Ângulo entre Vetores e Produto Escalar - Resumo Teórico Detalhado

CAPÍTULO 8 ÂNGULO ENTRE VETORES PRODUTO ESCALAR Consideremos os vetores não nulos u e v Tomemos um ponto O E³ e sejam P Q E³ tais que u OP v OQ Seja θ a medida em radianos graus do ângulo POQ satisfazendo 0 θ π 0 θ 180 Se tivéssemos tomado outro ponto O E³ em lugar de O e P Q com u OP v OQ obteríamos que a medida em radianos graus de PÔQ ainda seria θ veja a figura Definição 1 O número θ se chama medida em radianos graus do ângulo entre u e v Procuraremos agora uma expressão que nos forneça θ em termos de u e v Para isso fixemos uma base ortonormal î ĵ k e sejam u x₁ y₁ z₁ e v x₂ y₂ z₂ lembrese de que 57 58 Geometria Analítica um tratamento vetorial sendo a base ortonormal a norma de qualquer vetor pode ser calculada como vimos no Capítulo 6 isto é w a b c w a² b² c² Aplicando a lei dos cosenos ao triângulo POQ resulta QP² u² v² 2u v cos θ 1 Mas QP² OP OQ² u v² x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂² x₁ x₂² y₁ y₂² z₁ z₂² x₁² y₁² z₁² x₂² y₂² z₂² 2x₁x₂ y₁y₂ z₁z₂ Substituindo em 1 resulta u v cos θ x₁x₂ y₁y₂ z₁z₂ 2 expressão esta que nos permite calcular cos θ pois u x₁² y₁² z₁² e v x₂² y₂² z₂² Observemos 2 Ela nos mostra que a expressão x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ não depende da base ortonormal fixada pois o primeiro membro não depende Em outras palavras se você tomasse outra base ortonormal î ĵ k e escrevesse u x₁ y₁ z₁ v x₂ y₂ z₂ então x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ u v cos θ Observemos também que se u ou v são nulos a expressão do 2º membro é nula Definição 2 Chamase produto escalar dos vetores u e v ao número u v dado por u v 0 se u 0 ou v 0 u v cos θ se u 0 e v 0 3 sendo θ a medida do ângulo entre u e v Usase também a notação u v Ângulo entre Vetores Produto Escalar 59 De acordo com o que vimos acima podemos escrever u v x₁x₂ y₁y₂ z₁z₂ 4 desde que as coordenadas usadas se refiram a uma base ortonormal Resulta de 3 que se u 0 e v 0 então cos θ u v u v 5 Observe que decorre da própria definição que u u u 6 pois u u x₁x₁ y₁y₁ z₁z₁ x₁² y₁² z₁² u² Proposição 1 Quaisquer que sejam u v w de V³ e qualquer que seja λ real temse 1 u v w u v u w 2 u λv λ u v λu v 3 u v v u 4 u u 0 u u 0 u 0 As demonstrações são extremamente simples A nº 4 por exemplo decorre de u² u u as outras seguem da definição Deixamolas a seu cargo Proposição 2 u v u v 0 Demonstração Se u ou v é nulo é imediato Senão decorre da fórmula 5 que nos diz que u v 0 cos θ 0 θ π2 u v Lembrese de que 0 θ π Observação A Definição 2 a fórmula 6 e a Proposição 2 nos permitem caracterizar as bases ortonormais do seguinte modo uma condição necessária e suficiente para que uma tripla e1 e2 e3 de vetores de V3 seja uma base ortonormal é que e1 e1 e2 e2 e3 e3 1 e e1 e2 e1 e3 e2 e3 0 Resumindo ei ej 1 se i j 0 se i j De fato 7 garante que os vetores e1 e2 e e3 são unitários e 8 garante que eles são dois a dois ortogonais Restaria apenas provar que e1 e2 e3 é LI Para isso sejam α1 α2 α3 números reais tais que α1 e1 α2 e2 α3 e3 0 Multiplicando escalarmente por e1 e aplicando a Proposição 1 partes 1 e 2 obtemos α1 e1 e1 α2 