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Estatística ·
Álgebra Linear
· 2021/2
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Assinale Verdadeiro ou Falso: a) λ = 2 é um autovalor do operador P(x,y,z) = (3x+2y,3x+8y). b) (1,4) é um autovalor do operador P(x,y,z) = (-3x+y,-3x+8y). c) (4,-3,1) é um autovalor do operador P(x,y,z) = (3x+7y+9z,-4x-5y+z,2x+4y+4z) Em caso afirmativo, determine o autovalor. d) λ = 4 é um autovalor da matriz [3 0 3 3 1 0 3 4]. Em caso afirmativo, determine um autovetor associado e) Se λ é um autovalor do operador inversível T: V -> V, então λ ≠ 0. f) Se 0 é um autovalor da matriz A então A não é inversível. g) Se λ+5 é um fator do polinômio característico de uma matriz A, então 5 é um autovalor de A. Abaixo são dadas algumas matrizes e alguns de seus autovalores. Determine a dimensão dos auto-espaços associados a cada autovalor. a) [3 9 3], λ1 = 1, λ2 = 5 dim V(1) = dim V(5) = b) [-3 -3 3], λ = 10 dim V(10) = c) [1 2 1 3], λ = 3 dim V(3) = d) [3 -1 0 -1 2 0], λ1 = 3, λ2 = 13 dim V(3) = dim V(13) = e) [-3 5 0 -3 5 1 0 6 2], λ1 = -2, λ2 = 5 dim V(-2) = dim V(5) = Dada a matriz A abaixo determine o valor de h de modo que a dimensão do autoespaço associado ao autovalor 5 seja igual a 2. A = (5 -2 6 -1 0 3 h 0 0 0 4 1) Resposta: Classifique as matrizes abaixo em diagonalizável e não diagonalizável. A = [-3 -3 3 3 -3 1] B = [-2 4 3 -4 6 3 3 3 1] C = [5 -8 1 0 0 7 0 0 -2] F(La (3X£242x1 x+4, 3X+8u) (ALRy) 3Xt2= 9X -7 3 12y 34-Ru-O-z 210 L3XÉt-2u0 /3 26 o cdonlas b F(zu)(-314y-2242 CLi--3x44-3X3 ru)-314,-3+3a fL)= 1 29 too e iovL do opla dE,z)-(3xi{ytz,-4x-5u+z,2x1HMZ) fC4-31)=13x1u+9z,-Ux-5y+2,2xiuy 4H) ECY2,0-uLi3':9., -4.4--2H)(2.14u.-3+4. F,-3):(l2-2L9),(16 +1S+1) (8 -la 1u) f-30l0,0,0). F4-2,12: OCY-3,1) oo0, 4,-3.0) e um 0ue 1 da_aptradeu Lom uccs JAT o1 A-A.I.J3-Ao _31 2-1 1 3 23-A1 5-J 3 45 e_Outeuoleu dalorm do i, 3-n o 3A 1 -22+1L2-38a+so 34 -nJ. e)VerecdinoMclul, innjerava, Deiemin tO. se dar CA-AI)=3 EO: Qet cA -o1)0. ddCA)=O, lono Dpeol nsa euneeLla A meaad 9 folae. Se A=9, A+6-5+6=o. lo0lco S néo é utovalor (al/5-2 1-o pore Al,e o iala, -19a a0 dm ao data 0000o00 (9 (00La, 2 21-5 2- (ot ba a2,daio ba b) 4-10-2 (-6-2 hit2,/3 ( 3 9-10 (-3-1/ (3 1sb 3ua|D, (31, dinwio o 0a L9a Cy-3 a 3/1a322121, 123\Ls:22, 1-3-3 a4 9-3 246 O.OD 246 -2-3 23-2 fLdiaioa O 00 A:3 d8-3-lo -5 5 -lo-5a:a,/5-lo-5 2 -3 2 2 1 2 -9-18 4-3 -9-18 -9-18L/ L3as-lo-s1L34la (5-lo-51!31 2 -8-IL 