EDO-Resolucao-de-exercicios-sobre-equacoes-diferenciais-ordinarias

1ª Questão Sejam y₁x e y₂x soluções para a₂xy a₁xy a₀xy 0 com aᵢx contínua em um intervalo I para todo i e a₂x 0 para todo x I a Se Wy₁y₂ é o wronskiano de y₁ e y₂ mostre que a₂ dWdx a₁W 0 b Deduza a Fórmula de Abel Wy₁y₂ cex₀ˣ a₁ta₂t dt c Usando a Fórmula alternativa de Abel Wy₁y₂ cex₀ˣ a₁ta₂t dt mostre que Wy₁y₂ Wx₀ex₀ˣ a₁ta₂t dt d Mostre que W 0 pata todo x I se e somente se Wx₀ 0 para algum x₀ I 1 a Por definição temos que Wy₁y₂ y₁ y₂ y₁ y₂ y₁ y₂ y₂ y₁ logo usando a regra da derivada do produto dWdx y₁ y₂ y₁ y₂ y₂ y₁ y₂ y₁ y₁ y₂ y₂ y₁ Daí a₂ dWdx a₁ W a₂ y₁ y₂ y₂ y₁ a₁ y₁ y₂ y₂ y₁ a₂ y₁ y₂ a₂ y₂ y₁ a₁ y₁ y₂ a₁ y₂ y₁ y₁ a₂ y₂ a₁ y₂ y₂ a₂ y₁ a₁ y₁ como y₁ e y₂ são soluções da EDO temos a₂ y₂ a₁ y₂ a₀ y₂ 0 a₂ y₂ a₁ y₂ a₀ y₂ a₂ y₁ a₁ y₁ a₀ y₁ 0 a₂ y₁ a₁ y₁ a₀ y₁ Logo a₂ dWdx a₁ W y₁ a₀ y₂ y₂ a₀ y₁ a₀ y₁ y₂ a₀ y₁ y₂ 0 b logo o Wronskiano satisfaz a Edo a₂ y a₁ y 0 EDO linear homogênea Como a₂x 0 para todo x temos y a₁a₂ y 0 logo fator integrante eʹµx e a₁a₂ dx Daí e a₁a₂ dx y a₁a₂ e a₁a₂ dx y 0 y e a₁a₂ dx 0 y e a₁a₂ dx C logo y C e a₁a₂ dx como y Wy₁y₂ temos a fórmula de Abel Wy₁y₂ C e a₁a₂ dx c Se Wy₁y₂ C ex₀ˣ a₁a₂ dt tomando x x₀ teremos