e1 e2 α3 e1 e3 0 e por 7 e 8 chegamos a α1 1 α2 0 α3 0 0 ou seja α1 0 Procedendo de modo análogo você pode provar que α2 0 e α3 0 Seguese que e1 e2 e3 é LI Atenção Evite o erro seguinte sendo u v u w cancelar u e concluir que v w Isto é falso Veja um procedimento correto u v u w u v u w 0 u v w 0 u v w a última equivalência sendo garantida pela Proposição 2 e a penúltima pela Proposição 1 partes 1 e 2 com λ 1 Para obter concretamente um contraexemplo tome u 1 0 0 v 4 2 1 w 4 1 1 em relação a uma base ortonormal Então v w e u v 4 u w EXERCÍCIOS RESOLVIDOS É fixada uma base ortonormal 1 Ache a medida em radianos do ângulo entre os vetores u 2 0 3 e v 1 1 1 Resolução Temos u v 2 0 3 1 1 1 2 1 0 1 3 1 1 u 2 0 3 2² 0² 3² 13 v 1 1 1 1² 1² 1² 3 cos θ u v u v 1 13 3 1 39 θ arc cos 1 39 2 Ache a medida em graus do ângulo entre os vetores u 1 10 200 e v 10 1 0 Resolução Temos u v 1 10 200 10 1 0 1 10 10 1 200 0 0 Logo u v e θ 90 em graus 3 Mostre que a u v² u² 2 u v v² b u v 12 u v² u² v² Resolução a u v² u v u v u u v v u v u u u v v u v v u² u v u v v² u² 2 u v v² b 12 u v² u² v²a 12 u² 2 u v v² u² v² u v 4 Demonstre a desigualdade de Schwarz u v u v Resolução Se u ou v é nulo é imediato pois ambos os membros se anulam Se u 0 e v 0 então a desigualdade de Schwarz resulta imediatamente de cos θ u v u v e cos θ 1 Observe que a igualdade vale se e somente se um dos dois vetores é nulo ou caso contrário se cos θ 1 veja o Exercício 26c 5 Se e1 e2 e3 é uma base ortonormal e u V3 então u u e1 e1 u e2 e2 u e3 e3 veja a 1ª observação após o Exercício Resolvido nº 7 Resolução Sabemos que existem únicos α1 α2 α3 reais tais que u α1 e1 α2 e2 α3 e3 α Multiplicando escalarmente por e1 ambos os membros resulta ue1 α1 e12 α2 e2e1 α3 e3e1 Como a base é ortonormal temse e11 e2e10 e3e10 Logo ue1α1 Analogamente utilizando e2 e e3 respectivamente chegase a ue2α2 ue3α3 Substituindo β γ δ em α obtémse a igualdade desejada 6 Prove que as diagonais de um quadrado são perpendiculares Resolução Considere um quadrado A B C D como na figura Então sendo uAB vBC basta provar que uvuv0 Mas uvuvuuuvvuvvu2v20 já que uv Pergunta Onde entrou o fato de ser u v Veja o Exercício 22a 7 Seja v0 fixado Dado um vetor w existe um único par ordenado w1 w2 com w1 v w2 v e ww1 w2 w1 se chama projeção de w na direção de v ou sobre v e se indica por projv w Prove que projv w w1 wvv vv wvv2 v Resolução Como w1 v temos w1 λ v α donde w λ v w2 Multiplicando escalarmente por v obtemos wv λ v2 w2v λ v2 pois w2 v Daí λ wvv2 Substituindo em α resulta a tese Observações 1 Se v é unitário v1 então projv w wvv O Exercício Resolvido nº 5 pode então ser reenunciado como segue Se e1 e2 e3 é uma base ortonormal e u V3 então u proje1 u proje2 u proje3 u veja a figura pois OA proje1 u OB proje2 u OC proje3 u OA OB OC u 2 Lembrando que λ v λ v veja o Capítulo 3 temos que a norma da projeção de w sobre v é dada por projv w wv v2 v wv v Outro modo de ver isso é observar na figura abaixo o triângulo retângulo ABC onde w1 w cos θ w wv wv wv v 8 Dada a base e1 e2 u onde e1 e e2 são unitários e ortogonais obtenha e3 tal que e1 e2 e3 seja uma base ortonormal Resolução Suponhamos