Estudo do Plano - Equação Vetorial e Paramétricas

CAPÍTULO 15 ESTUDO DO PLANO 1 Equação Vetorial e Equações Paramétricas de um Plano Seja π E³ um plano Escolha um ponto A π e dois vetores ū e ṽ linearmente independentes e paralelos a π Então é fácil ver que X π se e somente se AX ū ṽ são linearmente dependentes os três são paralelos a π e isto ocorre se e somente se existem λ μ IR tais que AX λū μṽ Logo X A λū μṽ λ μ IR 1 Em outras palavras dados λ μ IR 1 nos dá um ponto X de π e dado X π existem λ μ IR tais que 1 se verifica O plano π é pois o lugar geométrico dos pontos de E³ que obedecem 1 A equação 1 se chama equação vetorial de π Observações 1 Se A B C são pontos distintos e não colineares de π podemos tomar ū AB ṽ AC por 139 exemplo e então X A λAB μAC é uma equação vetorial de π X C λAB μCB é outra equação vetorial de π 2 Os vetores ū e ṽ são chamados vetores diretores do plano π Tomemos agora um sistema de coordenadas O ē₁ ē₂ ē₃ Escrevendo X x y z A x₀ y₀ z₀ ū a b c e ṽ m n p resulta de 1 que x y z x₀ y₀ z₀ λa b c μm n p ou x y z x₀ λa μm y₀ λb μn z₀ λc μp Logo x x₀ λa μm y y₀ λb μn λ μ IR z z₀ λc μp 2 As equações 2 são chamadas equações paramétricas de π Suponha agora que seja dado um sistema linear como 2 em que a b c m n p sejam linearmente independentes Então fixado um sistema de coordenadas existe um plano tendo as equações 2 como equações paramétricas É o plano que passa por x₀ y₀ z₀ e é paralelo a a b c e m n p É claro que fixado outro sistema de coordenadas as mesmas equações podem representar um outro plano Observação Se π passa pelos pontos A x₁ y₁ z₁ B x₂ y₂ z₂ C x₃ y₃ z₃ nãocolineares então podemos tomar como vetores diretores ū AB x₂ x₁ y₂ y₁ z₂ z₁ ṽ AC x₃ x₁ y₃ y₁ z₃ z₁ e daí x x₁ λx₂ x₁ μx₃ x₁ y y₁ λy₂ y₁ μy₃ y₁ λ μ IR z z₁ λz₂ z₁ μz₃ z₁ são equações paramétricas de π EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Ache duas equações vetoriais do plano que passa por A 3 7 1 e é paralelo aos vetores ū 1 1 1 e ṽ 1 1 0 Resolução Temos X A λū μṽ 3 7 1 λ1 1 1 μ1 1 0 λ μ IR Esta é uma equação vetorial do plano Uma outra seria por exemplo X A λū μṽ 371 λ111 μ110 λ μ IR 2 Ache uma equação vetorial do plano que contém os pontos A 0 1 0 B 1 0 1 e C 0 0 1 Resolução Temos AB 1 1 1 AC 0 1 1 que são linearmente independentes logo X 0 1 0 λ1 1 1 μ0 1 1 λ μ R é uma equação vetorial do plano 3 Dê equações paramétricas do plano π que passa pelo ponto A 7 7 1 e é paralelo aos vetores u 1 1 1 e v 1 0 1 Resolução Temos imediatamente x 7 λ μ y 7 λ λ μ R z 1 λ μ ou x 7 λ μ y 7 λ z 1 λ μ 4 Esboce o plano que tem por equações paramétricas x λ y μ λ μ R z 1 nos casos i ii Resolução Escrevendo as equações na seguinte disposição x 0 λ 1 μ 0 y 0 λ 0 μ 1 z 1 λ 0 μ 0 A u v vemos que π passa por A 0 0 1 e é paralelo a u 1 0 0 e₁ e a v 0 1 0 e₂ Assim temos i ii 5 Dê uma equação vetorial do plano π que tem por equações paramétricas x 6 λ μ y 1 7 λ 14 μ z 4 5 λ 2 μ Resolução Dispondo as equações assim