Exercícios f N1424N2312N3212 detN1N2N3 ans 0 Como N1 2N3 N2 não é paralelo a eles e as equações do primeiro e do terceiro planos são proporcionais o primeiro e o terceiro plano são coincidentes e o segundo corta os outros g N1639N2426N3213 detN1N2N3 ans 0 Como N1 3N3 N2 2N3 e quaisquer duas equações não são proporcionais os três planos são paralelos distintos h N1123N2312N3534 detN1N2N3 ans 0 Os vetores normais são coplanares mas quaisquer dois vetores não são paralelos escalona123231215344 ans 1 0 17 0 0 1 117 0 0 0 0 1 Como o sistema não tem solução os planos se interceptam dois a dois segundo retas distintas Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 5 Seções Cônicas 603 51 Cônicas não Degeneradas página 327 511 a 4x2 2y2 1 pode ser reescrita como x2 14 y2 12 1 que é a equação de uma elipse com focos em 0 c em que c 14 12 32 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 604 Respostas dos Exercícios 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 x y Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 5 Seções Cônicas 605 b x2 y 0 pode ser reescrita como y x2 que é a equação de uma parábola com foco em 0 14 e reta diretriz y 14 c Dividindo x2 9y2 9 por 9 obtemos x2 9 y2 1 1 que é a equação de uma hipérbole com focos em c 0 em que c 9 1 10 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 606 Respostas dos Exercícios 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 12 1 08 06 04 02 0 02 04 06 x y Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 5 Seções Cônicas 607 6 4 2 0 2 4 6 6 4 2 0 2 4 6 x y Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 612 Respostas dos Exercícios 61 Quádricas página 413 611 a 4x2 2y2 z2 1 pode ser reescrita como x2 14 y2 12 z2 1 que é um hiperbolóide de uma folha Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 6 Superfícies e Curvas no Espaço 613 y z x Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 614 Respostas dos Exercícios b x2 y z2 0 pode ser reescrita como y x2 z2 que é a equação de um paraboloide elíptico Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 6 Superfícies e Curvas no Espaço 615 y z x Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 616 Respostas dos Exercícios c Dividindo x2 9y2 9 por 9 obtemos x2 9 y2 1 1 que é a equação de um cilindro quádrico Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 6 Superfícies e Curvas no Espaço 617 y z x Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 618 Respostas dos Exercícios d Dividindo 4x2 9y2 36z 0 por 36 obtemos z x2 9 y2 4 que é a equação de paraboloide hiperbólico Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 6 Superfícies e Curvas no Espaço 619 y z x Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 622 Respostas dos Exercícios c x2 y2 z3 d z2y x2 y24 634 a z2 x2 y2 z 0 b z 9 c x2x2 y2 z2 4y2 d x2 y2 z2 6y 3z 635 a x a tan s cos t y b sec s z c tan s sen t b x as tan t y bs sec t z s2 c x as cos t y bs sen t z s d x xt y yt z s onde x xt y yt é uma parametrização da curva f x y 0 e x sxt y syt z s onde x xt y yt é uma parametrização da curva f x y 0 f x xt cos s y xt sen s z zt onde x xt z zt é uma parametrização da curva f x z 0 g x xt as y yt bs z s onde x xt y yt é uma parametrização da curva f x y 0 636 y t2 x2 637 x2 y2 t2 cos2 t t2 sen2 t t2 z2 638 Uma parametrização para o cilindro é x cos t y sen t e z s Vamos usar a equação do plano para eliminar s na parametrização do cilindro Substituindose a para metrização do cilindro na equação do plano obtemos sen t s 2 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 6 Superfícies e Curvas no Espaço 623 Assim s 2 sen t Portanto x cos t y sen t z 2 sen t para t 0 2π é uma parametrização para a