Questões - Álgebra Linear 2021-2

1) Determine as coordenadas do vetor u = (4,-5,3) de R^3 em relação às seguintes bases: a) B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} [u]_B = ( , , ) b) C = {(1,1,1), (1,2,0), (3,1,0)} [u]_C = ( , , ) 2) Determine as coordenadas do vetor u = (-8, 2, 3) de de R^3 em relação às seguintes bases: a) B = base canônica. [u]_B = ( , , ) b) C = {(1,0,0), (-3,4,0), (3,-6,3)} [u]_C = ( , , ) 1) Sabe-se que a matriz de mudança de base da base B = {u_1,u_2} do R^2 para a base C = {(1,1),(0,2)} é dada por [ 1/3 0 ] [ 2/3 1 ] Determine a base B: u_1 = u_2 = 2) Considere as bases B = {e1,e2,e3} e C = {g1,g2,g3} de R^3 relacionadas pelas equações abaixo: g1 = e1 - e2 - e3 g2 = 2e2 + e3 g3 = 3e1 + e3 a) Determine a matriz de mudança de B para C: Linha 1: Linha 2: Linha 3: b) Determine a matriz de mudança de C para B: Linha 1: Linha 2: Linha 3: c) Se um vetor u ∈ R^3 tem coordenadas 1, 2 e 3 em relação à base B, quais as coordenadas desse vetor em relação à base C? [u]_C = ( , , ) 1) Considere em R^3 os seguintes subespaços: U = {(x,y,z) ∈ R^3 | x = 0} e V = [(1,2,0),(3,1,2)] Determine uma base e a dimensão dos subespaços U, V, U + V e UnV. Dimensão de U = Dimensão de V = Dimensão de U + V = Dimensão de UnV = A soma U + V é direta? 2) Considere os subespaços de R^4 dados por W = {(x,y,z,t) ∈ R^4 | x-y = y e x-3y+t = 0} e U = [(1,2,1,3),(3,1,-1,4)]. Determine uma base e a dimensão de U, W, U + W e UnW. Dimensão de U = Dimensão de W = Dimensão de U + W = Dimensão de UnW = A soma U + W é direta? 1) Expresse o vetor (-18,14,8,16) como combinação linear dos vetores u=(7,-4,-2,9), v=(-4,5,-1,-7) e w=(-9,4,4,-7). Resposta: (-18,14,8,16) = [ ]u + [ ]v + [ ]w 2) Expresse os vetores (1,-1,2) e (3,0,1) como combinação linear dos vetores u=(-1,-2,3) e v=(3,3,-4). (1,-1,2) = [ ]u + [ ]v (3,0,1) = [ ]u + [ ]v 1) Classifique os conjuntos de vetores abaixo em L.I ou L.D. No espaço vetorial M_{3x2}(R), considere os vetores A=[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}], B=[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] e C=[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}] a) Calcule 2A+B-3C Linha 1: [ ] Linha 2: [ ] Linha 3: [ ] b) Determine uma matriz X ∈ M_{3x2}(R) tal que \frac{A+X}{2} - \frac{X-B}{3} = C X = Linha 1: [ ] Linha 2: [ ] Linha 3: [ ] c) Existem t_1, t_2 ∈ R tais que A = t_1B + t_2C? No espaço vetorial P_3(R) considere os vetores f(t) = t^3 - 1, g(t) = t^2 + t - 1, h(t) = t + 2 a) Calcule 2f(t) + 3g(t) - 4h(t) Resposta: t^3 [ ] + t^2 [ ] + t [ ] + [ ] b) Existe k ∈ R tal que f(t) + kg(t) = h(t)? [ ] c) Existem k_1, k_2 ∈ R tais que f(t) = k_1g(t) + k_2h(t)? [ ] d) Verifique se os vetores f, g, h são L.D. ou L.I. 1) u = (4,-5,3) ∈ ℝ^3 a) α(1,0,0) + β(0,1,0) + γ(0,0,1) = (4,-5,3) α = 4, β = -5, γ = 3 [u]_β = (4,-5,3) base canônica se repete