obtido e3 Então pelo Exercício Resolvido nº 5 devemos ter u ue1 e1 ue2 e2 ue3 e3 logo chamando de t o vetor u e3 e3 devemos ter t u u e1 e1 u e2 e2 Considere agora o vetor t definido por esta expressão Então t 0 senão e1 e2 u seria LD e t e1 t e2 pois t e1 u u e1 e1 u e2 e2 e1 u e1 u e1e1 e1 u e2e2 e1 u e1 u e1 0 e analogamente t e2 0 Assim e3 t t resolve o problema Observação É importante que você tenha uma visão geométrica da construção de t para escrever sua expressão sem decorála Veja na figura que t se obtém subtraindo de u suas projeções ortogonais sobre e1 e sobre e2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Fixase uma base ortonormal 1 Ache a medida em radianos do ângulo entre u e v nos casos a u 1 0 1 v 2 10 2 b u 3 3 0 v 2 1 2 c u 1 1 1 v 1 1 1 d u 32 12 0 v 32 12 3 e u 300 300 0 v 2000 1000 2000 procure vetores com coordenadas mais simples tais que a medida do ângulo formado seja a mesma 2 Ache x de modo que u v nos casos a u x 0 3 v 1 x 3 b u x x 4 v 4 x 1 c u x 1 1 2 v x 1 1 2 d u x 1 4 v x 3 1 3 Sejam A B e C três pontos de E³ e sejam c BA e a BC Mostre que o vetor u cc aa é paralelo à bissetriz do ângulo ABC Interprete este resultado relacionandoo com uma conhecida propriedade dos losangos Sugestão Calcule os cosenos dos ângulos entre u e c e entre u e a e compareos 4 Ache u tal que u 33 e u é ortogonal a v 2 3 1 e a w 2 4 6 Dos u encontrados qual o que forma ângulo agudo com o vetor 1 0 0 5 Ache u ortogonal a v 4 1 5 e a w 1 2 3 e que satisfaz u 1 1 1 1 6 Ache u de norma 5 ortogonal a 2 1 1 tal que u 1 1 1 0 1 1 seja LD 7 Ache u tal que u 2 a medida em graus do ângulo entre u e 1 1 0 seja 45 e u 1 1 0 8 Calcule AB DA sabendo que o tetraedro ABCD é regular de aresta unitária 9 Calcule 2 u 4 v² sabendo que u 1 v 2 e a medida em radianos do ângulo entre u e v é 2π3 10 Se A B C são vértices de um triângulo equilátero de lado unitário calcule AB BC BC CA CA AB 11 Se u v w 0 u 32 v 12 w 2 calcule u v v w w u 12 A medida em radianos do ângulo entre u e v é π4 Sabendo que u 5 e v 1 ache a medida em radianos do ângulo entre u v e u v 13 Fixada uma base ortonormal i j k e tomado v 0 chamamse cosenos diretores de v relativamente à base fixada os números cos α cos β cos γ onde α β γ são as medidas dos ângulos que v forma respectivamente com i j k a Sendo v x y z prove que cos α x x² y² z² cos β y x² y² z² cos γ z x² y² z² b Prove que cos² α cos² β cos² γ 1 c Prove que os cosenos diretores de v são as coordenadas do versor de v isto é de v v d Sendo θ a medida do ângulo entre v₁ e v₂ de cosenos diretores cos α₁ cos β₁ cos γ₁ e cos α₂ cos β₂ cos γ₂ respectivamente mostre que cos θ cos α₁ cos α₂ cos β₁ cos β₂ cos γ₁ cos γ₂ e Ache os cosenos diretores de v 1 3 6 e de v f Sendo E ē₁ ē₂ ē₃ e F f₁ f₂ f₃ bases ortonormais mostre que a jésima coluna da matriz de mudança de E para F é formada pelos cosenos diretores de fj em relação a E 14 Ache a projeção do vetor w na direção do v nos casos a w 1 1 2 v 3 1 1 b w 1 1 1 v 2 1 2 c w 1 3 5 v 3 1 0 15 Decomponha w 1 3 2 como soma de dois vetores w₁ e w₂ com w₁ paralelo ao vetor 0 1 3 e w₂ ortogonal a este último 16 Decomponha w 1 0 3 como soma de