Vetores-Introducao-Conceitos-Fundamentais-e-Aplicacoes

PARTE I VETORES INTRODUÇÃO Nesta 1ª parte apresentamos os Vetores que constituem uma importante ferramenta para o estudo da Geometria Analítica da Física do Cálculo etc Você encontrará aqui respostas às perguntas O que é Como funciona e Para que serve O nosso ambiente será o conjunto dos pontos do espaço tridimensional isto é o conjunto dos pontos da Geometria Euclidiana Esse conjunto será indicado por E3 e muitas vezes citado simplesmente como o espaço Você deve sempre imaginar como modelo intuitivo de E3 o espaço físico que nos cerca Os pontos de E3 serão indicados por letras latinas maiúsculas A B P Q etc as retas por letras latinas minúsculas r s t etc e os planos por letras gregas minúsculas π α β etc Se uma reta r contém os pontos P e Q falaremos em reta PQ o segmento geométrico de extremidades P e Q será indicado por PQ Quando um plano contém os pontos P Q e R não colineares falaremos em plano PQR Serão pressupostos os resultados da Geometria Euclidiana alguns dos quais serão utilizados livremente CAPÍTULO 1 VETORES Noção Intuitiva Existem grandezas chamadas escalares que são caracterizadas por um número e a unidade correspondente 50 dm2 de área 4 m de comprimento 7 kg de massa Outras no entanto requerem mais do que isso Por exemplo para caracterizarmos uma força ou uma velocidade precisamos dar a direção a intensidade ou módulo e o sentido Uma força de 4 N Uma velocidade de 5 ms Tais grandezas são chamadas vetoriais Nos exemplos acima as flechas nos dão idéia exata das grandezas mencionadas No entanto vamos adotar o seguinte ponto de vista duas flechas de mesmo comprimento mesma direção isto é paralelas e mesmo sentido veja a figura adiante definem a mesma grandeza vetorial Tais flechas são ditas equipolentes 4 Geometria Analítica um tratamento vetorial Um caso da prática que corresponde a esse ponto de vista é o de um sólido em translação Nesse caso a grandeza velocidade de cada ponto em cada instante é a mesma Então qual das flechas equipolentes que dão a velocidade dos pontos do sólido seria escolhida como sendo a velocidade do sólido num certo instante Como nenhuma tem preferência que tal escolher todas ou melhor o conjunto de todas elas para ser chamado velocidade do sólido Aqui está o germe da noção de vetor Nesse caso tal conjunto seria o vetor velocidade do sólido no instante considerado Formalização do conceito de vetor Primeiramente a definição de flecha Flecha é intuitivamente um segmento no qual se fixou uma orientação E fixar uma orientação é escolher um sentido No caso da figura o segmento orientado representado tem orientação de A para B Na verdade não precisamos da flecha toda para os nossos objetivos Bastam os pontos A e B e a ordem primeiro A e depois B Eis a definição Definição 1 Um segmento orientado é um par ordenado A B de pontos do espaço A é dito origem B extremidade do segmento orientado Os segmentos orientados da forma A A são ditos nulos Observe que se A B A B é diferente de B A Definição 2 Dizemos que os segmentos orientados A B e C D têm o mesmo comprimento se os segmentos geométricos AB e CD têm o mesmo comprimento Suponha A B e C D não nulos Então dizemos que A B e C D têm mesma direção se AB CD Nesse caso dizemos que A B e C D são paralelos Suponha que A B e C D têm mesma direção a Se as retas AB e CD são distintas dizemos que A B e C D têm mesmo sentido caso os segmentos AC e BD tenham intersecção vazia Caso AB CD ϕ dizemos que A B e C D têm sentido contrário mesmo sentido sentido contrário AB CD inclui o caso em que as retas suportes coincidem b Se as retas AB e CD coincidem tome A B tal que A não pertença à reta AB e A B tenha mesma direção e mesmo sentido que A B como em a Então dizemos que A B e C D têm mesmo sentido se A B e C D têm mesmo sentido Se não dizemos que A B e C D têm sentido contrário mesmo sentido sentido contrário Verifique que A B e B A têm mesmo comprimento mesma direção e sentido contrário sendo A B Definição 3 Os segmentos orientados A B e C D são equipolentes e indicase A B C D se um dos