Questões - Álgebra Linear 2021 2

1) Determine as coordenadas do vetor u = (4, -5, 3) de R^3 em relação às seguintes bases: a) B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} [u]_B = ( , , ) b) C = {(1,1,1), (1,2,0), (3,1,0)} [u]_C = ( , , ) 2) Determine as coordenadas do vetor u = (-8, 2, 3) de R^3 em relação às seguintes bases: a) B = base canônica. [u]_B = ( , , ) b) C = {(1,0,0), (-3,4,0), (3,-6,3)} [u]_C = ( , , ) 1) Sabe-se que a matriz de mudança de base da base B = {u_1, u_2} do R^2 para a base C = {(1,1),(0,2)} é dada por [1/3 0] [2/3 1]. Determine a base B: u_1 = u_2 = 2) Considere as bases B = {e_1,e_2,e_3} e C = {g_1,g_2,g_3} de R^3 relacionadas pelas equações abaixo: g_1 = e_1 - e_2 - e_3 g_2 = 2e_2 + 3e_3 g_3 = 3e_1 + e_3 a) Determine a matriz de mudança de B para C: Linha 1: [ ] Linha 2: [ ] Linha 3: [ ] b) Determine a matriz de mudança de C para B: Linha 1: [ ] Linha 2: [ ] Linha 3: [ ] c) Se um vetor u∈R^3 tem coordenadas 1, 2 e 3 em relação à base B, quais as coordenadas desse vetor em relação à base C? [u]_C = ( , , ) 1) Considere em R^3 os seguintes subespaços: U = {(x,y,z)∈R^3|x=0} e V = [(1,2,0),(3,1,2)] Determine uma base e a dimensão dos subespaços U, V, U + V e U ∩ V. Dimensão de U = Dimensão de V = Dimensão de U + V = Dimensão de U∩V = A soma U + V é direta? 2) Considere os subespaços de R^4 dados por W = {(x,y,z,t)∈R^4|x−y=y e x−3y+t=0} e U = [(1,2,1,3),(3,1,−1,4)]. Determine uma base e a dimensão de U, W, U + W e U ∩ W. Dimensão de U = Dimensão de W = Dimensão de U + W = Dimensão de U∩W = A soma U + W é direta? 1) Expresse o vetor (-18,14,8,16) como combinação linear dos vetores u=(7,-4,-2,9), v=(-4,5,-1,-7) e w=(-9,4,4,-7). Resposta: (-18,14,8,16) = [ ]u + [ ]v + [ ]w 2) Expresse os vetores (1,-1,2) e (3,0,1) como combinação linear dos vetores u = (-1,-2,3) e v = (3,3,-4). (1,-1,2) = [ ]u + [ ]v (3,0,1) = [ ]u + [ ]v No espaço vetorial M_{3x2}(R), considere os vetores \[A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \text{ e } C=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\] a) Calcule 2A+B-3C Linha 1: [ ] Linha 2: [ ] Linha 3: [ ] b) Determine uma matriz \(X \in M_{3x2}(R)\) tal que \(\frac{A+X}{2} - \frac{X-B}{3} = C\) X = Linha 1: [ ] X = Linha 2: [ ] X = Linha 3: [ ] c) Existem \(t_1,t_2 \in \mathbb{R}\) tais que \(A = t_1B + t_2C\)? No espaço vetorial P_{3}(R) considere os vetores \(f(t)=t^3-1, g(t)=t^2+t-1, h(t)=t+2\) a) Calcule 2f(t)+3g(t)-4h(t) Resposta: [ ]t^3 + [ ]t^2 + [ ]t + [ ] b) Existe k \in \mathbb{R} tal que f(t)+kg(t)=h(t)? c) Existem k_1,k_2 \in \mathbb{R} tais que f(t)=k_1g(t)+k_2h(t)? d) Verifique se os vetores f,g,h são L.D. ou L.I. 1) u = (4, -5, 3) ∈ ℝ³ a) α (1, 0, 0) + β (0, 1, 0) + γ (0, 0, 1) = (4, -5, 3) α = 4 , β = -5 , γ = 3 [u]_β = (4, -5, 3) base canônica se repete b) α (1, 1, 1) + β (1, 2, 0) + γ (3, 1, 0) = (4, -5, 3) α + β + 3γ = 4 α = 3 β = -5 γ = 3 [u]_C = (3, -5, 3) 2) u = (-8, 2, 3) a) [u]_β = (-8, 2, 3) base canônica se repete b) α (1, 0, 0) + β (3, 4, 0) + γ (3, -6, 3) = (-8, 2, 3) α - 3β + 3γ = -8 4β - 6γ = 2 3β = 3 α = -5 β = 2 γ = 1 [u]_C = (-5, 2, 1) 1) B={fu1, u2, u3} C=ℝ² , C = f(1, 1, 1), (0, 2, 1) [I]_C = [1/3 0] 2/3 1 [01]_β = (1/3, 2/3) [02]_β = (0, 1) 1/3 (a, b) + 2/3 (c, d) = (1, 1) [1/3 0] 2/3 1 0 (a, b) + 1 (c, d) = (0, 2) 1/3a + 2/3c = 1 c = 0 1/3a = 1 => a = 3 1/3b + 2/3d = 1 d = 2 1/3b + 4/3 = 3/3 => b = -1 u1 = (3, -1) u2 = (0, 2) 2) B = {e1, e2, e3} C = {g1, g2, g3} g1 = e1 - e2 - e3 g2 = 2e2 + 3e3 g3 = 3e1 + e3 [I]_C = f(1, -1, -1), (0, 2, 3), (3, 0, 1) [I]_C Temos que, escalando e resolvendo I, temos o resultado: (por linha de matriz) (1, 0, 3) (1, 2, 0) (-1, 2, 0) (-1, 3, 1) b) [I]_β = [ -2 -9 6 -1 -4 3 1 3 -2 ] por linha de matriz: [ -2, -9, 6 -1, -4, 3 (1, 3, -2) ] c) [μ]_C = (-2, 0, 1) = [S] β_C ⋅ [μ]_β = [μ]_C 1) U = {(x, y, z) ∈ ℝ³ / x=0} e V = {(1, 2, 0), (3, 1, 2)} U = {(0, y, z) ∈ ℝ³ / y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1)} base = {(0, 1, 0), (0, 0, 1)} V = base {(1, 2, 0), (3, 1, 2)} U + V = ℝ³ U ∩ V = (0, 2, 2) dim U = 2 dim V = 2 dim U + V = 3 dim U ∩ V = 1 A soma U + V é direta? : NÃO 2) W = {(x, y, z, t) ∈ ℝ⁴ / x-y = 4 e x-3y+z = 0} U = {(1, 2, 1, 3), (3, 1, -1, 4)} W => x = 2y t = -x + 3y = -2y + 3y => t = y (2y, u, z, y) = y (2, 1, 0, 1) + z (0, 0, 1, 0) dim U = 2 dim W = 2 dim U ∪ W = 4 dim U ∩ W = 0 Sim 1) u = (7, -4, 2, 9), v = (-2, 5, -1, 7), w = (-9, 4, 4, -7) αu + βv + γw = (-18, 14, 8, 16) α (7, -4, 2, 9) + β (-2, 5, -1, 7) + γ (-9, 4, -7) = (-18, 14, 8, 16) 7α - 2β - 9γ = -18 -4α + 5β + 4γ = 14 2α - β + 4γ = 8 9α + 7β - 7γ = 16 (-18, 14, 8, 16) = 15u + 6v + 11w at=15 β=6 γ=11 2) α (1, -1, 2, 3) + β (3, 3, -4) = (1, -1, 2) γ -2α + 3β=1 -2α + 3β=-1 α=2 β=1 γ=3 θ=2 (1, -1, 2) = 2μ + 1ν (3, 0, 1) = 3μ + 2ν 3) a) 2A + B - 3C = [2 0] [ 3 6] [ 1 1] [-1 -3] [0 0] + [ 1 -3] - [ 0 1] = [-1 1] [2 1] [ 0 -3] [ 1 4] [ 1 4] linha 1: (-1, -3) linha 2: (-1, 1) linha 3: (1, 4) b) X = [a b] A + X X - B = C [c d] —————— - ————— = ———— 2 3 [1 + a b/2] [a/3 3] [ 1 2] [1 + b b - 2] - [b/3 b + 2] = [ 1 0] [c/2 d/2] [c - 2 d - 1] [ 0 -1] linha 1: (3, 7) linha 2: (2, -2) linha 3: (-2, -8) [1 + a - a/3 = 1 => 3 + 3a - 2a = 6 => ☐ a = 3 6 [1 + 3b -b = 2 => 3 + 3b - 2b + 2 = 12 => ☐ b = 7 6 [c/2 - b - 2 = 1 => ☐ 3c - 2e + 4 = 6 6 [c/2 - b - 2 = 1 => ☐ 3d - 2e + 4 = 6 => ☐ d = -2 6 [e/3 - (c - 1) = 0 => ☐ 3e - 2 + 2e + 2 = 0 => ☐ e = -2 6 [f/2 - (d - 1) = -1 => ☐ 3d - 2d + 2 = 0 => ☐ d = -8 6 e) [ 1 1 ] = t1 [ 2 1 ] + t2 [ 1 2 ] [ 0 0 ] [ 0 1 ] [ 0 -1] 1 = t1 = t2 t1 = t2 ∴ t1 + t2 ∴ t1 + 2 ⟹ t1 = -1 0 = t1 ≠ -1 ⟹ Não existe 4) d(t) = t^3 - 1 g(t) = t^2 + t - 1 h(t) = t + 2 a) 2d(t) + 3g(t) - 4h(t) 2t^3 - 2 + 3t^2 + 3t - 3 - 4t - 8 = 2t^3 + 3t^2 - t - 13 [b1a)] [ 2 ] [ 3 ] [ -1 ] [ -13 ] t^3 + t^2 + t + b) d(t) + kg(t) = h(t) t^3 - 1 + k t^2 + kt - k = t + 2 t^3 + kt^2 + kt + (-1 - k) = t + 2 kt = t => k = 1 ∴ k = 1 -1 - 1 = -2 ≠ 2 ⟹ Não existe e) d, g, h não L.I. are L.D. αd + βg + γh = 0 αt^3 - 2 + βt^2 + βt - β + γt + 2γ = 0 t [ β + γ ] = 0⟹ γ = 0 Portanto, não L.I.