x 6 λ 1 μ 1 y 1 λ 7 μ 14 z 4 λ 5 μ 2 vemos que π passa por 6 1 4 e é paralelo aos vetores 1 7 5 e 1 14 2 logo X 6 1 4 λ1 7 5 μ 1 14 2 é uma equação vetorial de π EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Escreva equações vetorial e paramétricas para os planos descritos abaixo a π passa por A 1 1 0 e B 1 1 1 e é paralelo ao vetor v 2 1 0 b π passa por A 1 0 1 e B 0 1 1 e é paralelo ao segmento CD onde C 1 2 1 e D 0 1 0 c π passa pelos pontos A 1 0 1 B 2 1 1 e C 1 1 0 d π passa pelos pontos A 1 0 2 B 1 1 3 e C 3 1 1 Geometria Analítica um tratamento vetorial Equação Geral Seja O e₁ e₂ e₃ um sistema de coordenadas e π E³ um plano que passa por A x₀ y₀ z₀ paralelo aos vetores linearmente independentes u r s t e v m n p Então X x y z pertence a π se e somente se os vetores AX u v são linearmente dependentes isto é se e somente se x x₀ y y₀ z z₀ r s t m n p 0 3 ou seja desenvolvendo por Laplace esse determinante relativamente à primeira linha se e somente se x x₀ s t n p y y₀ t r p m z z₀ r s m n 0 e daí equivalentemente x s t n p y t r p m z r s m n x₀ s t n p y₀ t r p m z₀ r s m n 0 ou seja pondo a s t n p b t r p m c r s m n d x₀ s t n p y₀ t r p m z₀ r s m n temos ax by cz d 0 2 Verifique e explique por que se π1 π2 nos seguintes casos a π1 X 1 2 1 λ1 1 2 μ12 23 1 π2 X 1 2 1 α1 1 2 β3 4 6 b π1 X 1 1 1 λ2 3 1 μ1 1 1 π2 X 1 6 2 λ1 1 1 μ2 3 1 c π1 X 0 0 0 λ1 1 0 μ0 1 0 π2 X 1 1 0 λ1 2 1 μ0 1 1 d π1 X 2 1 3 λ1 1 1 μ1 0 1 π2 X 0 1 1 α1 3 5 β1 1 3 3 Decomponha o vetor v 1 2 4 em duas parcelas sendo uma delas paralela ao plano X 1 1 0 λ1 0 1 μ0 1 1 e outra paralela à reta X 0 0 0 v2 1 0 4 Ache dois pontos A e B da intersecção dos planos π1 e π2 e escreva uma equação vetorial para a reta que passa por A e B Dados π1 X 1 0 0 λ0 1 1 μ1 2 1 π2 X 0 0 0 λ0 3 0 μ2 1 1 5 Escreva equações paramétricas para os três planos coordenados 6 Escreva equações vetoriais para os planos bissetores dos diedros determinados pelos planos coordenados são 6 bissetores Suponha que o sistema é ortogonal 7 Obtenha equações paramétricas do plano π que passa pelo ponto A 1 1 2 e é paralelo ao plano π1 X 1 0 0 λ1 2 1 μ2 1 0 d x0 s t t r r s n p p m m n temos ax by cz d 0 4 Observe que a² b² c² 0 isto é que a b c não são simultaneamente nulos pois se assim fosse os números r s t seriam proporcionais a m n p verifique por que e os vetores u e v seriam linearmente dependentes A equação 4 se diz uma equação geral do plano π Suponha agora que seja dada a equação ax by cz d 0 com a² b² c² 0 5 Então fixado um sistema de coordenadas O e₁ e₂ e₃ existe um plano π que tem 5 por equação geral Vamos mostrar isto Como a b c não são simultaneamente nulos um deles digamos a é diferente de zero Neste caso 5 é equivalente a x ba y ca z da 6 Fazendo y z 0 vem x da y 0 z 1 vem x ca da y 1 z 0 vem x ba da Considere os pontos A da 0 0 B ca da 0 1 C ba da 1 0 Como AB ca 0 1 e AC ba 1 0 vêse claramente que AB e AC são linearmente independentes e