3 45 /5-lo-S| L3:2s-lo-s\s-2 4 -20 12 2-1 O L-1-a_o/ a-a1923,1-a-fiJaiuly/l:a 142 -1-20, -1-20 20 13 8-13-o-5\/-5-b-5\L.,/-5-- -12 2 9-12 -13-9-12-9 2 14 2 -4-2 321,/S -lo-s\a: 5-a-5a y 2 & 2 E5-lo -51:5 6 1 -|la-l> -2 -1 Olo 3+ -1-2-112isla I-\A0, o Lo A111-R o-z O LO O00 OLO 000/ dinado2 data e) 2 4-2-94821[a -9-122 3 -1 9-2)0 14 -7IO14 S lo 5 a)-5-105 lo 3-5-lo -23 0-2) 4 -a 3 1-24 -3 -13-1 lo l|-2) -3 -13-1 109 a-9-82 o14yL2-9-182 1-4 3-8 - 23 2 -3-13-lo 9 La-s, 4 3-2 -23 a -5-lo o 8 13 -91 82yL C2-9 -1811341s -y 38 -23 24 -S -1o og 13| & lo1 - 38 o-6 o 6l -S-lo o8 13 -9-18 2123[2-9-182 1l3-l- a o- 9-4L21 20-133 19 0-ho6 1-5-loo81 -5-100813 f2-9-1 8214-1 o-L s- a o-L o96-51 -6o 66 -9- 2] o96-5 14 5-lo o 8 1 Jandaia) 2-9- 82 2-9-12 , I0LL3S, o 9 6-51 Oh066 5-1 6-15 1-1 1 O-6o 5-7 6 -15 3 - 1 9 2 - 9 - 1 8 2 1 L 3 - 1 2 , 2 9 - 2 2 L3-1 2 -2 8 6-y 16 O9 6-5 1} L -1b-15 1 15 :22-9-132L9-13 2 9-1821 011 Le. 4 3-22 L3:2 2lo- 1 3- 5-116 -9-1 221Ls-la 2-9-12 21o-1|1G2 3-28 -143 28 5-lo-21 6y-lo1 ol -9-182 2o-1 -9-18 2143 43-22 32-5o- data 3-66lo 1 Ls y-14 18 : |aLo | 3-28 oLoL 3 a-5o| 3-a2 3 a-6-,0 -a-s a O- 43 8 1 3 2-5 0 a o-11 3-22 Oo1 3 2-S o- --12 o-i_ 30-3 3 -28 -&2-8-2 9 aa-2-8 121 L2J3Lool:2 110-23 o Lo t22-2 2 z 12 1 alo-LL La 0-96 OLOL 2-252 LLo-23 -22- 2 21-la-ho Lo] L3 bs o lo o 0-2 OO-3 2 23 O1o 11 23 2228 dirC200 5 λ=5 [(-4-5)-9-7 8 2 -7(-9-5) 0 7 14 5 10 (5-5)-5 6 -2 3 7 0.5 4 -3-13-7 10 11-5] [-1-9-7 8 2 ls=11 -> -7-14 0 7 14 5 10 0-5 6 -2 3 7-5 4 -3-13-7 6 6] [-1-9-7 8 2 [-1-9-7 8 2 ls=12 -> -7 14 0 7 14 1 2 0 2 5 10 0-5 6 Leit. 5 6 0-5 6 -2 3 7-5 4 -2 3 7-5 4 2 4 0 2 4] 2 4 0 2 4] [-1-9-7 8 2 [-1-9-7 8 2 l3=3 -> 1 2 0 2 1 2 0 2 5 10 0-5 6 5 0 0-5 0 -2 3 7-5 4 -2 3 7-5 4 1 2 0 2 2] 0 0 0 0 0] -1-9-4 8a 3-- 9-12a LuL OO0-20 23+s O0 000J 20-12 O 000bo -1-9-4 82 9 2 2 tlay- O00-20 3-60-3 LO o O O0 O O O -20 -1-2 o -12 LILa I9-42 2123--9-1621La, La0t ao12 OOO-20 O00 o 0000O O0Oo0 so--1+4 ott :foL1a aol2 O00-2o Oo00Y O00oO 1201 O00-20 OooO 4 OooO0 J 000-20 O00 0 O000O A6-5)-26-1/o 261 3-5) ho O oG-94 -aho O004 Ooo O 0 O-26-1 0-1 3- OO(6 th)O L3.a O00 4 O o6th) O O00L (O-13-a\l, /o-13- Oo Gth)o o OC6th)O OO0L Oo0 0001 O 00o/ Coluods o nie do rdhia ionelou -6+h) |o -6-h-o h 2-A 33 35-A-3| 3 dtLA 33 |1-43 3 5- 336- 31-233 -A-324Y-2 A=L Coma 0 ruimo de outo volsa e me que dindnao,omduj róo dccarauzdvel DB:[243-2- 43 Y-6-3 3 31 -6-2 -3 34-J -A324- A1 no diogonaudve A-2 C%-8 5-2-81 O O-7 Loo-2 oo-2- -X+3xL]oX -2 A:5. A-2 A=O miz caicgonalugdvel
