Lista - Geometria Analítica 2022 1

Considere o losango ABCD conforme a figura abaixo e o ponto P A 2AB 4k sendo k 001 Saberse que A 000 B 020 o ponto C pertence ao plano Oxy a medida do ângulo entre os vetores AB e AD é 30 graus item i Se X A λ11c é uma equação vetorial para a reta determinada pelos pontos A e P então a c Se Projk overrightarrowPD m n p então m 0 n 0 p 4 item 2 Se Proj PD mnp então m n p y2 3x2 y sqrt3x Como yx0 temos que y sqrt3 x Logo D x sqrt3x 0 x1 sqrt3 0 item 3 Denote por π o plano perpendicular ao plano Ozy que contém a reta que passa por A e D Uma equação geral para o plano π é x y z Denote por pi1 e pi2 os planos que distam 5 do plano que passa pelos pontos A P e D sendo pi1 o mais próximo do ponto C Uma equação geral para o plano pi1 é x fracsqrt33y z frac53sqrt3 item 4 Denote por π1 e π2 os planos que distam 5 do plano que passa pelos pontos A P e D sendo π1 o mais próximo do ponto C Uma equação geral para o plano π1 é x y z Como T1 e T2 distam 5 unidades de α então T1 e T2 são paralelos a α item 5 Para cada número real s considera a reta rs X 122 λ31s a Determine s para que a reta rs seja paralela ao plano que passa pelos pontos A P e D s e 5 15 3 e f 5 15 3 b Considerando o valor de s obtido em a determine o valor do cosseno do ângulo θ entre a reta rs e AP cosθ Portanto T1 x 3 y 3 3 z 3 5 15 3 0 Instruções Em respostas numéricas digite um número em representação decimal arredondando se necessário na segunda casa após a vírgula Item 5 Para cada número real s considera a reta rs X 1 2 2 λ3 1 s a Determine s para que a reta rs seja paralela ao plano que passa pelos pontos A P e D s 2 b Considerando o valor de s obtido em a determine o valor do cosseno do ângulo θ entre a reta rs e AP cosθ 14 a Se s α então 3 1 s 3 1 1 0 isto é 3 1 s 3 1 1 0 3 1 s 0 2 s 0 s 2 b Ângulo entre rs e AP é o mesmo que o ângulo entre u 3 1 2 e AP 0 4 4 Logo u AP u AP cos θ θ é o ângulo entre AP e u Cos θ u AP u AP 4 8 u AP 3 14 1 4 Cos θ 4 8 2 16 2 2 2 4 Cos θ 4 4 4 cos θ 14 Considere o hexágono regular ABCDEF conforme figura abaixo Saberse que esse hexágono está contido no plano 5x 3z 0 Além disso A 000 e D 305 Determine a distância do ponto B ao plano Oxz Resposta Considere o losango ABCD conforme a figura abaixo e o ponto P A 2AB 4k sendo A 01 Saberse que A 000 B 020 o ponto C pertence ao plano Oxy a medida do ângulo entre os vetores AB e AD é 30 graus item i Se X A λ11c é uma equação vetorial para a reta determinada pelos pontos A e P então a 0 c 1 Ponto P P A 2AB 4k A 2B A 4001 000 2020 000 004 044 Então u AP P A 044 é um vetor direcional da reta determinada por A e P Dessa forma os vetores u e a1a1c são múltiplos desse extenso aℝ tal que a1a1c α044 Portanto a 0 1 4α c 4α c 1 a 0 e c 1