Limites de Funções: Comportamento de f(x) conforme x tende a 2

fx tende a 4 Da tabela e do gráfico de f uma parábola mostrado na Figura 1 vemos que quando x estiver próximo de 2 de qualquer lado de 2 fx tenderá a 4 De fato parece que podemos tornar os valores de fx tão próximos de 4 quanto quisermos ao tornar x suficientemente próximo de 2 Expressamos isso dizendo que o limite da função fx x² x 2 quando x tende a 2 é igual a 4 A notação para isso é 22 O Limite de uma Função Vamos analisar o comportamento da função f definida por fx x² x 2 para valores de x próximos de 2 A tabela a seguir fornece os valores de fx para valores de x próximos de 2 mas não iguais a 2 Definição Suponha que fx seja definido quando está próximo ao número a Isso significa que f é definido em algum intervalo aberto que contenha a exceto possivelmente no próprio a Então escrevemos lim xa fx L e dizemos o limite de fx quando x tende a a é igual a L se pudermos tornar os valores de fx arbitrariamente próximos de L tão próximos de L quanto quisermos tornando x suficientemente próximo de a por ambos os lados de a mas não igual a a Grosso modo isso significa que os valores de fx tendem a L quando x tende a a Em outras palavras os valores de fx tendem a ficar cada vez mais próximos do número L à medida que x tende ao número a por qualquer lado de a mas x a Uma definição mais precisa será dada na Seção 24 Uma notação alternativa para lim xa fx L é fx L quando x a que geralmente é lida como fx tende a L quando x tende a a Observe a frase mas x a na definição de limite Isso significa que ao procurar o limite de fx quando x tende a a nunca consideramos x a Na verdade fx não precisa sequer estar definida quando x a A única coisa que importa é como f está definida próximo de a A Figura 2 mostra os gráficos de três funções Note que na parte c fa L Mas em cada caso não importando o que acontece em a é verdade que lim xa fx L FIGURA 2 lim fxL nos três casos xa FIGURA 3 O Exemplo 1 está ilustrado pelo gráfico de f na Figura 3 Agora vamos mudar ligeiramente f definindo seu valor como 2 quando x 1 e chamando a função resultante de g EXEMPLO 1 Estimate o valor de lim x 1 x 1x² 1 SOLUÇÃO Observe que a função fx x 1x² 1 não está definida quando x 1 mas isso não importa pois a definição de lim xa fx diz que devemos considerar valores de x que estão próximos de a mas não são iguais a a As tabelas à esquerda na próxima página dão os valores de fx com precisão de seis casas decimais para os valores de x que tendem a 1 mas não são iguais a 1 Com base nesses valores podemos conjecturar que EXEMPLO 2 Estime o valor de lim t0 t² 9 3 t² SOLUÇÃO A tabela fornece uma lista de valores da função para vários valores de t próximos de 0 À medida que t tende a 0 os valores da função parecem tender a 01666666 e assim podemos conjecturar que lim t0 t² 9 3 t² 16 EXEMPLO 6 A função de Heaviside H é definida por Ht 0 se t 0 1 se t 0 Quando t tende a 0 pela esquerda Ht tende a 0 Quando t tende a 0 pela direita Ht tende a 1 Não há um número único para o qual Ht tende quando t tende a 0 Portanto lim t0 Ht não existe Limit es Laterais Vimos no Exemplo 6 que Ht tende a 0 quando t tende a 0 pela esquerda e Ht tende a 1 quando t tende a 0 pela direita Indicamos essa situação simbolicamente escrevendo lim t0 Ht 0 e lim t0 Ht 1 O símbolo t 0 indica que estamos considerando somente valores de t menores que 0 Da mesma forma t 0 indica que estamos considerando somente valores de t maiores que 0 2 Definição Escrevemos lim xa fx L e dizemos que o limite à esquerda de fx quando x tende a a ou o limite de fx quando x tende a a pela esquerda é igual a L se pudermos tornar os valores de fx arbitrariamente próximos de L para x suficientemente próximo de a e x menor que a Perceba que a Definição 2 difere