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Assinale Verdadeiro ou Falso: a) λ = 2 é um autovalor do operador P(x,y,z) = (3x+2y,3x+8y). b) (1,4) é um autovalor do operador P(x,y,z) = (-3x+y,-3x+8y). c) (4,-3,1) é um autovalor do operador P(x,y,z) = (3x+7y+9z,-4x-5y+z,2x+4y+4z) Em caso afirmativo, determine o autovalor. d) λ = 4 é um autovalor da matriz [3 0 3 3 1 0 3 4]. Em caso afirmativo, determine um autovetor associado e) Se λ é um autovalor do operador inversível T: V -> V, então λ ≠ 0. f) Se 0 é um autovalor da matriz A então A não é inversível. g) Se λ+5 é um fator do polinômio característico de uma matriz A, então 5 é um autovalor de A. Abaixo são dadas algumas matrizes e alguns de seus autovalores. Determine a dimensão dos auto-espaços associados a cada autovalor. a) [3 9 3], λ1 = 1, λ2 = 5 dim V(1) = dim V(5) = b) [-3 -3 3], λ = 10 dim V(10) = c) [1 2 1 3], λ = 3 dim V(3) = d) [3 -1 0 -1 2 0], λ1 = 3, λ2 = 13 dim V(3) = dim V(13) = e) [-3 5 0 -3 5 1 0 6 2], λ1 = -2, λ2 = 5 dim V(-2) = dim V(5) = Dada a matriz A abaixo determine o valor de h de modo que a dimensão do autoespaço associado ao autovalor 5 seja igual a 2. A = (5 -2 6 -1 0 3 h 0 0 0 4 1) Resposta: Classifique as matrizes abaixo em diagonalizável e não diagonalizável. A = [-3 -3 3 3 -3 1] B = [-2 4 3 -4 6 3 3 3 1] C = [5 -8 1 0 0 7 0 0 -2] F(La (3X£242x1 x+4, 3X+8u) (ALRy) 3Xt2= 9X -7 3 12y 34-Ru-O-z 210 L3XÉt-2u0 /3 26 o cdonlas b F(zu)(-314y-2242 CLi--3x44-3X3 ru)-314,-3+3a fL)= 1 29 too e iovL do opla dE,z)-(3xi{ytz,-4x-5u+z,2x1HMZ) fC4-31)=13x1u+9z,-Ux-5y+2,2xiuy 4H) ECY2,0-uLi3':9., -4.4--2H)(2.14u.-3+4. F,-3):(l2-2L9),(16 +1S+1) (8 -la 1u) f-30l0,0,0). F4-2,12: OCY-3,1) oo0, 4,-3.0) e um 0ue 1 da_aptradeu Lom uccs JAT o1 A-A.I.J3-Ao _31 2-1 1 3 23-A1 5-J 3 45 e_Outeuoleu dalorm do i, 3-n o 3A 1 -22+1L2-38a+so 34 -nJ. e)VerecdinoMclul, innjerava, Deiemin tO. se dar CA-AI)=3 EO: Qet cA -o1)0. ddCA)=O, lono Dpeol nsa euneeLla A meaad 9 folae. Se A=9, A+6-5+6=o. lo0lco S néo é utovalor (al/5-2 1-o pore Al,e o iala, -19a a0 dm ao data 0000o00 (9 (00La, 2 21-5 2- (ot ba a2,daio ba b) 4-10-2 (-6-2 hit2,/3 ( 3 9-10 (-3-1/ (3 1sb 3ua|D, (31, dinwio o 0a L9a Cy-3 a 3/1a322121, 123\Ls:22, 1-3-3 a4 9-3 246 O.OD 246 -2-3 23-2 fLdiaioa O 00 A:3 d8-3-lo -5 5 -lo-5a:a,/5-lo-5 2 -3 2 2 1 2 -9-18 4-3 -9-18 -9-18L/ L3as-lo-s1L34la (5-lo-51!31 2 -8-IL 3 45 /5-lo-S| L3:2s-lo-s\s-2 4 -20 12 2-1 O