Aula 9: Utilidade e Aversão ao Risco

ENG 1515 ANÁLISE DE DECISÕES E RISCO AULA 9 UTILIDADE E AVERSÃO A RISCO Até esta aula estivemos preocupados em apresentar os conceitos básicos de decisão sob incerteza apresentando métodos para representação do problema decisório através de árvores de decisão e diagramas de influência além da discussão de modelos estatísticos para caracterizar a dinâmica futura da incerteza e de modelos de otimização a fim de obter a decisão que gera o maior benefício para o agente A partir desta aula até o fim do curso entraremos em um tópico extremamente delicado e de suma importância em decisão sob incerteza o gerenciamento e a caracterização de risco De fato Risco é um conceito bastante intuitivo e que possui diversas tentativas de definições formais Sob o ponto de vista quantitativofinanceiro1 podemos apresentar a seguinte definição Definição 1 Risco O termo Risco sob o ponto vista quantitativofinanceiro pode ser definido como a diferença entre o montante financeiro que era requerido pelo agente e o montante financeiro em um evento desfavorável Intuitivamente risco pode ser interpretado como uma métrica que quantifica o desvio entre uma meta defina pelo decisor e um piorcaso isto é se der errado quão longe estou da minha meta Como exemplo vamos analisar a seguinte situação Exemplo 1 Considere que você está avaliando um empreendimento imobiliário A diretoria técnica da sua empresa apresentou a possibilidade de investimento em dois empreendimentos 𝑋 e 𝑌 Contudo uma análise financeira da situação econômica da empresa concluiu que existe orçamento para investimento em apenas um destes empreendimentos Com isso você montou a seguinte árvore de decisão duplamente arriscada do processo decisório 1 Não estaremos tratando de risco de maneira geral como por exemplo o risco de acidente em uma corrida de carros o risco de deslizamento de uma encosta ou o risco de um surfista cair de uma onda Formalmente existe uma distinção entre risco e incerteza que basicamente associa risco a fatores que podem ser quantificadosmodelados e incerteza àqueles que não podem Muita discussão sobre esta distinção existe na literatura Aqui iremos tratar apenas de risco Utilizando os conceitos apresentados até esta aula podemos resolver a árvore de decisão acima calculando o Valor Monetário Esperado de cada opção e estabelecendo a relação de preferência no conjunto de opções de investimento Formalmente considere que 𝒳 𝑋 𝑌 Com isso 𝔼𝑌 50000 25000 𝔼𝑋 𝑌 𝑋 Construindo o Perfil de Risco associado a cada opção de investimento obtemos uma situação atípica Se nenhuma análise quantitativa for realizada a priori poucos investidores escolheriam o investimento 𝑌 A escolha majoritária seria pelo investimento 𝑋 Apesar da opção de investimento 𝑌 ser preferível ao investimento 𝑋 sob a métrica de Valor Monetário Esperado visualmente notamos que 𝑌 possui um Perfil de Risco significativamente mais espalhado disperso o que implica que na ocorrência de estados desfavoráveis a perda do investidor é significativamente maior Utilizando o conceito de risco atribuindo o montante financeiro esperado como o Valor Monetário Esperado e o montante financeiro desfavorável como o estado de menor payoff temos que o Risco do investimento 𝑌 é de R 195 MMR enquanto que o Risco do investimento 𝑋 é significativamente menor apenas R 26 milR Analisando os fundamentos do Exemplo 1 percebemos que os agentes tomadores de decisão intuitivamente