Controle de Sistema de Movimentação de Produtos: Análise de Comportamento Dinâmico de Sistemas de 3a Ordem

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS DISCIPLINA LABORATÓRIO DE SISTEMA DE CONTROLE ENSAIO 05 COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE 3a ORDEM OBJETIVOS 1 Compreender o funcionamento eletromagnético de um servomotor DC operando com campo constante e controle pela armadura 2 Observar e caracterizar o comportamento transitório e permanente de um sistema de 3a ordem ou superior 3 Conhecer as forma de modelagem de Espaço de Estados no MatlabSimulink 4 Modelar e determinar a função de transferênciaval 5 Realizar função de transferência e diagramas de simulação analógica 6 Compreender o conceito de polo dominante e utilizálo para predizer o comportamento dinâmico de sistemas com ordem igual ou superior a 3 Formulação do Problema O desenho abaixo é um esquema de um Sistema de Movimentação de produtos de uma linha de produção industrial O sistema é composto por Subsistema de Força Motor DC Subsistema de Transmissão trem de engrenagens para redução de velocidade de rotação Subsistema de Deslocamento Esteira composta por Tambor rotativo Roletes de aço Correia Polia e Produto Subsistema de Controle Sensor de posição Sensor de Velocidade Sensor de Corrente Amplificador diferencial Controladores Proporcionais e Amplificador de potência Considerações 1 Motor DC controle por tensão de armadura 2 Entrada sinal de referência para a posição linear do produto na esteira 3 Saída Posição linear do produto na esteira 4 Sistema de transmissão engrenagens sem folgas 5 Polia e Roletes com massa desprezíveis sem deslizamento no contato com a correia da esteira 5 Engrenagens 2 e 3 são concêntricas e rigidamente acopladas 6 Engrenagem 1 rigidamente acoplada ao eixo do motor sua inercia já incorporada ao motor Jm 7 Engrenagem 4 acoplada ao tambor rotativo que puxa a esteira Momento de inercia do conjunto tambor engrenagem 4 é dado por J4 8 Correia inelástica não desliza sobre tambor e polia 9 O produto não desliza na esteira 10 0 sensor de posição é angular mas a referência é a posição linear desejada para o produto na esteira Onde Ra 10 Resistência de armadura La 125 mH Indutância de armadura Kb 045 Vsrad Cte de fcem do motor KT 15 NmA Cte de torque do motor Jm 08 Kgm2 Inércia motor engr1 J2 0075 Kgm2 Inércia engr2 engr3 J4 54 Kgm2 Inércia engr4 Tambor B1 025 Nms Coef atrito mancal rotor B2 0085 Nms Coef atrito engrs 2 e 3 B4035 Nms Coef atrito engr 4Tambor N120 Número de dentes da engrenagem 1 N275 Número de dentes da engrenagem 2 N325 Número de dentes da engrenagem 3 N480 Número de dentes da engrenagem 4 u ea Tensão de armadura y L Posição do angular da antena Kt 004 Vrads Cte Tacogerador Kp 005 vrad Cte Sensor posição Ki 0025 Cte do sensor de corrente K1 K2 e K3 Ganhos de realimentações do controlador K4 20 Ganho do Amplificador de Potência K5 005 Ganho da unidade de referência M 20Kg Massa do produto Rt 020 m Raio do Tambor Eref Referência set point 1a Modelagem do Sistema a Mostre que a planta sistema em malha aberta pode ser representado pelo modelo de estado abaixo quando se adota como estados x1 ia x2 m x3L como estados 𝑢𝑡 𝑒𝑎𝑡 e 𝑦𝑡 𝑥𝑡 xt posição do produto na esteira 𝑥𝑡 𝑅𝑎 𝐿𝑎 𝐾𝑏 𝐿𝑎 0 𝐾𝑇 𝐽𝑒𝑞 𝐵𝑒𝑞 𝐽𝑒𝑞 0 0 𝑁1𝑁3 𝑁2𝑁4 0 𝑥𝑡 1 𝐿𝑎 0 0 𝑢𝑡 𝑦𝑡 0 0 𝑅𝑡𝑥𝑡 Onde 