Análise de Sistemas em Espaços de Estado com Forma Canônica Controlável

Questao 1 Teoria Um sistema da forma y 4 ayy tees tan iy any bu due 616 bnu 1 sendo u é a entrada e y é a saida Essa equacao também pode ser escrita como Ys bos bys7 bn18 bn SF 2 Us s ays Gn18 an e a forma candénica controlavel é Ly 0 1 0 0 xy 0 Xo 0 0 1 0 x2 0 en el ee ea Ln1 0 0 0 Ln1 0 Ln An Gn1 Gn2 ay Ln 1 v1 v2 y bn Anbo bn1 An1bo9 by abo dou Tn1 In Letra a Escrevendo Gs na forma 2 temos 1 14 Gs 44 14y 14ut Ty e414 y Uay Tault entao a 14 bb 0 e b 14 Logo a representagao do sistema na forma canénica controlavel é t 14 u y 1421 Letra b Escrevendo Gs na forma 2 temos Gs SR FD 28450 gy 2504 50u s101 s10 yy entao a 10 bo 25e b 50 Logo a representacao do sistema na forma candnica controlavel é v1 107 u y 2002 25u Letra c Temos a 3 dg 2 b 2 by 1 assim a forma candnica controlavel é Ly 0 1 Ly 0 Es 2 e bl Uy yale Letra d Escrevendo Gs na forma 2 temos s3 s3 G aS TF FE FV s ss2s2 s2s4 2s e logo a 2 a2 2 by 1 b3 3 assim a forma candnica controlavel é X41 O 1 Of Jay 0 Lo 10 0 1 O u 3 0 2 2 x 1 ry y3 1 0 fay v3 Letra e Escrevendo Gs na forma 2 temos Gs s 10s s 25 s 11s 35s 250 s OT OS ss3s5436 s4s 3953 108s e logo ay 4 ag 39 a3 108 by 1 b3 11 by 20 bs 250 assim a forma candnica controlavel é Ly 0 1 0 O Of ay 0 Le 0 0 1 O Of x 0 3 0 O 0 1 Of Jag JO u X4 0 0 0 O 1 x 0 Xs 0 0 108 39 4 a5 1 Ly 2 y 250 35 11 1 Oj fas La U5 Questao 2 Teoria Considere o sistema em espacos de estado a seguir tGr Fu y Hx Ju tomando x Tz segue TzGTz Fu TGTz4T Fu y ATz4Ju y ATz4Ju entao definese A TGT BTF C HT e D J 0 sistema é escrito como z2Az Bu 3 y Cz Du A matriz T que faz com que o sistema acima esteja na forma canOnica controlavel é da forma Q QA Ay 1 Q2 3 1 0 TG FG Fra so oe Q1 1 0 0 1 0 OO O em que os coeficientes 1 2An1 sao obtidos de detsI F 8 an1s 0987 015 a9 Resposta A matriz de controlabilidade do sistema é 1 1 CG Fa F 2 Agora calculamos detsJ A e temos detsI F Ps 7 s252 ou seja Ap a 2 e entao 1 12 1 3 1 res lh d 3 Assim se x Tz temos que ATorT9 3 perte canrB ij Ds0 2 2 9 1 9 9 isto é T transforma o sistema na forma candnica controlavel Questao 3 O polinémio caracteristico de A é dets1 Ay re 7s12 cujas raizes sao Ay 3 e Ag 4 Para Tomando A 3 temos que 4 1 Aut Ao I 4 observe que a primeira coluna é 4 vezes a segunda Entao o autovetor de A é fl U 3 Para Tomando A 4 temos que 3 12 wae 32 observe que a primeira coluna é 13 da segunda Entao o autovetor de Az é fl V2 4 Transformagao 7 A matriz de transformacao T é 1 1 rh Portanto a transformacao de estados x Tz é AT7147 BTB CCT1 1 D0 oO 3 oO Oo Questao 4 Teoria O sistema é controlavel se a matriz C B AB AB AB tiver posto completo Letra a Calculando a matriz de controlabilidade 0 0 1 CB AB AB0 14 1 4 21 cujo determinante é det C 1 40 e logo C tem posto completo e o sistema é controlavel Letra b Calculando a matriz de controlabilidade 1 l CB AB i cujo determinante é nulo pois a primeira linha é igual a segunda Entao o sistema nao é controlavel Letra c Calculando a matriz de controlabilidade 1 l CB AB i 2 cujo determinante é det C 1 40 e logo C tem posto completo e o sistema é controlavel Letra d Calculando a matriz de controlabilidade 2 10 CB AB 1h cujo determinante é nulo pois as linhas sao iguais Portanto o sistema nao é controlavel Questao 5 Teoria A alocagao dos polos pode ser projetada usando a formula de Ackerman em que os ganhos dos estados sao Kk eCP em que ena 0 0 I Crxn B AB AB Paxn GIn aA aA e os coeficientes ap a1 sao obtidos do polinémio ps cujas raizes sao as posigdes desejadas dos polos