Estudo da Reta - Equação Vetorial e Vetor Diretor

CAPÍTULO 14 ESTUDO DA RETA Considere uma reta r E3 Escolha um ponto A r e um vetor v 0 paralelo a r Então é fácil ver que um ponto X E3 pertence a r se e somente se AX e v são linearmente dependentes ver figura isto é se e somente se existe λ IR tal que AX λ v ou seja X A λ v 1 Em outras palavras dado λ real 1 nos dá um ponto X de r e dado Xr existe λIR tal que 1 se verifica A reta r é pois o lugar geométrico dos pontos X de E3 tais que vale 1 A equação 1 se chama equação vetorial da reta r Escrevese r X A λv λ IR Observações 1 Observe que 1 não é a única equação vetorial de r pois se tomarmos outro ponto A r teremos que X A λ v também é uma equação vetorial de r porquanto X r existe λ IR tal que AX λ v Poderíamos também ter tomado w 0 paralelo a v w v e teríamos outra equação vetorial de r a saber X A λ w 2 É importante que você sinta intuitivamente que se λ percorre o conjunto dos números reais X dado por 1 percorre toda a reta r Para isso veja a figura a seguir M A 12 v N A v P A 2 v Q A v 3 Se A e B são pontos distintos de r então v AB é nãonulo e paralelo a r de modo que X A λ AB é uma equação vetorial de r É claro que X B λ AB e X B λ BA são também equações vetoriais de r 4 Usando uma linguagem mais livre podemos dizer que o vetor v de 1 serve para fixar a direção da reta r ao passo que o ponto A serve para fixar sua posição no espaço uma reta fica determinada por um de seus pontos e sua direção Chamaremos frequentemente v de vetor diretor ou simplesmente diretor de r Pelas observações já feitas vemos que uma reta admite muitos diretores todos paralelos entre si dois a dois LD Um vetor diretor de r não pode ser nulo 5 Outro modo de interpretar a equação 1 é encarála como se ela descrevesse o movimento de um ponto sobre a reta r com velocidade vetorial constante igual a v λ indicando o tempo e A a posição no instante inicial λ 0 Valores negativos de λ indicariam o passado do movimento em relação ao instante inicial A cada valor de λ teríamos uma posição bem determinada do ponto móvel e fazendo λ percorrer todo o conjunto R a reta r seria percorrida integralmente pelo ponto r seria a trajetória do movimento Como há muitos movimentos retilíneos uniformes com a mesma trajetória fica fácil entender por que existem muitas equações vetoriais para a mesma reta 6 Por tudo o que ficou dito acima vêse claramente que se X A λ u e X B λ v são equações vetoriais de uma reta r o valor de λ correspondente a um ponto Q r não tem porque ser o mesmo nas duas O mesmo se diga por maior razão se elas forem equações de retas distintas Conclusão se você for misturar as equações em seus cálculos deve mudar a notação escrevendo por exemplo X B μ v em vez de X B λ v Tomemos agora um sistema de coordenadas O e1 e2 e3 em relação ao qual sejam X x y z A x0 y0 z0 e v a b c Substituindo em 1 resulta x y z x0 y0 z0 λa b c x y z x0 λa y0 λb z0 λc Logo x x0 λa y y0 λb λ IR 2 z z0 λc Observe que a b c não são todos nulos pois v 0 isto é a2 b2 c2 0 As equações 2 são chamadas equações paramétricas de r λ é chamado parâmetro Suponha agora que seja dado um sistema linear como 2 com a2 b2 c2 0 Então fixado um sistema de coordenadas existe uma reta da qual as equações 2 são equações paramétricas é a reta que passa por x0 y0 z0 e é paralela ao vetor a b c Observe que se você fixar outro sistema de coordenadas mantendo o mesmo sistema de equações as retas em geral são distintas Por exemplo se o sistema de equações é x 0 y 0 z 0 λ A 000 v 00 1 e3 então a reta r passa pela origem e é paralela a e3 Veja agora a figura Obtivemos