Lista - Prova Contra-positiva e Indução - 2024-1

1. (1,0 pontos) Prove, por contra-positiva, que se x é um inteiro ímpar, então \(\sqrt{2x}\) não é um número inteiro. 2. (1,0 pontos) Use o método de redução ao absurdo para mostrar que \(\sqrt{p} + 1\) é irracional qualquer que seja p primo. 3. (1,0 pontos) Use a contra-positiva para provar que se n é um inteiro, então \(n^2 \geq n\). 4. (1,0 pontos) Prove por redução ao absurdo que nem todo subconjunto dos racionais tem elemento mínimo. 5. (1,0 pontos) Para todo \(n \in \mathbb{N}\), prove que \(\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + \ldots + \frac{1}{(4n-3) \cdot (4n+1)} = \frac{n}{4n+1}\). 6. (1,0 pontos) Para todo \(n \in \mathbb{N}\), prove que 9 divide \(4n^4 + 6n - 1\). 7. (1,0 pontos) Para todo \(n \in \mathbb{N}\), prove que \(\sin x + \sin(2x) + \ldots + \sin(nx) = \frac{\sin(\frac{n+1}{2}x) \sin(\frac{nx}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}\). 8. (1,0 pontos) Seja \(X\) um conjunto com n elementos. Prove que o conjunto das bijeções (ou permutações) \(f: X \rightarrow X\) tem \(n!\) elementos. 9. (1,0 pontos) Prove, por indução, que \(F_1^2 + F_2^2 + \ldots + F_n^2 = F_n F_{n+1}\), em que \(F_n\) é o n-ésimo termo da sequência de Fibonacci. 10. (1,0 pontos) Prove, usando indução finita, a desigualdade de Bernoulli que afirma que \((1 + x)^n \geq 1 + nx\), com \(x > -1\), para todo n natural.