portanto A B C não são colineares determinando pois um plano π Para obter uma equação geral de π escrevemos veja 3 x da y 0 z 0 ca 0 1 0 ba 1 0 Desenvolvendo esse determinante obtemos ax by cz d 0 o que prova a afirmação feita Observações 1 As considerações acima nos permitem dizer o seguinte Seja O e₁ e₂ e₃ fixo e π E³ um subconjunto Então π é um plano existem a b c R com a² b² c² 0 tais que π X x y z ax by cz d 0 2 Se o plano π passa por A x₁ y₁ z₁ B x₂ y₂ z₂ C x₃ y₃ z₃ pontos estes não colineares então uma equação geral de π pode ser obtida a partir de x x₁ y y₁ z z₁ x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ 0 x₁ x₃ y₁ y₃ z₁ z₃ o que é equivalente tente provar a x y z 1 x₁ y₁ z₁ 1 0 x₂ y₂ z₂ 1 x₃ y₃ z₃ 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Ache uma equação geral do plano π que passa por A 9 1 0 e é paralelo aos vetores u 0 1 0 e v 1 1 1 Resolução É bom verificar que u e v são linearmente independentes o que é fácil Então X x y z é um ponto de π se e somente se AX u v são linearmente dependentes ou seja x 9 y 1 z 0 1 0 0 1 1 1 Desenvolvendo o determinante vem x z 9 0 2 Idem π passando por A 1 0 1 B 1 0 1 C 2 1 2 Resolução AB 2 0 0 AC 1 1 1 Esses vetores são linearmente independentes Então uma equação geral será obtida a partir de x 1 y 0 z 1 2 0 0 0 1 1 1 que fornece y z 1 0 Poderíamos usar a fórmula da Observação 2 mas preferimos a resolução acima 3 Dadas equações paramétricas de um plano π x 1 2λ 3μ y 1 λ μ λ μ R z λ obtenha uma equação geral de π Primeira Resolução eliminando λ e μ Substituindo z λ que é a terceira equação nas duas primeiras vem x 1 2z 3μ y 1 z μ Da segunda equação vem μ y 1 z que levada à primeira fornece x 3y 5z 2 0 Segunda Resolução achando um ponto de π e dois vetores linearmente independentes paralelos a π As equações podem ser dispostas assim x 1 λ 2 μ 3 y 1 λ 1 μ 1 z 0 λ 1 μ 0 Daí imediatamente se escreve x 1 y 1 z 0 2 1 1 0 3 1 0 De onde resulta x 3y 5z 2 0 4 Um plano tem por equação geral x 2y z 1 0 Obtenha equações paramétricas de π Primeira Resolução Um modo de resolver é obter três soluções da equação dada de forma que os pontos correspondentes não sejam colineares Por exemplo x y 0 z 1 A 001 pertence a π x z 0 y 12 B 0 12 0 pertence a π y z 0 x 1 C 100 pertence a π Como CB 1 12 0 e AC 1 0 1 são LI A B e C não são colineares Segue que x 1 2λ μ y λ z μ são equações paramétricas de π Segunda Resolução melhor Escreva y λ e z μ Substituindo na equação dada vem x 2 λ μ 1 0 x 1 2 λ μ Portanto temos x 1 2 λ μ y λ z μ Podese justificar esse procedimento em geral veja o Exercício 14 Se ax by cz d 0 a² b² c² 0 é uma equação geral de um plano então ou a 0 ou b 0 ou c 0 Se a 0 faça y λ z μ e daí x ba λ ca μ da Se b 0 faça x λ z μ e daí y ab λ cb μ db Se c 0 faça x λ y μ e daí z ac λ bc μ dc 5 Uma reta r é dada como intersecção de dois planos r x y z 1 0 x y z 0 Dê equações paramétricas de r Primeira resolução A idéia é chamar uma das variáveis x y