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Física 3

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Equação de onda em um corda deduzida da Segunda lei de Newton Em uma onda transversal Fx0 e sen Fsen F F F 2 1 y2 y1 y Para ângulos pequenos x y tg sen 2 1 y2 y1 y x y x y F F F F Segunda lei de Newton 2 1 2 2 x y x y F t y dm mas dx dm onde é a densidade linear assim temos dx x y x y F t y 2 1 2 2 para 0 dx 2 2 2 2 x y F t y equação de onda onde a velocidade de propagação é F v X Y F2 F1 dX Ondas Pulso Uma perturbação em um meio Dispersão A medida que o pulso percorre o meio ele muda de forma e pouco a pouco se espalha Onda Uma seqüência de pulsos As ondas transmitem energia e o momento linear sem o transporte de massa Classificação 1 Quanto a natureza 1a Ondas Mecânicas necessitam de um meio elástico para existirem e propagar 1b Ondas Eletromagnéticas Propagam no vácuo para existirem não necessitam de um meio elástico São formadas por campos elétricos e magnéticos perpendiculares entre si também perpendiculares a direção de propagação da onda 1c Ondas densidade de probabilidade Estas ondas são governadas pelas leis da física quânticas Sobre certas condições experimentais um feixe de partículas por exemplo feixes de elétrons apresentam propriedades ondulatórias 2 Quanto a direção de propagação 2a Ondas longitudinais A perturbação no meio é longitudinal em relação a direção de propagação Exemplo Onda sonora 2b Ondas transversais A perturbação no meio é transversal em relação a direção de propagação Exemplo Onda eletromagnética 3 Quanto a dimensão 3a Ondas unidimensionais 3b Ondas bidimensionais 3c Ondas tridimensionais Frente de onda Superfície formada por todos os pontos que em um dado instante sofrem a mesma perturbação ou estão na mesma fase de movimento para o caso de ondas mecânicas Ondas Progressivas Podemos representar as ondas unidimensionais através da função de onda y fxt Quando yfxvt denominase onda progressiva yfxvt onda progressiva propagando no sentido do eixo x yfxvt onda progressiva propagando no sentido contrario do eixo x v dt dx v dt dx K vt x 0 Exemplo vt f x y vt x X 1 0 0 1 0 1 X X X f X X f Ondas Harmônicas 2 0 sen vt x y y 1 1 x y t0 1 1 x y t05s 1 1 x y t10s V10ms t0 2 0 sen x y y Comprimento de onda Comprimento de onda menor distância em que a função se repete𝑦0𝑠𝑒𝑛 2𝜋 𝜆 𝑥 𝑦0𝑠𝑒𝑛 2𝜋 𝜆 𝑥 𝑥0 𝑥0 0 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 𝜆 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝜋 𝜆 𝑥 2𝜋 𝜆 𝑥0 𝑥0 𝜆 𝑥0 2𝜆 𝑥0 3𝜆 x0 sen 2 2 sen 0 0 T t y vt y y y0 y x y0 T y t T Período T f 1 Freqüência Período menor tempo em que a função se repete 𝑦0𝑠𝑒𝑛 2𝜋 𝜆 𝑣𝑡 𝑦0𝑠𝑒𝑛 2𝜋 𝜆 𝑣𝑡 𝑣𝑡0 𝑡0 0 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 𝜆 𝑣𝑡 𝑠𝑒𝑛2𝜋 𝜆 𝑣𝑡 2𝜋 𝜆 𝑣𝑡0 2𝜋 𝜆 𝑣𝑡0 2𝜋 𝑡0 𝜆 𝑣 𝑡0 2 𝜆 𝑣 𝑥0 3 𝜆 𝑣 T w 2 Freqüência Angular k 2 Número de onda OndasI Princípio da superposição Duas ou mais ondas podem cruzarse na mesma região do espaço independentemente uma da outra A onda resultante em um cada ponto desta região é a soma das ondas individuais somente valido para os casos lineares J Fourier provou que qualquer onda periódica pode ser representada como combinação de ondas harmônicas 3 2 3 2 1 0 A sen wt wt A sen Asen wt A y t Interferência A superposição de duas ou mais ondas é conhecida como interferência 0 1 wt y Sen kx y x t sen 0 2 wt kx y x t y 0 2 1 wt Sen kx wt Sen kx y x t y y x t x t yr 2 1 2 1 2 B A Cos B A Sen Sen B Sen A 2 2 2 0 wt Sen kx y Cos x t yr Interferência perfeitamente construtiva 1 2 Cos 2m Interferência perfeitamente destrutiva Cos20 Energia transmitida por uma onda harmônica A cada ponto de uma onda podemos