da Definição 1 somente por necesitarmos que x seja menor que a De maneira semelhante se exigirmos que x seja maior que a obtemos o limite à direita de fx quando x tende a a é igual a L e escrevemos lim xa fx L Dessa forma o símbolo x a indica que estamos considerando somente x a Essas definições estão ilustradas na Figura 9 FIGURA 9 Comparando a Definição 1 com as definições de limites laterais vemos ser verdadeiro o que segue 3 lim xa fx L se e somente se lim xa fx L e lim xa fx L EXEMPLO 7 O gráfico de uma função g é apresentado na Figura 10 Useo para estabelecer os valores caso existam dos seguintes limites a lim x2 gx b lim x2 gx c lim x2 gx d lim x5 gx e lim x5 gx f lim x5 gx SOLUÇÃO A partir do gráfico vemos que os valores de gx tendem a 3 à medida que os de x tendem a 2 pela esquerda mas tendem a 1 quando x tende a 2 pela direita Logo a lim gx 3 e b lim gx 1 c Uma vez que são diferentes os limites à esquerda e à direita conclúimos de 3 que lim x2 gx não existe O gráfico mostra também que d lim gx 2 e e lim gx 2 f Agora os limites à esquerda e à direita são iguais assim de 3 temos lim gx 2 Apesar desse fato observe que g5 2 Limites Infinitos EXEMPLO 8 Encontre lim 1x² se existir SOLUÇÃO À medida que x tende a 0 x² também tende a 0 e 1x² fica muito grande Veja a tabela na margem De fato a partir do gráfico da função fx 1x² da Figura 11 parece que a função fx pode se tornar arbitrariamente grande ao tornarmos os valores de x suficientemente próximos de 0 Assim os valores de fx não tendem a um número e não existe lim x0 1x² Para indicar o tipo de comportamento exibido no Exemplo 8 usamos a notação lim x0 1x² Isso não significa que consideramos como um número Também não significa que o limite existe Expressa simplesmente uma maneira particular de não existência de limite 1x² pode ser tão grande quanto quisermos tornando x suficientemente perto de 0 x 1x² 1 1 05 4 02 25 01 100 005 400 001 10000 0001 1000000 FIGURA 11 Definição Seja f uma função definida em ambos os lados de a exceto possivelmente no próprio a Então lim xa fx significa que podemos fazer os valores de fx ficarem arbitrariamente grandes tão grandes quanto quisermos tornando x suficientemente próximo de a mas não igual a a Outra notação para lim xa fx é fx quando x a Novamente o símbolo não é um número todavia a expressão lim xa fx é usualmente lida como o limite de fx quando x tende a a é infinito ou fx se torna infinito quando x tende a a ou fx cresce ilimitadamente quando x tende a a Essa definição está ilustrada na Figura 12 Definição Seja definida em ambos os lados de a exceto possivelmente no próprio a Então lim xa fx significa que os valores de fx podem ser arbitrariamente grandes porém negativos ao tornarmos x suficientemente próximo de a mas não igual a a O símbolo lim xa fx pode ser lido das seguintes formas o limite de fx quando tende a a é menos infinito ou fx decrece ilimitadamente quando x tende a a Como exemplo temos lim x0 1x² FIGURA 12 lim fx xa Definições similares podem ser dadas no caso de limites laterais lim fx lim fx lembrando que x a significa considerar somente os valores de x menores que a ao passo que x a significa considerar somente x a Ilustrações desses quatro casos são dados na Figura 14 FIGURA 14 a lim fx xa b lim fx xa c lim fx xa Definição A reta x a é chamada assintota vertical da curva y fx se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita lim fx lim fx lim fx lim fx 26 Limites no Infinito Assintotas Horizontais Nas Seções 22 e 24 estudamos os limites infinitos e as assintotas verticais Lá tomávamos x tendendo a um número e como resultado os valores de y ficavam arbitrariamente grandes positivos ou negativos Nesta seção vamos tornar x arbitrariamente grande positivo ou negativo e ver o que acontece com y