Resposta Para os polos desejados temos ps s 3s 4s 5 8 128 47s 60 Ainda calculando as matrizes A temos 0 0 OJ0 0 O 0 0 0 A1 0 21 0 2 0 2 6 0 1 30 1 83 1 3 7 0 0 O 0 0 OO J0 0 O 0 0 0 A 1 0 21 0 21 0 2 2 6 14 O 1 30 1 30 1 83 3 7 15 A matriz de controlabilidade é 1 0 0 CB AB AB0 1 0 00 1 ea matriz P é 1 0 0 00 O 0 0 0 0 0 0 P600 1 0 471 O 2 120 2 6 4 2 6 14 00 1 0 1 3 1 3 7 3 7 15 60 0 0 45 42 36 9 18 12 Assim os ganhos sao 1 0 O 60 O 0 K0 0 1J0 1 0 45 42 36 9 18 12 0 0 19 18 12 E a matriz de malha fechada é 9 18 12 AnpABK 1 O 2 0 1 8 cujos autovalores sao 3 4 e 5 como desejado Questao 6 A primeira alinea da questao sera chamada de Letra a e a segunda de Letra b Letra a Para os polos desejados temos ps s 2s 6 78s 6 j8 8 14s 124s 200 Ainda calculando as matrizes A temos 0 0 0 0 O 0 0 0 0 A11 0 501 0 50 0 50 750 O 1 15 0 1 15 1 15 6175 0 0 0 0 O 0 0 O 0 0 0 0 A1 0 501 0 501 0 5O 50 750 8750 O 1 15 0 1 15 0 1 15 15 175 1875 A matriz de controlabilidade é 2 0 0 CB AB AB 1 2 50 0 1 17 ea matriz P é 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P2000 1 O 1241 0 504140 50 750 50 750 8750 0 0 1 O 1 15 1 15 175 15 175 1875 200 0 0 74 1250 25450 29 509 6385 Assim os ganhos sao 2 0 0 200 0 0 kK0 0 11 2 50 74 1250 25450 1 27 455 O 1 17 29 509 6385 E a matriz de malha fechada é 2 54 910 Amp ABK 0 27 505 0 1 15 cujos autovalores sao 2 e 6 78 Letra b Usando ut Nrt Kat temos zt A BKxt NBrt yt Caxt em que a nossa entrada sera a referéncia r Se r 1 em regime estacionario 0o 0 para A BK estavel Ainda se o sistema apresenta erro estatico nulo yoo rco 1 e entao 0ABKz NB 1 C2zc resolvendo para N que é um ntmero 1 N CA BKB Calculando entao o denominador 2 54 910 2 CABKB0 0 1 0 27 505 1 001 0 1 15 0 portanto N tL 100 001 Questao 7 Transformando o sistema em espaco de estados para funcgao transferéncia Ys ip s 1 Jo Gs Re CsI AB 10 10 e 4 5 10 1 s15 10 10 10 ss 15 50 50 MM 100s 1 s5s 10 vemos que o zero esta localizado em 1 As matrizes do sistema ampliado sao 0 1 0 0 A é A 50 15 0 B S 10 K ky ky ky 10 10 0 0 Desejamos os polos em 1 e 6 78 e entao ps s 1s 6 j8s 6 j8 8 13s 112s 100 Calculando agora A temos 50 15 0 A 750 175 0 500 140 0 750 175 0 A 8750 1875 0 7000 1600 0 A matriz de controlabilidade do sistema ampliado é 0 10 150 CB AB AB 10 150 1750 0 100 1400 E a matriz P é 200 92 0 P A 13A 112A 4 100 4600 1180 0 1620 900 100 Assim temos que 0 10 150 200 92 0 K As sp ky 0 0 1 10 150 1750 4600 1180 0 0 100 1400 1620 900 100 38 02 1 Assim a realimentagao é K38 02 k1 Questao 8 Um sistema é observavel se a matriz de observabilidade C CA O CAr tiver posto completo Letra a A matriz de observabilidade é C 1 2 oleal a cujo determinante é det O 7 0 e portanto o sistema é observavel Letra b A matriz de observabilidade é O C CA CA2 0 0 1 0 1 3 1 3 11 cujo determinante é det O 1 0 e portanto o sistema é observável Letra c A matriz de observabilidade é O C CA CA2 2 3 1 6 1 1 6 7 5 cujo determinante é det O 0 e portanto o sistema não é observável Questão 9 Verificando a observabilidade do sistema temos O C CA CA2 2 4 0 0 2 4 32 20 14 vemos que det O 728 0 logo o sistema é observável Os polos do observador serão alocados em s1 2 1 j s3 10 em que o polo s3 será alocado uma década abaixo dos polos dominantes O polinômio característico é ps s 1 1js 1 1js 10 s3 12s2 22s 20 A matriz P é P A3 12A2 22A 20I 12 17 9 72 33 10 80 22 3 Então os ganhos do observador são Ko A3 12A2 22A 20I C CA CA2 1 0 0 1 PO1e3 05 2 15 A equação do observador de estado de ordem plena é x A KoCx Bu Koy ou x1 x2 x3 1 3 0 4 8 1 11 1 3 x1 x2 x3 0 0 4 u 05 2 15 y