Questões - Geometria Analítica 2022 1

Identifique as cônicas e faça um esboço das mesmas em relação ao sistema de coordenadas novo e antigo Justifique todas as passagens a x² 6xy 7y² 10x 30y 23 0 b x² 2xy y² 82x 82y 0 c 7x² 63xy 13y² 16 0 A₁ 3 0 B₁ 0 2 A₂ 0 0 B₂ 0 2 B₃ 0 0 F₁ 3 0 F₂ 3 0 Passo 3 x cos θ u sin θ v y sin θ u cos θ v Θ π4 D x 22 uv y 22 uv A₁ 32 322 D A₁ 322 322 A₂ 2 3 Usando sin²θ cos²θ 1 cos²θ sin²θ cos 2θ Então cos²θ 1 cos 2θ2 Ex 5x² 26xy 5y² 72 0 A 5 B 26 C 5 D E 0 F 72 Como A 5 vamos diretamente A 12 A B C 12 5 26 5 8 C 12 A B C 12 26 5 5 18 Pela proposição 2 registe um sistema de coordenadas no qual x pode ser transformada em py²q0 cpq0 D1 AC P D2 p 0 0 q Δ det m 0 0 0 0 q0 70 e p0 y²10 y²1 é impossível D conjunto vazio Como tg20 têem a mesma sinal para 200π então cos20 1 1tg²20 se B0 AC C A sen²θ B sinθ cosθ C cos²θ Elimina por míg de rotacao a termo misto de segundo grau última transformam Ax²BxytCy²DxEyF0 em Au²Cv²DuEvF0 Nota que a equação de transformação é dada por x h u y k v 1 x y cosα sinα u v Mudança de coordenadas em E² a identificando a cónica B²4AC 6² 417 36 28 0 Por tanto trato de un hipérbola Esbozo forma cuadrática Q 1 3 3 7 autoValores 1 λ 3 3 λ 7 1λ7λ 9 7 4λ λ² 9 λ² 6λ 16 λ8λ2 λ₁ 2 λ₂ 8 autovectores pλ₁ 2 1 3 x x 3y 0 3 9 0 0 3x 9y 0 x 3y v₁ 3 1 normalizado v₁ 110 310 pλ₂ 8 9 3 x 9x 3y 0 3 1 y 0 3y j 0 1 v₂ 1 3 2 x 1510² 8 y 510² 45 20 23 0 2 x 1510² 8 y 510² 42 x 1510² y 510²21 1 translação em relação à rotação x e y são a translação de x e y indetificando x²2xyy²82x82y0 B²4AC2²413440 parabo rotacião de 45 provavelmente devido a simetria entre x e y c identificando 7x²63xy13y²160 B²4AC63²47131083690 elipsx novamente rotação de 45 observada pelo simétrico sem valores em x e y e B63 2 DE