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Questão 1 Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s). Marcar como questão 1) Considere o espaço vetorial R^3 com o produto interno usual. Calcule <u,v> nos seguintes casos: a) u = (1/2,2,1), v = (4,1,−3) <u,v> = □ b) u = (2,1,0), v = (4,0,2) <u,v> = □ c) u = (1,1), v = (2,−1,5) <u,v> = □ 2) Sejam u e v vetores de um espaço vetorial com produto interno tais que ||u|| = 1, ||v|| = 1, ||u−v|| = 2. Calcule <u,v>. <u,v> = □ 3) Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação <,> define um produto interno no espaço vetorial V. a) V = R^2, u = (x_1,y_1), v = (x_2,y_2) e <u,v> = 2x_1x_2−1y_1y_2−3y_1y_2 □ b) V = R^3, u = (x_1,y_1,z_1), v = (x_2,y_2,z_2) e <u,v> = x_1y_2+x_1y_2 □ c) V = P_3(R), p(t) = a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3, q(t) = b_0+b_1t+b_2t^2+b_3t^3, e <p,q> = a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 □ eUFU Moodle UFU Midiateca/ Questão 2 Ainda não respondida Vale 8,00 ponto(s). Marcar como questão 1) Verifique, em cada caso, se o conjunto {u,w,u} ⊂ R^3 é ortonormal, apenas ortogonal ou nenhum dos dois. a) u = (1,2,1), v = (1,−1,1), w = (−1,1,2) □ b) u = (a,b,c), v = (−b,c,a), w = (−a,c,−b,c,a^2+b^2) □ c) u = (2,6,3), v = (8,3,2), w = 1/2(6,−3,2) □ d) u = (1,0,−1), v = (4,1), w = (−3,24,−3) □ 2) Determine o valor de m de modo que os vetores u = (m+1,2) e v = (−1,4) sejam ortogonais. m = □ 3) Considere em P_2(R) o produto interno dado por <f(t),g(t)> = ∫ f(t)g(t)dt Com relação a este produto interno a base canônica de P_2(R) dada por {1,t,t^2} é □ 4) Determine os valores de a e b de modo que o vetor (a,1,b) seja ortogonal a todos os vetores do subespaço W = {(x,y,z) ∈ R^3: 4x−y+2z = 0}. a = □ b = □ 5) Determine os valores de b e c de modo que o vetor (−1,b,c) esteja no complemento ortogonal do subespaço W = {(x,y,z) ∈ R^3: x−2y = 0} Página anterior Exemplos de aula do dia 29-07-2022 Questão 3 Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s). Marcar como questão Determine os valores de m de modo que os vetores u = (0,m−1,4) e v = (5,m−1,−1) sejam ortogonais. Escreva os valores de m que você encontrou em ordem crescente: m_1 = m_2 = Página anterior Exemplos de aula do dia 29-07-2022 Você acessou como felipe roma (SAIR) AI-GFS007-2021/2 Resumo de retenção de dados Obter o aplicativo para dispositivos móveis Questao 1 1) a) <\(\frac{1}{2}, 2, 1\), (4, 1, -3)> = \frac{1}{2} \cdot 4 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-3) = 2 + 2 - 3 = \boxed{1} b) <(2, 3, 0), (4, 0, 2)> = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 2 = 8 + 0 + 0 = \boxed{8} c) <(1, 3, 1), (2, -1, 5)> = 1 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 5 = 2 - 3 + 5 = \boxed{6} 2) \|u-v\|^2 = \|u\|^2 - 2< u,v> + \|v\|^2 2^2 = 1^2 - 2< u,v> + 1^2 4 = 2 - 2< u,v> \Rightarrow 2< u,v> = 2-4 < u,v> = \frac{-2}{2} \Rightarrow < u,v> = \boxed{1} 3) a) É produto interno b) Não é produto interno c) É produto interno a) Seja V um espaço vetorial com produto interno. Sobre os vetores u e v, sabe-se que |u| = 3, |v| = 7 e |u + v| = 4√5. Calcule <u,v>. <u,v> = □ b) Considere em ℝ³ o produto