curva Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital Capítulo 7 Mudança de Coordenadas 627 exprexpr30 x126 y123 1 elipsesqrt6sqrt3P Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 628 Respostas dos Exercícios 4 3 2 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 4 x y x y Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 630 Respostas dos Exercícios 8 6 4 2 0 2 4 6 8 8 6 4 2 0 2 4 6 8 x y x y Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 632 Respostas dos Exercícios 8 6 4 2 0 2 4 6 8 8 6 4 2 0 2 4 6 8 x y x y Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 634 Respostas dos Exercícios 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 x y x y Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 636 Respostas dos Exercícios y12 3 29 29x1 parabx34sqrt29P Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 7 Mudança de Coordenadas 637 1 05 0 05 1 15 2 25 3 2 15 1 05 0 05 1 15 2 x y x y Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital Capítulo 7 Mudança de Coordenadas 639 syms x2 y2 exprsubstexpry1y21 10 y22 80 40 x1 exprsubstexprx1x22 10 y22 40 x2 exprexpr10 y22 4 x2 paraby1P21 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 640 Respostas dos Exercícios 6 4 2 0 2 4 6 8 10 8 6 4 2 0 2 4 x y x y x y Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 642 Respostas dos Exercícios X033 exprsubstexprX1X2X0 2 x22 8 8 y22 exprexpr8 x224 1 y22 elipse21PX0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 7 Mudança de Coordenadas 643 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x y x y x y Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital Capítulo 7 Mudança de Coordenadas 645 X032 exprsubstexprX1X2X0 4 x22 36 9 y22 exprexpr36 x229 1 y224 hiperby23PX0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 646 Respostas dos Exercícios 6 4 2 0 2 4 6 4 2 0 2 4 6 8 10 x y x y x y Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 648 Respostas dos Exercícios X026103220 exprsubstexprX1X2X0 5 x22 322 5 10 y22 exprexpr5322 25 322 x22 1 25 161 y22 elipsesqrt3225sqrt1615PX0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 7 Mudança de Coordenadas 649 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x y x y x y Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital Capítulo 7 Mudança de Coordenadas 651 ans 3312 3 e13sqrt3f13 expra1x12c1y12e1x1f1y1 2 x12 2 y12 3 3x1 3 y1 X03312434 exprsubstexprX1X2X0 2 x22 94 2 y22 exprexpr49 8 9 x22 1 8 9 y22 hiperbx3sqrt83sqrt8PX0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 652 Respostas dos Exercícios 4 3 2 1 0 1 2 4 3 2 1 0 1 2 x y x y x y Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 654 Respostas dos Exercícios 16 y22 6 2 x1 exprsubstexprx1x23 16 y22 2 x2 exprexpr16 y22 x28 parabx132P32 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 7 Mudança de Coordenadas 655 10 8 6 4 2 0 2 4 8 6 4 2 0 2 4 x y x y x y Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 656 Respostas dos Exercícios 73 Identificação de Quádricas página 517 731 a2b30c23d0e72f0 Asymad2e2d2bf2e2f2c syms x solvedetAxeye3 ans 25 30 50 a125b130c150 escalonaAa1eye3 27 0 36 0 55 0 36 0 48 ans 1 0 43 0 1 0 0 0 0 A solução geral de A a1I3X 0 é W1 4α 0 3α α R Como 4α 0 3α 1 se e somente se α 15 então podemos tomar U1 45 0 35 escalonaAb1eye3 28 0 36 0 0 0 36 0 7 ans 1 0 0 0 0 1 0 0 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 7 Mudança de Coordenadas 657 A solução geral de A b1I3X 0 é W2 0 α 0 α R Como 0 α 0 1 se e somente se α 1 então podemos tomar U2 0 1 0 U145035 U2010 PsymU1U2pvU1U2 P 45 0 35 0 1 0 35 0 45 syms x1 y1 z1 expra1x12b1y12c1z12150 25 x12 30 y12 50 z12 150 exprexpr150 16 x12 15 y12 13 z12 1 hiperbo2xsqrt6sqrt5sqrt3P Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 658 