𝐽𝑒𝑞 𝐽𝑚 𝑁1 𝑁2 2 𝐽2 𝑁1𝑁3 𝑁2𝑁4 2 𝐽4 𝑀𝑅𝑡 2 e 𝐵𝑒𝑞 𝐵𝑚 𝑁1 𝑁2 2 𝐵2 𝑁1𝑁3 𝑁2𝑁4 2 𝐵4 b Simule a planta em malha aberta para uma entrada eat 110δ1t Plot a velocidade do motor em rpm Justifique o valor da velocidade e da posição em regime permanente bem como o tipo de comportamento dinâmico apresentado e teórico Sugestões No Matlab defina os subsistemas componentes da planta Use a função ssABCD Determine função de transferência equivalente Gps use a tf ou zpk do Matlab Faça a expansão em frações parciais e obtenha a resposta mt usando tabelas de Laplace Use a função residue NumDen Acesse o Numerador e Denominador da Gp através de uma das formas Gpnum1 Gpden1 Num DentfdadtaGpv cell2dataGpden cell2matGpnum 2a Modelo do controlador Mostre que o controlador é modelado por 𝑢𝑡 𝐾4𝐾1𝐾𝑖 𝐾2𝐾𝑡 𝐾3𝐾𝑝𝑥𝑡 𝐾4𝐾5𝑟𝑡 Onde xt é o vetor de estados e rt0 é o sinal de referência Determine os ganhos K1 K2 K3 e K5 em função dos resistores do circuito do Amplificador Operacional Para simplificar a simulação considere 𝑢𝑡 𝐾𝐿𝑥𝑡 𝐾𝐺𝑟𝑡 3a Análise do Sistema em Malha Fechada Implemente no Simulink as realimentações de estados mostradas no esquema na Figura 01 Faça o Setpoint Eref 40 m Façla a simulação do sistemna em malha fechada para os ganhos do controlador pedidos a seguir i Faça a simulação apresentando os gráficos dos estados e da saída em escalas adequadas ii Determine a função de transferência global do sistema os polos e zeros em malha fechada iii Determine a resposta teórica para uma entrada degrau 𝑟𝑡 4𝛿1𝑡 iv Justifique o tipo de comportamento dinâmico obtido comparandoos com resposta semelhantes de siustemas de 2ª e 1ª ordem a Simule para K1 140762 K2 06816 e K3 1153809 e K5 288452 b Simule para K1 193262 K2 03223 e K3 22058 e K5 05515 c Simule para K1 140762 K2 11854 e K3 424194 e K5 106049 d Simule para K1189512 K200546 e K3 29980 e K5 74950 e Simule para K1140762 K3 09644 e K3 339356 e K5 84839 Sugestões Declare os ganhos K1 K2 K3 e K5 atribua os valores do itens acima Declare a planta em malha fechada com a função 𝑃𝑓 𝑠𝑠𝐴 𝐵𝐾𝐿 𝐵𝐾𝐺 𝐶 0 0 e converta para função de transferência através de MtfPf Use a função R P K residueMnum1 Mden1 para decompor a função de transferência em frações parciais Obtenha a resposta teórica usando tabelas de Laplace ℒ1 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 2𝐾𝑒𝛼𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑡 𝑡𝑎𝑛1 𝐼𝑚𝐾 𝑅𝑒𝐾 Universidade Federal do Amazonas Engenharia Elétrica Eletrotécnica Sistema de Controle Ensaio 5 Comportamento Dinâmico de Sistemas de 3ª Ordem Helen Thatyanny Barbosa da Cunha 21603560 Ingrid Tainah Alcântara de Sena 22054085 Manaus AM 28 de janeiro de 2024 ENSAIO 05 COMPORTAMENTO DINÂMICO DE UM SISTEMA DE 3ª ORDEM Formulação do Problema O desenho abaixo é um esquema de um Sistema de Movimentação de produtos de uma linha de produção industrial O sistema é composto por i Subsistema de ForçaMotor DC ii Subsistema de Transmissão trem de engrenagens para redução de velocidade de rotação iii Subsistema de Deslocamento esteira composta por tambor rotativo roletes de aço correia polia e produto iv Subsistema de Controle sensor de posição sensor de Velocidade sensor de corrente amplificador diferencial controladores proporcionais e amplificador de potência Figura 1 Esquema do sistema de movimentação da linha de produção industrial Considerações 