Slide - Teoria da Estimação 2021-2

1 Prof. Nádia Giaretta Biase Teoria da Estimação Estatística Agronomia 2 Estimação: 1) É o processo que consiste no uso de dados amostrais para estimar valores de parâmetros populacionais desconhecidos, tais como média, desvio padrão, proporções, etc. 2) Estudo de métodos para obter medidas representativas da população calculadas a partir de uma amostra. 3 População: Média -  Variância - 2 Proporção - p Amostra: Média - - estimador de  Variância - S2 - estimador de 2 Proporção - - estimador de p X Estimadores ˆp 4 Estimação por ponto vs Estimação por intervalo Tipos de Estimação Estimação por ponto: neste caso obtém-se um único valor amostral que serve como uma aproximação do parâmetro estimado. Ex: o resultado da média amostral é uma estimativa por ponto da média populacional μ x 5 Desvantagem da estimação por ponto  A estimação pontual não fornece nenhuma informação de quão próximo é o valor da estimativa em relação ao valor do parâmetro.  As estimativas por ponto não nos dão uma ideia sobre a confiança e as margens de erro que deveriam ser aplicadas ao resultado. A estimação por intervalo procura suprir estas desvantagens! 6 Estimação por intervalo: fazemos uma estimativa de um intervalo de possíveis valores, no qual se admite que o parâmetro populacional esta contido, com uma determinada confiança. Ex: = 50 (40 < μ < 60) = 0,95 ou seja a verdadeira média populacional está dentro do intervalo de 40 a 60 com uma certeza de 95%. x Estimar 7  x  e   x e   x INTERVALO DE CONFIANÇA e: margem de erro Limite Inferior Limite Superior 8 Na estimação por intervalo: Toda afirmação deve vir acompanhada de um grau de confiança, ou grau de certeza, ou seja quanto se está certo ao comunicar aquela informação. O nível ou grau de confiança é denotado por (1-), onde  (alfa) é o nível de significância. Observação: 9 Intervalo de confiança para , considerando grandes amostras ( 30) n  2 e Z n    ( )1 : IC x e     a) Variância Populacional 2 conhecida: b) Variância Populacional 2 desconhecida: 2 s e Z n   ( )1 : IC x e     10 2,575 99% 1,96 95% 1,645 90% Z/2 GRAU DE CONFIANÇA Valores típicos de z 11 As alturas de uma amostra aleatória de 50 estudantes universitários mostraram média de 174,5 centímetros e um desvio padrão de 6,9 centímetros. a) Construa um intervalo de confiança de 95% para a altura média de todos os estudantes. b) Utilizando as informações dadas construa um intervalo de confiança de 90% para a média populacional. Compare com os resultados obtidos em (a) e tire as conclusões. Exemplo 1 12 Tamanho de amostras 2 2 2 2 . o Z s n e   13 Exemplo 2: Pretende-se estimar a produção de leite de cabra (Kg/dia) produzidos por animais de certa propriedade rural familiar. Uma amostragem piloto feita com 10 animais mostrou desvio padrão de 1,2 Kg/dia. a) Qual deve ser o tamanho da amostra para estimar a média com 95% de confiança e um erro máximo de 0,3 kg/dia na estimativa da média? b) Qual deve ser o tamanho da amostra para estimar a média com 95% de confiança e um erro máximo de 0,5 kg/dia na estimativa da média? c) Qual deve ser o tamanho da amostra para estimar a média com 90% de confiança e um erro máximo de 0,5 kg/dia na estimativa da média? 14 Distribuição t-Student a) É simétrica em relação a média (semelhante a distribuição de z) b) Tem forma campanular. Valores de t dependem da flutuação das estatísticas média e desvio padrão amostrais e z depende somente das mudanças da média das amostras. c) Quando n tende para infinito, a distribuição t tende para a distribuição normal. Na prática, a aproximação é considerada boa quando n >30. d) Possui n-1 graus de liberdade(n  n-1). 15 Distribuição t de student - + 0 t g 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 50 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 120 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617  1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 ( 10 2,764) ? P T   ( 10 2,764) 0,01 P T   P(Tg>t ) Exemplos: Dados os valores de t encontre as probabilidades: a) P(t>1,093) com 10 graus de liberdade b) P(t<-2,086) com n  20 c) P(1,341<t<2,131) n=16 d) P(t>-1,325) n=21 e) P(-1,071<t<1,071) n =16 f) P(-1,476<t<2,571) n =5 17 Intervalo de confiança para , considerando pequenas amostras ( 30) n  2 e Z n    ( )1 : IC x e     a) Variância Populacional 2 conhecida: b) Variância Populacional 2 desconhecida: ( )1 : IC x e     ( 1, 2) n s e t n    • Dimensionamento da amostra: 2 2 2 2 . o t s n e   18 Em um experimento de teste psicológico, 25 indivíduos são selecionados aleatoriamente e seus tempos de reação, em segundos, para certo teste são medidos. Experiências passadas sugerem que a variância no tempo de reação para esses tipos de estímulo é de 4 