dois vetores w₁ e w₂ com w₁ 1 1 1 1 1 2 linearmente dependentes e w₂ ortogonal a estes dois últimos 17 Processo de ortonormalização de GramSchmidt Dada a base f₁ f₂ f₃ ache uma base ortonormal ē₁ ē₂ ē₃ tal que ē₁ f₁ e ē₂ seja combinação linear de f₁ e f₂ Aplicação f₁ 1 2 2 f₂ 1 0 1 f₃ 1 1 1 Sugestão ē₁ f₁f₁ use o Exercício Resolvido nº 7 para escrever diretamente ē₂ use o Exercício Resolvido nº 8 para escrever diretamente ē₃ 18 Prove que v u u v v u u v 19 Prove que se u v w e v w u então w u v 20 Mostre que u v 14 u v² u v² e que u v 0 u v u v 21 Mostre que as diagonais de um paralelogramo têm mesma medida se e somente se o paralelogramo é um retângulo Sugestão Traduza para u v u v u v 22 Mostre que as diagonais de um losango a são perpendiculares e reciprocamente se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares ele é um losango b bissectam os ângulos internos 23 a Mostre que a mediana relativa à base de um triângulo isósceles é perpendicular à base e é bissetriz do ângulo do vértice b Mostre que se um triângulo é isósceles os ângulos da base são congruentes isto é têm a mesma medida c Recíproca de b Mostre que se um triângulo tem dois ângulos congruentes ele é isósceles 24 Mostre que as bissetrizes de ângulos adjacentes suplementares são perpendiculares Sugestão Exercício 3 25 Mostre que a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos quatro lados Sugestão Mostre que u v² u v² 2u² v² 26 Mostre que a x y x y propriedade triangular b x y x y c x y x y x y são lineares dependentes Sugestão a x y² x² 2x y y² Use x y x y x y Desigualdade de Schwarz b A desigualdade equivale a x y x y x y Escreva x x y y Use a parte a 27 Sendo u 0 v 0 w v u v u u u v v prove que w forma ângulos congruentes com u e com v 28 a Prove a relação de Euler BADC ACDB CBDA 0 b Prove que se um tetraedro tem dois pares de arestas opostas ortogonais as duas arestas restantes são também ortogonais c Prove que as alturas de um triângulo passam por um mesmo ponto este exercício já foi proposto no Capítulo 4 usando a relação de Euler sua resolução fica muito simplificada 29 O objetivo deste exercício é resolver a equação x u m u 0 α Vamos tentar visualizar geometricamente o conjuntosolução V da mesma Como projux x u u² u Exercício Resolvido nº 7 temos que V é o conjunto dos x cuja projeção sobre u é m u² u Esta observação já nos dá uma idéia de V Tomando O E³ e sendo P₀ O m u u u vemos que se P pertence ao plano π que contém P₀ e é ortogonal a u então x OP é solução pois a projeção de x na direção de u é m u² u e é fácil se convencer que todo x solução de α se obtém assim Então x OP P₀P OP₀ P₀P m u u u Caso u 0 a equação não tem solução se m 0 e qualquer x V³ é solução se m 0 Tomando a e b vetores linearmente independentes e paralelos a π podemos escrever P₀P λ a μ b logo x λ a μ b m u² u γ Quando λ e μ percorrem ℝ x percorre V o conjunto solução de α Para justificar rigorosamente as afirmações indicamos os passos seguintes deixados como exercício Considere a equação homogênea x u 0 u 0 β Vamos fixar uma solução particular de α que denotaremos por x₀ a Mostre que o conjuntosolução de β é o conjunto dos vetores da forma