violam o critério de Maximização do Valor Monetário Esperado critério que estamos utilizando para tomar decisão desde o início do curso constantemente em diversas situações práticas especialmente quando montantes financeiros de ordem diferentes estão envolvidos Ainda mais decisões tomadas em situações que envolvem perdas financeiras potenciais são diferentes das que não envolvem perdas financeiras Em linhas gerais a decisão de um agente não é invariante com relação à Translação isto é a decisão se altera na medida em que consideramos montantes financeiros de magnitudes diferentes Um exemplo mais claro e interessante é a compra de um seguro de carro Certamente o Valor Monetário Esperado da compra de um seguro é menor que a não aquisição do seguro2 isto é o custo esperado do seguro é maior que o custo esperado de não têlo e jogar a loteria de andar no trânsito sem o seguro Contudo ainda assim pagamos pelo seguro violando o critério de Maximização do Valor Monetário Esperado3 Na busca por tentar compreender e quantificar matematicamente este fenômeno uma nova área de pesquisa foi iniciada Pesquisadores que estavam buscando esta compreensão acreditavam que o agente não buscava maximizar o Valor Monetário Esperado diretamente de suas escolhas e sim um valor subjetivo de Felicidade Neste sentido desenvolveuse a Teoria Utilitarista que será discutida a fundo nesta aula Basicamente a Teoria Utilitarista considera a existência de uma Função Utilidade que quantifica o payoff monetário de cada opção disponível a ser tomada em unidades de Felicidade ou utilidade na linguagem comum da área Formalmente a definição de Função Utilidade segue Definição 2 Considere o conjunto de alternativas 𝒳 𝑋 𝑌 onde 𝑋 é uma variável aleatória e 𝑌 𝔼𝑋 uma constante Assumindo que ℙ𝑋 𝑌 0 uma relação de preferência cujo funcional é 𝑈 𝒳 ℝ é dita Avessa a Risco se e somente se 𝑌 𝑋 Exemplo 2 Considere uma relação de preferência com uma representação numérica 𝑈𝑋 inf𝜔𝛺 𝑋𝜔 Considere agora duas alternativas 𝑋𝜔 10 𝜔 𝜔1 𝜔2 𝛺 e 𝑌 onde 𝑌𝜔1 20 e 𝑌𝜔1 0 As probabilidades dos cenários são dadas por 𝑃𝜔1 50 e 𝑃𝜔2 50 Neste caso 𝑋 𝔼𝑌 ponto a ponto e 𝑈𝑋 10 0 𝑈𝑌 logo relação de preferência é Avessa a Risco Uma forma bastante comum de tratar aversão a risco é através de uma Função Utilidade Definição 3 Função Utilidade Seja ℛ ℝ um subconjunto da reta real que representa todos os valores de payoff monetários de cada opção disponível a ser tomada A função 𝑢 ℛ ℝ que mapeia o valor monetário no nível de satisfação do decisor é chamada de Função Utilidade Antes entrarmos na análise e especificação de tipos de Funções Utilidade interessantes vejamos o seguinte exemplo Exemplo 3 Um investidor possui a possibilidade de investir seu dinheiro em uma das três opções i ativo de alto risco ii ativo de baixo risco e iii poupança Vamos assumir que o mercado possui três possíveis estados alto manutenção e baixo Associado a cada um deles temos que se o estado se realizar alto o investidor ganha R 1700 no ativo de alto risco e R 1200 no ativo de baixo risco Já se o estado se realizar manutenção o investidor ganha R 300 no ativo de alto risco e R 400 no de baixo risco Por fim caso o estado seja baixo o investidor perde R 800 no ativo de alto risco e ganha R 100 no de baixo risco Além disso 2 Caso contrário não existiriam empresas seguradoras de carro 3 O ponto mais desafiador para a compreensão da atitude humana frente à incerteza está no fato de que na