Lista de Exercícios Estatística - Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DELREI Campus Centro Oeste Disciplina Professora Tiago Silveira Gontijo Discente Matrícula Curso Semestre LISTA 2 05 pontos 1 Ache na tabela Z o valor crítico zα2 que corresponde a um intervalo com confiança centrado na média de a 99 b 90 e c 98 2 Construir um intervalo de confiança a partir dos dados amostrais e o nível de confiança solicitado para a proporção populacional que se encontra infectada por uma determinada doença Neste exercício x é o número de pessoas infectadas na amostra n é o tamanho da amostra a n 400 x 300 95 de confiança b n 1200 x 200 99 de confiança c n 1655 x 176 98 de confiança 3 Uma pesquisa foi realizada em uma amostra aleatória de 1000 moradores de uma cidade Foi perguntado a eles se têm seguro de saúde e 650 indivíduos entrevistados disseram que sim 350 disseram que não têm seguro de saúde a Construa um IC de 95 para a proporção de residentes com seguro de saúde b Qual o tamanho da amostra para uma margem de erro de 1 4 O tempo de reação de um indivíduo a certa droga é considerado uma variável aleatória com média 12 minutos e desvio padrão 3 minutos Este tempo foi medido para uma amostra de 50 pessoas Suponha o valor σ populacional conhecido e igual a 3 2 minutos Efetue um teste de hipótese para verificar a afirmação de que o tempo médio é menor do que 12 min Interprete o resultado obtido 5 O tempo de reação de uma pessoa a certa droga é considerado uma variável aleatória com média e desvio padrão desconhecido Em uma amostra de 26 pessoas escolhidas aleatoriamente a média amostral foi 50 minutos e o desviopadrão amostral igual 12 min Construa um intervalo com nível de confiança de 99 para o tempo médio de reação 6 Uma pesquisa foi realizada para verificar o gasto da população com planos de saúde em um município da região sul do Brasil em 2005 Foram analisadas 300 residências do município escolhidas aleatoriamente e com renda domiciliar mensal de até R 1096 00 Nesta pesquisa a média amostral de gastos com plano de saúde foi de R 82 00 por domicílio Suponha que o desvio padrão dos gastos com plano de saúde seja conhecido e igual a 15 00 reais a Obtenha um intervalo de 90 de confiança para a média de gasto domiciliar com plano de saúde no município b Obtenha um intervalo de 99 de confiança para a média de gasto domiciliar com plano de saúde no município Tiago Silveira Gontijo Pag 1 de 2 Lista 2 05 pontos 7 Um estudo é realizado relativo a pressão arterial de mulheres com 60 anos de idade com glaucoma Neste estudo 200 mulheres foram selecionadas aleatoriamente e a média da amostra da pressão arterial sistólica foi 140 mmHg e o desvio padrão da amostra de 25 mmHg Calcule um intervalo de confiança de 95 para a verdadeira pressão arterial sistólica média para a população de mulheres de 60 anos de idade com glaucoma 8 É esperado que a massa muscular de uma pessoa diminua com a idade Para estudar essa relação uma nutricionista selecionou 18 mulheres com idade entre 40 e 79 anos e observou em cada uma delas a idade X e a massa muscular Y a Construa o diagrama de dispersão e interpreteo b Calcule o coeficiente de correlação linear entre X e Y e interpreteo c Calcule o coeficiente de determinação entre X e Y e interpreteo d Ajuste uma reta de regressão para a relação entre as variáveis Y massa muscular de pendente e X idade independente e Considerando a reta estimada dada no item c estime a massa muscular média de mulheres com 50 anos para 90 9 Os dados abaixo correspondem