Respostas dos Exercícios yy x z z x Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 7 Mudança de Coordenadas 659 732 a144b100c81d0e216f0 Asymad2e2d2bf2e2f2c solvedetAxeye3 ans 0 100 225 a10b1100c1225 escalonaAa1eye3 144 0 108 0 100 0 108 0 81 ans 1 0 34 0 1 0 0 0 0 A solução geral de A a1I3X 0 é W1 3α 0 4α α R Como 3α 0 4α 1 se e somente se α 15 então podemos tomar U1 35 0 45 escalonaAb1eye3 44 0 108 0 0 0 108 0 19 ans 1 0 0 0 0 1 0 0 0 A solução geral de A b1I3X 0 é W2 0 α 0 α R Como 0 α 0 1 se e somente se α 1 então podemos tomar U2 0 1 0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 660 Respostas dos Exercícios U135045 U2010 PsymU1U2pvU1U2 P 35 0 45 0 1 0 45 0 35 EDU K5400720 EDU KP ans 900 0 0 expra1x12b1y12c1z12900x1 100 y12 225 z12 900 x1 exprexpr900 19 y12 14 z12 x1 parabo1x132P Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 7 Mudança de Coordenadas 661 z yy z x x Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 662 Respostas dos Exercícios 733 a0b0c0d2e0f0 Asymad2e2d2bf2e2f2c solvedetAxeye3 ans 0 1 1 a10b11c11 escalonaAa1eye3 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ans 1 0 0 0 1 0 0 0 0 A solução geral de A a1I3X 0 é W1 0 0 α α R Como 0 0 α 1 se e somente se α 1 então podemos tomar U1 0 0 1 escalonaAb1eye3 1 1 0 1 1 0 0 0 1 ans 1 1 0 0 0 1 0 0 0 A solução geral de A b1I3X 0 é W2 α α 0 α R Como α α 0 1 se e somente se α 1 2 então podemos tomar U2 1 2 1 2 0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 7 Mudança de Coordenadas 663 U1001 U21sqrt21sqrt20 PsymU1U2pvU1U2 P 0 22 22 0 22 22 1 0 0 K001 KP ans 1 0 0 expra1x12b1y12c1z12x1 y12 z12 x1 hiperbo2xsqrt6sqrt5sqrt3P Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 664 Respostas dos Exercícios z y xz y x Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital 666 Respostas dos Exercícios PsymU1U2pvU1U2 P 22 1 6 1 3 22 1 6 1 3 0 63 1 3 K664 K1KP K1 0 2 2 3 16 3 g1K11h1K12i1K13 expra1x12b1y12c1z12g1x1h1y1i1z19 x12 y12 2 z12 23 6y1 163 3z1 9 syms x2 y2 z2 X1x1y1z1 X2x2y2z2 X0g12a1h12b1i12c1 0 63 4 3 exprsubstexprX1X2X0 x22 y22 2 z22 1 hiperbo1z111sqrt2PX0 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 7 Mudança de Coordenadas 667 x y x z z z y x y Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital Capítulo 7 Mudança de Coordenadas 669 PsymU1U2pvU1U2 P 2 5 1 30 1 6 0 5 6 1 6 1 5 63 5 1 6 K121260 K1KP K1 36 5 12 6 5 24 6 g1K11h1K12i1K13 expra1x12b1y12c1z12g1x1h1y1i1z124 6 x12 6 y12 12 z12 36 5 5x1 12 5 6 5y1 24 6z1 24 X0g12a1h12b1i12c1 35 5 15 6 5 6 exprsubstexprX1X2X0 6 x22 6 y22 12 z22 114 exprexpr114 119 x22 119 y22 219 z22 1 elipsosqrt19sqrt19sqrt192PX0 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 670 Respostas dos Exercícios y z y z y z x x x Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Capítulo 7 Mudança de Coordenadas 671 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital BIBLIOGRAFIA 1 Howard Anton e Chris Rorres Álgebra Linear com Aplicações Bookman São Paulo 8a edição 2001 2 Paulo Boulos e Ivan de C e Oliveira Introdução à Geometria Analítica no Espaço Makron Books São Paulo 1997 3 Paulo Boulos e Ivan de C e Oliveira Geometria Analítica um tratamento vetorial Makron Books São Paulo 3a edição 2005 4 Frederico F C filho Introdução ao MATLAB Departamento de Ciência da Computação UFMG Belo Horizonte Fevereiro de 2000 5 Alésio de Caroli Carlos A Callioli e Miguel O Feitosa Matrizes Vetores Geometria Analítica Nobel São Paulo 1976 6 Emília Giraldes Vitor H Fernandes e Maria P M Smith Curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica Mc Graw Hill Lisboa 1995 7 Stanley I Grossman Elementary Linear Algebra Saunders College Publishing New York 5a edição 1994 8 David R Hill e David E Zitarelli Linear