Projeto - Transformada de Fourier de Tempo Discreto - 2023-2

TI0116 SINAIS E SISTEMAS 2023.2 Projeto computacional de filtro – Transformada de Fourier de tempo discreto Objetivo Aplicar os conceitos estudados em sala e descritos no livro base da disciplina para o desenho de um filtro passa-baixa em ambiente computacional. Descrição da atividade A atividade se resume em filtrar um sinal de áudio composto por uma música somada por um sinal modulado (deslocado na frequência). O filtro passa-baixa deverá ser parametrizado através da escolha do parâmetro 𝑊, largura do filtro, a fim de remover o sinal modulado. Para tal, o filtro desenhado atuará como um sistema LIT. Conceitos utilizados • Transformada de Fourier de tempo discreto • Aplicação da transformada em sinais periódicos e sua relação com a Série de Fourier • Propriedades do deslocamento na frequência, da convolução e da multiplicação • Sinais discretos no tempo • Sistemas LIT discretos no tempo • Resposta em frequência discreta • Convolução linear entre sinais Ferramentas a serem utilizadas • Ambiente computacional para implementação de código (e.g., Python ou MATLAB) • Algoritmo Fast Fourier Transform fft() para cálculo da resposta em frequência • Algoritmo Inverse Fast Fourier Transform ifft() para cálculo do sinal no tempo • Algoritmo de convolução linear • Algoritmo de leitura/escrita de arquivos de áudio Tarefas Considere o arquivo de áudio disponibilizado no SIGAA: • ImperialPlusCantina.wav No ambiente computacional escolhido, leia o arquivo .wav para obter o sinal 𝑥[𝑛] em forma de vetor/arranjo. • No Python, pode-se usar a função read() do módulo scipy.io.wavfile . Há outras possibilidades. • No Python, 𝑥[𝑛] pode ser representado por um Numpy Array 𝜔 Filtro passa-baixa 𝑊 −𝑊 0 Sinal modulado indesejado Espectro do sinal modulado TI0116 SINAIS E SISTEMAS 2023.2 • O arquivo de áudio, uma vez lido e representado por um vetor/arranjo, tem uma quantidade de pontos por segundo (taxa de amostragem). Pode ser necessário limitar o processamento para apenas alguns segundos iniciais. Plote o gráfico do sinal 𝑥[𝑛]. Depois calcule a Transformada de Fourier de 𝑥[𝑛] e plote o gráfico do espectro (magnitude). Observa-se que na região central do espectro há as componentes do sinal de áudio desejado, enquanto o sinal modulado tem suas componentes nas bordas devido ao deslocamento em frequência (modulação). • OBS: É possível que o algoritmo fft() usado retorne o espectro na frequência com indexação espelhada. A sugestão é testar a utilização da função com um sinal conhecido antes. Descreva a resposta ao impulso ℎ[𝑛] cuja resposta em frequência seja um pulso retangular com largura 𝑊 que atuará como um filtro passa-baixa. Implemente ℎ[𝑛] no ambiente computacional e plote o seu gráfico no tempo. Depois calcule a Transformada de Fourier de ℎ[𝑛] e plote o gráfico do espectro (magnitude). Discorra sobre as diferenças observadas entre a descrição teórica e a implementação prática do filtro ℎ[𝑛]. Calcule a resposta do filtro 𝑦[𝑛] para o sinal de áudio 𝑥[𝑛]. Aqui, você deve usar: • Método da convolução no tempo • Método da multiplicação na frequência Para o método da convolução no tempo, calcule a Transformada de Fourier de 𝑦[𝑛]. Compare com a resposta do método da multiplicação na frequência. Comente. Depois, calcule a Transformada Inversa de Fourier da resposta do método da multiplicação na frequência. Compare com a resposta do método da convolução no tempo. Comente. • OBS: É possível que o algoritmo ifft() usado retorne o sinal no tempo com indexação espelhada. A sugestão é testar a utilização da função com um sinal conhecido antes. Por fim, escreva o vetor/arranjo do sinal filtrado 𝑦[𝑛] em um arquivo .wav. • No Python, pode-se usar a função write() do módulo scipy.io.wavfile . Há outras possibilidades. • Para escrever o sinal processado em um arquivo .wav, é necessário passar como entrada a taxa de amostragem. A qualidade da filtragem deve ser mensurada de forma subjetiva ao escutar o áudio filtrado. Tal qualidade está diretamente relacionada ao valor escolhido para a largura 𝑊 do filtro. Comente os resultados para alguns valores 𝑊 de sua escolha e indique qual o melhor valor obtido. A avaliação de qualidade pode ser feita da seguinte forma: • Compare o sinal antes de ser processado (o mesmo que foi lido, ou a versão cortada) com os sinais filtrados • É esperado o uso dos dois métodos (convolução e multiplicação), gerando então dois arquivos com áudio filtrado. Caso somente um método seja utilizado, haverá uma penalização na nota. Os gráficos plotados devem ter os eixos X e Y com os valores esperados, conforme a teoria. Por exemplo, frequência deve ser 𝜔 (com amostras em múltiplos de 2𝜋/𝑁) e tempo deve ser 𝑛 (tempo discreto). Prazo de entrega (pela SIGAA): 01/12/2023 Trabalho individual ou em dupla. Deve-se mostrar os detalhes do desenvolvimento das implementações. A entrega deve ser em formato ZIP contendo um documento estilo relatório + código, podendo ser um Notebook (e.g., Jupyter), e o arquivo WAV do sinal filtrado.