retas distintas Observações As Observações 1 a 6 anteriores se adaptam naturalmente às equações na forma paramétrica em especial destacamos 1 Se a reta passa pelos pontos distintos A x1 y1 z1 e B x2 y2 z2 então podemos tomar v BA x1 x2 y1 y2 z1 z2 e teremos para equações paramétricas de r x x1 λx1 x2 y y1 λy1 y2 z z1 λz1 z2 λ ℝ 2 Assim como a equação vetorial 1 as equações paramétricas 2 que provêm dela não são determinadas de modo único Dependem da escolha de A e de v e do sistema de coordenadas 3 Releia a Observação 6 Se em 2 tivermos a 0 b 0 e c 0 então podemos eliminar λ e obter xx0a yy0b zz0c que são as chamadas equações de r na forma simétrica EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Ache as equações nas formas vetorial paramétrica e simétrica da reta que passa pelos pontos A 10 1 e B 0 10 Resolução Escolhendo AB 1 1 1 como vetor diretor e o ponto A temos equação vetorial X 1 0 1 λ1 1 1 λ ℝ equações paramétricas x 1 λ1 y 0 λ 1 z 1 λ 1 coordenadas de um ponto da reta coordenadas de um vetor diretor da reta equações na forma simétrica x11 y01 z11 2 Escreva uma equação vetorial da reta r que passa pelo ponto médio M do segmento AB e que tem vetor diretor v 349 3 398 37 São dados A 1 1 3 e B 3 1 0 Resolução Sendo M o ponto médio de AB temos M 132 112 302 2 1 32 Como v é paralelo a u 2 3 14 pois v 398 u podemos tomar u como vetor diretor de r Assim uma equação vetorial de r é x 2 1 32 λ23 14 λ ℝ 3 Dê dois vetores diretores distintos e quatro pontos distintos da reta r que tem equação vetorial X 120 λ1 1 1 λ ℝ Resolução Sabemos que v 1 1 1 é um vetor diretor de r Para obtermos outro basta escolher um vetor w que seja múltiplo de v por exemplo w 2 2 2 Quanto aos pontos basta atribuir valores a λ por exemplo λ 0 X 1 2 0 λ 2 X 1 2 0 2 2 2 3 4 2 λ 1 X 1 2 0 1 1 1 0 1 1 λ 52 X 1 2 0 52 52 52 72 92 52 Logo os pontos A 1 2 0 B 3 4 2 C 0 1 1 e D 72 92 52 são pontos de r 4 Dado o sistema x 1 y 2 λ ℝ z 2λ esboce a representação geométrica da reta r que tem essas equações como equações paramétricas nos casos e₁ e₂ e₃ 1 e₁ e₂ e₃ 1 Resolução Escrevemos o sistema assim x 1 λ0 y 2 λ0 z 0 λ2 e vemos imediatamente que a reta passa por A 1 2 0 e é paralela ao vetor v 0 0 2 2 e₃ Então i ii 5 Dadas equações paramétricas x 1 3λ y 2λ λ ℝ z 6 5λ de uma reta r achar uma equação vetorial de r Resolução Dispomon o sistema assim x 1 λ3 y 0 λ2 z 6 λ5 e imediatamente reconhecemos que r passa por A 1 0 6 e é paralela a v 3 2 5 Então uma equação vetorial de r é X 1 0 6 λ3 2 5 6 Verifique se o ponto P 4 1 1 pertence à reta r X 1 0 1 λ2 1 1 λ ℝ Resolução Para que P r é necessário e suficiente que exista λ ℝ tal que P 1 0 1 λ2 1 1 Ora essa igualdade é equivalente a 4 1 1 1 2λ λ 1 λ ou 4 1 2λ 1 λ 1 1 λ Como o sistema é incompatível não existe um valor de λ que satisfaça simultaneamente às três equações concluímos que P r 7 São dadas as equações 2x13 1y2 z 1 a Mostre que elas representam uma reta r b Elas são equações na forma simétrica de r Caso não sejam passeas para a forma simétrica c Exiba um ponto e um vetor diretor de r Resolução Sendo 2x13 x 1232 1y2 y 12 z 1 z 11 as equações dadas podem ser escritas x 1232 y 12 z 11 α que são equações na forma simétrica de uma reta que passa pelo ponto 12 1 1 e tem v 32 2 1 por vetor diretor Então a as equações dadas por serem equivalentes a α representam uma reta r b elas não são equações na forma simétrica de r pois não atendem à definição anterior Todavia podemos passálas para a forma simétrica é o que fizemos acima obtendo α c A 12 1 1 e v 32 2 1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nos Exercícios 