casos seguintes ocorrer a ambos são nulos b nenhum é nulo e têm mesmo comprimento mesma direção e mesmo sentido Decorre da definição que equipolente a um segmento nulo só outro segmento nulo Proposição 1 A relação de equipolência goza das seguintes propriedades a A B A B reflexiva b A B C D C D A B simétrica c A B C D e C D E F A B E F transitiva Omitimos a demonstração No entanto será bom que você se convença da validade das asserções Considere agora um segmento orientado A B fixado Chamase classe de equipolência de A B ao conjunto de todos os segmentos orientados que são equipolentes a A B e portanto equipolentes entre si pela propriedade transitiva O próprio A B é um deles pela propriedade reflexiva A B se diz um representante da classe Note que se C D pertence à classe de equipolência de A B então A B pertence à classe de equipolência de C D devido à propriedade simétrica Uma relação que goza das propriedades a b e c se chama relação de equivalência e na verdade essas duas classes coincidem pois quem for equipolente a C D o será a A B e viceversa propriedade transitiva Em outras palavras qualquer segmento orientado pertencente a uma classe de equipolência pode ser considerado seu representante e cada segmento orientado é representante de uma única classe de equipolência Definição 4 Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados de E3 Se A B é um segmento orientado o vetor correspondente ou seja o vetor cujo representante é A B será indicado por AB Usamse também letras latinas minúsculas encimadas por uma seta a b x etc não se fazendo desse modo referência ao representante É claro que para citarmos um vetor basta citar ou desenhar um qualquer de seus representantes e pronto o vetor estará bem determinado O conjunto de todos os vetores será indicado por V3 Chamaremos vetor nulo ao vetor cujo representante é um segmento orientado nulo Já comentamos que equipolente a um segmento nulo só outro segmento nulo seguese que todos os representantes do vetor nulo são segmentos com origem e extremidade coincidentes Indicase o vetor nulo por 0 Os vetores x e y nãonulos são paralelos indicase x y se um representante de x é paralelo a um representante de y e portanto a todos Se x y x e y têm mesmo sentido resp sentido contrário se um representante de x e um representante de y têm mesmo sentido resp sentido contrário Consideraremos o vetor nulo paralelo a qualquer vetor Chamaremos norma ou módulo ou comprimento de um vetor ao comprimento de qualquer um de seus representantes indicase a norma de x por x Se x1 dizemos que o vetor x é unitário Observação De um modo geral conceitos geométricos como paralelismo perpendicularismo comprimento ângulos etc envolvendo vetores são definidos pondose a culpa nos representantes como foi feito acima Veja por exemplo a Definição 2 do Capítulo 6 O vetor BA é chamado vetor oposto do vetor AB AB e BA só diferem no sentido se A B já que seus representantes A B e B A têm mesma direção mesmo comprimento e sentido contrário O vetor oposto do vetor AB é indicado também por AB o vetor oposto de um vetor x é indicado por x Um fato que estaremos usando sempre é que você poderá intuir facilmente é o seguinte dados um ponto A e um vetor v existe um único segmento orientado representante de v com origem A tente provar isso Finalizamos este parágrafo com uma recomendação nunca use o termo vetores equipolentes já que a equipolência é uma relação entre segmentos orientados e não entre vetores Se os segmentos orientados A B e C D são equipolentes então os vetores AB e CD são iguais isto é os segmentos orientados A B e C D pertencem à mesma classe de equipolência CAPÍTULO 2 ADIÇÃO DE VETORES Vamos definir em V3 uma operação de adição que a cada par de vetores u e v fará corresponder o vetor soma u v Para isso procedemos do seguinte modo consideramos um representante qualquer A B do vetor u e o representante do vetor v que tem origem B Seja C a extremidade deste último Fica assim determinado o segmento orientado A C Por definição o vetor AC cujo representante é o segmento orientado A C é o vetor