1 motor DC controle por tensão de armadura 2 entrada sinal de referência para a posição linear do produto na esteira 3 saída posição linear do produto na esteira 4 sistema de transmissão engrenagens sem folgas 5 polia e roletes com massa desprezíveis sem deslizamento no contato com a cor reia da esteira 6 engrenagens 2 e 3 são concêntricas e rigidamente acopladas 7 engrenagem 1 rigidamente acoplada ao eixo do motor sua inercia já incorporada ao motor é Jm 8 engrenagem 4 acoplada ao tambor rotativo que puxa a esteira Momento de inercia do conjunto tambor engrenagem 4 é dado por J4L 9 correia inelástica não desliza sobre tambor e polia 10 o produto não desliza na esteira 11 o sensor de posição é angular mas a referência é a posição linear desejada para o produto na esteira Os parâmetros da planta são apresentados na TAB 1 Tabela 1 Parâmetros do motor DC subsistema de transmissão e controlador Parâm Valor Unidade Descrição Ra 10 Ω resistência de armadura La 125 mH indutância de armadura Kb 045 Vsrad cte de fcem do motor KT 15 NmA cte de torque do motor Jm 08 kgm2 inércia do motor e1 J23 0075 kgm2 inércia de e2 e e3 J4L 54 kgm2 inércia da carga e4 Bm 025 Nms coef atrito rotor e1 B2 0085 Nms coef atrito e2 e3 B4 035 Nms coef atrito da carga e4 N1 20 n de dentes de e1 N2 75 n de dentes de e2 N3 25 n de dentes de e3 N4 80 n de dentes de e4 Kp 005 Vrad cte do sensor de posição Kt 004 Vrads cte do sensor de velocidade Ki 0025 VA cte do sensor de corrente 2 Tabela 1 continuação Parâm Valor Unidade Descrição K4 20 VV ganho do AmpOp de potência K5 005 ganho da unidade de ref M 20 kg massa do produto Rt 02 m raio do tambor 1 Modelagem do Sistema a Mostre que a planta sistema em malha aberta pode ser representado pelo mo delo de estado abaixo quando se adota x1 ia x2 ωm x3 θL como estados ut eat como entrada e yt sendo a posição do produto na esteira xt Ra La Kb La 0 KT Jeq Beq Jeq 0 0 N1N3 N2N4 0 xt 1 La 0 0 ut yt 0 0 Rt xt sendo Jeq Jm J23 N1 N2 2 J4L MR2 t N1N3 N2N4 2 Beq Bm B2 N1 N2 2 B4 N1N3 N2N4 2 Assumindo que o torque produzido pelo motor é proporcional a Φiat segue Tmt K1Φiat K1K f If iat KTiat 1 no qual KT é um parâmetro dependente da permeabilidade magnética do material Aplicando a Lei de Kirchhoff na malha da armadura segue Eat Raiat La diat dt Vbt Raiat La diat dt Kbωmt 2 para o qual Vb é a força contraeletromotriz do rotor proporcional a velocidade de 3 rotação isto é Vbt Kbωmt Resolvendo para didt diat dt 1 La Eat Raiat Kbωmt 3 A transmissão do torque para o tambor se dá através de 4 engrenagens aco pladas como apresenta a FIG 2 No qual o a inércia j é referente a inércia do produto sobre a esteira Figura 2 Subsistema de transmissão Fonte NISE 2015 p 76 Adaptação dos subíndices Na FIG 3 segue o diagrama do produto sob a esteira O torque em que o tambor é submetido devido a massa do produto é então T FRt MaRt MRt d2θL dt2 Rt MR2 t d2θL dt2 4 ou seja o momento de inércia é J MR2 t yt M 20 kg T F Rt Rt Figura 3 Esquemático da esteira com o produto 4 Portanto neglicenciando os efeitos de backlash das engrenagens a relação matemática entre o torque Tm e a velocidade do rotor ωm é Jeq dωmt dt Beqωmt Tmt KTiat 5 sendo Jeq Jm J23 N1 N2 2 J4L MR2 t N1N3 N2N4 2 6 Beq Bm B2 N1 N2 2 B4 N1N3 N2N4 2 7 A relação entre a velocidade do rotor e a do tambor se tá pela razão de