Vamos começar pela análise do comportamento da função f definida por x fx 0 1 1 0 2 0600000 3 0800000 4 0882353 5 0923077 10 0980198 50 0999200 100 0999800 1000 0999998 Quanto maior o x mais próximos de 1 ficam os valores de fx De fato temos a impressão de que podemos tornar os valores de fx tão próximos de 1 quanto quisermos se tornarmos um x suficientemente grande Essa situação é expressa simbolicamente escrevendo lim x² 1x² 1 1 Outra notação para lim x fx L é fx L quando x O símbolo não representa um número Todavia frequentemente a expressão lim fx L é lida como o limite de fx quando x tende ao infinito é L ou o limite de fx quando x se torna infinito é L ou o limite de fx quanto x cresce ilimitadamente é L Com relação ainda à Figura 1 vemos que para os valores negativos de x com grande valor absoluto os valores de fx estão próximos de 1 Fazendo x decrescer ilimitadamente para valores negativos podemos tornar fx tão próximo de 1 quanto quisermos Isso é expresso escrevendo lim x² 1x² 1 1 Novamente o símbolo não representa um número todavia a expressão lim fx L é frequentemente lida como o limite de fx quando x tende a menos infinito é L 3 Definição A reta y L é chamada assintota horizontal da curva y fx se lim fx L ou lim fx L Por exemplo a curva ilustrada na Figura 1 tem a reta y 1 como uma assintota horizontal pois lim x² 1 x² 1 1 EXEMPLO 1 Encontre os limites infinitos limites no infinito e assintotas para a função f cujo gráfico está na Figura 5 SOLUÇÃO Vemos que os valores de fx ficam grandes por ambos os lados como x 1 então Limites Infinitos no Infinito A notação é usada para indicar que os valores de fx tornamse grandes quanto x se torna grande Significados análogos são dados aos seguintes símbolos EXEMPLO 9 Encontre lim x³ e lim x³ FIGURA 11 lim x³ lim x³ SOLUÇÃO Quando x tornase grande x³ também fica grande Por exemplo 10³ 1 000 100³ 1 000 000 1 000³ 1 000 000 000 Na realidade podemos fazer x³ ficar tão grande quanto quisermos tomando x grande o suficiente Portanto podemos escrever lim x³ Analogamente quando x é muito grande em módulo porém negativo x³ também o é Assim lim x x³ Essas afirmações sobre limites também podem ser vistas no gráfico de y x³ da Figura 11 25 Continuidade Percebemos na Seção 23 que o limite de uma função quando x tende a a pode muitas vezes ser encontrado simplesmente calculando o valor da função em a Funções com essa propriedade são chamadas de contínuas em a Veremos que a definição matemática de continuidade tem correspondência bem próxima ao significado da palavra continuidade no uso comum Um processo contínuo é aquele que ocorre gradualmente sem interrupções ou mudanças abruptas 1 Definição Uma função f é contínua em um número a se lim xa fx fa Observe que a Definição 1 implicitamente requer três coisas para a continuidade de f em a 1 fa está definida isto é a está no domínio de f 2 lim xa fx existe 3 lim xa fx fa EXEMPLO 1 A Figura 2 mostra o gráfico da função f Em quais números f é descontínua Por quê SOLUÇÃO Parece haver uma descontinuidade quando a 1 pois aí o gráfico tem um buraco A razão oficial para f ser descontínua em 1 é que f1 não está definida O gráfico também tem uma quebra em a 3 mas a razão para a descontinuidade é diferente Aqui f3 está definida mas lim x3 fx não existe pois o limites esquerdo e direito são diferentes Logo f é descontínua em 3 E a 5 Aqui f5 está definida e lim x5 fx existe pois o limite esquerdo e o direito são iguais Mas lim x5 fx f5 Logo f é descontínua em 5 EXEMPLO 2 Onde cada uma das seguintes funções é descontínua a fx x² x 2 x 2 b fx 1x² se x 0 1 se x 0 c fx x² x 2 x 2 se x 2 se x 2 FIGURA 3 Gráficos das funções do Exemplo 2 Teorema Se f e g forem contínuas em a e se c for uma constante então as seguintes funções também são contínuas em a 