maioria dos casos agentes que compram seguros também alocam parte de seu dinheiro em investimentos incertos como a compra de ações ou derivativos na bolsa de valores consideramos que a poupança terá um rendimento líquido de R 500 independente do estado do mercado e caso o investidor decida comprar um dos ativos ele pagará um custo de R 200 fixo de custos de operações Na Aula 4 apesentamos este problema com sua árvore de decisão Utilizando o Valor Esperado Monetário como funcional de preferência para ranquear o conjunto de investimentos 𝒳 𝑋𝐴 𝑋𝐵 𝑋𝑃 temos que a decisão de investimento ótima é investir no ativo de alto risco como um Valor Esperado de R 580 𝔼𝑋𝐴 05 1500 03 100 02 1000 580 𝔼𝑋𝐵 05 1000 03 200 02 100 540 𝔼𝑋𝑃 500 isto é 𝑋𝐴 𝑋𝐵 𝑋𝑃 Calculando o risco associado a cada escolha atribuindo a meta financeira esperado como o Valor Monetário Esperado e o montante financeiro desfavorável como o estado de menor payoff contudo chegamos aos seguintes valores Risco𝑋𝐴 580 1000 1580 Risco𝑋𝐵 540 100 640 Risco𝑋𝐴 580 500 0 Claramente o ativo de alto risco possui uma métrica Risco maior seria surpreendente se não fosse afinal de contas este ativo se chama alto risco Consequentemente apesar da expectativa de ganhos no investimento 𝑋𝐴 ser superior aos outros investimentos pode ser que este significativo desvio com relação ao esperado quantificado na métrica de Risco não seja desejado pelo investidor em seu investimento Em outras palavras o investidor estaria disposto a reduzir seus ganhos esperados em troca de uma redução também no risco do investimento4 Assim lançando mão da Teoria Utilitarista considere que o agente atribuiu a seguinte relação entre cada possível payoff e um nível de Utilidade felicidade Payoff R 1000 100 100 200 500 1000 1500 𝒖payoff 0 033 046 052 065 086 1 A partir desta definição podemos montar a nova árvore de decisão Calculando o Valor Esperado da Utilidade de cada opção de investimento 𝑉𝑋𝐴 𝑢𝑋𝐴𝜔 ℙ𝜔 𝜔 𝜔𝐴𝜔𝑀𝜔𝐵 05 1 03 046 02 0 0638 𝑉𝑋𝐵 𝑢𝑋𝐵𝜔 ℙ𝜔 𝜔 𝜔𝐴𝜔𝑀𝜔𝐵 05 086 03 052 02 033 0652 𝑉𝑋𝑃 𝑢𝑋𝑃𝜔 ℙ𝜔 𝜔 𝜔𝐴𝜔𝑀𝜔𝐵 065 onde 𝜔𝐴 representa o estado Alto 𝜔𝑀 o estado Manutenção e 𝜔𝐵 o estado Baixo Neste novo contexto a preferência dentro do conjunto de opções de investimento 𝒳 se altera para 𝑋𝐵 𝑢 𝑋𝑃 𝑢 𝑋𝐴 isto é a decisão que gera maior utilidade esperada felicidade para o agente é o ativo de baixo risco 𝑋𝐵 Em seguida iremos discutir os fundamentos para esta alteração de preferência 4 Este conceito foi explorado na Aula 6 com o modelo de Markowitz quando discutimos fronteira eficiente Lá as carteiras presentes na fronteira possuem a característica de quanto maior o retorno esperado maior sua variância isto é maior o risco da carteira Existem dois pontos cruciais a serem abordados O primeiro diz respeito às propriedades que esta função deve possuir O segundo está diretamente ligado ao primeiro e está relacionado à escolha da Função Utilidade que melhor reproduz a felicidade do agente para cada valor de payoff e que satisfaça as propriedades de uma função utilidade Uma restrição que toda Função Utilidade deve apresentar é ser Crescente Intuitivamente o que estamos exigindo é que para uma unidade monetária a mais a felicidade do agente deve crescer ou se manter igual Do contrário para uma unidade monetária a menos ela deve decrescer ou se manter igual Formalmente temos que 𝑥 𝑦 ℛ ℝ 𝑥 𝑦 𝑢𝑥 𝑢𝑦 Para verificarmos se uma função é crescente basta checarmos se sua primeira derivada é positiva isto é 