às variáveis renda familiar e gasto com alimentação numa amostra de dez famílias representadas em salários mínimos a Qual a previsão do gasto com alimentação para uma família com renda de 170 reais b Qual a previsão do gasto para famílias com excepcional renda por exemplo 1000 reais Você acha esse valor razoável Por quê c Se você respondeu que o valor obtido em b não é razoável encontre uma explicação para o ocorrido Sugestão interprete a natureza das variáveis X e Y e o comportamento de Y para grandes valores de X 10 Uma amostra de 36 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu X 42 3 e S 5 2 Testar no nível de significância 0 05 a hipótese de que µ 40 11 Uma amostra de 20 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu X 53 4 e S 7 5 Testar no nível de significância 0 05 a hipótese de que µ 50 12 Uma amostra de tamanho n 18 de população normal tem média X 31 5 e desvio padrão S 4 2 Ao nível de significância de 5 estes dados sugerem que a média populacional seja superior a 30 Universidade Federal de São João delRei httpsufsjedubr Pag 2 de 2 a zcrit258 b Neste caso está bem no meio podemos fazer a média dos dois valores zcrit1645 c zcrit233 IC ppz p1p n a p300400075 IC p95075196 0 75025 400 IC p950707607924 b p200120001667 IC p9901667258 01667101667 1200 IC p990138901945 c p176165501063 IC p9801063233 01063101063 1655 IC p980088601240 a p6501000065 IC p95065196 0651065 1000 IC p950620406796 b n p1pz ² e ² 0651065196² 001² 873964 A amostra deverá ter tamanho de 8740 Hipóteses H 0 μ12min H 1 μ12min Estatística de teste Desvio padrão populacional conhecido então utilizamos z zcalc xμ σn Essa questão está toda estranha Não foi dada a média da amostra coletada não há como fazer o teste Além disso afirmam que o desvio é de 3min logo depois fala para considerar 32 minutos O desvio padrão populacional é desconhecido e a amostra é pequena logo se usa t ICμxt s n ICμ99502787 12 26 ICμ99434411min565589min Desvio padrão populacional conhecido utilizamos z a ICμ90821645 15 300 ICμ90R 8058 R 8342 b ICμ9982258 15 300 ICμ99R 7977 R84 23 Apesar de o desvio padrão populacional ser desconhecido temos n 30 então podemos utilizar a distribuição normal na construção do IC ICμ95140196 25 200 ICμ951365352mmHg 1434648mmHg a 40 45 50 55 60 65 70 75 80 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Diagrama de dispersão Idade anos Massa muscular O diagrama de dispersão indica relação negativa entre a idade a massa muscular ou seja quando a idade aumenta a massa muscular diminui b Observaçã o x y x² y² xy 1 71 82 5041 6724 5822 2 64 91 4096 8281 5824 3 43 100 1849 10000 4300 4 67 68 4489 4624 4556 5 56 87 3136 7569 4872 6 73 73 5329 5329 5329 7 68 78 4624 6084 5304 8 56 80 3136 6400 4480 9 76 65 5776 4225 4940 10 65 84 4225 7056 5460 11 45 116 2025 13456 5220 12 58 76 3364 5776 4408 13 45 97 2025 9409 4365 14 53 100 2809 10000 5300 15 49 105 2401 11025 5145 16 78 77 6084 5929 6006 17 73 73 5329 5329 5329 18 68 78 4624 6084 5304 Total 1108 1530 70362 133300 91964 r 189196411081530 18703621108²181333001530² 08367 O coeficiente de correlação linear foi de 08367 indicando forte correlação linear negativa entre a idade e a massa muscular c Como se trata de uma regressão linear simples temos que R² r² R²08367²07001 Isso significa que 7001 da variabilidade da massa muscular pode ser explicada pela variabilidade da idade d Seja yabx b189196411081530 18703621108² 10267 a1530 18 10267 1108 18 1481991 Massamuscular148199110267Idade e Para uma mulher de 50 anos Massamuscular14819911026750968641 