Algebra Labs with MATLAB Macmillan Publishing Company New York 1994 9 Édson Durão Júdice Elementos de Álgebra Vetorial Sistema Pitágoras de Ensino Belo Horizonte 1976 Cópia Digital Bibliografia 673 10 Bernard Kolman e David R Hill Introdução à Álgebra Linear com Aplicações LTC Rio de Janeiro 8a edição 2008 11 David C Lay Álgebra Linear e suas Aplicações Livros Técnicos e Científicos Editora SA Rio de Janeiro 2a edição 1999 12 Charles H Lehmann Geometria Analítica Editora Globo Porto Alegre 1974 13 Louis Leithold Cálculo com geometria analítica Vol 2 Ed Harbra Ltda São Paulo 3a edição 1994 14 Steven J Leon Álgebra Linear com Aplicações Livros Técnicos e Científicos Editora SA Rio de Janeiro 5a edição 1998 15 Elon L Lima Coordenadas no Espaço SBM Rio de Janeiro 1993 16 Elon L Lima Geometria Analítica e Álgebra Linear IMPA Rio de Janeiro 2008 17 Mathworks Inc Student Edition of MATLAB Version 5 for Windows Prentice Hall Upper Saddle River New Jersey 1997 18 Ben Noble e James W Daniel Applied Linear Algebra Prentice Hall Upper Saddle River New Jersey 3a edição 1988 19 Genésio L dos Reis e Valdir V da Silva Geometria Analítica LTC São Paulo 2a edição 1996 20 Nathan M dos Santos Vetores e Matrizes Thomson São Paulo 4a edição 2007 21 Reginaldo J Santos Introdução à Álgebra Linear Imprensa Universitária da UFMG Belo Horizonte 2012 22 Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle Geometria Analítica Makron Books São Paulo 2a edição 1987 23 James Stewart Cálculo Vol 2 Pioneira São Paulo 4a edição 2001 24 Israel Vainsencher Notas de Geometria Analítica Elementar Departamento de MatemáticaUFPe Recife 2001 25 Paulo Winterle Vetores e Geometria Analítica Makron Books São Paulo 2a edição 2000 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital ÍNDICE ALFABÉTICO Adjunta de uma matriz 121 Ângulo entre planos 262 entre reta e plano 286 entre retas 259 entre vetores 171 Assíntota 311 axiss 164 205 box 164 205 Cadeia de Markov 14 Caracterização das cônicas 323 Cilindro elíptico 404 hiperbólico 404 parabólico 404 quádrico 404 Círculo 304 Circunferência em coordenadas polares 346 clf 65 Cofator de um elemento 100 101 Combinação linear 160 200 Cone circular 401 Cone elíptico 401 Cônicas 298 não degeneradas 298 Cônicas em coordenadas polares 339 Coordenadas cilíndricas 438 Coordenadas esféricas 441 Coordenadas polares 332 Cosseno hiperbólico 352 Curva diretriz 416 Curva geratriz 430 desvet 164 205 det 131 Determinante 99 de Vandermonde 132 desenvolvimento em cofatores do 101 107 expansão em cofatores do 101 propriedades do 104 Cópia Digital Índice Alfabético 675 detopelp 131 diag 20 Diretriz 412 diretriz 416 Distância de um ponto a um plano 266 de um ponto a uma reta 270 de uma reta a um plano 286 entre dois planos 273 entre dois pontos 170 entre duas retas 275 Eixos da elipse 304 de revolução 430 polar 332 eixos 66 164 205 Elipse 299 excentricidade da 304 elipse 499 elipso 517 Elipsoide 373 Equação equações da reta 230 geral do plano 213 linear 29 na forma simétrica da reta 243 paramétricas 349 paramétricas da curva 350 paramétricas da reta 232 paramétricas da superfície 459 paramétricas de curvas no espaço 466 paramétricas de superfícies 459 paramétricas do plano 227 quadráticas 373 vetorial da reta 232 Escalar 4 escalona 65 Esfera 376 Excentricidade da elipse 304 da hipérbole 312 eye 20 Focos da cônica 323 da elipse 301 da Hipérbole 309 da parábola 317 Funções hiperbólicas 352 Geratriz 416 430 Grandezas vetoriais 139 Hélice 467 hiperbo1x 517 hiperbo1y 518 hiperbo1z 518 hiperbo2x 518 hiperbo2y 518 hiperbo2z 519 Hipérbole 307 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 676 Índice Alfabético Hiperboloide de duas folhas 382 Hiperboloide de