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑥 0 De fato esta é a única restrição forte que uma Função Utilidade deve possuir Em teoria uma vez que satisfaça a restrição de ser crescente 𝑢 pode assumir qualquer forma5 Contudo diversos autores ao estudarem o comportamento de agentes frente à problemas de decisões sob incerteza e seus paradoxos propuseram hipóteses a respeito da relação de preferência e da Função Utilidade hoje conhecida como Axiomas da Utilidade Esperada A seguir apresentamos estes axiomas Definição 4 Axiomas da Utilidade Esperada Os principais Axiomas da Utilidade Esperada são 1 Redução O agente decisor é indiferente entre um evento incerto composto por uma mistura de loterias e apostas loteria composta e um evento incerto simples obtido através de reduções usando manipulações probabilísticas padrão A ideia por trás deste axioma diz que o agente pode realizar reduções na estrutura do problema via manipulações probabilísticas sem afetar suas preferências 2 Continuidade O agente decisor é indiferente entre determinada consequência 𝐴 e algum evento incerto envolvendo consequências 𝐴1 e 𝐴2 tal que 𝐴1 𝐴 𝐴2 Intuitivamente este axioma diz que podemos construir uma loteria com determinada probabilidade 0 𝑝 1 tal que existirá indiferença entre esta loteria e a consequência 𝐴 3 Independência O agente decisor é indiferente entre um evento incerto original que inclui uma consequência 𝐴 e outro formado através da substituição de 𝐴 por um evento incerto que se considera equivalente A ideia deste axioma é que o agente está disposto a trocar uma consequência determinística 𝐴 por outra loteria caso haja indiferença 4 Monotonicidade Dadas duas loterias de referência com as mesmas realizações possíveis o decisor vai sempre preferir aquela com maiores probabilidades de se obter os 5 Na prática existe uma série de outras restrições que são recomendadas que uma Função Utilidade satisfaça resultados mais desejados Basicamente este axioma define os fundamentos para a construção da relação de preferência via Valor Esperado da Utilidade do agente 5 Invariância Tudo que é necessário para determinar a preferência do agente decisor entre loterias são os resultados de cada possível realização e as probabilidades associadas aos eventos 6 Finitude Nenhuma realização pode ser infinitamente boa ou infinitamente ruim Basicamente estamos assumindo que não existe nenhum resultado financeiro finito que atribua um grau de felicidade utilidade infinito A seguir apresentamos um conjunto de Funções Utilidade tipicamente utilizada em aplicações práticas Definição 5 Função Utilidade Exponencial Seja ℛ ℝ um subconjunto da reta real que representa todos os valores de payoff monetários de cada opção disponível a ser tomada A função 𝑢 ℛ ℝ é chamada de Função Utilidade da classe Exponencial se possuir a seguinte forma 𝑢𝑥 𝑒𝑎𝑥 𝑥 ℛ em que 𝑎 0 é um parâmetro da função Um ponto importante nesta classe de funções é que a utilidade assume valores negativos De fato isto não é um problema uma vez que estamos interessados na comparação entre utilidades e não no valor da utilidade em si Verificando a propriedade de Função Crescente temos que 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑥 𝑎𝑒𝑎𝑥 0 𝑥 ℛ Definição 6 Função Utilidade Logarítmica Seja ℛ ℝ0 um subconjunto da reta real estritamente positiva que representa todos os valores de payoff monetários de cada opção disponível a ser tomada A função 𝑢 ℛ ℝ é chamada de Função