soma de u com v Observações 1 A definição nos diz que para determinar o vetor soma u v basta fechar o triângulo tomando o cuidado de escolher a origem do segundo coincidindo com a extremidade do primeiro representante Podese também adotar a regra do paralelogramo que consiste em tomar representantes de u e v com a mesma origem A A B e A C na figura 7 ao lado e construir o paralelogramo ABCD O segmento orientado A D diagonal que contém o ponto A é um representante do vetor u v já que ela fecha o triângulo ABD e BD v 2 A escolha do representante A B do vetor u é arbitrária mas isso não influi na determinação de u v De fato se escolhermos outro representante A B para u e conseqüentemente outro representante B C para v teremos A B A B B C B C e daí segue que A C A C convençase disso por exemplo na situação ilustrada na penúltima figura os triângulos ABC e ABC são congruentes por quê São muito importantes as propriedades que enunciamos a seguir elas constituem as primeiras regras do cálculo com vetores Não faremos demonstrações mas as figuras seguintes são elucidativas A1 PROPRIEDADE ASSOCIATIVA u v w u v w u v w V3 A2 PROPRIEDADE COMUTATIVA u v v u u v V3 A3 ELEMENTO NEUTRO u 0 u u V3 lembrese que todo representante do vetor nulo tem origem e extremidade coincidentes Assim u 0 AB BB AB u A4 ELEMENTO OPOSTO Dado um vetor u qualquer existe um vetor que somado a u dá como resultado o vetor nulo tratase do vetor oposto de u que se indica por u u u AB BA AA 0 Esta propriedade nos permite definir subtração de vetores u v é por definição a soma do vetor u com o vetor oposto do vetor v u v u v u v V3 Observação Escolhidos os representantes A B e A C de u e v e construído o paralelogramo ABCD figura o vetor u v terá como representante o segmento orientado C B pois CD u DB v e CD DB CB Assim as diagonais do paralelogramo representam a soma e a diferença entre u e v Exercício resolvido Prove as leis do cancelamento da adição u v u w v w x z y z x y Resolução Provaremos a primeira a segunda se reduz à primeira devido à propriedade comutativa A2 Somando aos dois membros da igualdade u v u w o vetor oposto do vetor u obtemos u u v u u w pela associativa A1 temos u u v u u w pela propriedade A4 resulta 0 v 0 w ou pela comutativa v 0 w 0 e finalmente pela propriedade A3 v w EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Prove que u v w u w v 2 Dados representantes dos vetores u e v conforme a figura ache um representante de x tal que u v x 0 3 Justifique a seguinte regra Para calcular x u v w tome um representante A B de u um representante B C de v um representante C D de w Então x tem como representante A D Intuitivamente falando fechase o polígono Raciocinando por indução finita podese generalizar essa regra para n parcelas 4 Ache a soma dos vetores indicados na figura nos casos a b Multiplicação de Número Real por Vetor 13 M2 α β v αv βv α βR v V3 M3 1 v v v V3 M4 α βv αβv β αv α βR v V3 Observações 1 As quatro propriedades da adição e as quatro propriedades da multiplicação de número por vetor conferem a V3 o que se chama uma estrutura de espaço vetorial O nome espaço vetorial se inspira naturalmente nos vetores e pode ser entendido como espaço cujo comportamento algébrico é idêntico ao do espaço V3 ou seja espaço onde valem as propriedades A1 A2 A3 A4 M1 M2 M3 M4 Os espaços vetoriais são estudados na Álgebra Linear 2 É comum usarse o termo escalar para designar número real em contraposição a vetor A operação definida neste parágrafo é pois a multiplicação de vetor por escalar não confunda com produto escalar que será definido mais adiante 3 Como as oito propriedades A1 A2 A3 A4 M1 M2 M3 M4 são válidas também para a adição e pára a multiplicação de números reais o cálculo com vetores pelo menos no que tange às duas operações definidas até agorasegue os mesmos princípios as mesmas regras que o cálculo algébrico elementar Por exemplo somando aos dois membros da igualdade a b c o vetor oposto do vetor a e aplicando as propriedades A1 A4 A2 e A3 chegamos a b c a Logo vale para os vetores a conhecida regra podese transpor