segundos2 e que o tempo de reação é aproximadamente normal. O tempo médio para os indivíduos da amostra foi de 6,2 segundos. Obtenha um intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de reação dos estímulos de todos os indivíduos. Exemplo 3 19 Foram realizados testes glicêmicos em 25 pacientes após um jejum de 8 horas. Os resultados são apresentados na tabela abaixo. Teste glicêmico (mg/dL) 80 118 100 90 83 117 95 84 102 80 112 78 102 121 82 77 88 73 104 88 132 91 103 140 101 a) Encontrar um intervalo de confiança de 95% para a média de teor de glicose em todos os pacientes. b) Qual o tamanho de amostra seria necessário para se estimar a média populacional de teor de glicose com um erro de 4 (mg/dL) mantendo o mesmo risco? Exemplo 4 20 Intervalo de Confiança para diferença de médias 1 2 1 2 1 2 (( ) ( ) ) (1 ) P x x e x x e             ( 30) n  Erro da estimativa: 1 2 1 1 2 ( ) : ( ) IC x x e        2 2 1 2 2 1 2 . e z n n      2 2 1 2 2 1 2 . s s e z n n    Variâncias Populacionais conhecidas Variâncias Populacionais desconhecidas 10 Caso: Amostras grandes 21 Regras de decisão envolvendo IC para a diferença entre duas médias ou duas proporções a) Se o intervalo possui um extremo positivo e outro negativo, ou seja, se o 0 pertence ao IC, temos: b) Para o IC( ) ou IC( ), se os extremos são positivos, temos: c) Para o IC( ) ou IC( ), se os extremos são negativos, temos: 1 2 p p  1 2 1 2 ou p p     1 2    1 2 1 2 1 2 1 2 >0 ou 0 p p p p            1 2    1 2 p p  1 2 1 2 1 2 1 2 <0 ou 0 p p p p            22 Estão sendo estudados dois processos (A e B) de conservação de alimentos, cuja principal variável de interesse e o tempo de conservação dos mesmos. Sorteiam- se duas amostras independentes. Para uma amostra nA=nB=36, que apresentaram tempo médio de conservação de 12 e 15 dias e variância de 4 e 7 dias2 para A e B, respectivamente. Construa um IC de 98% para a diferença entre médias. Exemplo 5 23 20 Caso: Amostras pequenas (n≤30), independentes e variâncias populacionais estatisticamente iguais Erro da estimativa 1 2 1 1 2 ( ) : ( ) IC x x e        1 2 2 1 2 1 1 . . 2 p e t s v n n n n       2 1). ( 1). ( 2 1 2 2 2 2 1 1       n n s n s n s p Intervalo de Confiança para diferença de médias 24 Em uma pesquisa sobre dois métodos de ensino, selecionou-se uma amostra aleatória de 15 alunos que receberam o método A e uma amostra aleatória de 10 alunos que receberam o método B. A média e o desvio padrão dos alunos que receberam o método A foi de 5,7 e 0,7, respectivamente, enquanto a média e o desvio padrão dos alunos que receberam o método B foi de, respectivamente, 6,6 e 1,2. Encontre o intervalo de confiança para a diferença entre as médias dos dois métodos de ensino com uma confiança de 90%. (Considere as populações apresentando variâncias iguais) Exemplo 6 25 Intervalo de Confiança para diferença de médias ) 1( ) (         D e D e P Amostras dependentes Erro da estimativa e D IC D  )  : ( 1   depois antes d n d D i i     2 2 2 ( ) . 1 i i D D d d s n e t s n n        26 Um grupo de 10 pessoas é submetido a um tipo de dieta por 10 dias, estando os pesos antes e depois marcados na tabela abaixo. Construa um intervalo de confiança ao nível de 5% de significância. Interprete os resultados. Indivíduo Antes Depois 1 120 116 2 104 102 3 93 90 4 87 83 5 85 86 6 98 97 7 102 98 8 106 108 9 88 82 10 90 85 Exemplo 8 27 Intervalo de Confiança para uma proporção e p p IC   : ˆ ) ( 1  n p q z e ˆ ˆ  2  2 2 2 ˆ ˆ e p q z n   (i)Erro da estimativa (i)dimensionamento da amostra ) (1 ) ˆ ( ˆ        e p p e P p 28 Uma pesquisa foi conduzida para estudar as práticas de saúde dental e atitudes de uma certa população adulta urbana. De 300 adultos entrevistados, 123 disseram que faziam um check-up dental duas vezes por ano. a) Com os dados amostrais, construa um intervalo de confiança de 90% de confiança para a proporção de sujeitos na população amostrada que regularmente fazem check-up duas vezes ao ano. b) Utilizando os dados amostrais como estudo piloto, determine o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de sujeitos nesta população que regularmente fazem check-up duas vezes ao ano. Admita um nível de confiança de 95%, em que o erro da estimativa não seja superior a 0,03. Exemplo 9 29 Intervalo de Confiança para diferença de proporções (i)Erro da estimativa ) (1 ) ˆ ) ( ˆ ˆ ) (( ˆ 2 1 2 1 2 1           e p p p p e p p P 1 2 1 1 2 ˆ ˆ ( ) : ( ) IC p p p p e     2 2 2 1 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ n q p n p q z e    30 Em uma pesquisa em relação a ser ou não fumante: 24 de 100 homens afirmaram ser fumantes e 19 de 100 mulheres disseram que são fumantes. Encontre um IC de 98% para a diferença entre proporções de fumantes. Exemplo 10