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Estatística ·
Álgebra Linear
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1) Considere o espaço vetorial R^3 com o produto interno usual. Calcule <u,v> nos seguintes casos: a) u = (1/2,2,1), v = (4,1,-3) <u,v> = □ b) u = (2,1,0), v = (4,0,2) <u,v> = □ c) u = (1,1), v = (2,-1,5) <u,v> = □ 2) Sejam u e v vetores de um espaço vetorial com produto interno tais que ||u|| = 1, ||v|| = 1, ||u-v|| = 2. Calcule <u,v>. <u,v> = □ 3) Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação <> define um produto interno no espaço vetorial V. a) V = R^2, u = (x1,y1), v = (x2,y2) <u,v> = 2x1x2 - x1y2 = x2y1 = 2y1y2 □ b) V = R^3, u = (x1,y1,z1), v = (x2,y2,z2) <u,v> = x1x2 + y1y2 □ c) V = P3(R), p(t) = a0 + a1t+a2t^2+a3t^3, q(t) = b0 + b1t+b2t^2+b3t^3, <p,q> = a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3 □ 1) Verifique, em cada caso, se o conjunto {u,v,u} C R^3 é ortonormal, apenas ortogonal ou nenhum dos dois. a) u = (1,2,1), v = (1,-1,0), w = (-1,1,4) □ b) u = (a,b,c), v = (-b,a,0), w = (-ac,-bc,a^2+b^2) □ c) u = (1/2,6,3), v = (-3/2,3,2), w = 1/2 (6,-3,2) □ d) u = (1,0,-1), v = (4,1), w = (-3,2,4,-3) □ 2) Determine o valor de m de modo que os vetores u = (m+1,2) e v = (-1,4) sejam ortogonais. m = □ 3) Considere em P2(R) o produto interno dado por <f(t),g(t)> = ∫ f(t)g(t) dt Com relação a este produto interno a base canônica de P2(R) dada por {1,t,t^2} é □ 4) Determine os valores de a e b de modo que o vetor (a1,b) seja ortogonal a todos os vetores do subespaço W = {(x,y,z) E R^3,4x - y + 2z = 0} a = □ b = □ 5) Determine os valores de b e c de modo que o vetor (-1,b,c) esteja no complemento ortogonal do subespaço W = {(x,y,z) E R^3,x - 2y = 0} b = □ c = □ Determine os valores de m de modo que os vetores u = (0,m-1,4) e v = (5,m-1,-1) sejam ortogonais. Escreva os valores de m que você encontrou em ordem crescente: m1 = □ m2 = □ Questão 4 Ainda não respondida Vale 6,00 pontos Marcar questão Seja V um espaço vetorial com produto interno. Sobre os vetores u e v, sabe-se que ||u|| = 3, ||v|| = 7 e ||u+v|| = 4√5. Calcule <u,v>. b) Considere em R^3 o produto interno usual. Determine um número real positivo c tal que ||(6,-3,c)|| = 7. c = _____ c) Sabe-se que os vetores de R^2 (1,-2), (2,b) são ortogonais em relação ao produto interno (não usual) dado por: <x1,y1), (x2,y2) > = 2x1 x2 + y1 y2 Determine o valor de b = _____ d) Determine os valores de a, b, e c de modo que o vetor (a,b,c,7) seja ortogonal, simultaneamente, a cada um dos vetores u1 = (1,1,1,-1), u2 = (1,2,0,1) u3 = ( -4,1,5,2) a = _____ b = _____ c = _____ Página anterior Exemplos da aula do dia 29-07-2022 Sair al-ges007-2021/2 Questão 5 Ainda não respondida Vale 6,00 pontos Marcar questão Encontre, em cada caso, a projeção ortogonal do vetor u sobre o vetor g: a) u = (7,6) e g = (4,2) Proj g^ u = ( ______ , ______ ) b) u = (1,7) e g = (4,2) Proj g^ u = ( ______ , ______ ) c) u = (11,-1) e g = (1,3) Proj g^ u = ( ______ , ______ ) (Use decimais) 2) Dados os vetores u1 = (2,5,-1),u2 =( -2,1,1) e v = (1,2,3), determine a projeção ortogonal de v sobre o subespaco W gerado pelos vetores u1, u2 . Proj W^ v = ( ______ , ______ , ______ ) (Use decimais) 3) Detemine a projeção ortogonal do vetor u = (3,6,3) sobre o subespaco de R^4 dada por W =[( -1,-1,-1,0),( -1,1,0,1)] Proj W^ u = ( ______ , ______ ,______ ,______ ) Voce acessou como felipe roma (Sair) AL-GES007-2021/2 Questao 2 1) a) Nenhum dos dois b) Ortogonal c) Ortonormal d) Ortogonal 2) (m+1) . (-1) + 4 . 2 = 0 -> -m - 1 + 8 = 0 -> m = 7 3) Nem ortonormal nem ortogonal 4) ⟨(a,-3,b), (x,y,z)⟩= ax - y + bz = 0 e 4x - y + 2z = 0 => a = 4 b = 2 5) ⟨(-1,b,c), (x,y,z)⟩= -x + by + cz = 0 ⟹ x - by - cz = 0 x - 2y = 0 => -b = -2 e -c = 0 b = 2 c = 0 Questao 3 <u,v> = 0 -> ⟨(0,m-3,4), (5,m-1,-1)⟩ = 0 5.0 + (m-1)^2 + 4 . (-1) = 0 m^2 - 2m + 1 - 4 = 0 -> m^2 - 2m - 3 = 0 Δ = (-2)^2 - 4 . 1 . (-3) = 4 + 12 = 16 m = (-2) ± √16 2.1 = 2 ± 4 2 m_1 = 2 + 4 2 = 6 2 = 3 m_2 = 2 - 4 2 = -2 2 = -1 m_1 = 3 m_2 = -1 Questao 4 a) ||u+v||^2 = ||u||^2 + 2<u,v> + ||v||^2 (4√5)^2 = 3^2 + 2<u,v> + 7^2 80 = 9 + 2<u,v> + 49 2<u,v> = 80 - 58 = 22 <u,v> = 22 2 -> <u,v> = 11 b) ||(6,-3,c)|| = 7 √6^2 + (-3)^2 + c^2 = 7 -> √36 + 9 + c^2 = 7 45 + c^2 = 49 -> c^2 = 49 - 45 c^2 = 4 -> c = √4 -> c = 2 c) ⟨(1,-3), (2,b)⟩ = 0 2 . 1 + (-1) . b = 0 -> 4 - b = 0 -> b = 4 d) ⟨(a,b,c,7), (3,3,3,-3)⟩ = 0 -> a + b + c = 7 ⟨(a,b,c,7), (0,2,0,1)⟩ = 0 -> a + 2b = -7 ⟨(a,b,c,7), (-4,5,5,2)⟩ = 0 -> -4a + b + 5c = -14 => a = 9 b = -8 c = 6 QUESTÕES 1) a) (7,6).(4,2) (4,2) 28+12 (4,12) (4,2).(4,2) 16+4 = 40 (4,2) = [8,4] 20 b) (1,7).(-4,2) (-4,2) = -4+14 (-4,2) = 10 (-4,2) = [-2,1] (-4,2).(-4,2) 16+4 20 c) (1,-1).(1,3) (-1,3)= 1-3 (-1,3) = -2 (-1,3) = [0,4 ;-1,2] (-1,3).(1,-1,3) 1+9 5 2) (1,2,3)(2,5,-1) (1,2,3)(-2,3,1) (2,5,-1)(2,5,-1) + (-2,3,1)(-2,3,1) = 2+10-3 (2,5,-1) + -2+2+3 (-2,3,1) 4+25+1 4+1+3 = 9 (2,5,-1) + 3 (2,3,1) = (0,6 ; 5 ; -0,3) + (-1 ; 0,5 ; 0,5) 30 6 = [-0,4 ; 2 ; -0,2] 3) (3,6,6,3).(-1,3,3,0) (-3,-3,3,0).(-1,-3,3,0) + (3,6,6,3)(-3,3,0,3) (-3,3,3,0)(-1,-3,3,0) (-3,3,0,3)(-3,3,0,3) = -3+6+0 (-3,-3,3,0) + -3+6+0+3 (-3,3,0,3) 3+3+3+0 3+3+3+0 = -1 (-3,-3,3,0) + 2 (-3,3,0,3) = [-1,3,-1,2]
