Tarefa Unidade 4 - Geometria Analítica 2021-1

1 Geometria Analítica – ENPE-3 (2021) – TAREFA da Unidade 4. Resolva os problemas propostos. 1. No diagrama ao lado representamos, em um sistema cartesiano ortogonal Oxy, a elipse E : x2 20 + y2 5 = 1 e a reta r: y = −x + 3. Podemos ver que a reta r corta a elipse E em dois pontos distintos, isto é, a reta é secante à elipse. −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −3 −2 −1 1 2 3 4 E r Determine condições sobre m para que uma reta s: y = −x + m (a) não intercepte a elipse; (b) seja tangente à elipse, isto é, encontre-a em apenas um ponto de contato; (c) seja secante à elipse, isto é, corte-a em dois pontos distintos. 2. O problema de determinar a equação de uma reta tangente a uma cônica em um ponto P0 = (x0, x0) dessa cônica é um problema cuja solução, no contexto da geometria analítica plana, pode requerer várias linhas de dedução. Considere o problema de determinar, em um sistema car- tesiano ortogonal Oxy, a equação da reta r tangente à circunferência C : x2 + y2 = 5 no ponto P = (−1, 2) dessa circunferência. A reta terá uma equação da forma r: y − 2 = m(x + 1) Determine o valor de m para o qual a reta encontrará a circunferência em um único ponto, isto é, será tangente à circunferência no ponto P. −4 −3 −2 −1 1 2 3 −3 −2 −1 1 2 3 4 C P r x y 3. Texto informativo. O problema de se determinar a reta tangente a uma cônica de equação Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (1) 2 em um ponto Po = (Xo, yo) dessa cdnica, por métodos algébricos como os usados no problema anterior, pode nos levar a muitos calculos “desconfortaveis’. Por isso leia com aten¢do o texto explicativo a seguir. Por técnicas mais diretas, que sdo estudadas apenas em CaAlculo 2 (0 calculo diferencial de fun¢des de varias variaveis), ou por calculo de derivadas de fun¢des definidas implicitamente (assundo de Calculo 1) pode ser deduzido que a equacdo da reta r tangente a cénica de equacdo (1), em um ponto Po = (xo, Yo) dessa cénica, tem equa¢do B D E Axox + 5 (xoy + yor) + Cyoy + 5 (x + Xo) + 5(y + Yo) +F = 0 (2) ou seja, agrupando os termos em x e y, tem equacao geral Byo D Bxo E Dxo Euo Axy+—s- +5 Cyo + —— += 4-29 + F)=0 3 (Ax + +3) x+ (Cut 32+ 5 yt( > +> + (3) Note que para obter a equac¢do (2) a partir da equa¢do (1), tudo o que fazemos é: trocamos 2 2 XoY + Yor X + Xo y+Yo X° Por XoxX, Yo Por YoY, XY por —“——, X por —5— € y por “=~, e pronto, temos a equac¢do da reta tangente a conica (1) no ponto P = (x9, Yo) dessa cénica. Agora vamos ao problema proposto. Considere a cénica (uma hipérbole) de equac¢ao 7x? — 6xy — 7y? + 13x +25y — 60 =0 . cujo grafico esta esbocado na figura ao lado. ‘ Usando as técnicas descritas no texto infor- ‘ mativo acima determine as equacdes das re- 2 tas tangentes a essa hipérbole nos seus pontos Po = (Xo, Yo) satisfazendo (a) Xo = 3; | (b) Po é ponto de intersecdo da hipérbole e o . eixo Ox. 4. Em um sistema de coordenadas ortogonais Oxy (no plano), uma reta s de equacdo geral Ax + By +C =0 tem vetor normal (ortogonal) 7 = (A, B) = Ai + Bj. Como consequéncia o vetor V = (B, —A) é vetor diretor da reta s (pois n- Vv = 0). (a) Use as informacdes dadas no problema 3 para determinar a equa¢do geral da reta r tangente a parabola P : y* = 2px em um ponto Py = (xo, yo) dessa parabola (com Xo > 0). 3 (b) Use as informacdes dadas no inicio deste problema para determinar o vetor diretor da reta T. (c) Sendo F = (5,0) o foco da parabola P, determine uma equacdo vetorial da reta ry passando por F e Po. Determine uma equacdo vetorial da reta rz passando por Po e paralela ao eixo Ox. (d) Com esses dados em maos, mostre (deduza) que os angulos x = 4(r),T) e B = 4(12, 1) sao de mesma medida. Esta propriedade, chamada de propriedade refletora da parabola, é a propriedade de reflexdo dos fardis parabolicos. Um farol parabdlico é aquele cuja superficie espelhada de reflexdo da luz € uma superficie obtida por rota¢do, em torno de seu eixo, de parte de uma parabola. Esta também € a forma das superficies das convencionais antenas parabolicas. A fonte de luz é posicionada no foco F y da parabola (uma secc4o plana do farol / parabolico contendo o foco F e seu eixo 6 P de simetria). Nesse plano, um raio de luz 5 partindo de F, incidindo na superficie espe- 4 *o T lhada em Po, se refletira e seguira trajetoria 3 SL paralela ao eixo da parabola, pois obede- 2 cera o principio de reflexdo: o Angulo de incidéncia do raio de luz, formado com a x reta normal a superficie em Po (de medida > ~2 —! PT o2 3 4° 5\6 7 90° — x), sera igual ao angulo de reflexdo 7 (de medida 90° — 8) e portanto sdo iguais ~ os a4ngulos we £. 3 Na figura ao lado, os conceitos deste pro- 4 blema sao ilustrados no grafico da para- —5 bola y? = 6x.