Autointerseção, Derivadas e Área da Curva Paramétrica - Solução Detalhada

Uma curva C é definida pelas equações paramétricas x t3 5t2 3t 11 y t2 2t 3 onde t R a Encontre o ponto de autointerseção da curva b Encontre dydx e d2ydx2 e determine onde a curva sobe e desce e onde sua concavidade se encontra para cima e para baixo Esboce a curva c Encontre a área da região delimitada pelo laço da curva Solução Consideremos a curva x t3 5t2 3t 11 y t2 2t 3 t R a Os pontos de autointerseção da curva é aquele dado pelos parâmetros t1 e t2 com t1 t2 tais que xt1 xt2 e yt1 yt2 Então veja que para os y t temos que Yt1 Yt2 t12 2t1 3 t22 2t2 3 t12 2t1 t22 2t2 t12 t22 2t1 2t2 t1 t2t1 t2 2t1 t2 t1 t2 2 t1 2 t2 Agora para os x teremos que xt1 xt2 t13 5t12 3t1 11 t23 5t23 3t2 11 t13 5t12 3t1 t23 5t22 3t2 t13 t23 3t1 t2 5t12 t22 t1 t2t12 t1t2 t22 3t1 t2 5t1 t2t1 t2 t12 t1t2 t22 3 5t1 t2 Com isso obtemos t1 2 t2 i t12 t1t2 t22 3 5t1 t2 ii Então usando i em ii obteremos que 2 t22 t22 t2 t22 3 52 4 4t2 t22 2t2 t22 t22 3 10 4 2t2 t22 7 t22 2t2 3 0 Logo obtemos que t2 é t2 2 sqrt22 413 2 2 sqrt162 2 42 3 22 1 E com isso segue que t2 3 e t2 1 t1 1 e t1 1 Portanto como por hipótese supomos que t1 t2 então segue que a solução que contempla isso é t1 1 e t2 3 b Vamos determinar dydx e d²ydx² Com efeito dydx dydx dtdt dydt dtdx 2t2 dtdx Vamos determinar dtdx de forma implícita veja x t³ 5t² 3t 11 ddx x ddx t³ 5t² 3t 11 1 3t² dtdx 10t dtdx 3 dtdx 3t² 10t 3 dtdx 1 dtdx 13t² 10t 3 t tx E logo ficamos com dydx 2t 23t² 10t 3 E temos também que d²ydx² ddx dydx ddx dydx ddx dt dydx o dtdx Por conseguinte temos d²ydx² ddt 2t 23t² 10t 3 13t² 10t 3 13t² 10t 3 23t² 10t 3 2t 26t 103t² 10t 3² 6t² 20t 6 12t² 20t 12t 20 3t² 10t 3³ 6t² 12t 14 3t² 10t 3³ Portanto d²ydx² 12t 6t² 14 3t² 10t 3³ E o resultado procurado é dydx 2t 2 3t² 10t 3 e d²ydx² 12t 6t² 14 3t² 10t 3³ Vamos primeiro achar os pontos críticos Isto é os pontos tais que dydx0 Ou seja 2t23t²10t3 0 2t20 t1 E então para t1 achamos que X1 1 5 3 11 10 Y1 1 2 3 2 Portanto o par 10 2 é um ponto crítico Em relação à derivada segunda temos d²ydx² 12 6 143 10 3³ 12 204³ 864 18 0 Portanto segue do teste da derivada segunda que o ponto associado ao parâmetro t1 isto é o ponto 10 2 é um ponto de mínimo da curva Agora vamos determinar onde a curva cresce sobe e desce Esses resultados segue do sinal da derivada primeira De fato se dydx 0 então a curva cresce do dydx 0 2t 23t2 10t 3 0 Veja que 3t2 10t 3 0 t 10 100 36 23 10 8 23 93 13 ou seja 3t3t13 3t2 t3 3t 1 3t2 10t 3 Logo devemos analisar 2t13t3t13 0 t1t3t13 0 Analisando o sinal temos a tabela 1 t1 t1 0 t1 0 t1 0 t1 0 t3 0 t3 0 t3 20 t3 0 t13 0 t13 0 t13 0 0 Negative Positive Negative Positive Podemos sintetizar as notações em intervalos 1 Definamos A t1 t3t13 23 dydx Logo A 0 se t 3 13 t 1 A 0 se 1 t 3 t 13 Ou seja se o parâemtro t é tal que 13 t 1 e 3 t então a curva é crescente Por outro lado se 1 t 3 e t 13 então a curva C é decrescente Agora vamos usar esses resultados para x Com efeito veja que dxdt 3t2 10t 3 3t3t13 Logo temos que 1 t3 0 t3 0 t3 0 0 t13 0 t13 0 t13 0 13 Negativo Positivo Positivo Logo xt é crescente se t 13 e decrescente se 13 t 3 e crescente se t 3 Agora então veja que 13 t 1 3 e 3 t Então x13 31027 e x3 2 e x1 10 Ou seja se 13 t 1 3 10 x 31027 Se t 3 a xt cresce logo se xt 3 5 Então a x conduz a informação Com isso temos que 10 x Então a yx cresce Por outro lado se olharmos para 1 t 3 e t 13 teremos que xt é crescente at X1 1 5 3 1 10 X13 31027 Logo conseguimos obter que em x 10 a yx é decrescente Agora vamos estudar a concavidade olhando para d²ydx² 12t 6t² 14 3t² 10t 3³ E temos 12t 6t² 14 0 t 6 36 41214 26 Com t 12 144 4614 26 Onde a raiz é negativa e logo 12t 6t² 14 não tem decomposição Ademais veja que yv 144 4614 46 8 0 Logo 12 6t² 14 é estritamente negativa para todo t ℝ Assim temos que d²ydx² 12 6t² 14 3t² 10t 3² 3t 10t 31 12 6t² 14 3t² 10t 3² 1 3t 13t 3 Portanto como 3t²10t3² 0 basta analisarmos o sinal de 12 6t² 14 t 13t 3 Com efeito t 13 0 t 13 0 t 13 0 t 3 0 t 3 0 t 3 0 0 13 3 t Negativa concavidade para baixo Concavidade positiva para cima Concavidade para baixa Logo temos que Se t 13 ou se t 3 então a concavidade a y é para baixo Se t 13 e t 3 então a concavidade é para cima Para x teremos que 2 x 10 a concavidade é para cima Por outro lado se x 2 10 então a concavidade é para baixo Esboço Agora vamos calcular a área da região Essa é A 2 to 31027 yx dx 31027 to 2 ȳx dx com Yt t² 2t 3 Xt t³ 5t² 3t 1 dx 3t² 10t 3 dt Portanto temos A 1 to 13 t² 2t 3 3t² 10t 3 dt 13 to 3 t² 2t 3 3t² 10t 3 dt A 1 to 13 3t⁴ 10t³ 3t² 6t³ 20t² 6t 9t² 30t 9 dt 13 to 3 3t⁴ 10t³ 3t² 6t³ 20t² 6t 9 t² 30 t 9 dt 3t⁵5 10t⁴7 t³ 6t⁴9 20t³3 6t²2 9t³3 30t²2 9t from 1 to 3 25615 E então temos A 25615