Para 90 de massa muscular Massamuscular148199110267Idade90 Idade5669 anos Observaçã o x y x² y² xy 1 3 15 9 225 45 2 5 20 25 400 100 3 10 60 100 3600 600 4 20 100 400 10000 2000 5 30 150 900 22500 4500 6 50 200 2500 40000 10000 7 70 250 4900 62500 17500 8 100 400 10000 160000 40000 9 150 600 22500 360000 90000 10 200 800 40000 640000 160000 Total 638 2595 81334 129922 5 324745 a Seja yabx b103247456382595 1081334638² 03918 a2595 10 03918 638 10 09532 Gasto0953203918Renda Gasto para renda de 170 reais Gasto095320391817067 56 O gasto prevista com alimentação é de R6756 b Gasto para renda de 1000 reais Gasto0953203918100039275 O gasto prevista com alimentação é de R39275 Este valor não parece ser razoável pois extrapola em muito o intervalo de valores utilizados para a construção do modelo Não há garantias de que os dados se comportem da mesma maneira fora do intervalo utilizado no ajuste c Os dados se referem a renda e gasto com alimentação O modelo linear ajustado pode não ser aplicável para grandes rendas pois a relação entre renda e gastos com alimentação pode mudar para rendas muito mais altas Como dito não há garantias de que o comportamento se mantenha para rendas fora do intervalo utilizado no ajuste do modelo Em rendas mais altas pode ser que os gastos com alimentação não subam de maneira linear as pessoas podem preferir gastar com outras coisas como lazer e entretenimento por exemplo Hipóteses H 0 μ 40 vs H 1 μ40 Estatística de teste Apesar o desvio padrão populacional ser desconhecido podemos utilizar a estatística z pois n 30 zcalc42340 5236 265 Região crítica α 5 zcrit1645 Conclusão Como zcalczc rit rejeitase H0 ao nível de significância de 5 Há evidências de que a média seja significativamente superior a 40 Hipóteses H 0 μ50 vs H 1 μ50 Estatística de teste t calc53450 7520 2027 Região crítica α 5 gl 19 t crit2093 Conclusão Como t calct c rit não se rejeita H0 ao nível de significância de 5 Não há evidências de que a média seja significativamente diferente de 50 Hipóteses H 0 μ30 vs H 1 μ30 Estatística de teste t calc31530 4 218 1515 Região crítica α 5 gl 17 t crit1740 Conclusão Como t calct c rit não se rejeita H0 ao nível de significância de 5 Não há evidências de que a média seja significativamente superior a 30 a zcrit 258 b Neste caso está bem no meio podemos fazer a média dos dois valores zcrit 1645 c zcrit 233 ICp p z p1 p n a p 300400 075 ICp 95 075 196 075 025 400 ICp 95 07076 07924 b p 2001200 01667 ICp 99 01667 258 01667 101667 1200 ICp 99 01389 01945 c p 1761655 01063 ICp 98 01063 233 01063 1 01063 1655 ICp 98 00886 01240 a p 6501000 065 ICp 95 065 196 065 1065 1000 ICp 95 06204 06796 b n p 1 p z² e² 065 1 065 196² 001² 873964 A amostra deverá ter tamanho de 8740 Hipóteses H0 𝜇 12 min H1 𝜇 12 min Estatística de teste Desvio padrão populacional conhecido então utilizamos z zcalc x𝜇 𝜎n Essa questão está toda estranha Não foi dada a média da amostra coletada não há como fazer o teste Além disso afirmam que o desvio é de 3min logo depois fala para considerar 32 minutos O desvio padrão populacional é desconhecido e a amostra é pequena logo se usa t IC𝜇 x t s n IC𝜇 99 50 2787 12 26 IC𝜇 99 434411 min 565589 min Desvio padrão populacional conhecido utilizamos z a IC𝜇 90 82 1645 15 300 IC𝜇 90 R8058 R8342 b IC𝜇 99 82 258 15 300 IC𝜇 99 R7977 R8423 Apesar de o desvio padrão populacional ser desconhecido temos n 30 então podemos utilizar a distribuição normal na construção do IC ICμ 95 140 196 25 200 ICμ 95 1365352 mmHg 1434648 mmHg a O diagrama de