redução do trem de engrenagens Assim dθLt dt ωLt N1N3 N2N4 ωmt 8 Definindo x1 ia x2 ωm x3 θL e u ea as equações 3 5 e 8 são escritas como xt Ra La Kb La 0 KT Jeq Beq Jeq 0 0 N1N3 N2N4 0 xt 1 La 0 0 ut 9 A saída do sistema é a posição do produto na esteira então por comprimento de arco yt RtθLt 0 0 Rt xt 10 b Simule a planta em malha aberta para uma entrada eat 110δ1t Plot a velocidade do motor em rpm Justifique o valor da velocidade e da posição em regime permanente bem como o tipo de comportamento dinâmico apresentado e teórico Aplicando os parâmetros da planta como exposto na TAB 1 em 9 e 10 o 5 espaço de estados do processo é xt 80 36 0 1768 03047 0 0 008333 0 xt 8 0 0 ut Axt But yt 0 0 02 xt Cxt 11 Aplicando ut 1110δ1t a resposta dos estados e da saída realizada no Simulink é exposta na FIG 4 a Diagrama de blocos b x1t iat c x2t ωmt d x3t θLt e yt Figura 4 Simulação da malha aberta 6 Os resultados mostram que para uma entrada degrau de amplitude 110 V a velocidade do motor estabiliza assintoticamente para 1688 rpm Este comportamento era esperado teoricamente pois se a dinâmica da armadura do motor foi muito mais rápida ela não será percebida e a resposta da velocidade da carga deve quase de primeira ordem Como o eixo do motor rotaciona a uma velocidade constante a posição da carga gira constantemente A cada 2π rad considerase que o sistema dá uma volta completa A posição do produto na esteira também iria se deslocar até o limite não sendo portanto controlála em malha aberta O comando zpk do MATLAB converte a representação 11 em função trans ferência como segue Gs Ys Eas 23574 ss 11125s 791932 12 Para uma entrada degrau de amplitude 110 V a posição do produto é Ys 23574 110 s2s 1112s 7919 29460 s2 26877 s 26882 s 11125 00005 s 791932 13 A inversa de Laplace destas funções é yt 2946t 2683 2683e11125t 00005e791932t 14 O primeiro termo evidencia que para t a posição do produto tenderá a infinito E como a posição do produto se relaciona com a posição angular do tambor por θL yRt 5y era esperado que ambos estes sinais divergissem para a infinito Aplicando uma derivada em 5yt segue ωLt d dt5yt 1473 149396e11125t 02097e791932t 15 logo ωmt N2N4 N1N3 ωLt 1767589 1792751e11125t 25162e791932t 16 note que a rigor a velocidade angular do motor é de segunda ordem superamortecida No entanto como a última exponencial decai muito mais rápido a resposta será bem próxima de um sistema de primeira ordem Por fim quando t as exponencias tendem a zero e o valor final da velo 7 cidade do motor é ωm 17676 rads 1688 rpm Todos estes comportamentos foram obtidos na simulação computacional validando a ferramenta para a análise da malha aberta 8 2 Modelo do Controlador Mostre que o controlador é modelado por ut K4 K1Ki K2Kt K3Kp xt K4K5rt KLxt KGrt sendo xt o vetor de estados e rt o sinal de referência Determine os ganhos K1 K2 K3 e K5 em função dos resistores do circuito do Amplificador Operacional O circuito do controlador é apresentado na FIG 5 O sinal eref é responsável por fazer o setpoint da tensão enquanto que os outros são leituras do sensor de corrente tacômetro e o sensor de posição U1 R4 R5 R1 R2 R3 R6 eref Kiia KpθL Kvωm e Figura 5 Circuito do controlador Pelo princípio da superposição podese fazer a análise separada de cada sinal 9 separadamente considerando os outros como nulos