1 f g 2 f g 3 cf 4 fg 5 fg se ga 0 a Qualquer polinômio é contínuo em toda a parte ou seja é contínuo em ℝ b Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida ou seja é contínua em seu domínio Teorema Os seguintes tipos de funções são contínuas para todo o número de seus domínios polinômios funções trigonométricas funções exponenciais funções racionais funções raízes funções trigonométricas inversas funções logarítmicas 1 Definição A reta tangente à curva y fx em um ponto Pa fa é a reta passando por P com a inclinação m limxa fx fa x a desde que esse limite exista EXEMPLO 1 Encontre uma equação da reta tangente à parábola y x² no ponto P1 1 SOLUÇÃO Temos aqui a 1 e fx x² logo a inclinação é 27 Derivadas e Taxas de Variação Tangentes Se uma curva C tiver uma equação y fx e quisermos encontrar a reta tangente a C em um ponto Pa fa consideramos um ponto próximo Qx fx onde x a e calculamos a inclinação da reta secante PQ mPQ fx fa x a Então fazemos Q aproximarse de P ao longo da curva C ao obrigar x tender a a Se mPQ tender a um número m então definimos a tangente t como a reta que passa por P e tem inclinação m Isso implica dizer que a reta tangente é a posiçãolimite da reta secante PQ quando Q tende a P Veja a Figura 1 m lim x1 fx f1 x 1 lim x1 x² 1 x 1 lim x1 x 1x 1 x 1 lim x1 x 1 1 1 2 Usando a forma pontoinclinação da reta encontramos que uma equação da reta tangente em 1 1 é y 1 2x 1 ou y 2x 1 Algumas vezes nos referimos à inclinação da reta tangente como a inclinação da curva no ponto A ideia por trás disso é que se dermos zoom suficiente em direção ao ponto a curva parecerá quase uma reta A Figura 2 ilustra esse procedimento para a curva y x² do Exemplo 1 Quanto maior for o zoom mais indistinguível da reta tangente será a parábola Em outras palavras a curva se torna quase indistinguível de sua reta tangente Há outra expressão para a inclinação da reta tangente que é às vezes mais fácil de ser usada Se h x a então x a h e assim a inclinação da reta secante PQ é mpQ fa h fa h Veja a Figura 3 onde o caso h 0 é ilustrado e Q está à direita de P Se acontecesse que h 0 entretanto Q estaria à esquerda de P Observe que quando x tende a a h tende a 0 pois h x a assim a expressão para a inclinação da reta tangente na Definição 1 fica m lim h0 fa h fa h EXEMPLO 2 Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole y 3x no ponto 3 1 SOLUÇÃO Seja fx 3x Então a inclinação da reta tangente em 3 1 é m lim h0 f3 h f3 h lim h0 3 3 h 3 h lim h0 h h3 h lim h0 1 3 h 13 Portanto uma equação da reta tangente no ponto 3 1 é y 1 13x 3 x 3y 6 0 A hipérbole e sua tangente estão na Figura 4 4 Definição A derivada de uma função f em um número a denotada por fa é fa lim h0 fa h fa h se o limite existir Se escrevermos x a h então h x a e h tende a 0 se e somente se x tende a a Consequentemente uma maneira equivalente de enunciar a definição da derivada como vimos na determinação das retas tangentes é fa lim xa fx fa x a A reta tangente a y fx em a fa é a reta que passa em a fa cuja inclinação é igual a fa a derivada de f em a Se usarmos a forma pontoinclinação da equação de uma reta poderemos escrever uma equação da reta tangente à curva y fx no ponto a fa y fa fax a EXEMPLO 4 Encontre a derivada da função fx x² 8x 9 em um número a SOLUÇÃO Da Definição 4 temos fa lim h0 fa h fa h EXEMPLO 5 Encontre uma equação da reta tangente à parábola y x² 8x 9 no ponto 3 6 SOLUÇÃO Do Exemplo 4 sabemos que a derivada de fx x² 8x 9 no número a é fa 2a 8 Portanto a inclinação da reta tangente em 3 6 é f3 23 8 2 Dessa forma uma equação da reta tangente ilustrada na Figura 7 é y 6 2x 3 ou y 2x A Derivada como uma Função EXEMPLO 1 O gráfico de uma função f é ilustrado na Figura 1 Useo para esboçar o gráfico da derivada f SOLUÇÃO Podemos estimar o