associar um oscilador harmônico e a Energia cinética para cada elemento de massadm é 𝑑𝑢𝑐 1 2 𝑑𝑚𝑣𝑦 2 1 2 𝜇𝑑𝑥𝑤𝑦02𝑐𝑜𝑠2𝑘𝑥 𝑤𝑡 A potência transmitida é 𝑃 𝑑𝑢𝑐 𝑑𝑡 1 2 𝜇 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑤𝑦02𝑐𝑜𝑠2𝑘𝑥 𝑤𝑡 Sabendose que a energia total é dobro da energia cinética a potência média è 𝑃𝑚𝑒𝑑 1 2 𝜇𝑣𝑤2𝑦0 2 O valor médio da energia cinética é igual ao valor médio da energia potencial Logo a potência transmitida será 2 0 2 2 1 vw y P Reflexão e refração de ondas mecânicas Princípio de Huygens Todos os pontos de uma frente de onda devem ser considerados como fontes puntiformes para produção de ondas esféricas secundárias depois de um certo tempo t a nova posição da frente de onda é a superfície que tangência estas ondas secundárias Leis da Reflexão Leis da Refração Lei de Snell 2 2 1 1 sen sen n n Quando uma onda muda o meio que se propaga sua frequência não se altera 2 1 f f 2 2 1 1 v v nn c n c 2 1 1 Plano de incidência plano determinado pela normal a superfície e o feixe incidente 2 Lei da reflexão 1 O feixe refletido está contido no plano de incidência θi θr θ1 θr θ1 C B A N Lei da refração 1 O feixe refratado está contido no plano de incidência 2 2 2 i 1 n sen n sen Lei de SnellDescartes Dos triângulos ACB e ANB 𝐴𝐵 𝑣1𝑡 𝑠𝑒𝑛𝜃1 𝑣2𝑡 𝑠𝑒𝑛𝜃2 𝑣1 𝑐𝑠𝑒𝑛𝜃1 𝑣2 𝑐𝑠𝑒𝑛𝜃2 definindo os índice de refração 𝑛1 𝑐 𝑣1 𝑛2 𝑐 𝑣2 Obtemos A lei de SnellDescartes 𝑛 1𝑠𝑒𝑛𝜃1 𝑛 2𝑠𝑒𝑛𝜃2 Ondas Estacionárias Em uma corda Superposição de duas ondas propagando em sentido opostos em uma corda fixa nas extremidades Sendo L o comprimento da corda veja a figura abaixo 0 1 wt y Sen kx y x t Onda que propaga no sentido do eixo X 0 2 wt y Sen kx x t y Onda que propaga no sentido oposto do eixo X 2 1 2 1 2 B A Cos B A Sen Sen B Sen A Usando o princípio de superposição somando as ondas 2 0 0 0 2 1 Sen Kx Cos wt y wt y Sen kx wt Sen kx y y y x t yr Condições de contorno y x L 0 0 x yr e L x yr 0 Para x0 a condição é satisfeita pois Sen00 para SenkL0 k 2 e kL n n 2L n 2L T L n L nv f 2 2 Quando a energia da fonte externa é entregue ao sistema corda nas frequências naturais mostradas acima ocorre a ressonância Assim a energia é armazenada em cada ventre de uma onda estacionária Sendo n o número de ventre Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BY Batimentos Superposição de duas ondas de frequências e comprimento de ondas quase iguais k k w w 1 1 0 1 w t y Cos k x y x t 2 2 0 2 w t y Cos k x x t y 2 1 2 1 2 B A Cos B A Cos Cos B Cos A 2 1 2 1 2 0 2 2 0 1 1 0 2 1 wt kx wt Cos Cos kx y w t y Cos k x w t Cos k x y y y x t yr Velocidade de grupo wk Velocidade de fase wk de fase wk Para a disciplina Oscilações ondas e termodinâmica as ondas eletromagnéticas é optativa Equações de Maxwell Fórmula Integral Fórmula diferencial Vácuo Lei de Gauss q 0 Eds 0 E Lei de Gauss p Mag 0 Bds 0 B Lei de Faraday dt d Edl B 0 t B E 0 0 Lei de Ampère i dt d B dl E 0 0 0 t E B 0 0 Dedução da equação de onda no vácuo Campo Magnético Aplicado o rotacional na lei de Ampère t E B 0 0 Usando que B B B 2 e que 0 B Obtêmse t E B 0 0 2 eq 1 se o campo elétrico é uma função bem comportada t E t E 0 0 0 0 Utilizando a lei de Faraday t B E 0 0 e substituindo o na eq 1 temse t t B B 0 0 0 0 2 assim obtemos a equação de onda para o campo magnético 2 2 0 0 2 t B B Eq de onda para o campo magnético Campo Elétrico Aplicado o rotacional na lei de Faraday t B E 0 0 Usando que E E E 2 e que 0 E Obtêmse t B E 0 0 2 eq 2 se o campo magnético é uma função bem comportada t B t B 0 0 0 0 Utilizando a lei de Ampère t E B 0 0 e substituindo o na eq 1 temse t t E E 0 0 0 0 2 assim obtemos a equação de onda para o campo elétrico 2 2 0 0 