dispersão indica relação negativa entre a idade a massa muscular ou seja quando a idade aumenta a massa muscular diminui b Observação x y x² y² xy 1 71 82 5041 6724 5822 2 64 91 4096 8281 5824 3 43 100 1849 10000 4300 4 67 68 4489 4624 4556 5 56 87 3136 7569 4872 6 73 73 5329 5329 5329 7 68 78 4624 6084 5304 8 56 80 3136 6400 4480 9 76 65 5776 4225 4940 10 65 84 4225 7056 5460 11 45 116 2025 13456 5220 12 58 76 3364 5776 4408 13 45 97 2025 9409 4365 14 53 100 2809 10000 5300 15 49 105 2401 11025 5145 16 78 77 6084 5929 6006 17 73 73 5329 5329 5329 18 68 78 4624 6084 5304 Total 1108 1530 70362 133300 91964 r 18 91964 1108 1530 18 70362 1108² 18 133300 1530² 08367 O coeficiente de correlação linear foi de 08367 indicando forte correlação linear negativa entre a idade e a massa muscular 40 60 80 100 120 40 50 60 70 80 Massa muscular Idade anos Diagrama de dispersão c Como se trata de uma regressão linear simples temos que R² r² R² 08367² 07001 Isso significa que 7001 da variabilidade da massa muscular pode ser explicada pela variabilidade da idade d Seja y a bx b 18 91964 1108 1530 18 70362 1108² 10267 a 1530 18 10267 1108 18 1481991 Massa muscular 1481991 10267 Idade e Para uma mulher de 50 anos Massa muscular 1481991 10267 50 968641 Para 90 de massa muscular Massa muscular 1481991 10267 Idade 90 Idade 5669 anos Observação x y x² y² xy 1 3 15 9 225 45 2 5 20 25 400 100 3 10 60 100 3600 600 4 20 100 400 10000 2000 5 30 150 900 22500 4500 6 50 200 2500 40000 10000 7 70 250 4900 62500 17500 8 100 400 10000 160000 40000 9 150 600 22500 360000 90000 10 200 800 40000 640000 160000 Total 638 2595 81334 1299225 324745 a Seja y a bx b 10 324745 638 2595 10 81334 638² 03918 a 2595 10 03918 638 10 09532 Gasto 09532 03918 Renda Gasto para renda de 170 reais Gasto 09532 03918 170 6756 O gasto prevista com alimentação é de R6756 b Gasto para renda de 1000 reais Gasto 09532 03918 1000 39275 O gasto prevista com alimentação é de R39275 Este valor não parece ser razoável pois extrapola em muito o intervalo de valores utilizados para a construção do modelo Não há garantias de que os dados se comportem da mesma maneira fora do intervalo utilizado no ajuste c Os dados se referem a renda e gasto com alimentação O modelo linear ajustado pode não ser aplicável para grandes rendas pois a relação entre renda e gastos com alimentação pode mudar para rendas muito mais altas Como dito não há garantias de que o comportamento se mantenha para rendas fora do intervalo utilizado no ajuste do modelo Em rendas mais altas pode ser que os gastos com alimentação não subam de maneira linear as pessoas podem preferir gastar com outras coisas como lazer e entretenimento por exemplo Hipóteses H0 μ 40 vs H1 μ 40 Estatística de teste Apesar o desvio padrão populacional ser desconhecido podemos utilizar a estatística z pois n 30 zcalc 423 40 5236 265 Região crítica α 5 zcrit 1645 Conclusão Como zcalc zcrit rejeitase H0 ao nível de significância de 5 Há evidências de que a média seja significativamente superior a 40 Hipóteses H0 μ 50 vs H1 μ 50 Estatística de teste tcalc 534 50 7520 2027 Região crítica α 5 gl 19 tcrit 2093 Conclusão Como tcalc tcrit não se rejeita H0 ao nível de significância de 5 Não há evidências de que a média seja significativamente diferente de 50 Hipóteses H0 μ 30 vs H1 μ 30 Estatística de teste tcalc 315 30 4218 1515 Região crítica α 5 gl 17 tcrit 1740 Conclusão Como tcalc tcrit não se rejeita H0 ao nível de significância de 5 Não há evidências de que a média seja significativamente superior a 30