Produto Escalar e Normas de Vetores em Álgebra Linear - Calculo de Produto Escalar, Normas e Versor Paralelo

Atividade 01 Álgebra linear I Prof Ederson R Frühling Dutra 20 de janeiro de 2024 1 Sejam v e w vetores tais que v 2 w 3 e θ angv w 2π3 120 Calcule o produto escalar v w entre v e w 2 Seja E ıȷk uma base ortonormal Dados u 1 ı 0 ȷ 1 k v 1 ı 1 ȷ 0 k a Calcule o produto escalar u v b Calcule as normas u e v c Calcule o ângulo θ entre u e v d Encontre um vetor unitário muitas vezes chamado de versor paralelo ao vetor u 3 A medida angular entre u e v é 30 e suas normas são 2 e 3 Calcule u v 4 Em relação a uma base ortonormal positiva E ıȷk são dados u 1 3 2 e v 1 1 2 Calcule u v 5 Em relação a uma base ortonormal positiva E ıȷk são dados u 1 3 2 v 2 2 2 e v 1 1 2 Calcule uv w Questão 1 As magnitudes dos vetores v e w são v2 w3 Além disso o ângulo formado entre os vetores v e w é θ2π3 radianos 120º O ângulo entre os dois vetores está relacionada às suas magnitudes através da seguinte fórmula cosθv wvw Isolandose v w e avaliando o cosseno de θ calculase o produto escalar entre os vetores v wvwcosθ v w23cos120º v w23053 Resposta final v w 3 Questão 2 Os vetores u e v são u1î 0ĵ 1k v1î 1ĵ 0k Item a O produto escalar entre os vetores u e v é calculando u v 11 01 10 1 Note que o produto escalar é comutativo Logo o produto escalar v u também é igual a 1 Item b As normas dos vetores u e v são calculadas da seguinte maneira u12 02 12 1 1 2 v12 12 02 1 1 2 Ou seja concluímos que os vetores u e v possuem magnitudes iguais Item c O cosseno do ângulo θ entre os vetores u e v é dado por cosθ u v uv Visto que anteriormente calculamos o produto escalar entre os vetores e a norma de cada um temos que cosθ 122 122 12 Logo para encontrar o ângulo θ devese calcular o cosseno inverso de 12 θ cos¹12 π3 radianos 60º Item d Para encontrar um versor ou vetor unitário paralelo ao vetor v basta realizar o produto de v com o inverso de sua norma ou seja dividir cada componente do vetor v por v Chamemos o versor desejado de v Matematicamente temos então v vv 12î 12ĵ 02k v 22î 22ĵ 0k Para comprovar que v é de fato um vetor unitário podemos checar que a sua norma é igual a 1 v 222 222 02 24 24 44 1 1 Questão 3 O ângulo θ entre os vetores u e v pode ser expresso em termos das magnitudes de cada vetor através da seguinte fórmula sinθ u v uv note que u v por si próprio também é um vetor O enunciado fornece o ângulo entre u e v e as magnitudes vecu2 e vecv3 Portanto u v uvsinθ u v 23sin30º u v 2305 3 Resposta final u v 3 Questão 4 Sendo E î ĵ k uma base ortonormal positiva e os vetores u e v dados por u 1 3 2 v 1 1 2 o produto vetorial u v é calculado pelo seguinte determinante u v î ĵ k 1 3 2 3 2 î 1 2 ĵ 1 3 k 1 1 2 1 2 1 1 Portanto calculandose os três determinantes associados a cada um dos versos da base E temos que u v 32 21î 12 21ĵ 11 31k Resposta final u v 4î 0ĵ 2k ou ainda na base E u v 4 0 2 Questão 5 Sendo E î ĵ k uma base ortonormal positiva e os vetores u v e w dados por u 1 3 2 v 2 2 2 w 1 1 2 o produto misto u v w pode ser calculado pelo seguinte determinante u v w 1 2 1 3 2 1 2 2 2 2 1 1 3 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 22 121 32 122 32 221 61 42 101 6 8 10 12 Resposta final u v w 12