Assim para eref e 1 R6 R1 R2 R3 R5 R4 R5 eref 17a para Kiia e R6 R1 Kiia 17b para KpθL e R6 R2 KpθL 17c para Kvωm e R6 R3 Kvωm 17d A saída total é a soma dos resultados ou seja eo 1 R6 R1 R2 R3 R5 R4 R5 eref R6 R1 Kiia R6 R2 KpθL R6 R3 Kvωm 18 Definindo K1 R6 R1 K2 R6 R2 K3 R6 R3 K5 1 R6 R1 R2 R3 R5 R4 R5 19 o sinal após a amplificação de potência é escrito como ut eat K4K5rt K4 K1Ki K2Kt K3Kp xt 20 10 3 Análise do Sistema em Malha Fechada Implemente no Simulink as realimentações de estados mostradas no esquema na FIG 1 Faça o setpoint eref 40 m Faça a simulação do sistemna em malha fechada para os ganhos do controlador pedidos a seguir i faça a simulação apresentando os gráficos dos estados e da saída em escalas adequadas ii determine a função de transferência global do sistema os polos e zeros em malha fechada iii determine a resposta teórica para uma entrada degrau rt 4δ1t iv justifique o tipo de comportamento dinâmico obtido comparandoos com res posta semelhantes de sistemas de 2ª e 1ª ordem simulando para a K1 140762 K2 06816 K3 1153809 e K5 288452 b K1 193262 K2 03223 K3 22058 e K5 05515 c K1 140762 K2 11854 K3 424194 e K5 106049 d K1 189512 K2 00546 K3 299800 e K5 74950 e K1 140762 K2 09644 K3 339356 e K5 84839 31 Caso a Adotando K1 140762 K2 06816 K3 1153809 e K5 288452 a FTMF se torna Gs Ys Rs CsI A BKL1BKG 1360 s 20s2 4s 68 21 com polos em s 20 e s 2 j8 Para uma entrada Rs 4s segue Ys 5440 ss 20s2 4s 68 22a 4 s 07010 s 20 16495 j12886 s 2 j8 16495 j12886 s 2 j8 22b yt 4 07010e20t 41863e2t cos 8t tg1 12886 16495 22c O polo real está localizado uma decada abaixo da parte real do polo complexo conjugado Sua ação deve ser imperceptível na resposta e o sistema se mostrará sendo oscilatório Por fim se t as exponenciais se anularão e yss 4 m 11 No simulink a implementação da malha fechada é mostrada na FIG 6a Os resultados obtidos são apresentados na FIG 6b Observe que a velocidade do motor vai para 0 após o transitório levando a posição do produto para a referência passada Além disso a saída apresentou um comportamento típico de 2ª ordem subamortecido como feita a análise teórica a Diagrama de blocos no simulink 0 1 2 3 4 t s 500 0 500 ia A 0 1 2 3 4 t s 1 05 0 05 1 m rpm 10 4 0 1 2 3 4 t s 0 500 1000 1500 2000 L deg 0 1 2 3 4 t s 0 2 4 6 y m b Resposta simulada Figura 6 Simulação do caso a 12 32 Caso b Adotando K1 193262 K2 03223 K3 22058 e K5 05515 a FTMF se torna Gs Ys Rs CsI A BKL1BKG 26 s 1s2 2s 26 23 com polos em s 1 e s 1 j5 Para uma entrada Rs 4s segue Ys 104 ss 1s2 2s 26 4 s 41604 s 1 008 j04 s 1 j5 008 j04 s 1 j5 24a yt 4 41604et 08158et cos 5t tg1 5 24b O polo real está localizado encima da parte parte real do polo complexo con jugado Então sua ação será sentida e como o seu ganho é maior esperase que a saída oscile entorno da curva de primeira ordem definida por 4 41604et Por fim se t as exponenciais se anularão e yss 4 m Fazendo a implementação no Simulink como no exemplo anterior os resulta dos obtidos são apresentados na FIG 7b 0 5 t s 50 0 50 ia A 0 5 t s 0 1000 2000 3000 m rpm 0 5 t s 0 500 1000 L deg 0 5 t s 0 2 4 y m a Resposta simulada Figura 7 Simulação do caso b 13 Novamente o controlador fez com que a velocidade do motor se anule con forme o tempo passa isso garante que a posição do produto convirja para a referência dada y 4 m Sobre a