Autovalores e Autovetores Transformações Lineares e Operadores Autoadjuntos

9 Mostre que se u e v sao autovetores de uma transformacao linear T as sociados ao mesmo autovalor λ entao au bv tambem e autovetor de T associado a λ 10 Se os operadores A B V V sao autoadjuntos prove que AB BA tambem e autoadjunto O que se pode dizer sobre AB BA 2 daí temos λ1 2 2 e λ2 2 2 que são os autovalores agora determinemos os autovetores associados Com efeito Para λ1 2 2 associamos u u1 u2 tal que A λ1 I u 0 0 1 2 1 1 1 2u1 u2 0 0 1 2 u1 u2 0 u1 1 2 u2 0 Logo u1 1 2 u2 Então temos 1212 u2 u2 0 u2 12 1 0 u2 0 Logo o sistem x é LD então podemos usar uma única eq e temos u1 1 2 u2 logo temos u u1 u2 1 2 u2 u2 u2 1 2 1 e 1 2 1 é um autovetor para λ2 2 2 temos v v1 v2 tal que A λ2 I v 0 0 1 2 1 1 1 2v1 v2 0 0 1 2 v1 v2 0 v1 1 2 v2 0 Podemos trabalhar com uma única eq de tal modo que v2 1 2 v1 disso temos de v que v v1 v2 v1 12v1 v1 1 12 e 1 12 é um autovetor Daí temos os autovetores 12 1 e 1 12 cujas normas são 12 1 112² 1 1 22 2 1 4 22 1 12 1 2² 1 9 22 Logo os vetores 1922 1 1 2 e 1922 12 1 constituem uma base ortonormal de autovetores em R² onde temos 1422 1 1 2 e 1922 12 1 3 A matriz P procurada é formada pelos autovetores da Matriz A e a matriz D obtida por D P1 A P λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λn onde cada λ i i 12n é um autovalor Esse resultado é garantido pela Teoria Espectral para operadores lineares em espaços de dimensão finita ca A 5 4 4 1 Seja λ os autovalores então 0 detA λ I 5 λ 4 4 1 λ 4 λ5 λ 16 5 4λ λ² 16 λ² 4λ 21 Resolvendo λ² 4λ 21 0 temos λ12 4 16 84 2 4 10 2 3 4 10 2 7 e λ1 3 λ2 7 Logo os autovetores são Para λ1 3 temos u u1 u2 como A λ1 I u 0 0 8 4 4 2u1 u2 0 0 4 u1 2 u2 0 u2 2 u1 E logo u u1 u2 u1 2u1 u1 1 2 E 1 2 é o vetor procurado Para λ₂7 temos v v₁ v₂ tal que A λ₂Iv 0 0ᵀ 2 4 4 8v₁ v₂ 0 0 2v₁ 4v₂ 0 v₁ 2v₂ Logo v v₁ v₂ 2v₂ v₂ v₂2 1 e 2 1 é um autovetor procurado Logo a matriz P é tal que P 1 2 2 1 e D 3 0 0 7 b A 4 1 1 4 Os autovalores λ são obtidos fazendo 0 detA λI 4 λ 1 1 4 λ 4 λ² 1 Logo 4 λ² 1 0 λ 4² 1 λ 4 1 λ 4 1 5 4 1 3 Então os autovalores são λ₁5 e λ₂3 Para λ₁5 temos o autovetor v v₁ v₂ tal que A λ₁Iv 0 0ᵀ 1 1 1 1v₁ v₂ 0 0 v₁ v₂ 0 v₁ v₂ Logo v v₁ v₂ v₂ v₂ v₂1 1 e 1 1 é o autovetor procurado Para λ₂3 temos para u u₁ u₂ᵀ que A λ₂Iu 0 0ᵀ 1 1 1 1u₁ u₂ 0 0 u₁ u₂ 0 u₁ u₂ logo u u₁ u₂ u₁ u₁ u₁1 1ᵀ é o autovetor procurado Daí as matrizes P e D ficam definidas por P 1 1 1 1 e D 5 0 0 3 c A 7 3 3 1 Os autovalores de A são obtidos fazendo 0 detA λI 7 λ 3 3 1 λ 7 λ1 λ 9 7 6λ λ² 9 λ² 6λ 16 Resolvendo λ² 6λ 16 temos λ₁₂ 6 36 4 162 6 102 8 6 102 2 Logo λ₁8 e λ₂2 Agora determinemos os autovetores u u₁ u₂ e v v₁ v₂ associados a λ₁ e λ₂ respectivamente Então Para λ₁8 temos A λ₁Iu 0 0ᵀ 1 1 3 1 9u₁ u₂ 0 0 u₁ 3u₂ 0 u₁ 3u₂ Logo u u₁ u₂ 3u₂ u₂ 3 1u₂ e 3 1 é o autovetor procurado Para λ₂ 2 A λ₂Iv 0 0ᵀ 9 3 3 1 2v₁ v₂ 0 0 3v₂ v₂ 0 v₂ 3v₁ Logo v v₁ v₂ v₁ 3v₁ v₁1 3 e 1 3 é um autovetor procurado Então as matrizes P e D são P 3 1 1 3 e D 8 0 0 2 d A 1 3 0 3 0 2 0 2 1 Os autovalores de A são obtidos 0 detA λI 1 λ 3 0 3 λ 2 0 2 1 λ 1 λ λ 3 0 2 1 λ 1 λ λ² λ 9 33 3λ 1 λλ² λ 9 9 9λ Logo λ3 14λ 5 0 E a eq acima não possui fórmula fechada para solução 4 D V V Df dfdt f α sent cost Note que V span α Logo os elementos f V são escritos por f c1sent c2cost i c1c2 ℝ Onde Df c1cost c2 sent Matricialmente temos D sent cost cost sent 0 1 1 0 sent cost E a matriz associada a D é 0 1 1 0 b Os autovalores de D são os λ tais que 0 detD λ I λ 1 1 λ λ2 1 λ2 1 0 λ i E os autovalores de D são números complexos λ i e logo esses não são Reais 5 D V V com Df dfdx f onde V P2 com produto interno ax2 bx c dx2 ex f Uma base de V é x2 x 1 Então temos Df D x2 x 1 2x 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 x2 x 1 Logo temos que D 0 2 0 0 0 1 0 0 0 E D não é diagonalizável pois o único autovlor é λ 0 De fato 0 detD λ I λ 2 0 0 λ 1 0 0 λ λ λ 2 0 λ λ3 λ 0 B 11 8 4 8 1 2 4 2 4 a Os autovalores λ de B são obtidos fazendo detB λI 0 11 λ 8 4 8 1 λ 2 4 2 4 λ 0 11 λ 1 λ 2 2 4 λ 8 8 2 4 4 λ 4 8 1 λ 9 2 0 11 λ1 λ4 λ 4 8 32 8λ 8 4 16 4 42 0 11 λ 1 λ4 λ 7 8 40 82 4 20 42 0 11 λλ2 5λ 64 5 λ 16 5 λ 0 11 λ λ λ 5 64 5 λ 16 5 λ 0 λ 5 11λ λ² 64 16 0 λ 5 λ² 11λ 80 0 λ 5 λ 5λ 16 0 λ 5² λ 16 0 E agora temos imediatamente que os autovalores são λ₁ 5 com dupla multiplicidade e λ₂ 16 b Determinaremos os autovetores de B com B 11 8 4 8 1 2 4 2 4 e λ₁ 5 e λ₂ 16 Então Para λ₁ 5 associamos u u₁ u₂ u₃ tal que B λ₁I u 0 0 0 16 8 4 8 4 2 4 2 1u₁ u₂ u₃ 0 0 0 4u₁ 2u₂ u₃ 0 u₃ 2u₂ 4u₁ Logo temos u u₁ u₂ u₃ u₁ u₂ 2u₂ 4u₁ u₁ 0 4u₁ 0 u₂ 2u₂ u₁ 1 0 4 u₂ 0 1 2 e 1 0 4 e 0 1 2 são os autovetores associados a λ₁ Para λ₂ 16 associamos v v₁ v₂ v₃ tal que B λ₂ I v 0 0 0 5 8 4 8 17 2 4 2 20v₁ v₂ v₃ 0 0 0 Vamos usar eliminação gaussiana Com efeito 5 8 4 8 17 2 4 2 20 L₂ 85 L₁ 1 85 45 0 215 425 4 2 20 1 85 45 0 215 425 4 2 20 L₃ 4 L₁ 1 85 45 0 215 425 0 925 895 L₂ 925 52 L₃ 1 85 45 0 1 2 0 0 0 L₄ 85 L₂ 1 0 45 0 1 2 0 0 0 E temos v₁ 45 v₃ 0 v₂ 2 v₃ v₂ 2 v₃ 0 v₁ 4 v₃ Daí temos v v₁ v₂ v₃ 4 v₃ 2 v₃ v₃ v₃ 4 2 1 e 4 2 1 é um autovetor associado a λ 16 Logo os autovetores ortogonais são o conjunto 1 14 0 12 4 2 1 c A matriz P que diagonaliza B é a matriz formada por seus autovetores logo essa é P 1 0 4 14 12 1 E ainda P¹ B P 5 0 0 0 5 0 0 0 16 7 v 2 1 2 w 3 6 6 A R3 R3 tq A0 1 1 13 e Aw 3 21 33 com trA 5 O operador A matricialmente é A a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Por hipótese A é autoadjunto logo A Āt At ou seja At a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 A a12 a21 a a31 a13 b a23 a32 c então A a11 a a b a a22 c b c a33 e TrA 5 a11 a22 a33 5 Δ Daí usando A0 e Aw temos A0 a11 a b a a22 c b c a332 1 2 1 1 13 2a11 a 2b 1 2a a22 2c 1 2b c 2a33 13 E Aw a11 a b a a22 c b c a333 6 6 3 21 33 3a11 6a 6b 3 3a 6a22 6c 21 3b 6c 6a33 33 Então temos Vamos