Utilidade da classe Logarítmica se possuir a seguinte forma 𝑢𝑥 ln𝑥 𝑥 ℛ Observe que esta função penaliza severamente valores muito próximos de 0 A ideia desta classe de funções utilidades é que como só podemos utilizála em situações em que o negócio resulte somente em valores positivos as decisões que resultem em payoffs extremamente baixos geram valores de utilidade também extremamente baixos Por outro lado para altos valores de payoffs o incremento de felicidade é bastante reduzido isto é é necessário um alto incremento nos ganhos para que a felicidade do agente aumente Ainda quanto mais próximo de um ganho nulo maior é a penalização na utilidade do agente Verificando a propriedade de Função Crescente temos que 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑥 1 𝑥 0 𝑥 ℛ Definição 7 Função Utilidade Potência Seja ℛ ℝ um subconjunto da reta real positiva que representa todos os valores de payoff monetários de cada opção disponível a ser tomada A função 𝑢 ℛ ℝ é chamada de Função Utilidade da classe Potência se possuir a seguinte forma 𝑢𝑥 𝑏𝑥𝑏 𝑥 ℛ em que 𝑏 1 𝑏 0 é um parâmetro da função Esta família contempla a possibilidade de 𝑏 1 resultando em uma função 𝑢𝑥 𝑥 isto é a utilidade do agente é exatamente o valor do payoff Neste caso voltamos ao caso em que as decisões são tomadas sem o artifício da utilidade e o agente busca maximizar o Valor Monetário Esperado Verificando a propriedade de Função Crescente temos que 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑥 𝑏2𝑥𝑏1 0 𝑥 ℛ Definição 8 Função Utilidade Quadrática Seja ℛ ℝ um subconjunto da reta real que representa todos os valores de payoff monetários de cada opção disponível a ser tomada A função 𝑢 ℛ ℝ é chamada de Função Utilidade da classe Potência se possuir a seguinte forma 𝑢𝑥 𝑥 𝑏𝑥2 𝑥 ℛ em que 𝑏 0 Esta família também contempla a possibilidade de 𝑢𝑥 𝑥 fazendo 𝑏 0 Verificando a propriedade de Função Crescente temos que 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑥 1 2𝑏𝑥 0 𝑥 𝑦 ℛ 𝑦 1 2𝑏 Uma vez que a aplicação de Funções Utilidade sob payoffs provêm uma maneira de ranquear as alternativas a partir do grau de utilidade felicidade do agente e o seu valor não possua nenhuma interpretação prática é de se esperar que ela passe a ser invariante com relação à translação propriedade não observada sob o contexto sem utilidade De fato temos a seguinte proposição Proposição 1 Seja 𝒳 o conjunto de opções de investimento disponíveis para um agente e 𝑢 ℛ ℝ sua função utilidade Tome 𝑋 𝑌 𝒳 tal que 𝑋 𝑢 𝑌 isto é o Valor Esperado da Utilidade de 𝑋 é maior que de 𝑌 Seja 𝑣 ℛ ℝ definida por 𝑣𝑥 𝛼𝑢𝑥 𝛽 𝑥 ℛ com 𝛼 0 Então 𝑋 𝑣 𝑌 Prova A prova desta proposição sai da aplicação direta da definição de Valor Esperado Note que 𝑋 𝑢 𝑌 𝑢𝑡𝑑𝐹𝑋𝑡 𝑡 ℛ 𝑢𝑡𝑑𝐹𝑌𝑡 𝑡 ℛ Assim utilizando a definição de 𝑣 chegamos a 𝑣𝑡𝑑𝐹𝑋𝑡 𝑡 ℛ 𝛼𝑢𝑡 𝛽𝑑𝐹𝑋𝑡 𝑡 ℛ 𝛼 𝑢𝑡𝑑𝐹𝑋𝑡 𝑡 ℛ 𝛽 𝑣𝑡𝑑𝐹𝑌𝑡 𝑡 ℛ 𝛼𝑢𝑡 𝛽𝑑𝐹𝑌𝑡 𝑡 ℛ 𝛼 𝑢𝑡𝑑𝐹𝑌𝑡 𝑡 ℛ 𝛽 Como por hipótese 𝑢𝑡𝑑𝐹𝑋𝑡 𝑡 ℛ 𝑢𝑡𝑑𝐹𝑌𝑡 𝑡 ℛ então 𝑣𝑡𝑑𝐹𝑋𝑡 𝑡 ℛ 𝑣𝑡𝑑𝐹𝑌𝑡 𝑡 ℛ Portanto 𝑋 𝑣 𝑌 Na Proposição 1 dizemos que 𝑣 é uma Função Utilidade Equivalente a 𝑢 Vejamos um exemplo Exemplo 4 Considere um investidor que possui uma função utilidade 𝑢 da classe Logarítmica Definição 6 A função 𝑣𝑥 ln𝑐𝑥𝑎 com 𝑎 0 é Equivalente a 𝑢 De fato 𝑣𝑥 ln𝑐𝑥𝑎 𝑎 ln𝑥 ln𝑐 𝛼𝑢𝑥 𝛽 Como 𝑣𝑥 𝛼𝑢𝑥 𝛽 então 𝑣 é equivalente a 𝑢 Na prática isto implica que se um agente possuir 𝑣 como Função Utilidade então podemos ranquear o conjunto de investimentos disponíveis utilizando a Função Utilidade Logarítmica que resultará na