dinâmica da resposta verificase que o perfil da curva é de um sistema de primeira ordem com algumas oscilações entorno desta curva exatamente como previsto na análise teórica 33 Caso c Adotando K1 140762 K2 11854 K3 424194 e K5 106049 a FTMF se torna Gs Ys Rs CsI A BKL1BKG 500 s 4s2 20s 125 25 com polos em s 4 e s 10 j5 Para uma entrada Rs 4s segue Ys 2000 ss 4s2 20s 125 26a 4 s 81957 s 4 20979 j09176 s 10 j5 20979 j09176 s 10 j5 26b yt 4 81957e4t 45795e10t cos 5t tg1 04374 26c O polo real está localizado abaixo da parte parte real do polo complexo con jugado Então a oscilação passará rapidamente Além disso a parte real do polo é o dobro da parte imaginária indicando uma baixa amplitude de oscilação Então esperase que haja pouco oscilação na saída Por fim se t as exponenciais se anularão e yss 4 m Fazendo a implementação no Simulink como no exemplo anterior os resulta dos obtidos são apresentados na FIG 8b Novamente o controlador fez com que a velocidade do motor se anule após o transitório Desta vez sem oscilações O efeito disto na saída é que o produto termine na posição desejada y 4 m e que a dinâ mica apresentada seja de um sistema de primeira ordem Esta dinâmica foi prevista na análise teórica pois as oscilações são de baixa amplitude e com dinâmica mais rápida que o polo real 14 0 2 4 t s 100 0 100 200 ia A 0 2 4 t s 0 2000 4000 m rpm 0 2 4 t s 0 500 1000 L deg 0 2 4 t s 0 2 4 y m a Resposta simulada Figura 8 Simulação do caso c 34 Caso d Adotando K1 189512 K2 00546 K3 299800 e K5 74950 a FTMF se torna Gs Ys Rs CsI A BKL1BKG 35338 s 05s2 s 6425 27 com polos em s 05 e s 05 j8 Para uma entrada Rs 4s segue Ys 14135 ss 05s2 s 6425 28a 4 s 257 s 05 07150 j08387 s 05 j8 07150 j08387 s 05 j8 28b yt 4 257e05t 22043e05t cos 8t tg1 11731 28c A parte real do polo complexo é positiva então o sistema é instável Por fim se t as exponenciais se anularão e yss 15 Fazendo a implementação no Simulink como no exemplo anterior os resulta dos obtidos são apresentados na FIG 8b O controlador foi incapaz de estabilizar a malha fechada gerando o sinal instável em todos os estados e na saída como apre sentado Este comportamento foi previsto na análise teórica 0 2 4 t s 2000 0 2000 ia A 0 2 4 t s 10 5 0 5 m rpm 10 4 0 2 4 t s 5000 0 5000 L deg 0 2 4 t s 10 0 10 20 y m a Resposta simulada Figura 9 Simulação do caso d 35 Caso e Adotando K1 140762 K2 09644 K3 339356 e K5 84839 a FTMF se torna Gs Ys Rs CsI A BKL1BKG 400 s 4s 1006s 9936 29 16 com polos em s 4 s 1006 e s 9936 Para uma entrada Rs 4s segue Ys 1600 ss 4s 9936s 1006 30a 4 s 111135 s 4 2225358 s 99389 2154223 s 100607 30b yt 4 111135e4t 2225358e99389t 2154223e100607t 30c O polo dominante é o mais lento em s 4 Os outros polos influenciam especialmente no começo mas o formato da curva da saída deve ser um S Por fim se t as exponenciais se anularão e yss 4 m Fazendo a implementação no Simulink como no exemplo anterior os resulta dos obtidos são apresentados na FIG 10b O controlador levou a saída para o ponto desejado y 4 m A dinâmica do sistema é uma curva em S bem sutil formando uma resposta de um sistema de 1ª ordem Este comportamento coincide com a análise feita pela resposta teórica 0 2 4 t s 0 100 200 ia A 0 2 4 t s 0 2000 4000 m rpm 0 2 4 t s 0 500 1000 L deg 0 2 4 t s 0 2 4 y m a Resposta simulada Figura 10 Simulação do caso e 17