um termo de um membro para outro de uma igualdade desde que se lhe troque o sinal 4 Se α R e v V3 com α 0 vα significa 1α v CAPÍTULO 3 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO REAL POR VETOR Vamos definir uma operação externa em V3 que a cada número real α e a cada vetor v associa um vetor indicado por αv tal que Se α 0 ou v 0 então αv 0 por definição Se α 0 e v 0 αv é caracterizado por a αv v b αv e v têm mesmo sentido se α 0 e sentido contrário se α 0 c αv α v Vejamos quais são as propriedades da multiplicação de número por vetor aqui como nas propriedades da adição omitiremos as demonstrações isso não o isenta da obrigação de entender e intuir as propriedades faça figuras M1 α u v αu αv αR u v V3 observe a semelhança dos triângulos da figura seguinte 12 c d cubos e paralelepípedo f hexágonos regulares g h EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Prove que α v 0 α 0 ou v 0 2 Prove que se α u α v e se α 0 então u v 3 Prove que 1 v v 4 Prove que 2 v v v 5 Se A B é um representante de u 0 e C D um representante de v 0 prove que AB CD existe λ R tal que u λ v Este resultado é importantíssimo e será muito útil tratase de uma tradução algébrica muito simples u λ v de um fato geométrico muito importante o paralelismo É exatamente isto que se pretende na Geometria Analítica 6 Resolva a equação na incógnita x 2 x 3 u 10 x v 7 Resolva o sistema nas incógnitas x e y x 2 y u 3 x y 2 u v 8 Seja v 0 Mostre que v v é um vetor unitário chamado versor de v CAPÍTULO 4 SOMA DE PONTO COM VETOR Como já comentamos no final do Capítulo 1 dados um ponto P e um vetor v existe um único segmento orientado P Q representante de v Isso nos permite definir uma operação que a cada ponto P E³ e a cada vetor v V³ associa um único ponto Q de E³ indicado por P v e chamado soma de P com v Assim P E³ v V³ P v Q PQ v 1 donde P PQ Q Usaremos a notação P v para indicar a soma do ponto P com o vetor oposto do vetor v P v P v Intuitivamente podemos encarar P v como o resultado de uma translação do ponto P translação essa determinada pelo vetor v Vejamos algumas propriedades dessa operação P1 P 0 P P E³ É uma consequência imediata da definição pois PP 0 P 0 P P2 P u P v u v 16 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Prove as Regras de Sinais a α v α v α R v V³ b α v α v α R v V³ c α v α v α R v V³ Resolução a Devemos provar que α v é o vetor oposto do vetor α v para isso pela definição de vetor oposto é suficiente mostrar que a soma α v α v é o vetor nulo Vejamos α v α v M2 α α v 0 v def 0 como queríamos b Devemos mostrar que α v α v 0 para concluir que α v é o oposto de α v Mas α v α v M1 α v v α 0 def 0 c Usaremos as partes a e b α v a α v b α v α v explique você mesmo a última passagem lembrese da definição de vetor oposto 2 Prove que se α v β v e se v 0 então α β Resolução α v β v def α v β v 0 α v β v 0 α v β v 0 M2 α β v 0 Como por hipótese v 0 temos exercício 1 adiante que α β 0 ou seja α β Exercício Resolvido 1a De fato seja Q P u P v Então da definição decorre que PQ u e PQ v Logo u v Note que esta propriedade permite um cancelamento de P na igualdade P u P v P3 P u v P u v V u v V3 V P E3 Demonstração Sejam veja a figura ao lado A P u e B A v logo B P u v Então da definição decorre que PA u e AB v Somando temos PA AB u v e como PA AB PB vem PB u v Novamente pela definição de soma de ponto com vetor concluímos que B P u v e que portanto P u v P u v P4 A v B v A B Agora se trata de um cancelamento de v De fato A v B v A v v B v v A v v B v v A 0 B 0 A B P5 P v v P Decorre diretamente de P3 e de P1 P v v P v v P v v P 0 P Observação Se o segmento orientado A B é um representante do vetor x é usual representar esse vetor por AB ou também por B A Esta última é chamada notação de Grassmann não se trata a rigor de subtrair pontos mas sim de uma notação sugestiva já que o ponto B é a soma do ponto A com o vetor x pois AB x o vetor x seria a diferença entre B e A EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Mostre que AB AC CB Resolução Lembrando que por definição de adição de vetores CA AB CB e que CA