z de λ e achar as outras em função de λ Fazendo x λ chegamos a y z λ 1 y z λ Resolvendo o sistema acima obtemos y 12 λ z 12 e portanto x λ y 12 λ z 12 são equações paramétricas de r Note que todos os pontos de r têm cota z 12 constante Logo z não serve como parâmetro isto é não podemos fazer z λ E quanto a y λ Segunda resolução Se acharmos dois pontos distintos de r saberemos escrever equações paramétricas de r Basta então achar duas soluções distintas do sistema x y z 1 0 x y z 0 Por exemplo os pontos A 12 0 12 e B 12 1 12 obtidos fazendo respectivamente y 0 e y 1 no sistema acima são pontos da reta r Então AB 1 1 0 e portanto x 12 λ y λ z 12 são equações paramétricas de r Observação É bastante frequente descreverse uma reta r por um par de equações da forma a1x b1y c1z d1 0 a2x b2y c2z d2 0 com a1² b1² c1² 0 e a2² b2² c2² 0 isto é encarar a reta r como interseção de dois planos π1 e π2 É claro que nesse caso esses dois planos não devem ser paralelos e uma condição necessária e suficiente para isso como veremos no Capítulo 16 é que os coeficientes a1 b1 c1 não sejam proporcionais a a2 b2 c2 O exercício anterior mostra como se obtêm nesse caso equações paramétricas da reta Por outro lado dadas equações paramétricas de uma reta r podemos obter equações de r sob a forma 6 eliminando o parâmetro por substituição por exemplo Caso o parâmetro não compareça em uma das três equações paramétricas esta já é equação de um plano que contém r Vejamos exemplos 1º r x 1 λ y 2 2λ λ R z 3 λ Temos da terceira equação λ z 3 Substituindo nas outras duas vem x 1 z3 e y 2 2z3 ou r x z 4 0 y 2z 4 0 isto é r é a interseção dos planos π1 x z 4 0 e π2 y 2z 4 0 2º r x 2 y 1 λ λ R z 1 λ Como x 2 é equação de um plano π1 e todo ponto de r obedece a essa equação temos que r π1 Para obter outro plano π2 que contenha r basta eliminar λ nas outras duas equações obtemos y z Assim r x 2 0 y z 0 3º r x 1 3λ y 0 λ R z 13 Essa reta está contida nos planos π1 y 0 e π2 z 13 pois todo ponto de r satisfaz a essas duas equações Logo y 0 z 13 0 são equações de r na forma 6 Finalmente repare que o procedimento de eliminar o parâmetro já foi utilizado no capítulo anterior para se obter equações de uma reta na forma simétrica que nada mais é do que um caso particular da forma 6 Assim se r x 13 y 22 z2 podemos escrever r x 13 z2 y 22 z2 ou r 2x 3z 2 0 π1 y z 2 0 π2 6 Faça um esboço do plano de equação geral x y 2 0 relativamente ao sistema ortogonal de coordenadas ilustrado na figura Resolução Os pontos do plano devem obedecer à equação x y 2 de modo que sua coordenada z pode tomar qualquer valor real Então se um ponto P x₀ y₀ z₀ pertence ao plano qualquer ponto Q x₀ y₀ z também pertence O plano contém então todas as retas verticais que furam o plano Oxy ao longo da reta r indicada na figura seguinte Observação Na Geometria Analítica Plana a equação x y 2 representava a reta r Cuidado que agora se trata de um plano aquela reta tem equações x