Pf - Sistemas de Controle 2022-1

Universidade Federal do Espírito Santo Departamento de Engenharia Mecânica - DEM Disciplina: SISTEMAS DE CONTROLE - MCA08756 PROVA FINAL - 2022/1 NOME: Questão 01 (2 pontos) Considere um pêndulo montado sobre um carrinho cuja dinâmica é governada pelas seguintes equações diferenciais: (M + m)ẍ - mL𝜑 cos(𝜑) + mL𝜑̇²sen(𝜑) = f (J + mL²)𝜑 - mgLsen(𝜑) - mẍ cos(𝜑) = 0 Os significados dos parâmetros são: • massa do carrinho M = 9 kg; • massa da haste do pêndulo m = 1 kg; • metade do comprimento da haste do pêndulo L = 1 m; • inércia rotacional da haste do pêndulo J = 4 kg.m²; • aceleração provocada pela ação da gravidade g = 10 m/s²; e as variáveis são: • x - posição linear do carrinho, em m; • 𝜑 - ângulo de inclinação da haste do pêndulo em relação à direção vertical, em rad; • f - força aplicada para movimentar o carrinho, em N. Considere que z = (x ẋ 𝜑 𝜑̇)ᵀ seja o vetor de estado desse sistema e que o pêndulo esteja equilibrado em 𝜑 = 0 rad. Adotando 𝜑̇² ≈ 0 e utilizando um processo de linearização, é possível obter o seguinte modelo linear: | 0 1 0 0 | | 0 | ẋ = |a21 a23 0 a34|z + |5/49| | 0 0 0 1 | | 0 | | a43 0 | Determinar os coeficientes a21, a23, a34 e a43 da matriz acima 1. Substituindo as constantes do sistema: {10ẍ - 20sen𝜑 + 𝜑̈= f (5/49) 8𝜑̈ - 20sen𝜑 - ẍ cos𝜑 = 0 ẏ = [x ẋ 𝜑 𝜑̇]ᵀ Universidade Federal do Espírito Santo Departamento de Engenharia Mecânica - DEM Disciplina: SISTEMAS DE CONTROLE - MCA08756 Questão 02 (1 ponto) Um sistema de controle possui a seguinte representação no espaço de estados: ẋ(t) = | 0 1| x(t) + |0| u(t) | -2 -3| |1| y(t) = [1 1] x(t) Determine a função de transferência desse sistema. Questão 03 (1 ponto) Obtenha uma representação em espaço de estados da função de transferência abaixo. G(s) = \frac{s² + 2s}{s³ + 11s - 6} Questão 04 (1 ponto) Determine o valor de y(t) no estado estacionário (valor final) da função μ(t) = \frac{5}{s} + 2 \cdot \frac{1}{s(\omega + 4)} Questão 05 (1 ponto) Dada a função de transferência abaixo, pede-se obter uma função de transferência de segunda ordem que melhor se ajusta à original. Pólos : P1 = -15.0000 P2 = -2.0000 + 9.798j P3 = -2.0000 - 9.798j G(s) = \frac{600}{s³ + 19s² + 160s + 1500} Universidade Federal do Espírito Santo Departamento de Engenharia Mecânica - DEM Disciplina: SISTEMAS DE CONTROLE - MCA08756 s^5 s^4 a1 a2 a3 ... b1 b2 b3 ... Primeira Coluna s^3 onde: b1 = (a0 * a1 - a2 a1 -1 a0 a3 a1 ... s^2 b1 a2 b3 a1 a3 ... s^1 b1 a0 a1 a3 ... s^0 b1 ... c = a0 - a1 * a2 a3 ... -1 a0 a2 ... b1 b3 ... c = -1 a1 a3 ... b2 b3 ... c = a0 b1 c = -1 a1 c T Reta tangente no ponto de inflexão Gc(s) = kc Tsa + 1 Ts+ 1 = kc s+1/T s+ 1/aT y(t) Laplace Notation Output : Kfs (1 - Tis(s). Tds(s)) Output =Kfnej(s)6 das h (kc) dq(nt)(nt)Tvdi Kp= Ti(a s y ma Tvi al Professor: Flavio Morais de Souza Block Diagram Output: Kp en(q)v/(3z) Kp(s) = gk T Tour Of l + Ti(s)).(L.TiIm) Universidade Federal do Espírito Santo Departamento de Engenharia Mecânica - DEM Disciplina: SISTEMAS DE CONTROLE - MCA08756 REGRAS DE ZIEGLER-NICHOLS Sugerem parâmetros que são o ponto de partida para o ajuste fino do PID e não os valores definitivos. Os parâmetros proporcionam uma operação estável do sistema, mas com um máximo sobre sinal excessivo, o que é INACEITÁVEL. Resposta ao degrau da Planta tem a forma de "S"? NÃO Defina Ti = ∞ e Td = 0 e aplique na planta apenas um controle proporcional. SIM Trace uma reta tangente ao ponto de inflexão para obter L, T e K. Aumente Kp de zero até um valor crítico, Kcr, no qual a saída exibirá uma oscilação sustentada pela 1ª vez (a frequência de oscilação é wcr). Use então o método de Routh-Hurwitz, caso exista o modelo da planta. O controlador PID pode ser aproximado por um sistema de 1ª ordem com atraso de transporte da forma: Gc (s) = Kc (1 + 1/Ti s + Td s). Conforme a tabela abaixo: K Ti Td P 1 (L/T) --- PI 0 (1/L) 0.5L 0 K (2L) P 1 (L/T) --- SM Há oscilação sustentada para algum valor de Kp? NÃO Esse método não se aplica. Para Kp = Kcr, meça experimentalmente o período de oscilação Pcr = 2π/ωcr. Os parâmetros são obtidos conforme tabela abaixo. Tipo Kc Ti Td P 0.5Kcr ∞ 0 PI 0.45Kcr Pcr/1.2 0 PID 0.6Kcr 0.5Pcr 0.125Pcr 7. G(s) = (lambda^2 - 1) / (lambda^2 + lambda^3 + 2lambda + 24) lambda^3 | 1 2 | at=12/391 (24) = 22 lambda^2 | 1 24 lambda | 1 b(s) = 2c(s) + 391 lambda | bey | a+r lambda = 24 22 24 > (0 < 8rm < 24 é verdadeiro(8r;22) logo o sistema é estável x=s 3. G(s) = (lambda^2 + 2) / (lambda^2 + 13 - 6) A + B [x1 | u] [x1 | x2] = [0 1 A = [x1 X2 24 | 0]-11 0 0 11 0 C = | 28 0 B=[o] D= [0] onde = '0x si A=[o] B=adj[x] 0 B=[o] X A O= 0(a : ab *d lego bq)= aq Y(n) = oy(o+/- 2b