Oscilações e Movimento Harmônico- Conceitos e Fórmulas Essenciais

Prof Omar O Diniz Neto Oscilações Qualquer movimento que se repete em intervalos de tempos iguais constitui um movimento periódico Todo movimento que pode ser expresso em função de seno e coseno Séries de Fourier Movimento Harmônico Movimento Harmônico amortecido T período é tempo necessário para que a partícula móvel percorra uma vez a trajetória fechada isto é para completar um ciclo um uma oscilação 00 Posição tempo cos 0 t x x t x0 amplitude do movimento ω freqüência angular Φ fase angular f freqüência número de oscilações por uma unidade de tempo T f 1 Hz Hertz 1s sen 0 t x dt dx v Prof Omar O Diniz Neto cos 2 0 t x dt dv a 2º Lei de Newton ma F cos 2 0 t mx FR Relação entre período T e a freqüência angular ω cos 0 t x x t cos 0 t x t x x x cos cos 0 0 t x t x cos cos T t t 2 2 2 f T T Lei de Forca MassaMola k m x m ma F 2 2 k constante efetiva da mola Lei de Hooke Prof Omar O Diniz Neto kx F 0 0 2 2 2 2 2 2 m x k dt x d kx dt d x m kx dt d x m 0 cos t x x sen 0 t x dt dx cos 2 0 2 2 t x dt x d m k t m x k t x 0 cos cos 0 2 0 A Energia 2 2 1 kx U dx dU F Prof Omar O Diniz Neto cos 2 1 2 2 0 t kx Ep sen 2 1 sen 2 1 2 1 2 2 0 2 2 2 0 2 t kx E m k t x m mv E c c Podemos observar que a média temporal da energia potencial e cinética são iguais Quando uma é máximo a outra é mínima 2 1 2 1 cos 2 1 sen 2 1 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 cte kx E kx t kx t kx E E E t c p t Ec Ep Et Energia tempo Prof Omar O Diniz Neto Pêndulo Simples 0 sen sen sen 2 2 2 2 2 2 l x g dt x d l x mg dt d x m l x mg dt d x m mg P ma F x x A equação diferencial possui a mesma estrutura portanto possui solução semelhante 0 cos t x x sen 0 t x dt dx cos 2 0 2 2 t x dt x d Prof Omar O Diniz Neto g l T l g t l x g t x 2 2 0 cos cos 2 0 2 0 Para ângulos maiores e amplitudes pequenas demonstração optativa é feita abaixo Pêndulo simples através da Energia Prof Omar O Diniz Neto gml E dt d g l ml E l g dt d ml E mgl dt d mgl ml E mgl E d mg E t t t t p p cos 2 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 1 2 cos sen 2 2 2 2 2 2 2 0 0 Prof Omar O Diniz Neto sen 2 sen 2 1 2 sen 2 sen sen 2 sen 2 2 sen 2sen 2 1 2sen 2 cos 1 cos 2 cos cos cos 2 cos cos 2 0 0 0 2 2 2 2 0 onde a a l t g d l t g d mgl E mgl E l dt g gml E d gml E dt d g l t t t t t Prof Omar O Diniz Neto 4 1 1 2 2 sen2 2 8 1 sen 2 1 1 2 1 1 1 1 sen 1 2 2 0 2 2 2 0 2 2 a g l T temos um período Para l t g a l t g d a x n n nx x mgh a pequenoou seja E Para l t g a d n t 2 sen 4 3 2 1 2 sen 2 1 1 2 4 2 2 2 2 m m g l T Pêndulo Físico Prof Omar O Diniz Neto 2 0 md I I I0 Momento de inércia do centro de massa I e I0 são paralelos Mgd I T t solução Com I Mgd dt d dt I d Mgd 2 cos 0 sen sen 0 2 2 2 2 Prof Omar O Diniz Neto Pêndulo de Torção I T t solução Com I dt d da torção módulo dt d I 2 cos 0 0 2 2 2 2 Prof Omar O Diniz Neto Superposição de Movimentos Harmônicos 1º CASO x A A y t A y t A x x y y x cos cos 2º CASO Prof Omar O Diniz Neto 2 sen1 2 2sen1 cos 2 cos1 2 2cos1 cos A B B A B A B A B A B A Prof Omar O Diniz Neto 4 2 sen 2 cos 2 sen 2 2 sen 4 2 sen 2 sen 2 2 cos cos 2 cos 2 2 cos 4 2 cos 2 cos 2 2 cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 trajetórias elípticas ELIPSE y x y x y x A x y y x II I II t A t A t t A x y I t A t A t t A y x t A y t A x Prof Omar O Diniz Neto Prof Omar O Diniz Neto Prof Omar O Diniz Neto Prof Omar O Diniz Neto Prof Omar O Diniz Neto Sistema de dois corpos ligados a uma mola 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 massa reduzida kx dt x d dt x d m m m m kx m m dt m d x m dt m d x m m kx kx m dt m d x m dt m d x m II I II kx m dt m m d x m kx dt d x m I kx m dt m m d x m kx dt d x m l x k x F kx F kx F l x x x Prof Omar O Diniz Neto 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 sen cos cos 0 a a dt dv a v v dt dx l v x x x k T k t A a t A v t A x x k dt x d dt x d dt x d dt x d dt dx dt dx l x dt x d dt dx Vibrações de Moléculas Interação de van der Waal para moléculas diatômicas um átomo na origem e outro a uma distância r sendo Ro a distância de equilíbrio a energia potencial determinada experimentalmente é A Força de interação Prof Omar O Diniz Neto Para pequenas amplitudes x Usando teorema binomial Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BYSA Prof Omar O Diniz Neto Obtemos Aproximando por uma força harmônica K é A frequência é dada por Exemplo molécula de argônio Ar2 M663x1026Kg Movimento Harmônico Prof Omar O Diniz Neto cos 2 1 2 1 sen cos sen cos 0 0 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 t A x Ae Ae x a b tg r b r a b a r c re ib a c c re ib a c é o complexoconjugadode c onde c c e ce x deve ser real então x i e SoluçãoGeral c e c e x i m k p k mp e p dt d x pe dt dx e x Fazendo kx dt d x m kx dt d x m t i t i i i i t t i i i t t i pt pt pt Movimento Harmônico Amortecido Prof Omar O Diniz Neto kx F 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 m k m b m b p k bp mp e x Fazendo kx dt dx b dt d x m dt b dx kx dt d x m pt 1º CASO SUBCRÍTICO 2 2 m b m k 2 1 2 2 2 1 m b m k t Ae x Ae C Ae C C e C e x i p t i i t i t t i t 1 2 1 2 1 1 cos 2 1 2 1 1 1 Prof Omar O Diniz Neto 2º CASO SUPERCRÍTICO 2 2 m b m k p t pt C e C e x p p 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 3º CASO CRÍTICO 2 2 m b m k t t t C t e C x te x e x 2 1 Prof Omar O Diniz Neto Exemplo de Movimentos Harmônicos Amortecidos Prof Omar O Diniz Neto Movimento Harmônico Amortecido Forçado 2 1 2 2 2 2 0 0 2 1 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 1 2 1 0 0 0 4 4 4 2 2 2 2 2 2 Re cos t i t i tg i i t m F t i m F i t i t t i t i i t i e m F x e im F x e i arctg arctg e i x e x i x e x x e ix x x e x F e kx dt dx b dt d x m f e F F e t F t F kx dt dx b dt d x m Prof Omar O Diniz Neto 2 1 2 2 2 2 0 0 0 4 sen Re m t F x x Solução geral será igual a solução da homogênea mais a solução particular Re cos 1 x t Ae x t