y 2 z 0 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Faça um esboço dos planos com equações gerais dadas abaixo relativamente aos sistemas de coordenadas ilustrados nas figuras I CUBOS II a x 2 0 b y 1 0 c z 4 0 d x y 1 0 e x z 0 f y z 2 0 g x y z 1 0 2 Passe para a forma paramétrica as equações gerais dos planos do exercício anterior 3 Obtenha equações gerais dos planos coordenados e dos planos bisse tores dos diedros determinados por eles suponha o sistema ortogonal 4 Verifique se π₁ π₂ nos seguintes casos explique por que a π₁ x 3y 2z 1 0 π₂ 2x 6y 4z 1 0 b π₁ x y2 2z 1 0 π₂ 2x y 4z 2 0 5 Obtenha equações gerais para os planos π descritos abaixo a π passa por A 1 1 0 e B 1 1 1 e é paralelo ao vetor v 2 1 0 b π passa por A 1 0 1 e B 0 1 1 e é paralelo ao segmento CD onde C 1 2 1 e D 0 1 0 c π passa pelos pontos A 1 0 1 B 2 1 1 e C 1 1 0 d π passa pelos pontos A 1 0 2 B 1 1 3 e C 3 1 1 6 Dadas as retas r x 12 y2 z e s x 1 y z obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s 7 Idem sendo r x 12 y 33 z4 e s x2 y3 z 44 8 Obtenha uma equação geral do plano π x 1 λ μ y 2λ μ z 3 μ 9 Idem π x 1 λ y 2 z 3 λ μ 10 Seja π₁ o plano que passa pelos pontos A 1 0 0 B 0 1 0 e C 0 0 1 Seja π₂ o plano que passa por O 1 1 0 e é paralelo aos vetores v 0 1 1 e w 1 0 1 Seja π₃ o plano de equação vetorial X 1 1 1 λ2 1 0 μ1 0 1 a Escreva equações gerais de π₁ π₂ e π₃ b Mostre que a interseção π₁ π₂ π₃ se reduz a um único ponto determineo 11 Verifique se a reta r está contida no plano π nos seguintes casos a r X 1 0 0 λ2 1 0 π x 2y 3z 1 b π X 1 4 1 λ 1 1 1 μ 1 2 1 e r passa pelos pontos A 2 3 2 e B 0 0 1 c r x 1 2y 4 z e π x 2y 2z 1 0 12 Sejam P 4 1 1 e r X 2 4 1 λ1 1 2 a Mostre que P r b Obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P 13 Verifique em cada um dos casos seguintes se as retas r e s são concorrentes Em caso afirmativo determine o ponto P comum a elas e escreva uma equação geral do plano determinado por elas log0 X π AX n 0 ou X π x x₀ a y y₀ b z z₀ c 0 e pondo d a x₀ b y₀ c z₀ 7 concluímos que X π ax by cz d 0 Então esta última equação é uma equação geral de π a particularidade importante é que os coeficientes de x y e z nessa equação são as coordenadas de um vetor normal na ordem adequada e d é dado por 7 Reciprocamente se ax by cz d 0 é uma equação geral do plano π mostraremos que n a b c é um vetor normal a π Para isso basta mostrar que n v 0 para todo o vetor v paralelo a π ou seja que n AB 0 para quaisquer pontos A e B de π Sejam A x₁ y₁ z₁ e B x₂ y₂ z₂ Se A π e B π temos ax₁ by₁ cz₁ d 0 e ax₂ by₂ cz₂ d 0 donde se obtém subtraindo membro a membro a x₂ x₁ b y₂ y₁ c z₂ z₁ 0 que é justamente o que queríamos já que a expressão do primeiro membro é igual a n AB a r x λ y λ z 1 4λ s x 13 y 53 2 z5 b r x 2 2λ y 4 λ z 3λ s x 1 λ y 2λ z 2λ 14 Seja ax by cz d 0 uma equação geral de um plano π Suponhamos a 0 Prove que x ba λ ca μ da y λ z μ são equações paramétricas de π Sugestão Verifique