mesma ordenação A partir de uma propriedade da Função Utilidade atribuída ao agente podemos definir precisamente o conceito de Aversão Neutralidade e Propensão a Risco de maneira sistemática Primeiramente devemos apresentar formalmente a propriedade de Função ConvexaCôncava Definição 9 Função Convexa Seja ℛ ℝ𝑛 A função 𝑓 ℛ ℝ é chamada de Função Convexa se e somente se ℛ é um Conjunto Convexo e 𝒙 𝒚 ℛ e 𝜆 0 1 𝑓𝜆𝒙 1 𝜆𝒚 𝜆𝑓𝒙 1 𝜆𝑓𝒚 Definição 10 Função Côncava Seja ℛ ℝ𝑛 A função 𝑓 ℛ ℝ é chamada de Função Côncava se e somente se ℛ é um Conjunto Convexo e 𝒙 𝒚 ℛ e 𝜆 0 1 𝑓𝜆𝒙 1 𝜆𝒚 𝜆𝑓𝒙 1 𝜆𝑓𝒚 Na mesma linha dos conceitos da Definição 9 e da Definição 10 uma função é dita Estritamente Convexa se substituirmos por e Estritamente Côncava se substituirmos por Com isso temos as seguintes definições Definição 11 Aversão a Risco Um agente que possui Função Utilidade Estritamente Côncava é dito um agente Avesso a Risco Definição 12 Propensão a Risco Um agente que possui Função Utilidade Estritamente Convexa é dito um agente Propenso a Risco Definição 13 Neutralidade a Risco Um agente que possui Função Utilidade Linear é dito um agente Neutro a Risco A ideia por trás das definições apesentadas de Aversão Neutralidade e Propensão a Risco podem ser entendidas da seguinte maneira Considere um agente Avesso a Risco Neste caso a perda devida a um mau resultado não é compensada pelo ganho advindo de um bom resultado de mesma magnitude Além disso um ambiente que resulte em payoffs negativos possui impactos marginais na felicidade do agente diferentes de um ambiente com payoffs positivos Já para um investidor indiferente a riscos isto é Neutro a Risco um aumento de receita tem o mesmo impacto em módulo que uma redução Além disso desvios marginais impactam da mesma forma na utilidade do agente em ambientes de ganhos e perdas Finalmente um investidor Propenso a Risco possui um comportamento contrário ao Avesso a Risco As figuras abaixo traduzem esta ideia para cada um dos perfis Como exemplo para uma melhor compreensão vamos supor um agente avesso a risco A característica deste agente é uma maior sensibilidade a perdas do que a lucros Para uma mesma variação de 𝑑 em torno do ponto 𝑟0 representando um aumento na riqueza do agente o ganho da utilidade é menor em módulo que o decréscimo de utilidade resultante da mesma variação negativa 𝑑 em torno de 𝑟0 ou seja 𝐷𝑈 𝐷𝑈 Matematicamente isso pode ser explicado através de uma característica de funções côncavas diferenciáveis na qual a segunda derivada é negativa ou seja decresce a primeira derivada ao longo do domínio da função Assim à medida que se avance no sentido positivo de 𝑟 aumento da riqueza o beneficio marginal da utilidade primeira derivada é decrescida de forma monótona Analogamente a mesma análise pode ser feita para os outros perfis neutro e propenso De maneira geral estaremos interessados em estudar propriedades de agentes que são Avessos a Risco Uma métrica extremamente importante na definição da Função Utilidade do agente diz respeito ao Grau de Aversão a Risco do agente Intuitivamente dois agentes não são iguais portanto cada um possui um nível de aversão a risco particular Basicamente o Grau de Aversão a Risco está relacionado à inclinação da Função Utilidade isto é quanto maior a inclinação da função maior o Grau de Aversão a Risco do agente Em outras palavras quanto maior a inclinação mais sensível o agente estará a perdas do que a lucros Definição 14 