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1) Considere o espaço vetorial R^3 com o produto interno usual. Calcule <u,v> nos seguintes casos: a) u = (1/2,2,1), v = (4,1,-3) <u,v> = □ b) u = (2,1,0), v = (4,0,2) <u,v> = □ c) u = (1,1), v = (2,-1,5) <u,v> = □ 2) Sejam u e v vetores de um espaço vetorial com produto interno tais que ||u|| = 1, ||v|| = 1, ||u-v|| = 2. Calcule <u,v>. <u,v> = □ 3) Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação <> define um produto interno no espaço vetorial V. a) V = R^2, u = (x1,y1), v = (x2,y2) <u,v> = 2x1x2 - x1y2 = x2y1 = 2y1y2 □ b) V = R^3, u = (x1,y1,z1), v = (x2,y2,z2) <u,v> = x1x2 + y1y2 □ c) V = P3(R), p(t) = a0 + a1t+a2t^2+a3t^3, q(t) = b0 + b1t+b2t^2+b3t^3, <p,q> = a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3 □ 1) Verifique, em cada caso, se o conjunto {u,v,u} C R^3 é ortonormal, apenas ortogonal ou nenhum dos dois. a) u = (1,2,1), v = (1,-1,0), w = (-1,1,4) □ b) u = (a,b,c), v = (-b,a,0), w = (-ac,-bc,a^2+b^2) □ c) u = (1/2,6,3), v = (-3/2,3,2), w = 1/2 (6,-3,2) □ d) u = (1,0,-1), v = (4,1), w = (-3,2,4,-3) □ 2) Determine o valor de m de modo que os vetores u = (m+1,2) e v = (-1,4) sejam ortogonais. m = □ 3) Considere em P2(R) o produto interno dado por <f(t),g(t)> = ∫ f(t)g(t) dt Com relação a este produto interno a base canônica de P2(R) dada por {1,t,t^2} é □ 4) Determine os valores de a e b de modo que o vetor (a1,b) seja ortogonal a todos os vetores do subespaço W = {(x,y,z) E R^3,4x - y + 2z = 0} a = □ b = □ 5) Determine os valores de b e c de modo que o vetor (-1,b,c) esteja no complemento ortogonal do subespaço W = {(x,y,z) E R^3,x - 2y = 0} b = □ c = □ Determine os valores de m de modo que os vetores u = (0,m-1,4) e v = (5,m-1,-1) sejam ortogonais. Escreva os valores de m que você encontrou em ordem crescente: m1 = □ m2 = □ Questão 4 Ainda não respondida Vale 6,00 pontos Marcar questão Seja V um espaço vetorial com produto interno. Sobre os vetores u e v, sabe-se que ||u|| = 3, ||v|| = 7 e ||u+v|| = 4√5. Calcule <u,v>. b) Considere em R^3 o produto interno usual. Determine um número real positivo c tal que ||(6,-3,c)|| = 7. c = _____ c) Sabe-se que os vetores de R^2 (1,-2), (2,b) são ortogonais em relação ao produto interno (não usual) dado por: <x1,y1), (x2,y2) > = 2x1 x2 + y1 y2 Determine o valor de b = _____ d) Determine os valores de a, b, e c de modo que o vetor (a,b,c,7) seja ortogonal, simultaneamente, a cada um dos vetores u1 = (1,1,1,-1), u2 = (1,2,0,1) u3 = ( -4,1,5,2) a = _____ b = _____ c = _____ Página