se elas são equações paramétricas de algum plano π₁ Mostre que π₁ π donde π₁ π 3 Vetor Normal a um Plano Atenção Neste parágrafo o sistema de coordenadas adotado é obrigatoriamente ortogonal Consideremos um plano π ℝ³ Chamase vetor normal a π a qualquer vetor não nulo ortogonal a π É claro pois que n 0 é um vetor normal a π se e somente se n é ortogonal a qualquer vetor paralelo a π ou a qualquer vetor diretor de π Vejamos como obter uma equação geral de π conhecendo um ponto A x₀ y₀ z₀ de π e um vetor n a b c normal a π a² b² c² 0 pondo X x y z temos que X π AX n Assim se u e v são dois vetores diretores de π linearmente independentes o vetor u v é um vetor normal a π Conclusão Relativamente a um sistema ortogonal de coordenadas os coeficientes de x y e z de uma equação geral de um plano π são coordenadas de um vetor normal a π Veremos nos próximos exercícios resolvidos aplicações desse fato EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Está fixado um sistema ortogonal de coordenadas 1 Obtenha uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A 1 0 2 e tem vetor normal n 1 1 4 Resolução Temos X π AX n 0 Então pondo X x y z vem X π x 1 y 0 z 2 1 1 4 0 x 1 y 4z 8 0 Logo x y 4z 9 0 é uma equação geral de π Outro modo de resolver este exercício é o seguinte se n 1 1 4 é um vetor normal a π então uma equação geral de π é da forma x y 4z d 0 Para determinarmos d basta lembrar que A π e portanto suas coordenadas devem satisfazer a equação de π 1 0 4 2 d 0 e daí d 9 2 Obtenha uma equação geral do plano π que passa por A 0 1 2 e tem vetores diretores u 4 1 2 e v 2 1 2 Resolução Já vimos 1º exercício resolvido do parágrafo anterior como resolver este exercício mesmo que o sistema de coordenadas não seja ortogonal Uma alternativa para quando o sistema é ortogonal é a seguinte Sendo u v i j k 4 1 2 2 1 2 4i 12j 2k temos que n 2 6 1 é um vetor normal a π por quê Então X π AX n 0 x y 1 z 2 2 6 1 0 2x 6y 6 z 2 0 Logo uma equação de π é 2x 6y z 8 0 3 Escreva equações paramétricas para a reta r π1 π2 onde π1 2x y 3 0 e π2 3x y 2z 1 0 Resolução Os vetores n1 2 1 0 e n2 3 1 2 são normais respectivamente a π1 e π2 Então como r está contida em π1 e em π2 seguese que n1 e n2 são ortogonais a r Concluímos que n1 n2 é um vetor diretor de r n1 n2 i j k 2 1 0 3 1 2 2i 4j 5k Determinemos agora um ponto de r fazendo x 0 na equação de π1 obtemos y 3 e substituindo na equação de π2 vem z 2 Assim o ponto P 0 3 2 pertence a π1 e a π2 e portanto a r Conclusão r passa por P 0 3 2 e tem vetor diretor v 2 4 5 Daí x 2 λ y 3 4 λ λ R z 2 5 λ são equações paramétricas de r EXERCÍCIOS PROPOSTOS Está fixado um sistema ortogonal de coordenadas 1 Obtenha um vetor normal ao plano π nos seguintes casos a π passa pelos pontos A 1 1 1 B 1 0 1 e C 1 2 3 b π tem equações paramétricas x 1 α y 2 α β z α 2 β c π tem equação geral x 2y 4z 1 0 2 Obtenha uma equação geral do plano π que passa pelo ponto P 1 1 2 e é paralelo a π1 x y 2z 1 