Coeficiente de Aversão a Risco Absoluto Seja ℛ ℝ um subconjunto da reta real que representa todos os valores de payoff monetários de cada opção disponível a ser tomada e 𝑢 ℛ ℝ a Função Utilidade do agente O Coeficiente de Aversão a Risco Absoluto também conhecido como Coeficiente ArrowPratt é a função 𝑎 ℛ ℝ definida como 𝑎𝑥 𝑑2 𝑑𝑥2 𝑢𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑥 Basicamente o Coeficiente ArrowPratt quantifica como o Risco varia com variações na riqueza do agente Para muitos agentes o grau de aversão a risco diminui à medida que sua riqueza aumenta refletindo o fato de eles estarem dispostos a assumir mais risco A relação entre o Coeficiente ArrowPratt e Funções Utilidade Equivalentes é apresentado na seguinte proposição Proposição 2 Seja ℛ ℝ um subconjunto da reta real que representa todos os valores de payoff monetários de cada opção disponível a ser tomada e 𝑢 ℛ ℝ a Função Utilidade do agente com Coeficiente ArrowPratt 𝑎𝑢 ℛ ℝ Se 𝑣 ℛ ℝ é uma Função Utilidade Equivalente a 𝑢 então o Coeficiente ArrowPratt de 𝑣 𝑎𝑣 é igual ao de 𝑢 Prova A prova desta proposição sai da aplicação direta da definição do Coeficiente ArrowPratt e de Função Utilidade Equivalente Se 𝑣 é uma Função Utilidade Equivalente a 𝑢 então 𝑣 é da forma 𝑣𝑥 𝛼𝑢𝑥 𝛽 𝑥 ℛ Assim aplicando a definição de Coeficiente ArrowPratt da Definição 14 temos que 𝑥 ℛ 𝑎𝑣𝑥 𝑑2 𝑑𝑥2 𝑣𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑣𝑥 𝛼 𝑑2 𝑑𝑥2 𝑢𝑥 𝛼 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑥 𝑑2 𝑑𝑥2 𝑢𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑥 𝑎𝑢𝑥 Portanto 𝑎𝑢 𝑎𝑣 Como exemplo vejamos o seguinte Exemplo 5 Considere um investidor que possui uma função utilidade 𝑢 da classe Exponencial Definição 5 Então temos que 𝑥 ℛ 𝑢𝑥 𝑒𝑎𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑥 𝑎𝑒𝑎𝑥 𝑑2 𝑑𝑥2 𝑢𝑥 𝑎2𝑒𝑎𝑥 Portanto o Coeficiente ArrowPratt de 𝑢 é 𝑎𝑢𝑥 𝑎2𝑒𝑎𝑥 𝑎𝑒𝑎𝑥 𝑎 Note que para esta classe de Funções Utilidade o grau de aversão a risco independe do payoff Considerando uma Função Utilidade Equivalente temos que 𝑣𝑥 1 𝑏𝑒𝑎𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑣𝑥 𝑏𝑎𝑒𝑎𝑥 𝑑2 𝑑𝑥2 𝑣𝑥 𝑏𝑎2𝑒𝑎𝑥 Portanto o Coeficiente ArrowPratt de 𝑣 é 𝑎𝑣𝑥 𝑏𝑎2𝑒𝑎𝑥 𝑏𝑎𝑒𝑎𝑥 𝑎 de acordo como o resultado da Proposição 2 isto é 𝑎𝑣 𝑎𝑢 Exemplo 6 Considere um investidor que possui uma função utilidade 𝑢 da classe Logarítmica Definição 6 Então temos que 𝑥 ℛ 𝑢𝑥 ln𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑥 1 𝑥 𝑑2 𝑑𝑥2 𝑢𝑥 1 𝑥2 Portanto o Coeficiente ArrowPratt de 𝑢 é 𝑎𝑢𝑥 1 𝑥2 1 𝑥 1 𝑥 Ao contrário do Exemplo 5 para esta classe de Funções Utilidade o grau de aversão a risco depende do payoff decrescendo à medida que o payoff aumenta Assim a aversão a risco do agente com esta Função Utilidade reduz com o acréscimo da riqueza No Exemplo 3 ao obtermos o Valor Esperado da Utilidade não discutimos em nenhum momento o que significava este valor apenas comparamos entre as opções de investimento para ranquearmos o conjunto de investimentos De fato este valor não possui nenhuma interpretação prática Contudo existe um conceito extremamente importante em teoria de decisão que é derivado da Função Utilidade o conceito de Equivalente Certo EC Definição 15 Equivalente Certo O Equivalente Certo de um resultado financeiro aleatório é o menor montante determinístico que torna o agente indiferente sob a preferência com utilidade a este fluxo estocástico Matematicamente seja 𝑋 uma variável aleatória que representa o resultado financeiro aleatório 