2 4 8 9 10 e 13 o sistema de coordenadas é suposto ortogonal 1 São dados os pontos A 3 6 7 B 5 2 3 e C 4 7 6 a Escreva equações vetorial e paramétricas para a reta determinada pelos pontos B e C e obtenha sua forma simétrica se existir O ponto D 3 1 4 pertence a essa reta b Verifique que os pontos A B e C são vértices de um triângulo c Escreva equações paramétricas da mediana relativa ao vértice C do triângulo 2 Dados os pontos A 0 0 1 B 1 2 1 e C 1 0 1 obtenha equações paramétricas das bissetrizes interna e externa do triângulo ABC relativas ao vértice C veja o Exercício 4 a do Capítulo 4 3 Obtenha equações paramétricas para os três eixos coordenados 4 Dados os pontos A 1 2 5 e B 0 1 0 determine P sobre a reta que passa por A e B tal que o comprimento de PB seja o triplo do comprimento de PA 5 Escreva equações paramétricas para a reta r que passa pelo ponto A 2 0 3 e a é paralela à reta s 1x5 3y4 z36 b é paralela à reta que passa pelos pontos B 1 0 4 e C 2 1 3 c é paralela à reta s x 1 2λ y 4 λ z 1 λ λ R 6 Passe para a forma simétrica quando for possível as equações obtidas no exercício anterior 7 Verifique se r s nos casos a r x 1 λ y 2 2λ λ R z 1 λ s x 1 12μ y 2 μ μ R z 1 12μ b r x 13 λ y 13 λ λ R z 23 λ s x 1 μ y 1 μ μ R z 2 μ c r X 1 1 0 λ1 0 12 λ R s X 0 1 12 μ2 0 1 μ R 8 Dados A 0 2 1 r X 0 2 2 λ1 1 2 ache os pontos de r que distam 3 de A Em seguida diga se a distância do ponto A à reta r é maior menor ou igual a 3 e por quê 9 Idem para A 1 1 1 a distância sendo 11 e r x 1 λ y 1 λ λ R z 4 10 Dada a reta r X 1 0 0 λ1 1 1 e os pontos A 1 1 1 B 0 0 1 ache o ponto de r equidistante de A e B 11 Ache equações paramétricas da reta que passa por A 3 3 3 e é paralela à reta BC sendo B 1 1 0 e C 1 0 1 12 Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações X 0 0 0 λ 1 2 4 λ IR X 1 0 2 λ 1 1 1 λ IR Perguntase se as trajetórias são concorrentes e se haverá colisão 13 Sejam P 1 0 1 e Q 0 1 1 Em cada um dos casos a seguir ache um ponto C da reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja 12 a A 1 2 1 B 1 2 3 b A 1 3 2 B 2 2 2 c A 3 0 2 B 2 1 2 d A 3 2 1 B 0 0 1 b A 2 1 1 B 3 1 1 C 2 0 1 D 1 0 1 E 1 1 0 F 2 1 0 G 1 0 0 H 0 0 0 Observe que para obter as respostas do item b basta somar a cada ponto do item a o vetor 2 1 1 por quê c A 1 2 12 B 1 4 12 C 1 2 0 D 1 0 0 E 0 0 12 F 0 2 12 G 0 0 0 H 0 2 0 d A 0 0 0 B 0 0 1 C 1 0 0 D 1 0 1 E 0 1 1 F 0 1 0 G 1 1 1 H 1 1 2 CAPÍTULO 14 ESTUDO DA RETA pág 136 1 a X 4 7 6 λ 1 1 1 λ IR x 4 λ y 7 λ λ IR x 41 y 71 z 61 z 6 λ D não pertence à reta b basta verificar que A não pertence à reta que passa por B e C ou verificar que AB AC é LI x 1 5 λ y 4 11 λ λ IR z 2 4 λ 2 interna x 1 λ y λ λ IR z 1 externa x 1 λ y λ λ IR z 1 x λ y 0 z 0 λ IR Ox x 0 y 0 z λ λ IR P 34 74 154 ou P 32 52 152 5 a x 2 15 λ y 4 λ λ IR z 3 18 λ b x 2 λ y λ λ IR z 3 λ c x 2 2 λ y λ λ IR z 3 λ 6 a x 215 y4 z 318 b x 2 y z 31 c x 22 y z 31 7 a r s b r s c r s 8 1 1 0 dA r 3 porque um só ponto de r dista 3 de A 9 2 0 4 e 0 2 4 dA r 11 pois existem dois pontos de r que distam 11 de A 10 1 0 0 11 x 3 2 λ y 3 λ z 3 λ 12 Trajetórias concorrentes Não há colisão Releia a Observação 6 CAPÍTULO 15 ESTUDO DO PLANO 1 Equação Vetorial e Equações Paramétricas de um Plano pág 139 1 Equações vetoriais a X 1 1 0 λ 0 2 1 μ 2 1 0 b X 1 0 1 λ 1 1 2 μ 1 1 1 c X 1 1 0 λ 1 2 1 μ 0 1 1 d os três pontos são colineares não está determinado o plano π 2 a sim b sim c não d sim 3 v 11 7 4 10 5 0 4 X 4 5 2 λ 2 3 1 6 X 0 0 0 λ 1 1 0 μ 0 0 1 X 0 0 0 λ 1 1 0 μ 0 0 1 X 0 0 0 λ 0 1 1 μ 1 0 0 X 0 0 0 λ 0 1 1 μ 1 0 0 X 0 0 0 λ 1 0 1 μ 0 1 0 X 0 0 0 λ 1 0 1 μ 0 1 0