2 t E E Eq de onda para o campo elétrico Para o caso unidimensional a equação tornase semelhante a eq de onda para uma corda para o campo elétrico temos 2 2 0 0 2 2 t E x E temse como solução t E senkx tx E 0 eq3 uma onda progressiva t coskx E t tx E 0 tx E t senkx E t tx E 2 2 0 2 2 eq4 t E kcoskx x tx E 0 tx k E t E k senkx x tx E 2 2 0 2 2 eq5 Das eq4 eq5 e da onda para o campo elétrico obtémse tx E tx k E 2 0 0 2 0 0 1 k c eq6 c é a velocidade de propagação da onda velocidade da luz no vácuo para m F 8 85 10 Nm C 10 36 1 12 2 2 9 0 2 7 0 A N 10 4 3 10 m s 10 m s 2 99792 1 c 8 8 0 0 Podese trabalhar de modo análogo com a eq de onda para o campo magnético Obtendose assim também uma onda progressiva para o campo magnético t B senkx tx B 0 O sinal positivo indica propagação oposta o sentido do eixo x sinal negativo mesmo sentido Campo Elétrico Induzido Lei de Faraday Onda se propagando na direção x Campo elétrico na direção y Campo magnético na direção z dE E E x dx h y z dt d Edl B hdE Eh dEh E Edl dt hdxdB dt Bhdx d dt d B t B x E dt hdxdB hdE c k B E t B Coskx t B t kE Coskx x E 0 0 0 0 eq7 Transporte de energia e o vetor de Poynting Definição B 1 E S 0 Obviamente o vetor de Poynting tem o mesmo sentido da propagação da onda eletromagnética para esta onda temos 1 E B S 0 mas c k B E 0 0 logo 2 rms 0 2 2 0 0 2 0 E c 1 S t kx E sen c 1 E c 1 S valor médio do módulo do vetor de Poynting onde rms 0 2E E A intensidade é definida como dt du A I 1 A energia contida em um elemento de volume Adx é dada por Adx du du du b e b e onde 2 0 e E 2 1 e 2 0 b B 2 1 são as densidades de energia do campo elétrico e magnético respectivamente e Aé a área iluminada Então usando eq6 e eq7 temse Adx c E du 0 2 2 e a intensidade é expressa por 2 0 0 2 2 E c 1 c dx A Adx c E I eq8 o mesmo valor do módulo do vetor de Poynting Pressão de Radiação Seja um plano condutor Força elétrico sobre um elétron de condução eE Fe O elétron movese com velocidade constante v O elétron comportase como se estivesse imerso em um fluido viscoso a força elétrica atuante sobre ele sendo contrabalançada por uma força proporcional à velocidade do elétron b eE v bv eE onde bé o coeficiente de amortecimento Força magnética sobre um elétron de condução Onda e x z y E B bc e E evB F B ev F 2 2 B B então b E e dt dp c 2 2 B eq9 Potência é a taxa de variação do trabalho da força elétrica b e E F v dt du P 2 2 e e eq10 Da eq9 e eq10 temos c u p dt dt dp dt dt du c dt dp dt du c e B t B t e B e 0 0 1 1 eq11 Onde B p é o momento linear cedido a um único elétron e e u é a energia absorvida por este elétron no mesmo intervalo de tempo Assim a pressão de radiação na absorção total é dada por c I dt du A 1 c 1 dt dp A 1 A F P e B r eq12 Na reflexão total a pressão de radiação é dada por c 2I Pr eq13 Observe que as eq11 são compatíveis com a teoria fotônica teoria de Einsten sobre o fóton Os fóton são pacotes onde estão concentradas as energias de um feixe de luz A energia de cada fóton é uf hf onde h é a constante de Planck e f a freqüência da radiação O momento de cada fóton é dado por pf h onde é o comprimento de onda da radiação A radiação solar que atinge a Terra tem intensidade de 1400wm2 Supondo que o nosso planeta se comporte como um disco plano perpendicular aos raios solares e que toda energia incidente seja absorvida calcular a força sobre o mesmo devido a pressão de radiação Comparála com a força de atração gravitacional do sol Qual é a pressão de radiação a 10 m de distância de uma lâmpada de 500 W O número de fóton emitidos por segundo por está lâmpada O número de fóton incidente por segundo sobre uma área de 1cm2