𝐹𝑋 a Função Distribuição Acumulada associada a 𝑋 e 𝑢 a função utilidade de um agente O Equivalente Certo 𝐶 de 𝑋 sob a utilidade 𝑢 pode ser definido como 𝑢𝐶 𝑢𝑥 𝑑𝐹𝑋𝑥 𝑥 ℝ Obtendo o valor do Equivalente Certo basta aplicar a inversa da Função Utilidade Assim 𝐶 𝑢1 𝑢𝑥 𝑑𝐹𝑋𝑥 𝑥 ℝ A relação entre o Equivalente Certo e Funções Utilidade Equivalentes é apresentado na seguinte proposição Proposição 3 Seja ℛ ℝ um subconjunto da reta real que representa todos os valores de payoff monetários de cada opção disponível a ser tomada e 𝑢 ℛ ℝ a Função Utilidade do agente Considere 𝑋 uma variável aleatória que representa um resultado financeiro aleatório e 𝐶𝑢 o Equivalente Certo de 𝑋 sob a utilidade 𝑢 Se 𝑣 ℛ ℝ é uma Função Utilidade Equivalente a 𝑢 o Equivalente Certo de 𝑋 sob a utilidade 𝑣 𝐶𝑣 é igual ao Equivalente Certo de 𝑋 sob a utilidade 𝑢 isto é 𝐶𝑣 𝐶𝑢 Prova A prova desta proposição sai da aplicação direta da definição de Equivalente Certo e de Função Utilidade Equivalente Se 𝑣 é uma Função Utilidade Equivalente a 𝑢 então 𝑣 é da forma 𝑣𝑥 𝛼𝑢𝑥 𝛽 𝑥 ℛ Assim pela aplicação do conceito de Equivalente Certo temos 𝑣𝐶𝑣 𝑣𝑥 𝑑𝐹𝑋𝑥 𝑥 ℝ 𝛼𝑢𝐶𝑣 𝛽 𝛼𝑢𝑥 𝛽 𝑑𝐹𝑋𝑥 𝑥 ℝ 𝛼𝑢𝐶𝑣 𝛽 𝛼 𝑢𝑥 𝑑𝐹𝑋𝑥 𝑥 ℝ 𝛽 𝑑𝐹𝑋𝑥 𝑥 ℝ 1 𝑢𝐶𝑣 𝑢𝑥 𝑑𝐹𝑋𝑥 𝑥 ℝ 𝐶𝑣 𝑢1 𝑢𝑥 𝑑𝐹𝑋𝑥 𝑥 ℝ 𝐶𝑢 Analisando a definição de Equivalente Certo observamos uma propriedade interessante Assumindo 𝑋 uma variável aleatória que representa o resultado financeiro aleatório e 𝑢 a Função Utilidade então a tabela a seguir faz uma relação entre o perfil de risco do agente e o Equivalente Certo Agente Avesso a Risco 𝐶 𝔼𝑋 Agente Neutro a Risco 𝐶 𝔼𝑋 Agente Propenso a Risco 𝐶 𝔼𝑋 A figura a seguir apresenta a intuição por trás da tabela acima para um agente Avesso a Risco Conceitualmente a diferença entre o Valor Monetário Esperado e o Equivalente Certo é conhecida como Prêmio de Risco Este prêmio consiste no valor financeiro que o agente estaria disposto a abrir mão para evitar o risco associado a uma loteria Note que esta definição está de acorda com a intuição que temos sob os diferentes tipos de perfil de risco Para um agente Avesso a Risco este prêmio é positivo indicando que ele aceita receber um valor inferior ao Valor Monetário Esperado da loteria para sair dela Já para um agente Propenso a Risco ele estaria disposto a trocar a loteria por um valor superior ao Valor Monetário Esperado Por fim um agente Neutro a Risco possui Prêmio de Risco nulo A seguir apresentamos um exemplo em que calculamos o Prêmio de Risco e o Equivalente Certo de uma loteria Exemplo 7 Considere um investidor que possui uma função utilidade 𝑢 da classe Logarítmica Definição 6 Além disso assuma que ele está envolvido na seguinte loteria O Valor Monetário Esperado é 𝔼𝑋 04 2000 04 1000 02 500 1300 Como calculamos o Equivalente Certo 𝐶 do fluxo financeiro aleatório desta loteria Basta aplicarmos a definição Primeiramente temos que 𝑢𝑥 ln𝑥 𝑥 ℛ 𝑢1𝑦 𝑒𝑦 𝑦 ℝ Assim temos que 𝑢𝐶 𝑢𝑋𝜔 ℙ𝜔 𝜔 𝜔1𝜔2𝜔3 04 ln2000 04 ln1000 02 ln500 704 Aplicando a inversa chegamos a 𝐶 𝑒704 𝑅 11487 Assim o valor determinístico mínimo em que o agente estaria disposto a trocar esta loteria é 𝑅 11487 Além disso o Prêmio de Risco associado a esta loteria sob a Função Utilidade 𝑢 é 1300 11487 𝑅1513 Note que este valor é positivo por estarmos considerando uma Função Utilidade Côncava logo um agente Avesso a Risco Além disso podemos interpretar este valor como o montante financeiro que o agente estaria disposto a abrir mão da loteria com relação ao Valor Monetário Esperado