anterior Exemplos da aula do dia 29-07-2022 Sair al-ges007-2021/2 Questão 5 Ainda não respondida Vale 6,00 pontos Marcar questão Encontre, em cada caso, a projeção ortogonal do vetor u sobre o vetor g: a) u = (7,6) e g = (4,2) Proj g^ u = ( ______ , ______ ) b) u = (1,7) e g = (4,2) Proj g^ u = ( ______ , ______ ) c) u = (11,-1) e g = (1,3) Proj g^ u = ( ______ , ______ ) (Use decimais) 2) Dados os vetores u1 = (2,5,-1),u2 =( -2,1,1) e v = (1,2,3), determine a projeção ortogonal de v sobre o subespaco W gerado pelos vetores u1, u2 . Proj W^ v = ( ______ , ______ , ______ ) (Use decimais) 3) Detemine a projeção ortogonal do vetor u = (3,6,3) sobre o subespaco de R^4 dada por W =[( -1,-1,-1,0),( -1,1,0,1)] Proj W^ u = ( ______ , ______ ,______ ,______ ) Voce acessou como felipe roma (Sair) AL-GES007-2021/2 Questao 2 1) a) Nenhum dos dois b) Ortogonal c) Ortonormal d) Ortogonal 2) (m+1) . (-1) + 4 . 2 = 0 -> -m - 1 + 8 = 0 -> m = 7 3) Nem ortonormal nem ortogonal 4) ⟨(a,-3,b), (x,y,z)⟩= ax - y + bz = 0 e 4x - y + 2z = 0 => a = 4 b = 2 5) ⟨(-1,b,c), (x,y,z)⟩= -x + by + cz = 0 ⟹ x - by - cz = 0 x - 2y = 0 => -b = -2 e -c = 0 b = 2 c = 0 Questao 3 <u,v> = 0 -> ⟨(0,m-3,4), (5,m-1,-1)⟩ = 0 5.0 + (m-1)^2 + 4 . (-1) = 0 m^2 - 2m + 1 - 4 = 0 -> m^2 - 2m - 3 = 0 Δ = (-2)^2 - 4 . 1 . (-3) = 4 + 12 = 16 m = (-2) ± √16 2.1 = 2 ± 4 2 m_1 = 2 + 4 2 = 6 2 = 3 m_2 = 2 - 4 2 = -2 2 = -1 m_1 = 3 m_2 = -1 Questao 4 a) ||u+v||^2 = ||u||^2 + 2<u,v> + ||v||^2 (4√5)^2 = 3^2 + 2<u,v> + 7^2 80 = 9 + 2<u,v> + 49 2<u,v> = 80 - 58 = 22 <u,v> = 22 2 -> <u,v> = 11 b) ||(6,-3,c)|| = 7 √6^2 + (-3)^2 + c^2 = 7 -> √36 + 9 + c^2 = 7 45 + c^2 = 49 -> c^2 = 49 - 45 c^2 = 4 -> c = √4 -> c = 2 c) ⟨(1,-3), (2,b)⟩ = 0 2 . 1 + (-1) . b = 0 -> 4 - b = 0 -> b = 4 d) ⟨(a,b,c,7), (3,3,3,-3)⟩ = 0 -> a + b + c = 7 ⟨(a,b,c,7), (0,2,0,1)⟩ = 0 -> a + 2b = -7 ⟨(a,b,c,7), (-4,5,5,2)⟩ = 0 -> -4a + b + 5c = -14 => a = 9 b = -8 c = 6 QUESTÕES 1) a) (7,6).(4,2) (4,2) 28+12 (4,12) (4,2).(4,2) 16+4 = 40 (4,2) = [8,4] 20 b) (1,7).(-4,2) (-4,2) = -4+14 (-4,2) = 10 (-4,2) = [-2,1] (-4,2).(-4,2) 16+4 20 c) (1,-1).(1,3) (-1,3)= 1-3 (-1,3) = -2 (-1,3) = [0,4 ;-1,2] (-1,3).(1,-1,3) 1+9 5 2) (1,2,3)(2,5,-1) (1,2,3)(-2,3,1) (2,5,-1)(2,5,-1) + (-2,3,1)(-2,3,1) = 2+10-3 (2,5,-1) + -2+2+3 (-2,3,1) 4+25+1 4+1+3 = 9 (2,5,-1) + 3 (2,3,1) = (0,6 ; 5 ; -0,3) + (-1 ; 0,5 ; 0,5) 30 6 = [-0,4 ; 2 ; -0,2] 3) (3,6,6,3).(-1,3,3,0) (-3,-3,3,0).(-1,-3,3,0) + (3,6,6,3)(-3,3,0,3) (-3,3,3,0)(-1,-3,3,0) (-3,3,0,3)(-3,3,0,3) = -3+6+0 (-3,-3,3,0) + -3+6+0+3 (-3,3,0,3) 3+3+3+0 3+3+3+0 = -1 (-3,-3,3,0) + 2 (-3,3,0,3) = [-1,3,-1,2]