Lista 3 - Distribuições de Probabilidade 2021-1

Universidade Federal de Uberlˆandia Disciplina: Estat´ıstica Curso: Geologia Prof. Jair Rocha do Prado 3a Lista de Exerc´ıcios - Distribui¸c˜oes de Probabilidade Exerc´ıcios Propostos: 1) O primeiro d´ıgito de um n´umero serial de uma pe¸ca ´e igualmente prov´avel de ser qualquer um dos d´ıgitos de 0 a 9. Se uma pe¸ca for selecionada de uma grande batelada e X for o primeiro d´ıgito do n´umero serial, ent˜ao X ter´a uma distribui¸c˜ao discreta uniforme, com probabilidade igual a 0,1 para cada valor em R = 0, 1, 2, ..., 9. Determine a m´edia e a variˆancia de X. Calcule P(3 < X < 7). 1 2) Dados hist´oricos mostram que 5% das rochas apresentam f´osseis abundantes. Considerando um total 20 rochas, calcular a probabilidade de: a) haver alguma rocha com f´osseis abundantes; b) haver exatamente duas rochas com f´osseis abundantes; c) haver mais de duas rochas com f´osseis abundantes; d) qual o n´umero esperado de rochas com f´osseis? e) e de rochas sem f´osseis? 2 3) Considerando que dados hist´oricos mostram que 70% das pessoas que acessam a p´agina p23 da internet tamb´em acessam a p´agina 24, fa¸ca os itens a seguir. a) Calcule a probabilidade de que, nos dez pr´oximos acessos `a p23, a maioria tamb´em acesse a p24. b) Apresente o gr´afico da vari´avel aleat´oria X = n´umero de pessoas que tamb´em acessam a p24 sob a forma de um histograma, indique a posi¸c˜ao do valor esperado e represente P(X > 5) como uma ´area na figura. 3 4) Em um sistema de transmiss˜ao de dados, existe uma probabilidade igual a 0,04 de um lote de dados ser transmitido erroneamente. Foram transmitidos 30 lotes de dados para a realiza¸c˜ao de um teste de an´alise de confiabilidade do sistema. a) Qual ´e o modelo te´orico mais adequado para esse caso? Porquˆe? b) Calcule a probabilidade de haver erro de transmiss˜ao. c) Calcule a probabilidade de que haja erro na transmiss˜ao em exatamente 2 dos lotes de dados. d) Qual ´e o n´umero esperado de erros no teste realizado? 4 5) Mensagens chegam a um servidor de acordo com uma distribui¸c˜ao de Poisson, com taxa m´edia de cinco chegadas por minuto. a) Qual a probabilidade de que duas chegadas ocorram em um minuto? b) Qual a probabilidade de que uma chegada ocorra em 30 segundos? 5 6) Uma central telefˆonica recebe em m´edia, 300 chamadas na hora de maior movimento, e pode proces- sar, no m´aximo, 10 liga¸c˜oes por minuto. Utilizando a distribui¸c˜ao de Poisson, calcular a probabilidade de que a capacidade da mesa seja ultrapassada em dado minuto do hor´ario de pico. 6 7) Suponha que o n´umero de invertebrados f´osseis numa biocenose tenha distribui¸c˜ao de Poisson, com taxa de 0,05 invertebrados por m2. Em um estudo, ´e necess´ario analisar uma regi˜ao de 3 m x 2 m. a) Qual ´e a probabilidade de que n˜ao haja invertebrados nessa regi˜ao? b) Qual ´e a probabilidade de que haja mais que um invertebrado nessa regi˜ao? c) Em 5 an´alises como essa, qual ´e a probabilidade de que pelo menos 4 n˜ao apresentem invertebrados na regi˜ao? 7 8) Um item ´e vendido em lotes de 200 unidades. Normalmente o processo de fabrica¸c˜ao gera 4% de itens defeituosos. Um comprador compra cada lote por R$ 100,00 (alternativa 1). Um outro comprador faz a seguinte proposta: de cada lote, ele escolhe uma amostra de 15 pe¸cas; se a amostra tem 0 defeituoso, ele paga R$ 200,00; 1 defeituoso, ele paga R$ 50,00; mais que 1 defeituoso, ele paga R$ 5,00 (alternativa 2). Em m´edia, qual alternativa ´e mais vantajosa para o fabricante? (Calcule os valores esperados das duas alternativas.) 8 9) A temperatura T de destila¸c˜ao do petr´oleo ´e crucial na determina¸c˜ao da qualidade final do produto. Suponha que T seja considerada uma v.a. com distribui¸c˜ao uniforme no intervalo (150,300). Suponha que o custo para produzir um gal˜ao de petr´oleo seja C1 reais. Se o ´oleo for destilado a uma temperatura inferior a 200 graus, o produto obtido ´e vendido a C2 reais; se a temperatura for superior a 200 graus, o produto ´e vendido a C3 reais. a) Fazer o gr´afico da f.d.p. de T. b) Qual o lucro m´edio por gal˜ao? 9 10) Dada a vari´avel aleat´oria T = tempo de resposta na consulta a um banco de dados (em minutos) com fun¸c˜ao densidade de probabilidade f (t) = 2e−2t se t ⩾ 0 ou seja, uma exponencial com λ = 2, calcular a probabilidade da consulta demorar mais que 3 minutos, isto ´e, P(T > 3) 11) O tempo de vida (em horas) de uma lˆampada ´e uma vari´avel aleat´oria com distribui¸c˜ao exponencial. O tempo m´edio de vida da lˆampada ´e de 500 horas. a) Calcule a probabilidade de uma lˆampada durar mais do que 500 horas. b) Calcule a probabilidade de uma lˆampada durar entre 300 e 1000 horas. 10 12) Suponha que o diˆametro m´edio da base e do topo de um arenito ´e uma vari´avel aleat´oria com distribui¸c˜ao normal de m´edia 2,646 e desvio padr˜ao de 0,1826. Calcule: a) a probabilidade de o diˆametro ser menor do que 2; Use P (Z < −3.54) = 0, 0002. b) a probabilidade de o tempo de resposta ficar entre 2 e 3. Use P (−3, 54 < Z < 1, 94) = 0, 9736. 11 13) As alturas de 10.000 alunos de um col´egio tˆem distribui¸c˜ao aproximadamente normal, com m´edia 170 cm e desvio padr˜ao 5 cm. a) Qual o n´umero esperado de alunos com altura superior a 165 cm? Use P (Z > −1) = 0, 8413. b) Qual o intervalo sim´etrico em torno da m´edia que conter´a 75% das alturas dos alunos? Use P (−1, 15 < Z < 1, 15) = 0, 75. 12