λ a μ b onde λ e μ percorrem ℝ e a e b são dois vetores fixados linearmente independentes e ortogonais a u b Mostre que se x é solução de α então x x₀ é solução de β isto é existem λ μ ℝ tais que x x₀ λ a μ b e que todo x dessa forma é solução de α c Mostre que x₀ m u² u é solução de α d Conclusão de a b c concluímos que o conjuntosolução de α é formado pelos x dados por γ onde λ e μ percorrem ℝ 30 Resolva o sistema x y u x v m v 0 31 Mostre que se E e₁ e₂ e₃ e F f₁ f₂ f₃ são bases ortonormais então a matriz M de mudança de base de E para F satisfaz M Mᵗ Mᵗ M I onde I é a matriz identidade matrizes com tal propriedade chamamse matrizes ortogonais Sugestão Sendo M aᵢⱼ use as relações fᵢ fⱼ 0 se i j 1 se i j para concluir que a₁₁² a₂₁² a₃₁² 1 a₁₂² a₂₂² a₃₂² 1 a₁₃² a₂₃² a₃₃² 1 a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ a₃₁ a₃₂ 0 a₁₁ a₁₃ a₂₁ a₂₃ a₃₁ a₃₃ 0 a₁₂ a₁₃ a₂₂ a₂₃ a₃₂ a₃₃ 0 e daí que Mᵗ M I Observações verifiqueas 1 M é ortogonal M¹ Mᵗ 2 M é ortogonal o produto escalar de dois vetorescoluna linha é nulo se eles forem distintos e igual a 1 no outro caso 3 Se M é ortogonal então detM é 1 ou 1 32 Reconheça as matrizes ortogonais a 1 0 1 2 1 0 0 1 1 b 1 0 0 0 2 1 0 1 1 c 32 12 0 12 32 0 0 0 1 d 12 0 12 12 0 12 0 1 0 e 13 23 23 23 23 13 23 13 23 f 67 3 2 27 6 3 37 2 6 33 Ache as inversas das matrizes ortogonais do exercício anterior 34 Mostre que uma matriz ortogonal 2 x 2 deve ser de uma das formas cos α sen α sen α cos α ou cos α sen α sen α cos α Sugestão M a b c d detM 1 Iguale M1 Mt 35 Na figura ao lado temos um cubo de aresta unitária Considere os vetores e₁ DH e₂ DC e₃ DA u CD CB v DC CB e w GC a Explique por que E e₁ e₂ e₃ é uma base ortonormal b Calcule as coordenadas de u v e w em relação à base E Calcule u e v c Mostre que F f₁ f₂ f₃ é uma base ortonormal sendo f₁ uu f₂ vv e f₃ w d Obtenha a matriz M de mudança da base E para a base F e a matriz N de mudança de F para E veja o Exercício 31 e Calcule as coordenadas do vetor HB em relação à base E e em relação à base F veja o Exercício Resolvido nº 5 36 Seja E i j k uma base ortonormal Sendo u 13 i j k v 12 j k e w 16 2i j k prove que F u v w é uma base ortonormal e calcule as coordenadas do vetor a 3i 2j k em relação à base F veja o Exercício Resolvido nº 5 CAPÍTULO 8 ÂNGULO ENTRE VETORES PRODUTO ESCALAR pág 57 1 a π2 b π4 c arc cos 13 d π3 e 3π4 2 a 9 b 2 c 6 d não existe 4 3 3 3 ou 3 3 3 ângulo agudo 3 3 3 5 1 1 1 6 1 0 2 ou 1 0 2 7 22 22 1 ou 22 22 1 8 12 9 52 10 32 11 134 12 arc cos 426 13 e 14 34 64 14 34 64 14 a 611 3 1 1 b 59 2 1 2 c 0 0 0 15 w1 0 310 910 w2 1 3310 1110 16 w1 12 32 2 w2 12 32 1 28 e1 13 1 2 2 e2 13 2 2 1 e3 13 2 1 2 30 x mv v ² λa μb y u mv v ² λa μb a e b ortogonais a v 32 c d e 3 12 0 12 12 0 1 2 2 3 0 0 0 1 13 2 2 1 0 0 1 2 1 2 35 b u 0 1 1E v 0 1 1E w 1 0 0E u 2 v d M 0 0 1 12 12 0 12 12 0 N 0 12 12 0 12 12 1 0 0 e HB 1 1 1E 0 2 1F 36 a 23 32 76F CAPÍTULO 9 ORIENTAÇÃO DE V³ pág 83 1 Mesma orientação a e b Orientação oposta c 2 Mesma orientação a e b Orientação oposta c 6 a F A b F B 7 αβγ 0 CAPÍTULO 10 PRODUTO VETORIAL pág 96 1 a 10 2 14 e 10 2 14 b 10 2 14 e 10 2 14 c 13 3 4 e 13 3 4 d 0 0 0 e 0 0 0