inserir Δ nos sistemas com efeitos a11 f a22 g a33 h 1 0 0 0 0 0 h 5 f g Logo temos A f a b a g c b c 5 f g Então temos A0 1 1 13 f a b a g c b c 5 f g2 1 2 1 1 13 2f a 2b 1 2a g 2c 1 2b c f g 23 Aw 3 21 33 f a b a g c b c 5 f g3 6 6 3 21 33 3f 6a 6b 3 3a 6g 6c 21 3b 6c 6f 6g 63 Ou seja temos o sistema em forma matricial 2 0 0 1 2 0 0 1 0 2 0 2 1 1 0 0 2 1 3 0 0 6 6 0 0 6 0 3 0 6 6 6 0 0 3 6f g h a b c 1 1 13 3 21 33 A condição expressa pelo sistema anterior deverá ser verificada para a garantia do operador A conforme é pedido na questão No entanto o sistema acima é incompatível Portanto é impossível obter tal operador u442 v424 e w122 TR3R3 com Tu1022 Tv2102 e Tw115 Determinaremos Txyz Como uvw São LI então temos xyz α₁ 442 α₂ 424 α₃ 122 4α₁ 4α₂ α₃ 4α₁ 2α₂ 2α₃ 2α₁ 4α₂ 2α₃ Logo temos 4α₁ 4α₂ α₃ x i 4α₁ 2α₂ 2α₃ y ii 2α₁ 4α₂ 2α₃ z iii Subtraindo ii de i temos 6α₂ 3α₃ y x Somando ii com 2iii temos 6α₂ 6α₃ y 2z Logo obtemos 6α₂ 3α₃ y x 6α₂ 6α₃ y 2z Somando obtemos 9α₃ 2y 2z x Logo temos α₃ x 2y 2z9 Disso obtemos 6α₂ 6α₃ y 2z α₂ α₃ y 2z6 Logo α₂ x 2y 2z9 y 2z6 α₂ y 2z6 x 2y 2z9 9y 18z 6x 12y 12z54 6x 6z 3y54 2x 2z y18 α₂ 2x 2z y18 Daí em i temos 4α₁ 4α₂ α₃ x 4α₂ 4x 4z 2y9 x 2y 2z9 x 7α₁ 5x 2z 9y9 x 4α₁ 9x 5x 2z 9y9 4α₁ 4x 2z 9y9 α₁ 2x z 2y18 Ou seja temos α₁ 2x z 2y18 α₂ 2x 2z y18 α₃ x 2y 2z9 Daí aplicando T em obtemos Txyz α₁Tu α₂Tv α₃Tw α₁1022 α₂2102 α₃115 2x z 2y181022 2x 2z y182102 x 2y 2z9115 10x 5z 10y9 2x z 2y9 2x z 2y9 2x 2z y9 10x 10z 5y9 2x 2z y9 x 2y 2z9 x 2y 2z9 5x 10y 10z9 19 10x 5z 10y 2x 2z y x 2y 2z 2x z 2y 2x z 2y 10x 10z 5y x 2y 2z 2x z 2y 2x z 2y 5x 10y 10z 19 9x 9z 9y 9x 9z 9y 9x 9z 9y x y z x z y x z y Txyz x y z x y z x z y Agora mostraremos que T T O adjunto de T ie T É a matriz associada a T transposta e conjugada De fato T é representada em Matriz por T x y z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z transpondo temos Ttx y z 1 1 1 1 1 1 1 1 1x y z E com os elementos de Tt são reais obtemos logo que Tt Tt Note que Tt T e portanto é o operador Te autoadjunto 9 Seja T uma transformação linear e u e v seus autovetores associados ao mesmo autovalor λ Então aubv com ab K também é um autovetor K é um corpo De fato como u e v são autovetores temos que esses satisfazem mutuamente as equações TλIu 0 e TλIv 0 onde I é o operador identidade Dados ab K temos então que TλIu0 TλIau0 i TλIv0 TλIbv 0 ii Somando i e ii temos 0 TλIau TλIbv TλIaubv Logo au bv é autovetor de T associado a λ 10 AB V V com AB autoadjuntos Demonstração Por hipótese A e B são auto adjuntos ou seja temos que uAu Avu uBu Bvu para todo uv V e é o produto interno definido em V Mostraremos agora que ABBA é autoadjunto Com efeito temos para todo uv V que uABBAv ABBAuv AB BAuv BA ABuv BA ABuv AB BAuv e logo ABBA é auto adjunto Para ABBA não temos a auto adjuncidade de fato para todo u e v obtemos uAB BAv ABBAuv BA ABuv BA ABuv AB BAuv Logo AB BA não é autoadjunto e temos AB BA AB BA