Lista de Atividades

Lista 5 Transformações Lineares 1 Quais das transformações abaixo são lineares a T R³ R³ Txyz z 2y 2z b T R³ R³ Txyz 3x 2 5z c T R⁴ R³ Txyzw x w y w x z d T MnnR Rⁿ TA A₁₁ A₂₂ Ann e T C²R CR Tf 3f 2f 1 f T M22R R TA A₁₁ A₂₂ A₂₁ A₁₂ g T Cab R R Tf ab fx dx h T R² R² Txy x 2x 2y i T P₃R R² Ta₀ a₁t a₂t² a₃t³ a₃ a₂ a₁ a₀ j T M22R R² TA A₁₁ A₁₂ A₁₁ A₁₂ k T M22R R³ TA A₁₁ A₁₂ A₂₁ A₂₂ 2 A₁₁ A₂₁ l T R² R² Txy x y x y m T M22R R TA detA n T M22R M22R TA 1 1 1 0 1 1 A 2 0 1 1 1 1 o T R² R Txy xy p T P₂ P₃ Tax² bx c ax³ bx² c q T R² M22 Txy x y y x 2 Dados os vetores u₁ 2 1 u₂ 1 1 u₃ 1 4 v₁ 1 3 v₂ 2 3 v₃ 5 6 decida se existe ou não uma transformação linear T R² R² Tuᵢ vᵢ i 1 2 3 3 Determine T V W conhecendo os valores de T na base de V a T R³ R⁴ tal que T131 1110 T201 0011 e T011 1010 b T R² R² tal que T21 10 e T01 11 c T P₁R R² tal que T2t 11 e T1 03 d T M2x2R R² tal que T1 1 0 0 1 0 T0 1 1 2 2 1 2 2 0 0 1 01 T1 0 0 1 1 1 4 a Encontre T R³ R³ tal que ImT 1 0 1 1 2 2 b Encontre T R³ R² tal que NT 101 5 Seja T V W uma transformação linear a Mostre que se Tv₁ Tvₙ W são LI então v₁ vₙ são LI b Mostre que se V W e os vetores Tv₁ Tvₙ geram V então os vetores v₁ vₙ V geram V 6 Seja T V V uma transformação linear Mostre que se u KerT e v ImT então Tu KerT e Tv ImT 7 Defina uma transformação linear T R² R² cujo núcleo seja a reta y x e cuja imagem seja a reta y 2x 8 Assinale Verdadeiro ou Falso a Uma transformação linear T V W é sobrejetora se e somente se dim NT dimV dimW b Dada a transformação linear T V W para todo w W fixado o conjunto G v V Tv w é um subespaço de V c Toda transformação linear T CR R CR R injetora é também sobrejetora d O núcleo de toda transformação linear T R⁵ R³ tem dimensão maior ou igual a 3 9 Seja T PnR PnR a transformação linear definida por Tp 5p 4p p Mostre que se núcleo é 0 e conclua que para todo polinômio bx existe um polinômio px tal que bx 5px 4px px 10 Seja T V V uma transformação linear Mostre que T² 0 se e somente se TV KerT 11 Seja θ R Encontre o núcleo da transformação linear T R² R² dada por Tx y x cosθ y sinθ x sinθ y cosθ 12 Seja T R² R² uma transformação linear bijetora Mostre que T leva retas em retas 13 Existe uma transformação linear injetora T M22R P2R 14 Determine o nucleo das transformacoes lineares abaixo e descrevaos geometricamente a T R2 R Tx y y 2x b T R3 R Tx y x 2y c T R2 R2 Tx y 2x 2y x y d T R3 R3 Tx y z z x z 2x z 3x 15 Determine uma base e a dimensao do nucleo e da ima gem das transformacoes lineares a T R3 R2 Tx y z x y z 2x 2y 2z b T R3 R2 Tx y z x y y z c T R4 R3 Tx y z t xy z t 2x2y 3z 4t 3x 3y 4z 5t d T R5 R3 Tx y z s t x 2y 2z s t x 2y 3z 2s t 3x 6y 8z 5s t 16 Determinar um T LP3R P2R cujo nucleo seja gerado pelos polinˆomios 1 x3 e 1 x2 17 Encontre uma base para o nucleo e outra para a imagem de T P2R P2R dada por Tp p p 18 Mostre que se U e V sao espacos vetoriais de dimensao finita tais que dimU dimV e se T LU V entao as seguintes condicoes sao equivalentes a T e sobrejetora b T e injetora c T e bijetora d T leva bases de U en bases de V 19 a E W p P3R p1 0 isomorfo a R2 Em caso afirmativo forneca uma prova em casa negativo forneca um contraexemplo b E W p P3R p1 0 isomorfo a R Em caso afirmativo forneca uma prova em casa negativo forneca um contraexemplo 20 Mostre que W A M22R A11 A12 e A22 A21 e isomorfo a P1R 2