Projeto de Compensadores: Análise de Margens de Fase e Ganho

A margem de fase é φM tg1 2ζ 2ζ² 1 4ζ⁴ 586º A nova frequência da margem de fase deve ser próxima de ωBW 452 rads Escolhemos então 30 rads Nesta frequência a fase sem compensação é de 167º e se adicionar uma pequena contribuição do compensador de atraso de 5º o compensador de avanço deve compensar φM 180º 167º 5º 454º O máxima fase compensada é dada por φmáx sen1 1 β 1 β β 1 senφmáx 1 senφmáx ao qual para φ 55º temos um β 013 e então γ 1β 77 Escolhendo a frequência de corte do compensador como 1 década abaixo de 30 rads o compensador de atraso se torna Glags 1 γ s 1 T2 s 1 T1² 01s 3 s 039 Para ωmáx 30 e β 013 temos que 1 T1 ωmáxβ 1082 e o compensador de avanço fica Gleads 77s 1082 s 8321 O compensador de avanço e atraso projetado é Gcs 360s 1082s 3 s 8321s 039 Ajustando o ganho K para atender à constante de erro estático de velocidade requerido segue Kv lim s0 sGs K s 105s 1 K igualando ao requerido Kv 5 vemos que K 5 Traçando o Bode de Gs temos A frequência em que a margem de fase é 40º é ω 07 rads Portanto a frequência do sistema compensado deve ser próxima a ela A frequência de canto inferior deve ser escolhida um pouco abaixo deste valor no caso selecionamos ω1 1T 01 rads Agora como é recomendado adicionar 5º a 12º na margem de fase tomamos a margem de fase de projeto como 52º Neste caso verificando no Bode em que frequência a marge é 180º 52º 128º e encontramos que é em torno de 5 rads a nova frequência de cruzamento de ganho A atenuação deve ser no mínimo 10 dB logo escolhese 20 dB que leva a 20 log 1β 20 β 10 Então a outra frequência de canto é ω2 1 βT 001 rads O coeficiente de amortecimento para Mp 10 é ζ ln Mp ln² Mp π² 05912 e a largura de banda requerida para tp 01 é ωBW π Tp1 ζ² 1 2ζ² 4ζ⁴ 4ζ² 2 452 rads Para atingir o requisito de erro temos que Kv lim s0 sGcsGs K 1 12 30 assim K 360 O diagrama de bode de KGs é mostrado a seguir O ganho do sistema deve ser ess frac11 Kp Rightarrow Kp frac1 essess Rightarrow Kp frac098002 49 Por fim o ganho do compensador deve ser Kc fracKbeta frac510 05 O diagrama de Bode de KGs é mostrado abaixo O módulo de Gjω é Gjω 20 log 1 jω 1 jω 1 40 log 1 ω² Para ω₁ temos Gjω 40 log 1 0 dB Para ω 1 temos Gjω 40 log ω 40 dBdc Já a fase será dada por φ tg¹ω tg¹ ω 1 180º pois tg¹ é uma função ímpar mas o segunda termo se encontra no segundo quadrante O Bode então fica 0 20 40 60 10¹ 10⁰ 10¹ 10² 179 1795 180 1805 181 10¹ 10⁰ 10¹ 10² Este sistema tem margem de fase e de ganho nulas Portanto o avanço de fase adicional necessário para satisfazer os requisitos de projeto é de 35º no qual se adicionou 5º devido ao deslocamento da frequência de cruzamento de ganho Se α 027 temos que φm 35º E então visto que φm ocorre na média geométrica das frequências de canto segue que 20 log 1 α 20 log 1 027 569 dB que ocorre em ωc 1 569 40 114 rads Por fim o polo e zero do compensador é 1 T αωc 059 1 αT ωc α 22 O compensador por avanço de fase determinado assim é Gₑs s 059 s 22 Verificando o compensador de avanço traçando o Bode com o MATLAB obtemos o resultado a seguir Bode Diagram Gm 113 dB at 0 rads Pm Inf veja que o compensador foi ineficiente o que se esperava visto que Gjω 180º e então qualquer compensador de avanço não conseguirá fazer com que o sistema tenha margem de fase Observe como de fato a margem de ganho é nula pois não existe valor de k para que o sistema seja estável Além disso em malha aberta o sistema é instável e o que no diagrama de Bode é percebido pela falta da margem de fase Letra c Observe que o sistema é instável e portanto não é possível obter sua resposta em frequência experimentalmente Embora métodos matemáticos possam ser aplicados a sistemas instáveis a resposta à frequência tem sentido físico apenas para sistemas estáveis Questão 5 Desenhando o Diagrama de Nyquist de GsHs 3K ss 1s 3 pois o sensor tem a função transferência Hs 1 Para que esse sistema seja estável é necessário que N Z 0 ou que o lugar geométrico de GsHs não envolva o ponto 1 j0 sinalizado em vermelho Assim perceba que se a curva ali entorno da origem for menor que 1 o sistema será estável Mas caso ele seja maior o ponto 1 será envolto duas vezes no sentido horário indicando dois polos de malha fechada no semiplano direito do plano s e o sistema será instável Veja que a curva toca no eixo real em 025 Assim como se utilizou K 1 para K 4 ela passará no 1 pela linearidade Isso foi validade fazendo o Nyquist com K 4 Já para ganhos negativos observe que o 1 será envolvido pelo contorno no infinito Neste caso haverá um polo instável Letra a Diante do exposto o sistema será estável se 0 k 4 e marginalmente estável se k 4 Letra b Se K 4 haverão duas raízes no SPD e o sistema será instável Se K 0 haverá uma raiz no SPD O LGR abaixo comprova exatamente a análise feita pois quando K 0 O sistema terá um par de polos complexo no SPD e para K 0 o polo em zero irá caminhar para