valor da derivada para qualquer valor de x traçando a tangente no ponto x fx e estimando sua inclinação Por exemplo para x 5 traçamos a tangente em P na Figura 2a e estimamos sua inclinação como cerca de 32 então f 5 15 Isso nos permite desenhar o ponto P 5 15 sobre o gráfico de f diretamente abaixo de P Repetindo esse procedimento em vários pontos obtemos o gráfico ilustrado na Figura 2b Observe que as tangentes em A B e C são horizontais logo ali a derivada é 0 e o gráfico de f cruza o eixo x nos pontos A B e C diretamente abaixo de A B e C Entre A e B as tangentes têm inclinação positiva logo f x é positiva ali Mas entre B e C as tangentes têm inclinação negativa logo f x lá é negativa y fx A m 0 B m 0 P m 32 C 0 1 5 x a FIGURA 2 y fx A B C P5 15 0 1 5 x b EXEMPLO 2 a Se fx x³ x encontre uma fórmula para fx b Ilustre comparando os gráficos de f e f SOLUÇÃO a Ao usar a Equação 2 para calcular uma derivada devemos nos lembrar de que a variável é h e de que x é considerado temporariamente uma constante para os cálculos do limite fx lim h0 fx h fx h lim h0 x h³ x³ x h lim h0 x³ 3x²h 3xh² h³ x h x³ x h lim h0 3x²h 3xh² h³ h h lim h0 3x² 3xh h² 1 3x² 1 b Vamos fazer os gráficos de f e f utilizando alguma ferramenta gráfica O resultado está na Figura 3 Observe que fx 0 quando f tem tangentes horizontais e que fx é positivo quando as tangentes têm inclinação positiva Assim esses gráficos servem como verificação do trabalho feito em a Outras Notações Se usarmos a notação tradicional y fx para indicar que a variável independente é x e a variável dependente é y então algumas notações alternativas para a derivada são as seguintes fx y dydx dfdx ddx fx Dfx Os símbolos D e ddx são chamados operadores diferenciais pois indicam a operação de diferenciação que é o processo de cálculo de uma derivada O símbolo dydx introduzido por Leibniz não deve ser encarado como um quociente por ora tratase simplesmente de um sinônimo para fx Todavia essa notação é muito útil e proveitosa especialmente quando usada em conjunto com a notação de incremento Podemos reescrever a definição de derivada Equação 276 como dydx lim Δx0 ΔyΔx Para indicar o valor de uma derivada dydx na notação de Leibniz em um número específico a usamos a notação dydx xa ou dydx xa que é um sinônimo para fa 3 Definição Uma função f é derivável ou diferenciável em a se fa existir É derivável ou diferenciável em um intervalo aberto a b ou a ou a se for diferenciável em cada número do intervalo EXEMPLO 5 Onde a função fx x é diferenciável SOLUÇÃO Se x 0 então x x e podemos escolher h suficientemente pequeno para que x h 0 e portanto x h x h Consequentemente para x 0 temos fx lim h0 x h x h lim h0 x h h lim h0 h h lim h0 1 1 e dessa forma f é diferenciável para qualquer x 0 Analogamente para x 0 temos x x e podemos escolher h suficientemente pequeno para que x h 0 e assim x h x h Portanto para x 0 fx lim h0 x h x h lim h0 x h x h lim h0 h h lim h0 1 1 e dessa forma f é diferenciável para qualquer x 0 Para x 0 temos de averiguar f0 lim h0 f0 h f0 h lim h0 0 h 0 h se existir Vamos calcular os limites à esquerda e à direita lim h0 0 h 0 h lim h0 h h lim h0 h h lim h0 1 1 e lim h0 0 h 0 h lim h0 h h lim h0 h h lim h0 1 1 Uma vez que esses limites são diferentes f0 não existe Logo f é diferenciável para todo x exceto 0 Uma fórmula para f é dada por fx 1 se x 0 1 se x 0 e seu gráfico está ilustrado na Figura 5b O fato de que f0 não existe está refletido geometricamente no fato de que a curva y x não tem reta tangente em 0 0 Veja a Figura 5a a y fx x b y fx FIGURA 5 Exemplo Seja 𝑓 𝑥 𝑥 1 𝑥 temos que 𝑓 𝑥 1 𝑥12 𝑥12 𝑥12 1 𝑥12 1 𝑥12 2 𝑓 𝑥 1 𝑥12 1 2 𝑥12 𝑥12 1 2 𝑥12 1 𝑥12 2 1 2 𝑥12 1 2 𝑥 1 2 𝑥 1 𝑥12 2 𝑓 𝑥 𝑥12 2 1 𝑥12 2 1 2 𝑥 1 𝑥 2 Dessa forma se F e G são duas primitivas quaisquer de f então