interno usual. Determine um número real positivo c tal que \| (6, -3, c) \| = 7. c = □ c) Sabe-se que os vetores de ℝ² (1, -1), (2, b) são ortogonais em relação ao produto interno (não usual) dado por: <(x₁, y₁), (x₂, y₂)> = 2x₁x₂ + y₁y₂ Determine o valor de b = □ d) Determine os valores de a, b, e c de modo que o vetor (a, b, c, 7) seja ortogonal, simultaneamente, a cada um dos vetores u₁ = (1, 1, 1, -1), u₂ = (1, 2, 0, 1) u₃ = (-4, 1, 5, 2) a = □ b = □ c = □ Página anterior Exemplos da aula do dia 28-07-2022 Você acessou como felipe roma (Sair) AL-GE5007-2021/2 1) Encontre, em cada caso, a projeção ortogonal do vetor u sobre o vetor g: a) u = (7, 6) e g = (4, 2) Proj₉ u = (□, □) b) u = (1, 7) e g = (-4, 2) Proj₉ u = (□, □) c) u = (1, -1) e g = (1, 3) Proj₉ u = (□, □) (Use decimais) 2) Dados os vetores u₁ = (2, 5, -1), u₂ = (-2, 1, 1) e v = (1, 2, 3), determine a projeção ortogonal de v sobre o subespaço W gerado pelos vetores u₁, u₂. (Use decimais) Proj𝑤 v = (□, □, □) 3) Determine a projeção ortogonal do vetor u = (3, 6, 3) sobre o subespaço de ℝ⁴ dado por W = [x | x ∈ ℝ, x = (x₁, x₂, x₃, x₄), x₃ - x₁ = 0] Projᴡ u = (□, □, □, □) Página anterior Exemplos da aula do dia 28-07-2022 Questao 2\n1) a) Nenhum dos dois\nb) Ortogonal\nc) Ortonormal\nd) Ortogonal\n\n2) (m+3)⋅(-1) + 4⋅2 = 0 → -m - 1 + 8 = 0\n→ m = 7\n\n3) Nem ortonormal nem ortogonal\n\n4) ⟨(a,-3,b), (x,y,z)⟩ = ax - y + bz = 0 e\n4x - y + 2z = 0\n=> a = 4 b = 2\n\n5) ⟨(-1, b, c), (x, y, z)⟩ = -x + by + cz = 0 => x - by - cz = 0\n x - 2y = 0 => -b = -2 e -c = 0\n\nb = 2 c = 0 Questao 3\n\n⟨u, v⟩ = 0 → ⟨(0, m-3, 4), (5, m-1, -1)⟩ = 0\n\n5⋅0 + (m - 3)^2 + 4⋅(-1) = 0\nm^2 - 2m + 1 - 4 = 0 → m^2 - 2m - 3 = 0 \n\nΔ = (1 - 2)^2 - 4⋅1⋅(-3) = 4 + 12 = 16\n\nm = \frac {-(2) ± \sqrt{16}}{2⋅1} = \frac{2 ± 4}{2}\n\nm_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3\nm_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\n\nm_1 = 3\nm_2 = -1 Questao 4\n\na) ||u + v||^2 = ||u||^2 + 2⟨u, v⟩ + ||v||^2\n(4) + 5)^2 = 3^2 + ⟨u, v⟩ + 7^2\n\n80 = 9 + 2⟨u, v⟩ + 49\n\n2⟨u, v⟩ = 80 - 58 = 22\n\n⟨u, v⟩ = \frac{22}{2} → ⟨u, v⟩ = 11\n\nb) ||(6,-3,c)|| = 7 \n\n√{6^2 + (-3)^2 + c^2 = 7} → √{36 + 9 + c^2 = 7}\n\n45 + c^2 = 49 → c^2 = 49 - 45\n\nc^2 = 4 → c = √{4} → c = 2\n\nc) ⟨(3, -3), (2, b)⟩ = 0 \n\n2⋅1 + (-3)⋅b = 0 → 4 - b = 0 → b = 4\n\nd) ⟨(a, b, c, 7), (1, 3, 1, -1)⟩ = 0 → a + b + c = 7\n⟨(a, b, c, 7), (1, 2, 0, 1)⟩ = 0 → a + 2b = - 7\n⟨(a, b, c, 7), (-4, 5, 5, 2)⟩ = 0 → -4a + b + 5c = -14\n\n=> a = 9\n b = -8\n c = 6 QUESTÕES 1) a) (7,6).(4,2) = 28+12 (4,2) (4,2).(4,2) 16+4 (4,2) = 40 (4,2) = [8,4] 20 b) (1,7).(-4,2) -4+14 (-4,2) = 10 (-4,2) = [-2,5] (-4,2).(-4,2) 16+4 (-4,2) c) (1,-1).(1,3) -1-3 (-1,3) 1+9 (-1,3).(1,-1) -1,3 = -2 (-1,3) = [0,4 ; -1,2] 2) (3,2,3) (2,5,-1) (1,2,3) (-2,3,1) (2,5,-1)(2,5,-1) (-2,3,1)(-2,3,1) = 2+10-3 (2,5,-1) + -2+2+3 (-2,3,1) 4+25+1 4+1+1 = 9 (2,5,-1) + 3 (2,3,3) = (0,6 ; 4,5;-0,3) + (-1 ; 0,5 ; 0,5) 30 6 = [-0,4 ; 2 ; -0,2] 3) (3,6,6,3).(-1,-3,5,0) (3,6,6,3)(-3,3,0,3) (-3,-3,5,0)(-3,-3,5,0) + (-3,-3,0,3)(-3,-3,0,3) = -3+6+6+0 (-3,-3,5,0) + -3+6+0+3 (-3,3,0,3) 3+3+5+0 3+3+0+3 = -3 (-3,-3,5,0) + 2(-3,3,0,3) = [-1,3,-1,2]