Slide - Inferência Estatística 2020-2

Inferˆencia Estat´ıstica Jair Rocha do Prado Universidade Federal de Uberlˆandia Faculdade de Matem´atica Campus Monte Carmelo Jair Rocha do Prado Inferˆencia Estat´ıstica Teste para comparacao de duas variancias Estatistica de Teste 2 2 S. oO $9 O17 Ho Exemplo 1 Foi realizado um experimento com o objetivo de comparar os tempos gastos, em minutos, na manobra com os arados Fu¢ador e Erechim. Ambos os arados sdo de tracdo animal. Os dados obtidos com 11 repeticOes para cada arado foram os seguintes: Erechim 0,36 048 O33 O43 O40 O43 O33 0,36 035 0,40 0,35 Fucador 9.20 0,22 0,18 0,23 012 0,20 013 012 013 0,22 0,17 Teste, ao nivel de 5% de probabilidade, as hipéteses: F(19,10:0,05) = 2,978 . 2 2 Exemplo 1 Passo 1: { Ho : 0% = 0% a) 2 Passo 2: st (o2 F = > x 7 s oO F E/ Ho Exemplo 1 Passo 3: F 0 1 2 3 4 5 2,978 α(0,05) RRH0 RNRH0 Jair Rocha do Prado Inferˆencia Estat´ıstica Exemplo 1 Passo 4: Fcalc = 0, 002325 0, 001847 × 1 = 1, 2588 Passo 5: Como o valor de Fcalc ∈ RNRH0, n˜ao se rejeita H0 ao n´ıvel de significˆancia de 5%. Portanto, a variabilidade do tempo gasto na manobra com o arador Erechim ´e igual a do arador Fu¸cador, ao n´ıvel de significˆancia de 5%. Decis˜ao do teste atrav´es do valor-p: como o valor-p (0,3614) ´e maior do que o n´ıvel de significˆancia (0,05), n˜ao se rejeita a hip´otese nula (H0 : σ2 E = σ2 F). Jair Rocha do Prado Inferˆencia Estat´ıstica Teste para comparacao de duas médias - variancias desconhecidas e iguais Estatistica de Teste -- (X1 — Xo) — (1 — 12) Hg 1 1 Selig + iy em que — (ny — 1) 52 + (nz — 1) 88 © ny tn —2 Exemplo 2 No estado de Santa Catarina realizou-se uma pesquisa para comparar dois locais, Itaja´ı e Ararangu´a, quanto `a produ¸c˜ao de arroz irrigado, em t/ha, na safra 1988/1989. Dez progˆenies foram utilizadas nos dois locais e os seus resultados anotados. Itaja´ı (I) 5,3 5,7 7,0 6,2 8,0 9,3 9,2 6,9 7,0 6,5 Ararangu´a (A) 6,0 6,3 7,2 6,8 7,8 8,4 8,3 7,2 7,3 7,0 Teste a hip´otese de igualdade entre as produ¸c˜oes m´edias. Use o n´ıvel de significˆancia igual a 0,05. Use t(18;0,025) = 2, 1009. Jair Rocha do Prado Inferˆencia Estat´ıstica Exemplo 2 Passo 1: { Ho : “1 = MA Ay: wi FMA Passo 2: _ (x1 — Xa) — (Hi — HA) Hg fia, 1 Sc\/ 7, + Ta em que — (nj — 1) s? + (na — 1) 54% an nptn,a-—2 Exemplo 2 Passo 3: t −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 2,1009 α 2(0,025) α 2(0,025) −2,1009 RRH0 RRH0 RNRH0 Jair Rocha do Prado Inferˆencia Estat´ıstica Exemplo 2 Passo 4: (10 — 1) x1, 832111 + (10 — 1) x0, 606778 = [| SN = 1, 104284 eV 10+10—2 (7,11 — 7,23) —0 tcale = >. = —0, 24299 /4 1 1, 104284,/35 + G6 Passo 5: Como o valor de teaie € RNRHp, nao se rejeita Hp ao nivel de significancia de 5%. Portanto, a producdo média de arroz irrigado em Itajaf é igual a de Ararangua, ao nivel de significancia de 5%. Exemplo 2 Decis˜ao do teste atrav´es do valor-p: como o valor-p (0,8108) ´e maior do que o n´ıvel de significˆancia (0,05), n˜ao se rejeita a hip´otese nula (H0 : µI = µA). Jair Rocha do Prado Inferˆencia Estat´ıstica Teste para comparacao de duas médias - variancias desconhecidas e diferentes Estatistica de Teste -- (X1 — Xo) — (1 — 2) Hg 7 s2 s2 Vere Obs.: A estatistica do teste t tem distribuicdo aproximada t de Student, com v graus de liberdade. O valor de v é obtido através da férmula de Satterthwaite. v= a & (Satterthwaite) t 2) mn n2 m-1 + no—1 Exemplo 3 Foi realizado um estudo para verificar a influˆencia da incidˆencia solar sobre a produ¸c˜ao de espiguetas nas gram´ıneas da esp´ecie Paspalum notatum, conhecida como grama-batatais. Levantou-se a hip´otese de que a reprodu¸c˜ao sexuada da esp´ecie ´e prejudicada em ´areas com menor luminosidade. Com esta finalidade efetuou-se a contagem das espiguetas produzidas pelas plantas em dois locais, quais sejam: adjacentes ao sol e `a sombra leve. Os resultados de 20 amostras (plantas) por local foram: Jair Rocha do Prado Inferˆencia Estat´ıstica Exemplo 3 Popula¸c˜ao Ambiente Amostras (plantas) 44 47 52 55 57 1 Sombrio 59 60 61 62 63 64 66 67 67 68 68 69 71 73 76 44 54 60 60 70 2 Iluminado 75 79 80 81 83 86 88 88 89 90 91 95 101 107 108 Teste a hip´otese levantada de que a m´edia de espiguetas em local sombreado ´e menor do que a m´edia em local adjacente ao sol. Use o n´ıvel de significˆancia de 5%. Use t(27,625;0,05) = 1, 7019. Jair Rocha do Prado Inferˆencia Estat´ıstica Exemplo 3 Passo 1: Ho : fi = He Hy: py < pe Passo 2: te (%1 — Xo) — (Ha — 2) 4, 7 s2 s2 vate v= a & (Satterthwaite) x 2) ny ng nm-l + no—1 Exemplo 3 Passo 3: t −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 α(0,05) −1,7019 RRH0 RNRH0 Jair Rocha do Prado Inferˆencia Estat´ıstica Exemplo 3 Passo 4: 62,45 — 81,45) —0 tcale = (62, 45 — 81,45) ~ 0 = —4, 4803 69,62895 , 290,05 20 20 69,62895 , 290,05 \* _ 2 + ~ 20 97.62 v= 69,62895 \2 290,05\2 7,625 (22), ey 20-1 20-1 Passo 5: Como o valor de tease € RRHp, rejeita-se Hp ao nivel de significancia de 5%. Portanto, realmente a reproducdo sexuada é prejudicada em drea sombreada. Exemplo 3 Decis˜ao do teste atrav´es do valor-p: como o valor-p (0,00006) ´e menor do que o n´ıvel de significˆancia (0,05), rejeita-se a hip´otese nula. Jair Rocha do Prado Inferˆencia Estat´ıstica Teste para comparacao de duas proporcoes Estatistica de Teste —_ (P1 ~~ p2) a (pi a P2) Ho /Pi(l-hi) | be(1—pe) ny + n2 Exemplo 4 Os resultados a seguir s˜ao relativos `a incidˆencia de plantas infecta- das por um mesmo fungo em duas localidades diferentes com uma ´unica esp´ecie de eucalipto. Sup˜oem-se probabilidades constantes de incidˆencia do fungo nas plantas nas duas regi˜oes e ainda ocorrˆencia independente de planta para planta. Testar a hip´otese de que as duas localidades apresentam a mesma incidˆencia do fungo. O n´u- mero de plantas infectadas pelo fungo em uma amostra de n1 = 20 plantas da localidade A foi igual a 8 e em uma amostra de n2 = 15 plantas da localidade B foi igual a 4. Considere α = 0, 05. Use z0,025 = 1, 96. Jair Rocha do Prado Inferˆencia Estat´ıstica me <ornayo)(omss Passo 1: { Ho : Pa = PB H,: pa # ps Passo 2: 7 (Ba — Be) — (PA — PB) Hy [Pa(t=Ba) 4 ba(—Ba) A wa A + 'B 7a 'B Exemplo 4 Passo 3: z −3 −2 −1 0 1 2 3 1,96 −1,96 RRH0 RRH0 RNRH0 α(0,025) α(0,025) Jair Rocha do Prado Inferˆencia Estat´ıstica me <ornayo)(omss Passo 4: 0,40 — 0,27) —0 Zcale = (040-027) = 0 _ 0,8199 /0,40(1—0,40) | 0,27(1—0,27) 20 + 15 Passo 5: Como o valor de Zcaie € RNRHp, nao se rejeita Hp ao nivel de significancia de 5%. Portanto, ha uma tendéncia de que as duas localidades apresentem a mesma incidéncia de fungo. Decisao do teste através do valor-p: como o valor-p (0,4123) é maior do que o nivel de significancia (0,05), ndo se rejeita a hipdtese nula (Ho : PA = ps).