0 3 Dê uma equação geral do plano π que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa por A 1 1 1 e B 2 1 1 4 Dê uma equação geral do plano que passa pelo ponto P 1 0 1 e é perpendicular à reta r X 0 0 1 λ 1 2 1 5 Decomponha o vetor v 3i 4j 5k paralela e ortogonalmente ao plano π x 1 λ y 2 z λ μ 6 Escreva uma equação vetorial da reta que passa por A 1 2 3 e é perpendicular ao plano π 2x y z 2 7 Escreva equações paramétricas da reta interseção dos planos π1 x 1 λ y 2 z λ μ e π2 x 1 λ μ y 2 λ μ z 3 μ 8 Escreva equações paramétricas da reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano π x 1 λ μ y λ μ z λ 9 Prove que o lugar geométrico dos pontos de E³ que são eqüidistantes de A 1 1 2 e B 4 3 1 é um plano Mostre em seguida que esse plano passa pelo ponto médio de AB e é perpendicular ao segmento AB 10 Generalização do Exercício 9 Prove que o lugar geométrico dos pontos de E³ que equidistam de dois pontos distintos A x1 y1 z1 e B x2 y2 z2 é um plano que passa pelo ponto médio do segmento AB e é perpendicular a ele Esse plano é chamado plano mediador do segmento AB 11 Mostre que o lugar geométrico dos pontos de E3 que equidistam dos pontos A 2 1 1 B 1 0 1 e C 0 2 1 é uma reta perpendicular ao plano que passa por A B e C Dê equações paramétricas dessa reta 4 Feixe de Planos A noção que veremos agora é muito útil na resolução de problemas Considere uma reta r interseção dos planos π1 e π2 r π1 π2 Suponha que π1 a1 x b1 y c1 z d1 0 a12 b12 c12 0 8 π2 a2 x b2 y c2 z d2 0 a22 b22 c22 0 9 O que representará a equação αa1 x b1 y c1 z d1 βa2 x b2 y c2 z d2 0 10 onde α e β são números não ambos nulos α2 β2 0 Se você escrever a equação acima na forma α a1 β a2 x α b1 β b2 y α c1 β c2 z α d1 β d2 0 11 e verificar que os coeficientes de x y z não podem ser simultaneamente nulos veja o Exercício 2 então concluirá que 10 representa um plano π Qual a relação entre π π1 e π2 Ora todo ponto de r π1 π2 satisfaz 8 e 9 logo satisfaz também 10 e portanto 11 Conclusão r π Agora se um plano contém r será que existem α e β não simultaneamente nulos tais que a equação desse plano é 10 A resposta é afirmativa Veja o Exercício 3 Então concluímos que dados os planos π1 a1 x b1 y c1 z d1 0 a12 b12 c12 0 e π2 a2 x b2 y c2 z d2 0 a22 b22 c22 0 tais que π1 π2 r o conjunto de todos os planos que contêm r é π αa1 x b1 y c1 z d1 βa2 x b2 y c2 z d2 0 αR βR α2 β2 0 Tal conjunto é chamado de feixe de planos por r EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Dê uma equação do feixe de planos que contém a reta r X 1 1 0 λ 2 3 4 Resolução Precisamos achar dois planos π1 e π2 cuja interseção é r Para isto achamos equações paramétricas de r x 1 2λ y 1 3λ z 4λ Agora eliminando λ das duas primeiras vem 3x 2y 1 0 Da mesma forma eliminando λ das duas últimas vem 4y 3z 4 0 Então r 3x 2y 1 0 4y 3z 4 0 Logo um plano qualquer do feixe será dado por α 3x 2y 1 β 4y 3z 4 0 α2 β2 0 2 Ache o plano que contém o ponto P 1 1 3 e a reta