AC obtemos o resultado Observações a Eis um outro modo de resolver o problema Parta de 2AP AC e faça aparecer B 2BP AB AC Daí 2BP 2AB AC BP 12 AC AB b Não vá concluir de β que a medida de AN é a semisoma das medidas de AB e AC Sendo A B C vértices de um triângulo vale AN 12 AB 12 AC por quê c Verifique que α β e γ valem mesmo que A B e C sejam colineares 3 Na figura a medida de AX é metade da medida de XB Exprima CX em função de CA e CB Resolução Podemos escrever AX 12 XB Cuidado AX e XB têm o mesmo sentido É comum enganarse escrevendo por exemplo AX 12 BX o que está errado pois os vetores do 1º e 2º membros têm sentido contrário Fazendo aparecer C resulta CX CA 12 CB CX CX CA 12 CB 12 CX CX 12 CX 12 CB CA 32 CX 12 CB CA CX 13 CB 23 CA Na figura M N P são pontos médios de AB BC e CA respectivamente Expirma BP AN CM em função de AB e AC Resolução BP AP BA Precisamos fazer aparecer AC Aí usamos o fato de P ser ponto médio 2AP AC Então levando na primeira relação acima vem BP 12 AC AB α Quanto a AN AN BN AB 2BN BC AC BA AN 12 AC BA AB 12 AC 12 AB AB AN 12 AC 12 AB β Fica a seu cargo provar que CM AC 12 AB γ Na figura ao lado damos uma ilustração de β Faça você uma de α e uma de γ 4 Prove que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio Resolução Considere o paralelogramo ABCD de diagonais AC e DB Seja M o ponto médio de AC Vamos provar que M é também ponto médio de BD Ora BM BC CM AD MA MD Logo M é ponto médio de BD 5 Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado Resolução Seja o triângulo ABC e sejam M e N os pontos médios de AC e BC respectivamente A afirmação feita equivale à seguinte relação MN 12 AB por quê a qual passaremos a provar Podemos escrever 2 MC AC 2 CN CB Somando membro a membro resulta 2MC CN AC CB 2 MN AB MN 12 AB 6 Prove que se os pontos médios dos lados de um quadrilátero são vértices de um segundo quadrilátero este é um paralelogramo Resolução Seja ABCD o quadrilátero e M N P Q os quatro pontos médios de seus lados Para provarmos a asserção basta provarmos que MN PQ pois se um quadrilátero tem dois lados opostos paralelos e congruentes ele é um paralelogramo Pelo exercício anterior considerando o ADC podemos escrever MN 12 AC Do mesmo modo considerando o ACB PQ 12 AC Dessas duas expressões resulta MN PQ como queríamos 7 Prove que num triângulo as retas suportes de duas medianas se encontram num único ponto Resolução Com a notação do Exercício Resolvido 2 vamos provar a afirmação provando que AN e BP não são paralelos Se fossem haveria λ R tal que BP λ AN Usando as expressões α e β do Exercício Resolvido nº 2 vem 12 AC AB λ2 AC λ2 AB onde 1λ2 AC 1 λ2 AB Não pode suceder λ 1 senão seria 1 12 AB 0 logo B A Então λ 1 e daí AC 1 λ21λ2 AB logo AC e AB seriam paralelos o que é absurdo Na figura se representa um paralelepípedo ABCDEFGH Sendo u AB v AD w AE exprima AG EC HB DF em função de u v w Resolução AG CG BC AB w v u AG u v w interpretação em termos vetoriais a diagonal de um paralelepípedo é a soma de suas arestas EC BC AB EA v u w HB AB DA HD u v w Da mesma forma chegase a DF u v w EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Dados quatro pontos A B C e X tais que AX mXB exprima CX em função de CA e CB e m Sugestão Na relação AX mXB faça aparecer C em ambos os membros 2 É dado um triângulo ABC e os pontos X Y Z tais que AX mXB BY nYC CZ pZA Expirma CX AY BZ em função de CA e CB e m n p 3 Num triângulo ABC é dado X sobre AB tal que AX 2 XB e é dado Y sobre BC tal que BY 3 YC Mostre que as retas CX e AY se cortam Sugestão Use o exercício anterior achando qual deve ser m e qual deve ser n Suponha CX λ AY e chegue a um absurdo 4 Num triângulo ABC sejam X a interseção do lado AB com a bissetriz interna do ângulo AĈB e supondo CA CB Y a interseção da reta AB com uma das bissetrizes externas do ângulo AĈB a Os vetores CACA CBCB e CACA CBCB são respectivamente paralelos a CX e CY Dê uma explicação geométrica para isso No Capítulo 8 Exercício 3 você dará uma prova analítica b Prove que CAAX CBBX e CAAY CBBY c Exprima CX CY X e Y em função de A CA e CB 5 Sendo CX a altura