L-1-a_o/ a-a1923,1-a-fiJaiuly/l:a 142 -1-20, -1-20 20 13 8-13-o-5\/-5-b-5\L.,/-5-- -12 2 9-12 -13-9-12-9 2 14 2 -4-2 321,/S -lo-s\a: 5-a-5a y 2 & 2 E5-lo -51:5 6 1 -|la-l> -2 -1 Olo 3+ -1-2-112isla I-\A0, o Lo A111-R o-z O LO O00 OLO 000/ dinado2 data e) 2 4-2-94821[a -9-122 3 -1 9-2)0 14 -7IO14 S lo 5 a)-5-105 lo 3-5-lo -23 0-2) 4 -a 3 1-24 -3 -13-1 lo l|-2) -3 -13-1 109 a-9-82 o14yL2-9-182 1-4 3-8 - 23 2 -3-13-lo 9 La-s, 4 3-2 -23 a -5-lo o 8 13 -91 82yL C2-9 -1811341s -y 38 -23 24 -S -1o og 13| & lo1 - 38 o-6 o 6l -S-lo o8 13 -9-18 2123[2-9-182 1l3-l- a o- 9-4L21 20-133 19 0-ho6 1-5-loo81 -5-100813 f2-9-1 8214-1 o-L s- a o-L o96-51 -6o 66 -9- 2] o96-5 14 5-lo o 8 1 Jandaia) 2-9- 82 2-9-12 , I0LL3S, o 9 6-51 Oh066 5-1 6-15 1-1 1 O-6o 5-7 6 -15 3 - 1 9 2 - 9 - 1 8 2 1 L 3 - 1 2 , 2 9 - 2 2 L3-1 2 -2 8 6-y 16 O9 6-5 1} L -1b-15 1 15 :22-9-132L9-13 2 9-1821 011 Le. 4 3-22 L3:2 2lo- 1 3- 5-116 -9-1 221Ls-la 2-9-12 21o-1|1G2 3-28 -143 28 5-lo-21 6y-lo1 ol -9-182 2o-1 -9-18 2143 43-22 32-5o- data 3-66lo 1 Ls y-14 18 : |aLo | 3-28 oLoL 3 a-5o| 3-a2 3 a-6-,0 -a-s a O- 43 8 1 3 2-5 0 a o-11 3-22 Oo1 3 2-S o- --12 o-i_ 30-3 3 -28 -&2-8-2 9 aa-2-8 121 L2J3Lool:2 110-23 o Lo t22-2 2 z 12 1 alo-LL La 0-96 OLOL 2-252 LLo-23 -22- 2 21-la-ho Lo] L3 bs o lo o 0-2 OO-3 2 23 O1o 11 23 2228 dirC200 5 λ=5 [(-4-5)-9-7 8 2 -7(-9-5) 0 7 14 5 10 (5-5)-5 6 -2 3 7 0.5 4 -3-13-7 10 11-5] [-1-9-7 8 2 ls=11 -> -7-14 0 7 14 5 10 0-5 6 -2 3 7-5 4 -3-13-7 6 6] [-1-9-7 8 2 [-1-9-7 8 2 ls=12 -> -7 14 0 7 14 1 2 0 2 5 10 0-5 6 Leit. 5 6 0-5 6 -2 3 7-5 4 -2 3 7-5 4 2 4 0 2 4] 2 4 0 2 4] [-1-9-7 8 2 [-1-9-7 8 2 l3=3 -> 1 2 0 2 1 2 0 2 5 10 0-5 6 5 0 0-5 0 -2 3 7-5 4 -2 3 7-5 4 1 2 0 2 2] 0 0 0 0 0] -1-9-4 8a 3-- 9-12a LuL OO0-20 23+s O0 000J 20-12 O 000bo -1-9-4 82 9 2 2 tlay- O00-20 3-60-3 LO o O O0 O O O -20 -1-2 o -12 LILa I9-42 2123--9-1621La, La0t ao12 OOO-20 O00 o 0000O O0Oo0 so--1+4 ott :foL1a aol2 O00-2o Oo00Y O00oO 1201 O00-20 OooO 4 OooO0 J 000-20 O00 0 O000O A6-5)-26-1/o 261 3-5) ho O oG-94 -aho O004 Ooo O 0 O-26-1 0-1 3- OO(6 th)O L3.a O00 4 O o6th) O O00L (O-13-a\l, /o-13- Oo Gth)o o OC6th)O OO0L Oo0 0001 O 00o/ Coluods o nie do rdhia ionelou -6+h) |o -6-h-o h 2-A 33 35-A-3| 3 dtLA 33 |1-43 3 5- 336- 31-233 -A-324Y-2 A=L Coma 0 ruimo de outo volsa e me que dindnao,omduj róo dccarauzdvel DB:[243-2- 43 Y-6-3 3 31 -6-2 -3 34-J -A324- A1 no diogonaudve A-2 C%-8 5-2-81 O O-7 Loo-2 oo-2- -X+3xL]oX -2 A:5. A-2 A=O miz caicgonalugdvel