r x y 2 0 x y z 0 Resolução O feixe de planos por r é dado por αx y 2 βx y z 0 α2 β2 0 Impondo que P pertença a esse plano genérico do feixe vem α1 1 2 β1 1 3 0 Logo 2 α β 0 donde β 2 α α 0 e β 0 Substituindo na equação do feixe vem αx y 2 2 αx y z 0 ou α3x y 2z 2 0 Como α 0 3x y 2z 2 0 é uma equação do plano procurado 3 Ache o plano π que contém a reta r do primeiro exercício e é perpendicular ao vetor ū 1 2 1 suponha que o sistema de coordenadas é ortogonal Resolução Segue do primeiro exercício que um plano que contém r terá equação da forma π 3 α x 2 α 4 β y 3 β z α 4 β 0 Sendo u π devemos ter u 3α 2α 4β 3β isto é 3α λ 2α 4β 2λ 3β λ para algum λ IR Do sistema acima obtemos α β e portanto π 3αx 6αy 3αz 3α 0 Sendo α 0 dividimos por 3α π x 2y z 1 0 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Obtenha uma equação geral do plano π que passa pelo ponto P 1 1 1 e contém a reta r X 0 2 2 λ1 1 1 2 Prove que na equação 11 os coeficientes não podem ser simultaneamente nulos 3 Prove que se rπ₁ π₂ e se r π existem α e β reais não ambos nulos tais que 10 é uma equação de π Sugestão O sistema formado pelas equações de π₁ π₂ e π é indeterminado Como as duas primeiras são independentes a terceira é combinação linear delas 4 Obtenha uma equação geral do plano π que contém o eixo dos x e é perpendicular à reta r X 0 1 1 λ 0 2 1 sistema ortogonal 5 Ache uma equação geral do plano π que contém r X 1 1 0 λ2 1 1 e é perpendicular a s X 1 0 0 λ1 1 0 sistema ortogonal 12 Trajetórias concorrentes Não há colisão Releia a Observação 6 13 a não existe C b não existe C c não existe C d 2 1 1 ou 4 3 1 CAPÍTULO 15 ESTUDO DO PLANO 1 Equação Vetorial e Equações Paramétricas de um Plano pág 139 1 Equações vetoriais a X 1 1 0 λ0 2 1 μ2 1 0 b X 1 0 1 λ1 1 2 μ1 1 1 c X 1 1 0 λ1 2 1 μ0 1 1 d os três pontos são colineares não está determinado o plano π 2 a sim b sim c não d sim 3 v 11 7 4 10 5 0 4 X 4 5 2 λ2 3 1 x λ x λ x 0 Oxy y μ Oxz y 0 OyZ y λ z 0 z μ z μ 6 X 0 0 0 λ1 1 0 μ0 0 1 X 0 0 0 λ1 1 0 μ0 0 1 X 0 0 0 λ0 1 1 μ1 0 0 X 0 0 0 λ0 1 1 μ1 0 0 X 0 0 0 λ1 0 1 μ0 1 0 X 0 0 0 λ1 0 1 μ0 1 0 x 1 λ 2μ 7 y 1 2λ μ z 2 λ CAPÍTULO 15 ESTUDO DO PLANO 2 Equação Geral pág 146 2 a x 2 y λ z μ b x λ y 1 z μ c x λ y μ z 4 d x λ y 1 λ z μ e x λ y μ z λ f x λ y μ z 2 μ g x λ y μ z 1 λ μ 3 Oxy z 0 OyZ x 0 Oxz y 0 bissetores x y 0 x y 0 x z 0 x z 0 y z 0 y z 0 4 a não b sim 5 a x 2y 4z 1 0 b 3x y 2z 1 0 c 3x y z 4 0 d os pontos são colineares 6 x y 1 0 7 8x 4y z 4 0 8 2x y 3z 7 0 9 y 2 0 10 a π₁ x y z 1 0 π₂ x y z 0 π₃ x 2y z 2 0 b12 23 16 11 a sim b não c não 12 5x 5y z 39 0 P 2 2 7 π 17x 7y 6z 6 0 P 2 6 6 π 4x y 3z 4 0 CAPÍTULO 15 ESTUDO DO PLANO 3 Vetor Normal a um Plano pág 160 1 a 1 0 0 b 1 2 1 c 1 2 4 2 x y 2z 4 0 3 x 2z 0 4 x 2y z 0 5 v 30 5 040 6 X 1 2 3 λ2 1 1 7 x 3λ y 2 z 3 2λ 8 x λ y λ z 0 x 4y z 10 0 é uma equação geral do plano x 12 y 12 z 52 CAPÍTULO 15 ESTUDO DO PLANO 4 Feixe de Planos pág 166 1 x z 2 0 4 2y z 0 5 Não existe