do ΔABC relativa ao vértice C exprima CX e X em função de A CA e CB Sugestão Se A e B não são retos vale h AX tg A BX tg B Conclua daí que tg A AX tg B XB quer A e B sejam agudos quer um deles seja obtuso Existe Y se CA CB 6 Prove que as medianas de um triângulo se encontram num mesmo ponto que divide cada uma na razão 21 a partir do vértice correspondente Sugestão Usando o Exercício Resolvido nº 7 seja G o ponto comum às retas AN e BP e H o ponto comum às retas AN e CM existem λ μ α e β tais que G A λ AN B μ BP e H C α CM A β AN Calcule λ μ α e β 7 Prove que as alturas de um triângulo se encontram num mesmo ponto Idem para as bissetrizes internas 8 Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados nãoparalelos de um trapézio é paralelo às bases e sua medida é a semisoma das medidas das bases Atenção não é suficiente provar que MN 12 AB DC mas isso ajuda bastante 9 Demonstre que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases e sua medida é a semidiferença das medidas das bases Atenção não é suficiente provar que MN 12 AB DC mas isso ajuda bastante 10 Num triângulo ABC sejam M N P os pontos médios dos lados AB BC e AC respectivamente Mostre que AN BP CM 0 Sugestão Exercício Resolvido nº 2 11 Dado um triângulo qualquer mostre que existe outro com lados paralelos e congruentes às medianas do primeiro 21 Na figura a distância de M a A é o dobro da distância de M a B e a medida de AN é a terça parte da medida de CN Exprima X em função de A AB e AC 22 Considere o triângulo ABC e sejam CA u CB v e w u 2v Calcule α real para que o ponto X C αw pertença à reta AB Sugestão Tome um ponto O qualquer e considere os pontos X O AN Y X BP e Z Y CM Mostre que Z O e que O X Y não são colineares 12 Sendo ABCDEF um hexágono regular de centro O prove que AB AC AD AE AF 6 AO 13 Seja OABC um tetraedro X o ponto da reta BC definido por BX mBC Exprima OX e AX em função de OA OB OC 14 Seja OABC um tetraedro X o ponto de encontro das medianas do triângulo ABC baricentro Exprima OX em termos de OA OB OC 15 Sejam A B C D pontos quaisquer M o ponto médio de AC e N o de BD Exprima x em função de MN sendo x AB AD CB CD 16 Seja ABCD um quadrilátero e O um ponto qualquer Seja P o ponto médio do segmento que une os pontos médios das diagonais AC e BD Prove que P O 14 OA OB OC OD 17 Dados O A B C ache G tal que GA GB GC 0 em função de O a OA b OB c OC 18 Sejam A B e C três pontos quaisquer A B Prove que X é um ponto da reta AB CX α CA β CB com α β 1 Sugestão Exercício 1 19 Nas condições do Exercício 18 prove que X é um ponto do segmento AB CX α CA β CB com α 0 β 0 e α β 1 20 Sejam A B e C vértices de um triângulo Prove que X é um ponto interior ao triângulo ABC se e somente se CX α CA β CB com α 0 β 0 e α β 1 um ponto é interior a um triângulo se for interior a alguma ceviana dele PARTE 1 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS CAPÍTULO 2 ADIÇÃO DE VETORES pág 10 2 x u v u v 4 a AD b 0 c AC d BG BG e AF f BF g AD h AD 343 CAPÍTULO 3 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO REAL POR VETOR pág 15 6 x 35 u 54 v x 57 u 27 v y 17 u 17 v CAPÍTULO 4 SOMA DE PONTO COM VETOR pág 22 1 CX m1m CB 11m CA 2 Para CX ver a resposta do Exercício 1 AY 1 n1 CB CA BZ p1p CA CB c CX a CA b CBa b X C CX CY a CA b CBa b a b Y C CY onde a CB e b CA 5 CX se  e B não são retos se  é reto CX CA se B é reto CX CB 13 OX 1 m OB m OC AX OA 1 m OB m OC 14 overrightarrowOX frac13 overrightarrowOA overrightarrowOB overrightarrowOC 15 overrightarrowx 4 overrightarrowMN 17 G O frac13 overrightarrowa overrightarrowb overrightarrowc 21 X A frac35 overrightarrowAB frac110 overrightarrowAC 22 alpha 1 CAPÍTULO 6 BASE pág 45 1 a 3 0 6 b 3 3 3 c 8 4 3 2 Não 3 overrightarrowt overrightarrowu 2 overrightarrowv overrightarroww 4 Não 5 overrightarrowu não é combinação linear de overrightarrowv e overrightarroww qualquer que seja m real Para m 0 e para m 3 temos overrightarrowu overrightarrowv overrightarroww LD 6 a LI b LI c LI d LD e LI f LD g LD h LI 7 Não 8 a pm 1 b 0 1 c Não existe d 0 2 10 b 1 frac12 frac12 11 a sqrt3 b sqrt2 c 5 d sqrt21