uma folha 379 hiperbx 500 hiperby 500 Identidade de Lagrange 208 Interpolação polinomial 90 lin 257 lineplan 258 lineseg 164 205 Matriz matrizes 1 escalonada 38 escalonada reduzida 37 adjunta clássica 121 antisimétrica 26 aumentada 31 coluna 2 157 coluna de 1 de rotação 479 de transição 14 de Vandermonde 92 determinante de 99 diagonal 22 98 diagonal principal de 2 diferença entre 13 do sistema linear 30 elementar 53 elemento de 2 entrada de 2 equivalente por linhas 44 identidade 10 iguais 2 inversa de 73 invertível 73 linha 2 157 linha de 1 multiplicação por escalar 4 múltiplo escalar de 4 não invertível 73 nula 9 ortogonal 475 potência 13 produto de 5 propriedades de 9 quadrada 2 simétrica 26 singular 73 soma de 3 transposta de 7 traço de 26 triangular inferior 103 triangular superior 132 matvand 65 Menor de um elemento 99 Método de Gauss 43 Método de GaussJordan 39 Mudança de coordenadas 472 Múltiplo escalar 4 145 no 204 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Índice Alfabético 677 Norma de um vetor 168 Notação de somatório 5 8 28 numeric 20 oe 65 opel 65 Operação elementar 31 parabo1x 519 parabo1y 519 parabo1z 519 parabo2x 520 parabo2y 520 parabo2z 520 Parábola 315 Paraboloide elíptico 390 Paraboloide hiperbólico 397 parabx 500 paraby 500 Paralelo 430 pe 204 Pivô 33 plan 258 Plano planos 213 vetor normal do 213 concorrentes 289 equação geral do 213 equações paramétricas do 227 mediador 284 paralelos 289 plotci 66 plotf1 66 po 164 205 poline 258 Polo 332 poly2sym 65 poly2sym2 66 Pontos colineares 163 coplanares 199 poplan 258 Posições relativas de dois planos 287 de duas retas 287 de plano e reta 291 de três planos 291 Produto escalar ou interno 173 propriedades do 180 misto 194 vetorial 183 propriedades do 187 vetorial duplo 208 Produto vetorial duplo 208 Projeção ortogonal 180 pv 205 randi 20 Regra da mão direita 185 Regra de Cramer 118 127 Representação paramétrica da curva 350 Julho 2013 Reginaldo J Santos Cópia Digital 678 Índice Alfabético da superfície 459 Reta retas 230 concorrentes 259 287 diretriz da cônica 323 diretriz da parábola 317 equação vetorial da 232 equações na forma simétrica da 243 equações paramétricas da 232 geratriz do cone 306 paralelas 259 287 reversas 259 287 vetor diretor da 232 Reta geratriz 416 rota 164 205 Rotação 478 Seção cônica 298 Segmento de reta orientado 139 Sela 397 Seno hiperbólico 352 Seção meridiana 430 Simetria em relação aos eixos coordenados 376 em relação aos planos coordenados 376 em relação à origem 376 Sistema de coordenadas 473 cartesianas 147 332 438 cilíndricas 438 esféricas 441 polares 332 retangulares 147 retangulares no espaço 151 Sistema de equações lineares 29 Sistema homogêneo 47 solução trivial de 48 Sistemas lineares 29 conjunto solução de 30 consistente 64 equivalentes 33 homogêneo 47 solução geral de 30 Solução geral de sistema linear 30 trivial de sistema homogêneo 48 solve 20 subs 65 subst 257 499 517 Superfícies de revolução 430 cilíndricas 414 cônicas 422 quadrícas 373 sym 20 syms 20 tex 164 205 Translação 479 Variáveis livres 42 Vértices da elipse 304 da hipérbole 312 Matrizes Vetores e Geometria Analítica Julho 2013 Cópia Digital Índice Alfabético 679 da parábola 320 Vetor vetores 2 139 ângulo entre 171 canônicos 188 colineares 145 componentes de 147 151 153 157 comprimento de 139 168 coplanares 199 de estado 15 diferença de 143 direção de 139 multiplicação por escalar 145 149 155 múltiplo escalar 145 norma de 168 normal ao plano 213 nulo 143 ortogonais 171 paralelos 145 produto escalar ou interno de 173 produto misto de 194 produto vetorial de 183 sentido de 139 simétrico 143 soma de 141 149 155 unitário 170 zeros 20 zoom3 164 205 Julho 2013 Reginaldo J Santos