b) α(1,1,1) + β(1,2,0) + γ(3,1,0) = (4,-5,3) α + β + 3γ = 4 2 + 2β + γ = -5 α = 3 [u]_c = (3,-5,3) 2) u = (-8,2,3) a) [u]_β = (-8,2,3) base canônica se repete b) α(1,0,0) + β(3,4,0) + γ(3,-6,3) = (-8,2,3) α - 3β + 3γ = -8 4β - 6γ = 2 3γ = 3 α = -5 β = 2 γ = 1 [u]_c = (-5,2,1) 1) B = {u1, u2} ⊆ ℝ^2, C = {c1, c2} = {(1,1,1), (0,2)}, Y = [ 1/3 0 ] [ ]_c = [ 2/3 1 ] [01]_β = (1/3, 2/3) [02]_β = (0,1) 1/3 (a,b) + 2/3 (c,d) = (1,1) 0 (a,b) + 1 (c,d) = (0,2) 1/3 a + 2/3 c = 1 ⇒ a = 3 1/3 b + 2/3 d = 1 c = 0 d = 2 1/3 b + 4/3 = 3/3 ⇒ b = -1 u1 = (3,-1) u2 = (0,2) 2) B = {e1, e2, e3}, C = {g1, g2, g3} [g1] = e1 - e2 - e3 [g2] = 2e2 + 3e3 [g3] = 3e1 + e3 [I]_c = C = {(1,-1,-1), (0,2,3), (3,0,1)} a) [ 1 0 3 ] [ 1 2 0 ] [-1 3 1 ] b) Temos que, escalonando e resolvendo S, temos o resultado: (por linhas de matriz) {(1,0,3) (1,2,0) (-1,2,0) (-1,3,1) c) [u]_c = (-2,0,1) [ 1 0 3]_β [ 1 2 0] 1) U = {(x,y,z) ∈ ℝ^3 / x=0 } e V = {(1,2,0), (3,1,2)} U = {(0,y,z) ∈ ℝ^3 / y (0,1,0) + z (0,0,1) } base = {(0,1,0), (0,0,1)} V = base = {(1,2,0), (3,1,2)} U + V = ℝ^3 U ∩ V = (0,2,2) dim U = 2 dim V = 2 dim U + V = 3 dim U ∩ V = 1 A soma U + V é direta? NÃO 2) W = {(x,y,z,t) ∈ ℝ^4 / x - y = 4 e x - 3y + z = 0 } U = {(1,2,1,3), (3,1,-1,4) } W ⇒ x = 2y t = -x + 3y = -2y + 3y ⇒ t = y {(2y, u, z, y) = y(2, 1,0,1) + z (0,0,1,0) } dim U = 2 dim W = 2 dim U + W = 4 dim U ∩ W = 0 Sim 1) u = (7,-4,-2,9), v=(-2,5,-1,7), w=(-9,4,4,-7) αu + βv + γw = (-18,14,8,16) α(7,-4,-2,9) + β(-2,5,-1,7) + γ(-9,4,4,-7) = (-18,14,8,16) 7α - 2β - 9γ = -18 -4α + 5β + 4γ = 14 -2α - β + 4γ = 8 9α + 7β - 7γ = 16 α = 15 β = 6 γ = 11 -18,14,8,16) = 15u + 6v + 11w 2) α(-1,0,2,3) + β(3,3,-4) = (1,-1,12) -2 + 3β = 1 -2α + 3β = -1 α = 2 β = 1 γ = 3 θ = 2 (1,-1,12) = 2u + v (3,0,1) = 3u + 2v (3) a) 2A + B - 3C = [2 0 2] + [1 - 3 6] - [ 3 0 1] = [ 1 - 1 -3 ] [0 0 2] [3 0 0] [ 0 -3 0] [ -1 1 1 ] [1 0 2] [1 1 1] [ 0 -3 -3] [ 1 4 0] linha 1: (-1, -3) linha 2: (-1, 1) linha 3: (1, 4) b) X = [a b] [c d] A + X X - B C 2 3 [1+a 1+b] - [a b ] = [1 2 ] linha 1: (3, 7) [c d ]/2 [c-2 d-1 ]/3 [1 0] linha 2: (2, -2) [u ]/2 [u ]/3 [0 -1] linha 3: (-2, -8) 1+a/2 - a/3 = 1 ➔ 3+3a-2a=6 ➔ a=3 6 1+b/2 - b-1/3 = 2 ➔ 3+3b-b+2=12 ➔ b=7 6 c/2 - c-2/3 = 1 ➔ 3c-2c+4=6 ➔ c=2 6 d/2 - d-1/3 = 0 ➔ 3d-2d+2=0 ➔ d=-2 6 e/2 - (e-1)/3 = 0 ➔ 3e-2e+2=0 ➔ e=-2 6 f/2 - d-1/3 = -1 ➔ 3f-2f+2=-6 ➔ f=-8 6 e) [1 1] = t[2 1] + t[1 2] [0 0] [0 1] [0 -1] t1 = t2 1 = t1 + 2t2 = t1 + 2 ➔ t1 = -1 0 = t1 + 1 No existem (4) p(t) = t³-1 q(t) = t² + t - 1 r(t) = t + 2 a) 2p(t) + 3q(t) - 4r(t) 2t³ - 2 + 3t² + 3t - 4t - 8 = 2t³ + 3t² - t - 13 [2 t³ + 3 t² + -1 t + -13] b) p(t) + kq(t) = r(t) t³ -1 + k t² + kt - k = t + 2 t³ + k t² + kt + (-1 -k) = t + 2 kt = t ➔ k=1 mas, se k=1 -1 - 1 = -2 != 2 No existe c) p, q, r não L.I am L.D αp + βq + γr = 0 αt³-2 + βt² + βt - β + γt + 2δ = 0 αt³ = 0 ➔ α = 0 β t² = 0 ➔ β = 0 t (β + γ) = 0 ➔ γ = 0 Portanto, não L.I